– Allora,
dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."
– Ah, ecco. Allora, partiamo dagli interi
p-adici e diciamo che una volta scelto un certo numero primo p preciso, un intero
p-adico α è definito da una sequenza illimitata di interi x
k per k >
0
α = {xk}∞k=1 = {x1, x2, x3, . . . },
Tali che xk+1 ≡ xk
(mod pk) per ogni k > 0, (1)
E due sequenze {xk} e {yk}
determinano lo stesso intero p-adico se e solo se
xk ≡ yk (mod pk)
per ogni k > 0 (2)
L’insieme degli interi p-adici viene
indicato con Zp.
– Aspetta. Il segno ≡ è la congruenza, giusto?
– Sì. È definita come a ≡ b (mod n) se a −
b è divisibile per n.
– Quindi dalla (2) deduco che esistono infinite sequenze che rappresentano lo stesso intero p-adico, giusto?
– Sì, giusto. Però possiamo pure introdurre una definizione che, sfruttando le
relazioni di equivalenza, renda la definizione univoca. Cioè, definiamo l'intero p-adico ridotto come la rappresentazione che soddisfi la
0
≤ x
k < p
k for all k
≥ 1
(3)
– Scusa, solo con delle definizioni del genere però non riesco ad afferare il senso di un numero p-adico. Mi servirebbero degli esempi.
– Certo. Gli esempi più semplici sono gli interi rappresentati in Z
p. Possiamo decidere di rappresentare gli interi Z attraverso delle sequenze costanti. Cioè, dato z
∈ Z, rappresentiamo z in Z
p come {z, z, z, . . . }.
– Ah, immergiamo Z in Z
p attraverso un'
applicazione iniettiva!
– Giusto! Z può essere visto come un sottoinsieme di Z
p e possiamo chiamare interi razionali gli elementi di Z per distinguerli dagli interi p-adici.
– Quindi se prendo ad esempio p = 3 posso scrivere 40 in Z
3 come {40, 40, 40, 40, 40, . . . }... E... applicando la (3) avrei 40 = {1, 4, 13, 40, 40, . . . }?
– Corretto! Hai trovato un esempio da sola!
– Ma se scelgo un numero p che non è primo che succede? Ad esempio con p = 10 avremmo la base decimale a cui siamo più abituati.
– Sì, si può fare. Però perdiamo delle proprietà. Ad esmpio avremmo degli inversi moltiplicativi di zero. E questo è un risultato indesiderato. Ma... Purtroppo adesso devo andare.
– Va bene. Diciamo che questi numeri p-adici hanno cominciato anche a stancarmi un po'.
– Dai, chiudiamo qui e ti lascio dei riferimenti a del materiale che si può trovare in rete.
Introduction to number theory - 5. p-adic Numbers
mathworld.wolfram p-adic Number
en.wikipedia.org P-adic_number
quora: What are p-adic integers, how do they work and what problems can we solve using them
en.wikipedia.org P-adic_analysis
Aspettate; c'è pure un secondo contributo di Flavio. Trattasi di una libera traduzione, come l'ultima volta, di un passo tratto dal libro What Is Mathematics, Really? di Reuben Hersh inerente al platonismo in matematica. Il post in questione cerca di rispondere alla domanda: "I numeri naturali sono stati scoperti o inventati?". L'ho inserito nella sezione dei contributi in tema giacché lo spunto di riflessione sulla suddetta domanda scaturisce da una celebre affermazione di Leopold Kronecker:
«I numeri naturali 1, 2, 3. . . sono stati scoperti o inventati? [In questo ambito] non si può fare a meno di ricordare il celebre aforisma di Leopold Kronecker: "Dio fece i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo". Visto che Kronecker era un credente, è possibile che credesse letteralmente a quell'affermazione. Ma quando i matematici di oggi lo citano, "Dio" viene considerato una figura retorica: "I numeri interi vengono scoperti, tutto il resto è inventato." Tale affermazione è una dichiarazione di platonismo, almeno per quanto riguarda i numeri interi.
