venerdì 16 febbraio 2018

Carnevale della Matematica #116: "Irragionevole matematica"

L'edizione di febbraio del Carnevale della Matematica, la numero 116, è ospitata da Rudi Mathematici.
Il tema di questo mese è particolarmente interessante: “L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali”.

"...com’è diavolo possibile che la matematica funzioni così bene, quando applicata ai problemi della fisica?
La domanda non è che sia originale, sia ben chiaro: è già in nuce in Galileo, quando osserva che il gran libro della natura “è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche…”, anche se non è espressa in forma meravigliata e interrogativa; la si ritrova negli scritti di tanti grandissimi, e se ne discetta ancora ad ogni piè sospinto ogni volta che si incontrano dei filosofi della scienza. Ma se pure pecca d’originalità, l’articolo di Wigner compensa magnificamente la mancanza con un preclaro esempio di franca aggressività frustrata, perché titola la sua memoria proprio “L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali”. Irragionevole efficacia, sissignore: ed è certo più l’aggettivo che il sostantivo a portare significato."

 Io ho contribuito con la cellula melodica
Cellula che, a detta dell'autore, è particolarmente intrigante:116 = 2 x 2 x 29 - canta, canta, becchetta - do, do solb. È una quinta diminuita o, enarmonicamente, una quarta aumentata. Quindi un tritono! Un diavolo in musica seminascosto!!
e con...

Credete che Dioniso (cioè Flavio) faccia solo cellule melodiche? Ah, vi sbagliate di grosso! Di questi tempi, poi, dopo lo strepitoso successo del suo "Il mistero del suono senza numero", lo ritroviamo costretto a...
...le presentazioni del libro stanno assorbendo quasi tutto il mio tempo libero. Non che mi lamenti, eh. Mi piace farle. Ma, allo stesso tempo, se voglio mantenere un po’ di produzione blogghistica sono costretto ad essere piuttosto autoreferenziale e parlare delle mie presentazioni. :-)
Tuttavia, essendo il vostro tema troppo sfizioso per poterci rinunciare, soprattutto per un (anti)pitagorico come me, cercherò di scrivere qualcosa di breve in tema. Spero di riuscirci. Intanto però mando il mio primo contributo autoreferenziale: Presentazione de "Il mistero del suono senza numero" al festival della divulgazione scientifica Log@Ritmi 2018 di Bari.
What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh - numeri raggiungibili, formalismo e platonismo. Libera traduzione di alcuni brani di Reuben Hersh in cui il filosofo della matematica pone alcune domande sulla natura e spiega le differenze tra "numeri raggiungibili" e numeri puri.
L'irragionevole efficacia della matematica nella descrizione del mondo fisico. Un dialogo sulle ipotesi:
– Ma tu ce l'hai una risposta? Perché la matematica è così efficacie per la descrizione del mondo fisico?
– E come faccio ad avere una risposta? Io mi occupo soprattutto di matematica ma quella è una domanda che non può avere una risposta univoca. Si possono ipotizzare alcune possibili risposte che non potranno mai essere verificate.
Per quanto riguarda l'edizione numero 117... 
14 marzo 2018: (“il merlo, il merlo allegro) DropSea
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.

domenica 4 febbraio 2018

L'irragionevole efficacia della matematica nella descrizione del mondo fisico

– «Ma ciò che più fece gioire Pitagora fu vedere alcune scoperte della scuola di Crotone raggiungere l’Olimpo della matematica. Il teorema, le terne, il metodo deduttivo, la tecnica della dimostrazione per assurdo. E tra tutte questa fu proprio la sua teoria più importante, quella del Numero, a segnare maggiormente il destino dell’umanità: l’idea che tutti i fenomeni del mondo fisico potessero essere interpretati attraverso i numeri. L’idea che aveva prodotto così tanti problemi e contrasti, così tanti entusiasmi e delusioni, così tanti complotti e divisioni. Seppur privata degli aspetti mistici, fu quella teoria a dare linfa a tutte le scienze naturali che Pitagora vide nascere durante le sue reincarnazioni e che ancora oggi osserva dalla quiete dei Campi Elisi.»
– Ma leggi di nuovo uno dei brani finali de "Il mistero del suono senza numero"? Pensavo lo avessi finito.
Fonte: https://www.tes.com/lessons
– Sì, ma stavo approfondendo questo discorso dei fenomeni del mondo fisico che possono essere interpretati attraverso i numeri.
– Eh già. È un tema molto affascinante.
– Ma tu ce l'hai una risposta? Perché la matematica è così efficace per la descrizione del mondo fisico?
– E come faccio ad avere una risposta? Io mi occupo soprattutto di matematica ma quella è una domanda che non può avere una risposta univoca. Si possono ipotizzare alcune possibili risposte che non potranno mai essere verificate. Almeno non a breve termine. Quindi quella domanda non è neppure nel dominio della scienza. Per affrontare quella domanda dovremo andare a scomodare la...
–  ...
– Qual è la materia che si occupa di domande che non hanno risposte univoche o che non hanno proprio risposte?
– Uhm... La filosofia?
– Eh già! Comunque la risposta che trovo personalmente più convincente è quella secondo cui l'efficacia della matematica nella descrizione del mondo fisico sia un risultato dell'evoluzione.
– In che senso?
– Considera questo parallelo. Noi viviamo sulla Terra e la miscela di gas che compone l'atmosfera terrestre è perfetta per essere respirata dai nostri polmoni. Che cosa pensa la scienza relativamente a questa coincidenza? Che la miscela sia stata calibrata da qualche entità e resa perfetta per poter essere respirata dai nostri polmoni?
– Beh... No... Forse... dice che i nostri polmoni, essendo il risultato dell'evoluzione all'interno di questa atmosfera, si sono adattati a respirare proprio quella miscela di gas?
– Giusto! Allo stesso modo, il nostro cervello, essendo il risultato di un processo di evoluzione all'interno di questo universo, avrebbe sviluppato un linguaggio che gli permette di interpretare l'universo in cui è immerso. E questo linguaggio è la matematica.
– Uhm... E come facciamo a dimostrarlo?
– Non si può dimostrare. Come ti dicevo, qui siamo nell'ambito della filosofia. Possiamo ipotizzare delle risposte plausibili ma non possiamo dimostrarle. Comunque la tua domanda è anche correlata all'altra grande domanda: i numeri esistono indipendentemente dagli esseri umani o sono solo una nostra invenzione? Ne parla anche Reuben Hersh in What is Mathematics, Really?
– Sì, lo so già. Ho già letto quello che hai scritto. platonismo, intuizionismo, logicismo, formalismo. E poi sono venuti Lakoff e Núñez con il loro Where Mathematics Comes From a dirci che i numeri e tutta la matematica sono un prodotto dell'apparato cognitivo umano. Il numero sarebbe una creazione della nostra mente generata dall'esperienza del contare oggetti, dalla cosiddetta subitizzazione. E di conseguenza il numero non esisterebbe al di fuori del cervello umano.
– Ah, brava! Non immaginavo che...
– Ma dimmi, piuttosto. Almeno questa intepretazione di Lakoff e Núñez, ci riusciamo a confermarla?
– Ma no! ... Per il momento, almeno. Forse un giorno potremmo entrare in contatto con intelligenze extraterrestri che non sono dotate di appendici per poter contare.
Appendici? Che vuoi dire?
– Beh, di dita, sostanzialmente. Qualcuno sostiene che tutta la matematica sia conseguenza del fatto che siamo dotati di dita con cui mettere in corrispondenza gli oggetti del mondo fisico.
– Uhm, trovo un po' difficile immaginare forme di vita intelligenti totalmente prive di appendici corporee.
– Non vedo perché. Ci sono scrittori di fantascienza che hanno immaginato forme di vita in forma gassosa.
– In ogni caso, come spiegheremmo il fatto che anche gli animali possiedono capacità aritmetiche Pare che persino i pulcini contino. Anche loro usano le sei dita delle zampe?
– Non lo so. Bisognerebbe confermare se contano in base 6.
– Ha, ha, ha.
– Vabbè, lo ammetto. Era una battutaccia. Parlando seriamente, su questa domanda non avevo ancora riflettuto. Lo farò. Comunque nel frattempo ti lascio con alcune citazioni in tema.


Come può la matematica, che in fin fine è un prodotto del pensiero umano indipendente dall'esperienza, essere così meravigliosamente appropriata a descrivere gli oggetti della realtà? [...] Secondo me la risposta, in breve, è questa: fino a quando le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, esse non sono certe; e nel momento in cui sono certe, allora non si riferiscono alla realtà.

— A. Einstein, citato in J. R. Newman, The World of Mathematics, New York 1956


La fisica è matematica non perché sappiamo molto del mondo fisico, ma perché ne sappiamo troppo poco; sono solo le sue proprietà matematiche quelle che riusciamo a scoprire.
— Bertrand Russell


C'è solo una cosa che è più irragionevole dell' irragionevole efficacia della matematica nella fisica, e questa è l'irragionevole inefficacia della matematica nella biologia.
Israel Gelfand


Le scienze raggiungono un punto in cui diventano matematiche ... dai primi anni '90 la biologia non è più la scienza delle cose che con strani odori nei frigoriferi. Il campo stava subendo una rivoluzione e stava rapidamente acquisendo la profondità e la potenza precedentemente associate esclusivamente alle scienze fisiche. La biologia stava diventando lo studio delle informazioni memorizzate nel DNA - stringhe di quattro lettere: A, T, G e C - e delle trasformazioni che l'informazione subisce nella cellula. E qui c'è sicuramente della matematica!
— Leonard Adleman, informatico teorico pioniere nel campo del computer a DNA


Si ritiene che l'universo delle teoria degli insiemi, costruito da Cantor e generalmente adottato dai matematici platonici, includa tutte le matematiche, passate, presenti e future. In esso, l'insieme innumerabile dei numeri reali è solo l'inizio di innumerabili catene di innumerabili. La cardinalità di questo universo di insiemi è indicibilmente più grande di quella del mondo materiale. Declassa l'universo materiale a un minuscolo puntino. E tutto era già lì prima che ci fosse la Terra, la Luna e il Sole, persino prima del Big Bang. Eppure questa tremenda realtà passa inosservata! L'umanità, tranne noi matematici, ne è totalmente inconsapevole. Noi soli lo notiamo. Ma solo da quando Cantor lo rivelò nel 1890. È plausibile? È credibile? Roger Penrose si dichiara platonico, ma pone un limite nell'accettazione dell'intera gerarchia insiemistica.
È possibile che solo noi matematici notiamo una realtà che declasserebbe l'universo materiale a un minuscolo puntino?"
— Reuben Hersh

giovedì 1 febbraio 2018

What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh - numeri raggiungibili, formalismo e platonismo

L'ultima volta ho riportato il brano in cui Reuben Hersh si chiedeva se fosse possibile che solo noi matematici potessimo essere consapevoli di una realtà che declasserebbe l'universo materiale a un minuscolo puntino.

Oggi riporto un brano in cui l'autore spiega le differenze tra "numeri raggiungibili1" e numeri puri.

«La matematica è fatta di concetti e non di segni di matita o di gesso, né di triangoli fisici né di insiemi fisici. È fatta di concetti, che possono essere ispirati a o rappresentati da oggetti fisici. Nel recensire The Mathematical Experience, il matematico e divulgatore Martin Gardner sollevò questa obiezione: quando due dinosauri dell'era Giurassica incontrarono altri due dinosauri che sguazzavano allegramente nella stessa pozza d'acqua, in tutto la pozza d'acqua conteneva quattro dinosauri, anche se non era presente alcun umano che potesse pensare, "2 + 2 = 4". Questo dimostra, dice Gardner, che 2 + 2 fa veramente 4 nella realtà e non solo nelle coscienze culturali umane. 2 + 2 = 4 è una legge della natura, dice, indipendente dal pensiero umano.

Per cercare di dirimere questa questione, dobbiamo cercare di capire che "2" gioca due ruoli linguistici. A volte è un aggettivo e a volte è un nome.
In "due dinosauri", "due" è un aggettivo collettivo. La frase "Due dinosauri più due dinosauri equivalgono a quattro dinosauri" parla di dinosauri. Se dico "Due oggetti discreti non interagenti insieme ad altri due oggetti discreti non interagenti fa quattro di questi oggetti", sto dicendo parte di ciò che si intende per oggetti discreti non interagenti. E questa è un'affermazione nel dominio della fisica elementare. Quindi, per quanto riguarda gli oggetti discreti e non interagenti, l'esperienza ci dice che 2 + 2 = 4.

Al contrario, "Due è primo ma quattro è composto" è un'affermazione sui numeri puri dell'aritmetica elementare. Ora "due" e "quattro" sono nomi, non aggettivi. Rappresentano numeri puri, che sono concetti e oggetti. Sono oggetti concettuali, condivisi da tutti coloro che conoscono l'aritmetica elementare, descritti da assiomi e teoremi.

I numeri raggiungibili1 sono finiti. C'è un limite oltre il quale nessuno potrà mai contare. Eppure non esiste un ultimo numero. Se contassi fino a, diciamo, un miliardo, allora potrei contare fino a un miliardo e uno. Nell'aritmetica discreta, queste due proprietà - finitezza, e assenza di massimo - sono contraddittorie. Questo dimostra che i numeri raggiungibili non sono numeri puri. Consideriamo, ad esempio, il numero puro 10^(1010). Possiamo facilmente enunciare alcune delle sue proprietà, come, ad esempio: "Gli unici fattori primi di 10^(1010) sono 2 e 5." Ma non possiamo raggiungere quel numero contando. In tal senso, non esiste un numero raggiungibile uguale a 10^(1010). Thomas William Körner propose la stessa distinzione, usando le lettere maiuscole per i numeri raggiungibili (aggettivi) e le lettere minuscole per i numeri naturali "puri" (nomi). Jacob Klein scrisse che una distinzione simile fu proposta dai greci, che usavano le loro parole "arithmos" e "logistiké". Quindi "due" e "quattro" hanno due significati: quello di numeri raggiungibili e quello di numeri puri. Quindi, la formula 2 + 2 = 4 ha un doppio significato. Ha a che fare con il contare, cioè su come si comportano gli oggetti discreti non interagenti; ma è anche un teorema di aritmetica pura (aritmetica di Peano, ad esempio).
Questa ambiguità linguistica confonde la differenza tra i numeri raggiungibili e i numeri naturali puri. Il concetto di numero puro è un'astrazione del concetto di numero raggiungibile. Attravero un'astrazione aristotelica, i numeri puri si astraggono dagli oggetti "reali" per generarsi come concetti condivisi nelle menti delle persone che conoscono l'aritmetica elementare. In quel dominio di concetti condivisi, 2 + 2 = 4 è un oggetto diverso con un significato diverso. Dopodiché possiamo mostrare che esso consegue logicamente da altri concetti condivisi, che solitamente chiamiamo assiomi. La filosofia platonica maschera questa modalità di esistenza sociale attraverso un mito di "concetti astratti".»

1. Reuben Hersh usa l'espressione “counting numbers”. Ho discusso con .mau. come tradurre il concetto in italiano e .mau. ha proposto "numeri raggiungibili". Quello che conta per Hersh è "il processo di contare", quindi la possibile alternativa di "numeri esprimibili" non funzionerebbe, visto che (10^(10^10)) è esprimibile (lo abbiamo appena espresso). Purtroppo con "numeri raggiungibili" si perde il doppio significato di "numeri importanti", "numeri che contano" ma spesso le traduzioni non riescono a mantenere intatte tutte le sfumature semantiche.



Di seguito riporto altri brani di Reuben Hersh sulla visione pitago-platonica della matematica. Sempre in una mia libera traduzione.

"Il platonismo senza Dio è come il sorriso sul gatto di Lewis Carroll. Il gatto aveva un sorriso. A poco a poco il gatto è scomparso, tranne il sorriso: è rimasto solo il sorriso senza il gatto."

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"La ricerca o la soluzione di problemi, anche a livello elementare, genera un platonismo ingenuo e acritico. Durante le lezioni di matematica, eccezion fatta per alcuni pasticcioni, tutti devono produrre la stessa risposta! È per questo che la matematica è speciale. Esistono le risposte giuste. E non perché quelle sono le risposte che l'insegnante vuole sentire. Sono giuste perché sono giuste. Questa universalità, questa indipendenza dagli individui, fa sembrare la matematica immateriale, inumana. Il platonismo del matematico ordinario o dello studente ordinario è un riconoscimento che i fatti della matematica sono indipendenti dai desideri dell'insegnante. Questa è la qualità che rende la matematica eccezionale. Eppure la maggior parte di questo platonismo è pedissequo. Non ci chiediamo mai, come si relaziona alla realtà materiale questo regno immateriale? Come entra in contatto con i matematici?"

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"Si ritiene che l'universo delle teoria degli insiemi, costruito da Cantor e generalmente adottato dai matematici platonici, includa tutte le matematiche, passate, presenti e future. In esso, l'insieme innumerabile dei numeri reali è solo l'inizio di innumerabili catene di innumerabili. La cardinalità di questo universo di insiemi è indicibilmente più grande di quella del mondo materiale. Declassa l'universo materiale a un minuscolo puntino. E tutto era già lì prima che ci fosse la Terra, la Luna e il Sole, persino prima del Big Bang. Eppure questa tremenda realtà passa inosservata! L'umanità, tranne noi matematici, ne è totalmente inconsapevole. Noi soli lo notiamo. Ma solo da quando Cantor lo rivelò nel 1890. È plausibile? È credibile? Roger Penrose si dichiara platonico, ma pone un limite nell'accettazione dell'intera gerarchia insiemistica."

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"È possibile che solo noi matematici notiamo una realtà che declasserebbe l'universo materiale a un minuscolo puntino?"