venerdì 6 luglio 2018

Le connessioni tra matematica e musica - "From Music to Mathematics: Exploring the Connections"

Libera traduzione da "From Music to Mathematics: Exploring the Connections" di Gareth E. Roberts.

"Le connessioni tra matematica e musica da un punto di vista strutturale sono abbondanti. Entrambi usano una forma speciale di notazione per comunicare le loro idee. Ogni soggetto ha una sua struttura logica e un insieme di assiomi finemente messi a punto su secoli di studio.

Gli studenti del liceo apprendono le tecniche assiomatiche di Euclide per scrivere le loro prime dimostrazioni.
Gli studenti di teoria musicale apprendono le regole della scrittura vocale a quattro parti, cercando di evitare le quinte e le ottave parallele, per comprendere meglio l'armonia.

I matematici usano i numeri come gli elementi costitutivi invariabili della loro teoria mentre i musicisti usano le altezze dei suoni come comun denominatore delle loro creazioni.

Così come il numero 3 ha lo stesso significato astratto per i matematici di tutto il mondo, la frequenza del la a 440 HZ, usata per accordare le orchestre moderne, è uno standard globale.

A prima vista, la matematica è spesso considerata una scienza "dura", mentre la musica è considerata una materia umanistica. Tuttavia, oltre ai molti tratti strutturali condivisi, ci sono anche diversi legami estetici e artistici tra le due discipline.

Ad esempio, entrambi i campi hanno prodotto grandi  bambini prodigio, come Mozart e Gauss. I genitori fanno ascoltare Bach e Beethoven ai loro bambini al fine di favorire lo sviluppo del cervello e le capacità analitiche. Molti matematici sono musicisti eccezionali, mentre molti musicisti, in particolare i compositori, possiedono acute menti matematiche.
Gli studiosi parlano spesso della "bellezza" e della "purezza" della matematica, e le stesse descrizioni  possono  applicarsi anche alla musica.
La musica ha l'ovvia capacità di muovere lo spirito, ma anche le grandi scoperte e le grandi intuizioni matematiche sono spesso accompagnate da un senso di esaltazione travolgente. Il grande matematico contemporaneo Andrew Wiles ha pianto davanti alle telecamere mentre parlava della sua incredibile dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat.
Ed è evidente che compositori e musicisti, consapevoli o meno, usino concetti matematici nelle loro creazioni."

domenica 1 luglio 2018

Non ci si può muovere contando - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini

L'ultima volta abbiamo visto come Zellini dà ragione Zenone ritenendo che Weierstrass, col bandire rigorosamente tutti gli infinitesimali, dimostrò finalmente che viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete. L’immobilità prevale sul movimento che può essere interpretato attraverso le sole coordinate dello spazio-tempo, e quindi per via di successive posizioni fisse e puntuali. Per cui «La meccanica può spiegare il movimento solo attraverso l’immobilità».

Oggi proseguiremo ancora su quel tema riportando le considerazioni che spingono Zellini a concludere: "nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

"Come spiegava Russell, «infinità e continuità appaiono insieme nell’aritmetica pura» (Principles, par. 435). Fu questa conquista dell’intelletto a presentarsi come un rimedio alle difficoltà che Zenone aveva sollevato circa la natura del movimento e la composizione del continuo. La soluzione moderna del paradosso di Achille si basò sull’assumere come reale o possibile proprio ciò che Zenone considerava paradossale, cioè, nel commento di Russell, l’assenza di uno stato di moto: un sacrificio che salvava un dato irrinunciabile, l’esistenza attuale delle cose. Un’entità attuale, notava Whitehead, non si muove: essa è dove è ed è ciò che è. Russell sosteneva che la nozione di uno stato di moto non è fondata, perché il movimento è fatto di posizioni atomiche occupate in determinati istanti, entrambi valutabili mediante numeri reali, corrispondenti a punti della retta. Aristotele (Fisica, 234 a 24 sgg.) aveva dimostrato che nulla può muoversi in un istante fissato, e che perciò il tempo non è fatto di istanti. Russell rispondeva che in effetti è vero, nell’istante nulla si muove, e che questo è compatibile con una teoria coerente del continuo aritmetico provvisto di metrica euclidea, come era stato elaborato da Weierstrass, da Dedekind e da Cantor. Solamente così si poteva garantire la realtà di ciò che muta e si muove. Il paradossale diventava reale...

La matematica è sempre stata un’arte del paradosso, e le sue formule hanno spesso suscitato una reazione d’incredulità nello stesso scienziato che le ha scoperte o ideate. Ma la matematica è anche un’arte di costruire simulazioni e modelli fedeli, fin dove è possibile, delle nostre concezioni comuni, mediante definizioni e teorie in grado di farci riconoscere ciò che ci attendiamo. A quell’impercettibile forzatura che si coglie nei commenti di Russell, seguì l’esplicito imbarazzo del commento al primo paradosso sul moto di Zenone da parte di Hilbert e di Bernays, fatto proprio, successivamente, anche da Stephen Kleene: C’è una soluzione molto più radicale del paradosso. Questa consiste nel prendere atto che non siamo obbligati in nessun modo a credere che la rappresentazione matematica del moto in termini di spazio e tempo sia fisicamente significativa per intervalli di spazio e di tempo arbitrariamente piccoli; piuttosto abbiamo ogni ragione di supporre che quel modello matematico estrapola i fatti di un certo dominio di esperienza, cioè i movimenti entro ordini di grandezza finora accessibili alla nostra osservazione, nel senso di una semplice costruzione concettuale, analoga al modo in cui la meccanica dei continui effettua un’estrapolazione in cui si assume che lo spazio sia riempito, in modo continuo, di materia.
...
La situazione è simile in tutti i casi in cui si crede possibile esibire direttamente un infinito [attuale] come dato dall’esperienza o dalla percezione
...
Un esame più attento mostra allora che un’infinità non ci è data in nessun modo, ma è interpolata o estrapolata per via di un procedimento intellettuale. Non c’era però altra via se non appunto quella di estrapolare, di completare i fatti dell’esperienza con un modello matematico del continuo, riconducibile a sua volta, come notò Hermann Weyl, a una mera costruzione simbolica. Aristotele (Fisica, 263 a 25-30) osservava che se si divide ripetutamente il continuo in due metà non possono risultare continui né la linea né il movimento. Il movimento, precisava, è proprio di un continuo, e nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità o di entelechia a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

Altre considerazioni correlate:
Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà

sabato 30 giugno 2018

Il mistero della bicicletta scomparsa

Il giorno prima della partenza per Palermo Zucchero era uscita a fare delle compere ed era tornata molto tardi e trafelata: le si era sganciata la catena ed era dovuta tornare a piedi trascinando la bicicletta.

Vista la frenesia dei preparativi per il viaggio abbiamo rimandato il riaggancio della catena a dopo il ritorno.

Lunedì sono sceso per l’operazione ma la bici non c’era.
– Noo! Me l’hanno rubata! Ci ero così affezionata!
– Ma sei sicura di averla chiusa con il lucchetto?
– Mi pare di sì. Però, con lo sconforto che avevo, potrebbe essermi sfuggito.

Senonché, dopo avere elaborato il lutto per la compianta, ieri pomeriggio ci siamo recati dal ciclista del quartiere per l’acquisto di una sostituta.

Appena scesi Zucchero ha dato uno sguardo al nostro parcheggio delle biciclette e mi ha chiesto:
– Non è ricomparsa vero?

Abbiamo continuato e dopo 50 m Zucchero ha esclamato:

– Eccola!

Era lì solitaria e abbandonata al bordo della strada. Forse io non l’avrei neppure notata. Inizialmente non siamo riusciti a spiegarci chi potesse averla presa e poi lasciata dopo 50 m. Una mia prima ipotesi: forse effettivamente non era stata legata e qualche ragazzo, avendo urgenza di spostarsi rapidamente, ha pensato di prenderla per poi riportarla alla fine dell’incombenza.

Poi Zucchero, osservando alcuni fatti, ha formulato un’ipotesi più plausibile e insieme siamo riusciti a elaborare una teoria più probabile di come possano essersi svolti i fatti.

Le osservazioni che ci hanno condotto all’elaborazione della nuova teoria sono essenzialmente due:

1. Il lucchetto - di scarsissima qualità - era scomparso senza lasciare segni.

2. La catena era ancora sganciata.

Qual è secondo voi la teoria più probabile?

mercoledì 27 giugno 2018

Matematica e musica al premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura

Il 23 giugno ho parlato di "Matematica e musica" nella Sala delle Lapidi del Palazzo delle Aquile, il municipio di Palermo, nell'ambito del premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura.


È stata un'esperienza molto positiva e ho ricevuto commenti assai incoraggianti. Inclusi un paio di probabili inviti per eventi futuri.

Ringrazio molto la professoressa Elena Toscano per lo straordinario supporto, il suo allievo Pietro Figlia per la collaborazione musicale e la professoressa Cinzia Cerroni per avermi invitato.


Ho avuto anche l’opportunità di assistere alla premiazione e alle presentazioni dei ragazzi.
Tutti molto bravi. Ma alcuni avevano doti dialettiche davvero eccezionali.
Alla fine ho anche avuto una piacevole conversazione con il sindaco, Leoluca Orlando, a cui qualcuno aveva detto che abito a Heidelberg e che quindi è voluto venire a intrattenersi con me sui begli anni dei suoi studi nella mia città di adozione.

50

Ho trovato inoltre molto interessanti le relazioni di Carlo Toffalori su Matematica e letteratura e quella di Valeria Patera su Scienza e teatro.
Lascio infine un po' di bellezze palermitane con l'auspicio di tornare a vederle presto.
La prima foto l'ho scattata da una finestra del Palazzo delle Aquile.







Qui i racconti delle mie altre presentazioni di Crotone, Arce, Heidelberg, Scandriglia, BariFrancoforte e Roma.

giovedì 14 giugno 2018

Carnevale della Matematica #120: "la didattica"

L'edizione di giugno del Carnevale della Matematica, la numero 120, è ospitata da Maurizio Codogno su Il Post e il tema è la didattica.

Io ho contribuito con la cellula melodica e con...

Dioniso ha scritto molto in questo mese su Pitagora e dintorni:
Zenone aveva ragione! – “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini, Sull’annoso problema dei razionali e degli irrazionali con le considerazioni di Zellini sui paradossi di Zenone… Ma quindi Zenone aveva ragione?
Presentazione de “Il mistero del suono senza numero” nella libreria Assaggi di Roma: Dopo varie tappe non poteva mancare Roma, con un roster di eccezione!
What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh – Gli oggetti matematici hanno natura mentale o fisica?. Continua la serie dedicata a What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh. In questo brano l’autore indaga la natura degli oggetti matematici.
La costruzione di una scala musicale attraverso i numeri – F. Talamucci: il temperamento equabile e i numeri irrazionali. Si parla delle difficoltà di accordatura insite nel temperamento equabile, vista la presenza di numeri irrazionali, e degli aspetti psicofisici correlati a tale scala musicale.

Di musica parla anche Leonardo Petrillo su Scienza e musica, con La rappresentazione integrale di Cauchy, un nuovo post della serie dedicata all’analisi complessa. Questa volta protagonista è la rappresentazione integrale di Cauchy, assieme alle sue varie implicazioni. All’inizio del post è presente una lista delle “puntate precedenti”.


Per quanto riguarda l'edizione numero 121... 
14 settembre 2018: (“all’alba, all’alba”) Mr. Palomar Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.