domenica 28 luglio 2019

Die Mathematik der Musik ovvero la matematica della musica

Qui a Heidelberg è in corso la mostra „La La Lab – Die Mathematik der Musik“ nell'ambito dell'Heidelberg Laureate Forum. Trattandosi di matematica della musica non potevo mancare.


Sono stato subito attratto da una tastiera con cui poter suonare con quattro diverse intonazioni: temperamento equabileintonazione pitagoricaintonazione naturale e temperamento mesotonico.


Indovinate qual è stata la prima intonazione che ho provato?


E qui devo tristemente ammettere una mia limitazione: il mio orecchio non è sufficientemente sensibile da poter distinguere le diverse intonazioni. O almeno non lo è stato quando ho eseguito scale, intervalli e melodie. Una differenza, invece, l'ho percepita quando ho suonato accordi (bicordi o triadi).

Poi ci siamo divertiti un po' con i timbri e le forme d'onda, con composizioni e grafi e con la panchina che invitava i due ospiti a toccare i due braccioli e poi a toccarsi varie parti del corpo per produrre musica attraverso la variazione di resistenza elettrica dei vari tessuti umani.


Purtroppo ci siamo dovuti fermare qui perché eravamo andati oltre l'orario di chiusura. Penso proprio che torneremo per esplorare il resto dei dispositivi.

martedì 16 luglio 2019

Carnevale della Matematica #131: La luna

L'edizione di giugno del Carnevale della Matematica, la numero 131, è ospitata da DropSea e il tema è “La luna”.
Così vengono introdotti i miei contributi:

Prendiamoci, ora, uno stacco musicale dal flusso matematico e lunare fin qui proposto con Flavio Ubaldini e Il tempo nella musica e l'esibizione più lenta e più lunga di sempre
Vi lamentate per le più di 15 ore di durata de L'anello del Nibelungo?
Organ²/ASLSP (As SLow aS Possible) è un brano musicale per organo nonché soggetto dell'esibizione musicale più lunga della storia: 639 anni (se giungerà a termine).
Flavio manda anche un interessante parallelo tra libri, insiemi e materia oscura - What is Mathematics, Really? e Matematica come narrazione
A leggere più libri contemporaneamente ci sono vantaggi e svantaggi. Un vantaggio è che può capitare di leggere contemporaneamente paralleli inattesi.
E un affascinante parallelo è sicuramente quello tra sottoinsiemi indefinibili e materia oscura che Gabriele Lolli propone in Matematica come narrazione...
Ma poi se si trova anche un parallelo tra questo parallelo e un altro libro allora la sorpresa divent più piacevole...
Giunti alla fine, non mi resta che salutarvi, dandovi appuntamento all'ancora non ben definita edizione #132 del Carnevale della Matematica (vedi l'elenco di tutte le edizioni) non senza lasciarvi con l'ormai tradizionale cellula melodica, realizzata come al solito da Flavio Ubaldini...








Per quanto riguarda l'edizione numero 132... 
è programmata per settembre e non è ancora stata assegnata.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


lunedì 1 luglio 2019

Il tempo nella musica e l'esibizione più lenta e più lunga di sempre

Vi lamentate per le più di 15 ore di durata de L'anello del Nibelungo? Allora leggete quanto segue.
Grazie all'ascolto dell'interessantissima puntata Inventare il tempo - Tempo liquido, flessibile di Lezioni di musica sono venuto a conoscenza di un'altra composizione singolare di John Cage*.

Organ²/ASLSP (As SLow aS Possible): un brano musicale per organo nonché soggetto dell'esibizione musicale più lunga della storia: 639 anni (se giungerà a termine).
L'esecuzione è cominciata nel 2001 nella chiesa di Sankt-Burchard ad Halberstadt per commemorare la prima installazione permanente di un organo, che avvenne nel 1361, ovvero 639 anni prima della data in cui era originalmente previsto l'inizio dell'esecuzione: il 2000.
Il termine dell'esibizione è previsto per il 2640.

Per chi fosse interessato, qui c'è un video sul cambiamento di accordo del 5/10/2013. Il prossimo avverà il 5/9/2020. Chissà, magari ci faccio un pensierino.
Qui c'è il sito del progetto, da cui si ha anche la possibilità di ascoltare l'accordo attuale.

giovedì 27 giugno 2019

Un parallelo tra libri, insiemi e materia oscura - What is Mathematics, Really? e Matematica come narrazione

A leggere più libri contemporaneamente ci sono vantaggi e svantaggi. Un vantaggio è che può capitare di leggere contemporaneamente paralleli inattesi.

E un affascinante parallelo è sicuramente quello tra sottoinsiemi indefinibili e materia oscura che Gabriele Lolli propone in Matematica come narrazione

“...la potenza di x, ℘( x), è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di x, ed è un insieme infinito che è ancora più grande di x, anche se x è infinito. Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con il caso finito: se x è finito e ha n elementi, i suoi sottoinsiemi si possono contare, e sono 2^n; ma il senso della potenza non è evidente, perché il concetto è ambiguo, per x infinito. Parlare di tutti è una scorciatoia, è un tentativo di dire la totalità, o meglio forse l’aspirazione a dire la totalità; ma la maggior parte dei sottoinsiemi è come la materia oscura della fisica, molto più estesa della materia visibile. La totalità non si riesce a fissarla in modo unanime, ℘( x) deve essere approssimato, e il suo senso è reso solo da una pluralità di risultati parziali che lo riguardano. Non è scontato quale parte di ℘( x) riusciamo a dominare: i sottoinsiemi finiti di x, x stesso, x meno sottoinsiemi finiti, certo; ma per vedere per esempio un sottoinsieme infinito il cui complemento in x sia anch’esso infinito bisogna definirlo; è il caso del sottoinsieme di ℕ dei numeri pari, o quello dei numeri di Fibonacci, e solo quelli definibili siamo sicuri che tutti li riconoscano; eppure si sa per il teorema di Cantor che non esauriscono tutti i sottoinsiemi, perché i sottoinsiemi definibili sono tanti quante le formule del linguaggio, che sono un’infinità numerabile. Gli insiemi definibili li vediamo in modo indiretto attraverso le loro definizioni, con gli strumenti linguistici, e questa è la seconda azione.”

Ma poi se si trova anche un parallelo tra questo parallelo e un altro libro allora la sorpresa divent più piacevole.

Ma, a differenza dell'ultima volta, il tema esula un po' dal tormentone del platonismo in matematica ... o no? Stavolta si parla di insiemi finiti che sono più complicati degli insiemi infiniti.


"Il lettore potrebbe aver notato che quasi tutti gli insiemi finiti sono enormi. Basta selezionare, ad esempio, un numero enorme M. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi minore di M? Moltissimi, ma in numero finito. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi maggiore di M? Un’infinità. Quindi quasi tutti gli insiemi finiti sono più grandi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. Se si sceglie un insieme finito a caso, è quasi sicuro che contenga più elementi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. E la finitezza potrebbe essere un suo aspetto ingannevolmente semplificativo. Infatti, gli insiemi infiniti vengono spesso introdotti perché più semplici degli insiemi finiti di partenza. Ad esempio, l'integrazione è di solito più semplice della somma di un numero finito di termini. Le equazioni differenziali sono solitamente più facili delle corrispondenti.
Per concludere, se si ammettono tutti gli insiemi finiti, non ci sono scuse per rifiutare l'infinito. L'infinito è controintuitivo e metafisico? Ma abbiamo appena visto che lo sono quasi tutti gli insiemi finiti. Se si vuole che tutta la matematica sia concreta e intuitiva allora bisogna affidarsi solo ai numeri e agli insiemi che siano finiti e piccoli.
Quanto piccoli? È molto difficile a dirsi, perché se n è piccolo, lo è anche n + 1. Non c'è un confine netto tra piccolo e grande. Non esistono né un minimo tri i numeri grandi né un massimo tra i numeri piccoli."
Si potrebbe provare un andamento degli assiomi di Peano ma la strada non sarebbe molto fruttuosa.
"Ma allora, forse è meglio che ci teniamo il nostro sistema numerico infinito.
Il grande mistero dell'infinito è un artefatto del platonismo. Esistono serie infinite in qualche dominio trascendentale? Questa è la domanda sbagliata. I sistemi numerici sono inventati perché utile agli esseri umani. Le domande appropriate sull'infinito sono: è utile a qualcosa? È interessante? I matematici hanno già risposto da tempo: sì!"

What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh

...continua...

sabato 15 giugno 2019

Carnevale della Matematica #130: notte prima degli esami

L'edizione di maggio del Carnevale della Matematica, la numero 130, è ospitata da Maurizio Codogno ne Il Post e il tema è “notte prima degli esami” . Tema scelto apposta per fare andare tutti fuori tema! ─ ci fa sapere Maurizio Codogno

Così vengono introdotti i miei contributi:

Dioniso ci manda la sua “cellula melodica ossimorica”: l’allegria caratterizzata da un’armonia minore. Immagino avrà pensato a Losing My Religion dei R.E.M….






Oltre che con la cellula melodica ho contribuito con...

Cominciamo con Dioniso, che continua a dedicarsi alla filosofia della matematica: un argomento perfetto per l’ultimo ripasso :-). In Sull’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali riprende “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini riprende un brano in cui l’autore mostra come l’irragionevole efficacia dipenda in fin dei conti dal fatto che noi abbiamo modellato la matematica in maniera algoritmica; in Il concetto di infinito esiste in un universo trascendentale o solo nella mente umana? Dioniso parte da “What is Mathematics, Really?” di Reuben Hersh per cui tutti i concetti matematici sono inventati dagli esseri umani, a differenza di quanto affermano i platonisti: l’esempio fatto stavolta è l’infinito.


Per quanto riguarda l'edizione numero 131... 
è programmata per settembre e non è ancora stata assegnata.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


mercoledì 5 giugno 2019

Il concetto di infinito esiste in un universo trascendentale o solo nella mente umana? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

Come l'ultima volta rimaniamo sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica. Ma stavolta il concetto usato come esempio non è il numero ma l'infinito. Come al solito la traduzione è molto libera.

«Anche se considerassimo la somma di tutti i numeri calcolati dagli esseri umani da sempre, otterremo un numero finito. Eppure la matematica è piena di infiniti. La linea R1 è infinita; lo spazio R3 è infinito; N, l'insieme di numeri naturali, è infinito. C’è un’infinità di serie di infiniti. Ci sono punti "all'infinito" sulla linea reale, nel piano complesso, nello spazio proiettivo e, ovviamente, le gerarchie di Cantor di insiemi infiniti, numeri ordinali infiniti, numeri cardinali infiniti.
...
Da dove vengono questi infiniti? Non dall'osservazione né dall'esperienza fisica. Escludendo l’esistenza di un universo spirituale o trascendentale separato dal nostro, essi devono necessariamente nascere dalla mente umana.
...
Il cervello è un oggetto finito. Non può contenere nulla di infinito. Tuttavia abbiamo idee sull'infinito. Ma la nostra mente non genera l'infinito, genera nozioni dell'infinito. La logica non ci costringe a includere l'infinito in matematica. Euclide, ad esempio, parlava di segmenti di finiti di retta e mai di una retta infinita. Nella teoria degli insiemi è l'assioma dell'infinito che fornisce un insieme infinito. Senza adottare quell'assioma, Frege e Russell avrebbero avuto solo insiemi finiti. A volte escludiamo consapevolmente l'infinito. Una serie infinita convergente è interpretata come una sequenza di somme parziali finite. Sebbene la chiamiamo serie infinita, in realtà siamo interessati alle somme parziali finite. Eppure l'intuizione "senza senso" di sommare infiniti termini costituisce ancora il significato centrale del concetto di "serie infinite".
...
A volte ci si chiede che tipo di matematica sarebbe prodotta da intelligenze aliene. Forse tali intelligenze non avrebbero il concetto di infinito, visto che esso è un prodotto della nostra mente ed è assente dalla realtà fisica.»

venerdì 31 maggio 2019

Il volo delle chimere: presentazione a Palermo domenica 9 giugno

Domenica 9 giugno sarò a Palermo per presentare "Il volo delle Chimere" nell'ambito del festival del libro Una marina di libri.

La presentazione è organizzata da Palermo Scienza e dal CIDI Palermo e avrà luogo alle 12:00 nel Tepidarium dell'Orto botanico di Palermo. Le relatrici saranno:

Matilde Passantino, naturalista
Elisa Gulli, chimico

Programma completo del festival


domenica 26 maggio 2019

Sull’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini

L'ultima volta ho riportato delle osservazioni di Zellini sul limite del concetto di limite.

Oggi riporto osservazioni sull’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali.

"Alla fine, quella che è stata definita «l’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali» appare la conseguenza di una complessa e articolata combinazione di proprietà e di circostanze che attenuano sensibilmente l’impressione iniziale di accidentalità dei possibili collegamenti tra i concetti astratti della matematica e il mondo fisico.
...
Il concetto di sezione e il continuo aritmetico di Dedekind sono la naturale conseguenza di un fatto primordiale che si esprime in una costruzione algoritmica: «Non è forse vero che il concetto di partizione [di sezione secondo Dedekind] è preceduto da un fatto puramente algoritmico, cioè dal bisogno di giustificare e legittimare certi processi algoritmici come quello dell’approssimazione per eccesso e per difetto di √ 2, che si traducono precisamente nella costruzione di classi composte di infiniti numeri discreti?».
...
Come spiegava Tommaso d’Aquino, prima di ciò che esiste in potenza deve esserci qualcosa che esiste in atto, perché la potenza non si risolve in atto se non per qualcosa che già esiste in atto."

mercoledì 15 maggio 2019

Carnevale della Matematica #129: La matematica del XVIII e XIX secolo

L'edizione di maggio del Carnevale della Matematica, la numero 129, è ospitata dal blog Scienza e Musica, il tema è "La matematica del XVIII e XIX secolo" ed è molto interessante anche per la lunga introduzione storica di Leonardo Petrillo.

Così viene introdotto il carnevale:

Tale edizione ha nome in codice (dovuto al sommo Popinga"il merlo intrepido" e cellula melodica (grazie a Dioniso Dionisi, che ritroveremo come partecipante):






Oltre che con la cellula melodica ho contribuito con...

Flavio Ubaldini (conosciuto sul web come Dioniso Dionisi), oltre alla cellula melodica che avete potuto apprezzare all'inizio del Carnevale, ci invia, dal blog Pitagora e dintorni, un contributo che rientra in tema, pensate un po', per soli 3 anni! Trattasi infatti della seconda parte di un post dedicato ai cosiddetti numeri p-adici. Questi furono introdotti, nel 1897, dal matematico tedesco Kurt Hensel (1861-1941), allievo di Kronecker e mostrano un'importante utilità nell'ambito della teoria dei numeri. Ripartendo dalla segnalazione della 1° parte, il nostro Dioniso, in "La medaglia Fields e i numeri p-adici - seconda parte", ci regala una stimolante chiacchierata esplicativa, concludendo alla fine con diverse feconde risorse per approfondire il tema trattato. Ecco l'incipit del post:

"– Allora, dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."


Aspettate; c'è pure un secondo contributo di Flavio. Trattasi di una libera traduzione, come l'ultima volta, di un passo tratto dal libro What Is Mathematics, Really? di Reuben Hersh inerente al platonismo in matematica. Il post in questione cerca di rispondere alla domanda: "I numeri naturali sono stati scoperti o inventati?". L'ho inserito nella sezione dei contributi in tema giacché lo spunto di riflessione sulla suddetta domanda scaturisce da una celebre affermazione di Leopold Kronecker:

"Dio fece i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo."

Per saperne di più proseguite la lettura su Pitagora e dintorni. 



Per quanto riguarda l'edizione numero 130... 
non è ancora stata assegnata.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


giovedì 9 maggio 2019

Visione prospettica tra antica Grecia e Rinascimento

Qualche anno fa avevo parlato della nascita della prospettiva e i suoi aspetti geometrici

Ora completo il quadro con una citazione da "Perché la cultura classica. La risposta di un non classicista" di Lucio Russo.

"Nonostante la convinzione di Piero della Francesca, nei secoli successivi, e in particolare in epoca illuministica, quando ci si convinse della superiorità dei moderni sugli antichi, fra gli storici dell’arte si diffuse la tesi (ancora ripetuta in qualche libro) che i greci non avessero conosciuto la prospettiva. In realtà non è più possibile dubitare dell’esistenza dell’antica prospettiva, poiché, oltre agli accenni più o meno vaghi di autori classici che erano sempre stati noti, oggi disponiamo di due tipi di documentazione: dipinti in cui le regole matematiche della prospettiva sono applicate in modo evidente, e brani di antichi trattati in cui si riportano in modo inequivocabile regole matematiche della prospettiva. Nella prima categoria è particolarmente importante l’affresco nella «stanza delle maschere», scoperto nel 1961 nella Casa di Augusto, sul Palatino. L’affresco nella «stanza delle maschere» nella Casa di Augusto, sul Palatino, dove tutti i segmenti che nella realtà sarebbero ortogonali alla parete di fondo, coerentemente alle regole della prospettiva, sono rappresentati convergenti esattamente in un punto."

martedì 7 maggio 2019

I numeri naturali sono stati scoperti o inventati? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

Come l'ultima volta rimaniamo sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica. Come al solito la traduzione è molto libera.

«I numeri naturali 1, 2, 3. . . sono stati scoperti o inventati? [In questo ambito] non si può fare a meno di ricordare il celebre aforisma di Leopold Kronecker: "Dio fece i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo". Visto che Kronecker era un credente, è possibile che credesse letteralmente a quell'affermazione. Ma quando i matematici di oggi lo citano, "Dio" viene considerato una figura retorica: "I numeri interi vengono scoperti, tutto il resto è inventato." Tale affermazione è una dichiarazione di platonismo, almeno per quanto riguarda i numeri interi.

Come si può rispondere dal punto di vista di un umanista? 
Ma allora, la matematica è stata creata o scoperta? 
Un po' tutte e due le cose, in un'interazione e alternanza dialettiche. E questo non è un compromesso; bensì una reinterpretazione e una sintesi.»

What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh


mercoledì 1 maggio 2019

La medaglia Fields e i numeri p-adici - seconda parte

– Allora, dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."

– Ah, ecco. Allora, partiamo dagli interi p-adici e diciamo che una volta scelto un certo numero primo p preciso, un intero p-adico α è definito da una sequenza illimitata di interi xk per k > 0
α = {xk}k=1 = {x1, x2, x3, . . . },
Tali che xk+1 ≡ xk (mod pk) per ogni k > 0,    (1)
E due sequenze {xk} e {yk} determinano lo stesso intero p-adico se e solo se
xk ≡ yk (mod pk) per ogni k > 0    (2)
L’insieme degli interi p-adici viene indicato con Zp.
– Aspetta. Il segno ≡ è la congruenza, giusto?

– Sì. È definita come a ≡ b (mod n) se a − b è divisibile per n.

– Quindi dalla (2) deduco che esistono infinite sequenze che rappresentano lo stesso intero p-adico, giusto?

– Sì, giusto. Però possiamo pure introdurre una definizione che, sfruttando le relazioni di equivalenza, renda la definizione univoca. Cioè, definiamo l'intero p-adico ridotto come la rappresentazione che soddisfi la
0 xk < pk for all k 1   (3)

– Scusa, solo con delle definizioni del genere però non riesco ad afferare il senso di un numero p-adico. Mi servirebbero degli esempi.

– Certo. Gli esempi più semplici sono gli interi rappresentati in Zp. Possiamo decidere di rappresentare gli interi Z attraverso delle sequenze costanti. Cioè, dato z Z, rappresentiamo z in Zp come {z, z, z, . . . }.

– Ah, immergiamo Z in Zp attraverso un'applicazione iniettiva!

– Giusto! Z può essere visto come un sottoinsieme di Zp e possiamo chiamare interi razionali gli elementi di Z per distinguerli dagli interi p-adici.

– Quindi se prendo ad esempio p = 3 posso scrivere 40 in Z3 come {40, 40, 40, 40, 40, . . . }... E... applicando la (3) avrei 40 = {1, 4, 13, 40, 40, . . . }?

– Corretto! Hai trovato un esempio da sola!

– Ma se scelgo un numero p che non è primo che succede? Ad esempio con p = 10 avremmo la base decimale a cui siamo più abituati.

– Sì, si può fare. Però perdiamo delle proprietà. Ad esmpio avremmo degli inversi moltiplicativi di zero. E questo è un risultato indesiderato. Ma... Purtroppo adesso devo andare.

– Va bene. Diciamo che questi numeri p-adici hanno cominciato anche a stancarmi un po'.

– Dai, chiudiamo qui e ti lascio dei riferimenti a del materiale che si può trovare in rete.

Introduction to number theory - 5. p-adic Numbers
mathworld.wolfram p-adic Number
en.wikipedia.org P-adic_number
quora: What are p-adic integers, how do they work and what problems can we solve using them
en.wikipedia.org P-adic_analysis

domenica 14 aprile 2019

Carnevale della Matematica #128: La comunicazione della matematica

L'edizione di aprile del Carnevale della Matematica, la numero 128, è ospitata dai MaddMaths!, il tema è "La comunicazione della matematica" ed è straordinariamente interessante. Non solo per il tema, non solo per l'interessantissimo aritcolo in tema di Silvia Benvenuti e Roberto Natalini, non solo perché dall’agosto del 2013 il carnevale della matematica non incontrava una potenza di 2 ma anche per l'eccezionale qualità dei contributi.

Così viene introdotto il carnevale:

Prima o poi doveva succedere, siamo arrivati al numero 128. Era dall’agosto del 2013 che il carnevale della matematica non incontrava una potenza di 2. Certo, è inevitabile, nel tempo questi incontri saranno sempre più radi, un po’ come i numeri primi che si diradano (ma in realtà qui la situazione è molto più drammatica). Quindi godiamocela un po’, in attesa di ascoltare la cellula melodica qui sotto. Pensate a quando festeggeremo il carnevale della matematica #18.446.744,073.709.551.616 che cosa ci toccherà sentire (capirete questa frase fra poche righe, dopo la cellula melodica, continuate a leggere).


Io ho contribuito con...

"A seguire, Dioniso Dionisi, a.k.a. Flavio Ubaldini, creatore di Pitagora e dintorni. Si tratta di alcuni commenti su citazioni a carattere matematico. La matematica tra scoperta e invenzione – What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh L’ultima volta Dioniso aveva riportato un brano in cui Reuben Hersh osserva che la matematica è umanistica rispetto alla sua materia – le idee umane – mentre è simile alla scienza nella sua oggettività. Oggi riporta un altro suo brano sul tema del platonismo e della dicotomia tra scoperta e invenzione in matematica. E poi Il limite del concetto di limite – “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini Interessanti osservazioni di Zellini sul concetto di limite… In qualche modo sul limite del concetto di limite."

E con ...
"...ma insomma, pare veramente che siamo arrivati al Carnevale della Matematica numero 128, di cui nella Poesia Gaussiana (o dell’unicità della fattorizzazione) di Popinga, la strofa corrispondente è “canta, canta, canta, canta, canta, canta, canta” (=27). E non perdete la “cellula melodica” puntualmente offertaci da Dioniso Dionisi di Pitagora e dintorni:"






Per quanto riguarda l'edizione numero 129... 
14 maggio 2019: (“il merlo intrepido”) Scienza e musica – La Matematica del XVIII e XIX secolo
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


lunedì 1 aprile 2019

Il limite del concetto di limite - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini

L'ultima volta ho riportato un'interessante osservazione di Zellini sul grado di realtà dei numeri.

Oggi riporto osservazioni altrettanto interessanti sul concetto di limite... In qualche modo sul limite del concetto di limite.

"...con applicazioni ripetute di un operatore si genera una successione di numeri la cui distanza dalla soluzione tende a zero. Da simili processi di calcolo, noti fin dalla più remota antichità, derivarono i concetti analitici di limite e di convergenza di una successione, e certe dimostrazioni di convergenza si basano ancora, più che su argomentazioni logiche, sull’esistenza e sulle proprietà degli stessi processi di calcolo. Ma siamo effettivamente in grado, con una procedura iterativa, di avvicinarci alla soluzione fino a ridurre la distanza a un valore arbitrariamente piccolo? I matematici non si sono posti questo problema per molto tempo, e si sente spiegare ancora oggi, con le stesse parole di Cauchy, come si possano calcolare, per una radice di un’equazione algebrica, «valori numerici approssimati arbitrariamente vicini». Tuttavia questo avvicinamento indefinito alla soluzione vale solo in linea di principio, e l’errore di approssimazione non può diventare arbitrariamente piccolo. Gli errori di arrotondamento creano fatalmente, attorno alla radice dell’equazione, un intervallo di incertezza che rende privi di significato i valori numerici calcolati oltre un certo limite di approssimazione: un buon algoritmo potrà fornire, dopo un certo numero di passi, un valore all’interno di quell’intervallo, ma non ha senso cercare di migliorare quel valore calcolandone uno successivo dentro lo stesso intervallo."

Altre considerazioni correlate:Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà
Ma i numeri hanno tutti lo stesso grado di realtà?

domenica 31 marzo 2019

La matematica tra scoperta e invenzione - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

L'ultima volta ho riportato un brano in cui Reuben Hersh si pone una domanda sul come distinguere la matematica da altre discipline umanistiche e osserva che la matematica è umanistica rispetto alla sua materia - le idee umane - mentre è simile alla scienza nella sua oggettività.
Oggi propongo un brano in cui l'autore torna sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica.
Personalmente ho sempre trovato più affascinante l’attività di chi costruisce teorie rispetto a quella di chi risolve problemi.

“...risolvere problemi ben definiti non è l'unico modo in cui la matematica avanza. Si devono anche creare concetti e teorie. In effetti, la nostra più grande lode va a chi, come Gauss, Riemann, Eulero, ha creato nuovi campi della matematica. Una ben nota classificazione dei matematici è quella tra chi risolve problemi e chi costruisce teorie. Quando si parla di teorie - la teoria di Galois dei campi dei numeri algebrici, la teoria di Cantor degli insiemi infiniti, la teoria di Robinson sull'analisi non standard, la teoria di Schwartz sulle funzioni generalizzate - non diciamo che siano state "scoperte". La teoria è in parte predeterminata da conoscenza, e in parte una creazione del suo inventore. Tuttavia, di fronte a esse percepiamo un salto intellettuale, come quando ci si trovi di fronte a un grande romanzo o a una grande sinfonia.

Quando diversi matematici risolvono un problema, i loro risultati sono identici. Tutti “scoprono” la stessa risposta. Ma quando essi creano teorie per soddisfare qualche necessità, i loro risultati non sono identici. Le teorie risultanti sono diverse. Come, ad esempio, nel caso dell'analisi vettoriale di Gibbs contrapposta ai quaternioni di Hamilton. La differenza tra inventare e scoprire è la differenza tra due tipi di progresso matematico. La scoperta sembra essere completamente determinata. L’invenzione sembra venire da un'idea che semplicemente non c'era prima che il suo inventore ci pensasse. Ma poi, dopo aver inventato una nuova teoria, devi scoprire le sue proprietà, risolvendo con precisione le domande matematiche correlate. Quindi inventare porta alla scoperta.”

sabato 16 marzo 2019

La scienza deve prenderla con filosofia

"Due mondi lontani, se non antagonisti. Scienza e filosofia hanno qualcosa da dirsi oggi?

Secondo un autorevole gruppo di ricercatori, sì. Dalle cellule staminali allo studio del sistema immunitario fino alle scienze cognitive, ecco perché la scienza ha bisogno di filosofia. Con il fisico Carlo Rovelli, l’immunologo Alberto Mantovani, e il filosofo della scienza Giovanni Boniolo."

Riporto solo un frammento dei commenti di Carlo Rovelli durante la puntata La scienza deve prenderla con filosofia di Radio3 Scienza:
“...Forse in questa capacità di mettere insieme sapere filosofico e sapere scientifico l’Italia è uno dei paesi migliori nel mondo. Credo che questo sia un motivo per cui gli scienziati italiani sono così bravi così apprezzati nel mondo. Io credo che il sistema educativo italiano, a differenza di quello statunitense, riesca ancora a tenere insieme una cultura storico filosofica e una cultura scientifica.”

L'articolo "Why science needs philosophy" su PNAS che ha ispirato la puntata e un altro articolo correlato: "Physics Needs Philosophy. Philosophy Needs Physics".

mercoledì 6 marzo 2019

Il mistero del suono senza numero - matematica e musica a Esperienza inSegna 2019

Il 21 e il 22 febbraio ho parlato di "Matematica e musica" a Palermo e, come lo scorso anno al premio-UMI Archimede, sono rimasto molto soddisfatto.
Giovedì 21 ho avuto un pubblico di più di cinquanta tra docenti e studenti del dipartimento di matematica e informatica.
Alla fine ho ricevuto una grande quantità di domande interessanti. In particolare ne ricordo una, sul canto gregoriano e le "modulazioni", correlata a una mia affermazione sulla maggiore difficoltà nell'uso dell'intonazione pitagorica dopo l'avvento delle tonalità, delle modulazioni e della musica strumentale.
Ho anche ricevuto una proposta da parte di un'insegnante di scuola superiore per una collaborazione in ambito teatrale.


Venerdì 22 è stata la volta di Esperienza inSegna 2019 con la "conferenza-spettacolo"Matematica e Musica, un percorso tra Pitagora e Bach.
Il pubblico era di circa 180 persone tra studenti e docenti di scuole superiori, tra cui un liceo musicale.
Ci sono stati applausi a scena aperta rivolti soprattutto agli studenti che rispondevano alle mie domande.

Qui troverete un video con le foto della giornata. Le mie si trovano intorno al minuto 3:35.






Personalmente sono rimasto molto soddisfatto di tutto: della fruttuosa collaborazione pitagorica con il chitarrista/geofisico Daniele Crisci e con la professoressa Elena Toscano, della curatissima organizzazione della manifestazione e del grosso coinvolgimento da parte di studenti e insegnanti.


E poi vedere i volti di qui ragazzi, ammirati di fronte alle acrobazie geometrico musicali di Bach, è stata un’esperienza impagabile.


venerdì 1 marzo 2019

L'imprescindibile ruolo dell'invezione dei numeri nello sviluppo dell'umanità - Caleb Everett

Interessanti considerazioni di Caleb Everett sul ruolo imprescindibile che "l'invezione" dei numeri avrebbe avuto per lo sviluppo dell'umanità.

“...il fatto che alcuni esseri umani siano stati capaci di inventare i numeri è dovuto in larga misura a fattori anatomici. La nostra capacità di identificare e classificare grandi quantità specifiche è stata ricondotta al fatto che abbiamo sempre davanti agli occhi esempi di quantità regolari. Abbiamo cinque dita per mano. La nostra biologia ci fornisce continuamente insiemi di cinque elementi corrispondenti per il cui riconoscimento non siamo cognitivamente predeterminati, così come non lo sono le altre specie. Ma gli esseri umani sono stati occasionalmente in grado di riconoscere questa corrispondenza. Si tratta di una comprensione inequivocabile, ma il mero riconoscimento di tale corrispondenza biologica non conduce necessariamente ai numeri. Si possono riconoscere le quantità, comprese le cinque dita della mano, anche solo in maniera fugace. Tuttavia, quando si introducono parole come “cinque” che vengono poi usate in modo produttivo per descrivere la quantità di dita per mano, si può dire che si siano inventati i numeri.

L’invenzione dei numeri, avvenuta in tempi diversi nel corso della storia umana, non ha semplicemente facilitato il nostro modo di pensare alle quantità. I numeri hanno consentito di distinguere in modo coerente ed esatto le quantità superiori a tre. I numeri sono uno strumento, un’invenzione concettuale rivoluzionaria. Forse i numeri sono stati il singolo strumento di maggiore influenza nel kit linguistico che ha reso possibile la recente trasformazione della nostra specie. Inoltre, essi hanno consentito o quantomeno facilitato una vasta gamma di innovazioni. In assenza di questi strumenti cognitivi pratici non avremmo avuto la rivoluzione agricola e di sicuro la rivoluzione industriale.”

I numeri e la nascita delle civiltà. Un'invenzione che ha cambiato il corso della storia - Caleb Everett

venerdì 15 febbraio 2019

Carnevale della Matematica #126: Oggetti e oggettività della matematica

L'edizione di febbraio del Carnevale della Matematica, la numero 126, è ospitata dai Rudi Matematici
e il tema è "Oggetti e oggettività della matematica".

Io ho contribuito con...

"Avete ben visto (e sperabilmente sentito) che un carnevale senza "cellula melodica" sarebbe un po' come un'amatriciana senza guanciale; per questa ragione Flavio, che gli amici chiamano Dioniso, si preoccupa di inviarla in fretta all'anfitrione di turno. In un'ottica di rigorosa ottimizzazione, nella e-mail che contiene la cellula manda di solito anche i suoi contributi, così almeno risparmia un e-francobollo. Questa volta ha solleticato la rete con un paio di contributi mica da ridere, e tutti e due in tema col tema:
Come distinguiamo la matematica da altre discipline umanistiche? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh: Mentre la matematica è umanistica rispetto alla sua materia - le idee umane - essa è simile alla scienza nella sua oggettività. Le discipline che hanno a che fare con risultati riproducibili sono chiamate scienze naturali. Nel dominio delle idee, degli oggetti mentali, quelle idee le cui proprietà sono riproducibili sono chiamate ...
Ma i numeri hanno tutti lo stesso grado di realtà? - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini: Al contrario di ciò che pensavano Cantor o Frege, Zellini afferma che i numeri non hanno tutti il medesimo statuto ontologico.
Con  un duplice inizio del genere, siamo quasi a posto per quanto riguarda metà del tema, quello relativo alla "oggettività" della matematica. Anzi, all'ontologia, come giustamente spiega Flavio. Per l'altra metà, quella relativa agli "oggetti matematici", ci sarà qualcuno disposto a soddisfarci? Lo vedremo presto: nel frattempo, cogliamo la palla al balzo e decidiamo seduta stante che il corredo iconografico di questo CdM sarà composto proprio da foto di oggetti (tangibili) matematici. Non sperate che vi si dica che oggetti siano, però..."

E con ...
"Le tradizioni squisitamente italiche, invece, vertono entrambe su una poesia spudorata e infinita (e se diciamo "infinita" intendiamo davvero infinita, sia chiaro). Ebbene, il verso-guida di questa poesia, per questo mese, è:
Canta il merlo, il merlo melodioso
e a questo verso, indubbiamente poetico,  è associata la relativa "Cellula Melodica", che vi invitiamo ad ascoltare:..."






Per quanto riguarda l'edizione numero 127... 
14 marzo 2019: (“di notte”) DropSea – Pi Day
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


giovedì 14 febbraio 2019

Il mistero del suono senza numero - mematica e musica a Esperienza inSegna 2019

Se la settimana prossima vi troverete a Palermo venitemi a trovare. Parlerò di "Matematica e Musica, un percorso tra Pitagora e Bach".

Giovedì 21
16.30 -17.30 | al dipartimento di matematica

Venerdì 22 
9.30 -10.30 | conferenza-spettacolo a Esperienza inSegna 2019