Eudosso e la diagonale: l'arte di imbrigliare l'incommensurabile

 Giugno 376 a.C.

Nella scuola di Cizico, tra corde annodate e tavolette di legno, il maestro Eudosso mostra al giovane Polemarco come il ragionamento possa domare ciò che la misura non riesce a stringere.

«Lui è il maestro», sussurrò il ragazzo. «È Eudosso!» aggiunse con un misto di timore e ammirazione.
Gli occhi verdi dell’uomo si fissarono sui due ragazzi che si ricomposero intimoriti. Uno era un volto noto; l’altro, più minuto, era probabilmente un nuovo arrivato. 

«Non abbiate paura», li rassicurò Eudosso. «La curiosità è la caratteristica più importante per uno scolaro.»

 
«E quella non ci manca!» disse il più giovane, mentre l’altro si voltava a guardarlo stupito. Eudosso lo osservò per qualche istante. Il ragazzo sosteneva lo sguardo del maestro, ma senza arroganza. Nei suoi occhi brillavano davvero vitalità e curiosità. C'era qualcosa, in lui,
che gli ricordava un tempo passato. Trattenne appena un sorriso.

 
«Come ti chiami?»
«Sono Polemarco, maestro.»

 
«Bene, Polemarco. Visto che non ti manca il coraggio, vieni ad aiutarmi», disse Eudosso sorridendo. «Prendi quella corda e quelle due tavole», aggiunse indicando la parete. «Le useremo tra poco.»
Polemarco le sollevò, esagerando lo sforzo e suscitando qualche risata repressa.

 
«Quale figura rappresenta quella più piccola?», chiese Eudosso indicando la prima tavola.
«Un rettangolo, maestro.»
«E questa?»
«Un quadrato.»
«Come fai a esserne certo?»
Polemarco esitò. «Perché... Si vede: in quella tavola i lati sembrano tutti uguali.»

 
«Molte cose sembrano evidenti finché non proviamo a verificarle», osservò Eudosso. «Gli occhi giudicano in fretta. La conoscenza, invece, pretende prove. Come potremmo verificare la tua affermazione?»
A Polemarco non sfuggì l’occhiata del suo amico. «Forse misurando i lati con quella corda?» rispose indicando la fune annodata.
Eudosso annuì. Polemarco prese subito la fune con un movimento rapido.

«I lati della tavola grande misurano entrambi 10 nodi. Quindi si tratta effettivamente di un quadrato», disse dopo aver misurato i due lati.

«Hai verificato che i lati sembrano avere la stessa lunghezza», precisò Eudosso.
«Sembrano?» rispose Polemarco guardandolo sorpreso.
«La corda ci permette di avvicinarci alla misura, ma non di raggiungere una certezza assoluta. Potremmo dividerla in parti sempre più piccole, infittendo i nodi, ma rimarrebbe sempre la possibilità che una differenza ancora minore sfugga alla nostra misura.»
«Quindi non possiamo mai essere sicuri?»

«Possiamo essere sicuri solo quando ragioniamo sulle figure ideali che immaginiamo nelle nostre menti. Non quando misuriamo gli oggetti del mondo», disse Eudosso indicando le tavole. «La geometria non cerca la perfezione nelle tavole che costruiamo, perché nessuna di esse è perfetta. Le tavole ci aiutano a vedere il problema, ma la certezza non viene dagli occhi. Viene dalle figure perfette che la nostra mente costruisce e dai rapporti che il nostro ragionamento riesce a stabilire.»
Polemarco annuì.
«Ma», aggiunse Eudosso, «per semplificare le cose, noi considereremo le nostre tavole come figure geometriche perfette. Misuriamo dunque i lati dell’altra tavola.»

 

«I lati del rettangolo misurano 4 nodi e 3 nodi.»
«Bene. Ora, tu sai che cos’è una diagonale?»
«Certo. È il segmento che unisce questi due vertici», disse Polemarco indicando due vertici opposti del rettangolo.
«E conosci anche il teorema dei pitagorici?»
«Sì, l’ho imparato.»

«E allora saprai applicarlo per trovare la misura di questa diagonale.»
Polemarco osservò la figura per qualche istante. «Ma certo!» esclamò infine. «La diagonale divide il rettangolo in due triangoli. E l’ipotenusa dei triangoli coincide con la diagonale. Le aree dei quadrati costruiti sui lati misurano… 9 e 16 nodi quadrati e la loro somma è… 25. Quindi 25 è l’area del quadrato costruito sulla diagonale. E il lato del quadrato di area 25 misura 5 nodi. Quindi anche la diagonale misura 5 nodi.»

«Perfetto» lo lodò Eudosso. «E, visto che hai usato il teorema, sappiamo che il risultato vale anche per la figura ideale che abbiamo costruito nella nostra mente. Ma prova a verificare il risultato misurando quella diagonale.»

«Effettivamente misura 5 nodi.»
«Dunque abbiamo verificato che possiamo esprimere con un numero la misura di quella diagonale?»
«Certo.»
«E questo accade per ogni figura?» chiese Eudosso.
«Uhm… Credo di sì» disse l’allievo.

«Allora adesso proviamo con la tavola più grande», disse Eudosso indicando il quadrato. «Secondo te sarà più difficile trovare la lunghezza della diagonale?»

Polemarco osservò la figura. «No, maestro. Dunque,» disse, aggrottando le sopracciglia, «le aree dei quadrati costruiti sui lati misurano entrambe… 10 volte 10, cioè 100 nodi quadrati. La loro somma, che poi sarebbe l’area del quadrato costruito sulla diagonale, è 200 e quindi basterà trovare il lato del quadrato di area 200.»

«Hai un’idea di quale possa essere quel numero?»
Polemarco osservava la figura e aguzzava l’orecchio per captare eventuali suggerimenti.
«Forse una misura con la corda potrebbe darti un’idea» lo esortò Eudosso.
Polemarco prese la corda e la tese lungo la diagonale.

«Misura… 14 nodi.»
«Bene. Allora verifichiamo se 14 volte 14 è uguale a 200» disse Eudosso rivolgendosi agli altri scolari.
«No, è uguale a 196», rispose il compagno di Polemarco dopo qualche istante.
«Sei sicuro che misurasse proprio 14 nodi?»

Polemarco tese di nuovo la corda lungo la diagonale. Guardando meglio si accorse che il vertice del quadrato superava di poco quel nodo.
«No. La misura non coincide perfettamente. È poco più di 14 nodi, ma molto meno di 15», rispose.
«Bene. Ma possiamo accontentarci di una misura del genere?»
«No…» disse Polemarco pensieroso. «Forse… dovremmo cercare una misura più precisa.»
«E se dividessimo ogni nodo della corda in dieci parti?» propose Eudosso. «E poi ancora in dieci parti, e così via?»
«Otterremmo una corda… che misura con più precisione.»
«Quindi potremmo trovare la misura precisa della diagonale?»
«Credo di sì» azzardò Polemarco.

«È quanto credevano anche i pitagorici di Crotone fino a più di un secolo fa» osservò Eudosso. «Poi arrivò Ippaso da Metaponto.»
«Chi è Ippaso?», chiese prontamente Polemarco.
«Un allievo di Pitagora» rispose il maestro. «Ma non un allievo qualsiasi. Era il più brillante della comunità dei pitagorici di Crotone», proseguì, guardando negli occhi l’allievo.
«E che cosa fece Ippaso?»

«Si racconta che Ippaso volesse confermare la teoria del suo maestro. “Tutto è numero” asserivano i pitagorici. Tutto nell’universo si può riportare a un numero. Ma poi scoprirono un’eccezione. Un oggetto che sembrava non corrispondere a nessun numero. Ma Ippaso si intestardì. Voleva trovare quel numero per salvare la teoria del suo maestro. Invece si accorse che effettivamente non esisteva. E lo dimostrò.»
«E che successe poi?» chiese Polemarco impaziente.

«Si dice che alcuni pitagorici avrebbero voluto mantenere segreta quella scoperta. Ammettere che esisteva un oggetto a cui non corrispondeva un numero avrebbe messo in discussione il fondamento stesso della loro visione del mondo. Ma Ippaso non volle cedere! Troppo forte era il suo desiderio di non tradire quanto aveva scoperto.»
Polemarco fissava il suo maestro. Era immerso nel racconto. Anche il resto degli scolari ascoltava avidamente.
«Quindi Ippaso preferì contraddire il suo maestro per mantenersi fedele a quanto aveva scoperto?» osservò il giovane.
Eudosso rimase in silenzio per un istante. Sembrava cercare con cura le parole. «Il suo rispetto per la verità», disse infine, «era più forte del desiderio di compiacere chi lo aveva guidato.»

«Ma qual era quindi l’oggetto che non corrisponde a nessun numero?» chiese Polemarco, passando da una curiosità all’altra.
«Quale pensi che possa essere?»
Polemarco alzò lo sguardo verso l’alto. Poi lo abbassò verso la tavola quadrata. Rimase immobile per un istante. Di colpo i suoi occhi si illuminarono.
«Nooo!» gridò. Tutti gli scolari trattennero il fiato. «È quella! È la diagonale del quadrato!»
Eudosso annuì mentre un sorriso gli si allargava sul volto. «È proprio quella» confermò.

«Ma perché non può essere misurata con la corda che usiamo per misurare il lato?»
«Non sappiamo perché la natura delle cose sia fatta così. Ma sappiamo dimostrare che non può esistere una misura comune tra lato e diagonale di un qualsiasi quadrato.»

Per qualche istante nessuno parlò. Alcuni scolari si guardavano increduli. Altri guardavano la tavola, come se quella figura familiare fosse diventata improvvisamente una meraviglia da ammirare. Ora nascondeva qualcosa che nessuno aveva mai visto. Qualcuno la osservava come se, insistendo abbastanza, l'errore potesse infine rivelarsi.

Poi Eudosso ruppe il silenzio. «Però io ho trovato un metodo, se non per misurarla, almeno per imbrigliarla.» Gli scolari si scambiarono rapide occhiate. L'incredulità sembrò lasciar posto allo stupore. «Un metodo che permette di ragionare su grandezze come questa senza doverle misurare», continuò. «Anche ciò che non può essere espresso con un numero può essere conosciuto. Non sempre la conoscenza richiede una misura esatta. A volte possiamo avvicinarci progressivamente alla verità senza pretendere di afferrarla tutta in una volta.»

«E come funziona il metodo?» chiese Polemarco sempre più curioso.
«Se quel numero non è afferrabile in un solo gesto», disse Eudosso chiudendo di scatto la mano, come se volesse davvero afferrarlo, «io ho pensato di racchiuderlo entro limiti sempre più precisi», proseguì, spingendo lentamente le mani in avanti e facendole convergere, «confrontandolo con grandezze che gli si avvicinano sempre di più e restringendo progressivamente il campo delle possibilità, in un processo che, almeno in teoria, si può ripetere senza fine.»

«E come si fa?»
«Di solito mostro questo metodo solo dopo qualche altra lezione», rispose il maestro.
Polemarco abbassò appena il capo, incapace di nascondere la delusione.
«Ma la curiosità merita qualche eccezione», riprese sorridendo mentre gli occhi del ragazzo si illuminavano. «Quindi vi anticiperò l’idea essenziale.»

«Visto che abbiamo usato questo quadrato», continuò Eudosso avvicinandosi alla tavola, «o meglio, la nostra immagine ideale di questo quadrato», precisò indicandosi la testa, «vi mostrerò il procedimento partendo da qui. Ma questa volta, anziché usare misure sempre più piccole, faremo il contrario: considereremo quadrati sempre più grandi.»
«A che servono quadrati più grandi?»
«Ve lo mostrerò tra un po’. Però dovrete fare uno sforzo di immaginazione, perché costruire tavole così grandi sarebbe piuttosto complicato.»
«Ci proviamo», disse Polemarco voltandosi verso i compagni che annuirono quasi all’unisono.

«Bene. Allora immaginate una corda molto più lunga con i nodi sempre separati dalla stessa distanza.» Gli scolari annuirono. «Adesso immaginate un quadrato con un lato lungo cento nodi, cioè dieci volte quello del quadrato attuale.»
Un vociare si diffuse tra gli scolari.
«Cento nodi!»
«Enorme!»
«Ora, se andiamo a misurare la diagonale di quel quadrato, quanto misurerà secondo voi?», chiese Eudosso gettando uno sguardo su tutti i presenti.
«Poco più di 140 nodi, ma molto meno di 150», rispose Polemarco dopo qualche istante.
«Siete d’accordo?» chiese Eudosso rivolgendosi a tutti gli scolari.
Molti annuirono subito. Pochi altri, più incerti, seguirono il loro esempio subito dopo.

«E questo metodo», aggiunse, «oltre a delimitare i confini della diagonale, ci permette anche di conoscerla con precisione sempre maggiore. Ad esempio», proseguì, «grazie alla geometria, siamo riusciti a restringere ulteriormente i confini, racchiudendo la diagonale del quadrato di lato 100 tra 141 e 142. Cioè, nel nostro caso specifico, sappiamo che essa supera i 141 nodi, ma non raggiunge i 142. Ora, se ripetiamo l’esercizio mentale con un quadrato con un lato di 1000 nodi…»
«Mille nodi?!»
«Assurdo!»

«Dicevo, ripetendo lo stesso ragionamento con un quadrato di lato mille, troviamo che la diagonale supera i 1414 nodi, ma resta inferiore ai 1415. Ma ora voglio farvi una domanda. Pensate che, continuando il procedimento con quadrati sempre più grandi, si arriverebbe a un passo in cui la diagonale misura un numero preciso di nodi?»

«Maestro» esclamò Polemarco dopo un istante. «Avete dato voi stesso la risposta poco fa. Se trovassimo un numero preciso di nodi, avremmo trovato il numero che misura la lunghezza precisa di quella diagonale. Ma voi avete detto che Ippaso ha dimostrato il contrario.»
«Bravo, Polemarco! È proprio così! Proseguendo questo procedimento, non otterremo mai una misura precisa, ma, se potessimo continuare senza fermarci, racchiuderemmo la diagonale tra limiti sempre più stretti, conoscendone la lunghezza con precisione sempre maggiore. Eppure… non riusciremo mai ad afferrarla del tutto.»

Quel ragazzino ha un'intelligenza rara, pensò Eudosso mentre tornava a casa. Merita di essere accompagnato verso la ricerca della verità.
La via che costeggiava le acque del mar Propontide era animata da mercanti, marinai e carretti diretti ai moli. Schiamazzi in lingue diverse arrivavano dal porto insieme al cigolio delle carrucole che sollevavano le merci.

Gli tornò in mente la vitalità di Atene: incomparabilmente più accesa. D’altronde Cizico non poteva competere con quell'immensità. Tuttavia Atene lo aveva respinto. Il pensiero andò subito a Platone e alle lezioni dell'Accademia. La ferita si era rimarginata, ma a volte gli bruciava ancora. Ma in quel momento i colori del tramonto sul mare erano come un balsamo. Per un istante fu pervaso da una sensazione di pace e di armonia con l’universo. Lì, in quel margine del mondo greco, un ragazzino con il chitone impolverato aveva appena intravisto l'incommensurabile.

Un mio articolo su MaddMaths!: Pitagora, il fabbro e la scala stonata

Come nasce la teoria matematica della musica? In che modo l’astrazione dei numeri si scontra con le imperfezioni della realtà fisica e dell'acustica?

Un mio nuovo articolo intitolato:

Pitagora, il fabbro e la scala stonata: tra matematica, acustica e mito 

è uscito oggi su Maddmaths! | Matematica Divulgazione Didattica (il sito di divulgazione matematica promosso dalla SIMAI e dall'IAC-CNR) 

Di che si tratta?

Attorno alla figura di Pitagora si sono stratificate nei secoli leggende affascinanti: dai martelli dell'incudine del fabbro alle presunte esperienze acustiche sul monocordo. Nel pezzo cerco di smontare alcuni anacronismi storici e scientifici, analizzando da vicino la nascita del celebre comma pitagorico: quello scarto acustico microtonale (23 centesimi di tono) che impedisce al ciclo delle 12 quinte di chiudersi perfettamente sulle 7 ottave.

Il testo affronta un interrogativo: la scoperta di questa discrepanza fu un'intuizione empirica o una deduzione puramente teorico-numerica?

Legami con "Il mistero del suono senza numero"

Per chi ha letto il mio libro, ritroverà le atmosfere filosofico-musicali che animano le pagine del romanzo. È un approfondimento pensato sia per gli appassionati di storia della matematica, sia per gli insegnanti in cerca di spunti didattici da portare in classe.

Grazie alla redazione di MaddMaths! per lo spazio e l'accoglienza.

Potete leggere l'articolo completo direttamente su MaddMaths!:

📖 Pitagora, il fabbro e la scala stonata: tra matematica, acustica e mito 

Dialogo sulle narrazioni pitagoriche

Di recente Paolo Alessandrini mi ha coinvolto in una conversazione con l’insegnante di fisica Cristina Sbarra.
La sua domanda riguardava alcuni aspetti relativi alle narrazioni ispirate alla scuola pitagorica e alla figura di Pitagora. Di seguito, riporto la mia risposta.

Premessa su Pitagora

Dal punto di vista strettamente storico, sulla figura di Pitagora abbiamo pochissime certezze. Pitagora non scriveva o, perlomeno, non ci è pervenuta alcuna testimonianza scritta dai pitagorici del VI sec a.C. Le testimonianze più articolate su Pitagora che ci sono pervenute (come quelle di Giamblico, Porfirio o Diogene Laerzio) risalgono a molti secoli dopo la sua morte. A questo proposito, ti segnalo un lavoro fondamentale dello storico della scienza americano Alberto A. Martínez, The Cult of Pythagoras: Math and Myths, in cui viene riassunto con grande rigore ciò che è storicamente documentato e ciò che appartiene al mito. Solo per farti un esempio, ho copiato qui una tabella dal suo libro che mostra l’evoluzione della narrazione intorno al teorema di Pitagora.

La certezza storica riguarda soprattutto l’esistenza della scuola pitagorica, ma si hanno dubbi persino sull’esistenza dell’uomo Pitagora. Anche se a me verrebbe da pensare: è possibile che qualcuno abbia costruito artificialmente questo caposcuola?

Questa premessa potrebbe far pensare che io sostenga l’impossibilità di scrivere storie su Pitagora. Ovviamente non è così. Io stesso ho scritto una narrazione ispirata alla scuola dei pitagorici in cui compare lo stesso Pitagora insieme al suo migliore allievo, Ippaso. Per questo tipo di narrazioni, la tradizione, pur con tutte le sue stratificazioni leggendarie, è una miniera d'oro.

Quando ho scritto Il mistero del suono senza numero, mi sono basato proprio sui racconti della tradizione, cercando però di rielaborarli in modo da renderli coerenti con la realtà storica, scientifica e acustica.

Un esempio è la celebre leggenda di Pitagora che scopre i rapporti armonici mentre camminava vicino alla fucina di un fabbro. È probabile che la scoperta sia avvenuta davvero in quel modo? Credo di no. Ma ciò implica che la leggenda non possa essere usata in una narrazione che miri alla verosimiglianza? Non necessariamente. Il compito del narratore che miri alla verosimiglianza dovrebbe essere quello di filtrare la tradizione attraverso coerenza storico-scientifica.

Nella scena della fucina, la tradizione tramanda che l'altezza dei suoni dipendesse dal peso dei martelli. Tuttavia, se analizziamo l’affermazione da un punto di vista acustico, ci rendiamo conto che il suono emesso non può dipendere dalle dimensioni del martello: le vibrazioni della testa del martello vengono smorzate quasi istantaneamente dal manico e dalla mano. Il suono che percepiamo è, invece, prodotto dalla vibrazione dell'incudine! E la dimensione del martello non può influire sulla frequenza (l'altezza della nota). Semmai influisce sull'ampiezza dell'onda (cioè sul volume). Altrimenti sarebbe come come sostenere che l'altezza delle note di un pianoforte dipenda dalla stazza dei martelletti anziché dalla lunghezza e tensione delle corde.

Così nella mia narrazione ho scelto di rispettare la storia della tradizione ma correggendone la fisica: ho inserito quindi una scena in cui Pitagora conduce esperimenti con i suoi discepoli, in cui dimostra che la consonanza o dissonanza tra i suoni dipende dalla dimensione delle incudini e smentisce l'ipotesi (errata) dello scolaro secondo cui l'altezza dipenderebbe dal martello.

In sintesi, credo che il presupposto per una buona narrazione su Pitagora sia: prendere spunto dalla tradizione, ma filtrarla attraverso la verosimiglianza storico-scientifica. Inoltre, potrebbe essere molto utile aggiungere in prefazione o postfazione una nota che chiarisca al lettore il confine tra storia, leggenda e finzione narrativa.

Dopo l'uscita del libro nel 2017 ho continuato la ricerca e svolto diversi incontri nelle scuole in cui coinvolgo i ragazzi in esperimenti matematico-musicali attraverso la misura delle corde. Certamente, con le conoscenze acquisite in seguito, oggi modificherei alcuni passaggi del libro, ma nella narrativa occorre accettare un compromesso: la ricerca della coerenza storica assoluta rischierebbe di paralizzare la scrittura.

Se ti interessa approfondire, ti lascio il link a un mio articolo pubblicato sulla rivista Archimede, I PITAGORICI E IL MISTERO DEL SUONO SENZA NUMERO Pitagora e la musica dell’universo, dove sviluppo alcuni delle considerazioni precedenti, riporto indicazioni bibliografiche per approfondire ulteriormente e, alla fine descrivo pure un po’ dettagliatamente il tipo di lezione che posso organizzare nelle scuole.

Ho trattato argomenti simili anche sul mio blog Pitagora e dintorni ma in modo un po’ più giocoso e meno rigoroso. In particolare, questa è la lista di articoli in cui compare, anche marginalmente, Pitagora

Domanda sul comma pitagorico e su come narrare la sua scoperta:

La tua intuizione narrativa è molto interessante. Ecco alcune mie considerazioni basate sulle mie limitate competenze storico-matematico-musicali.

1. L'orecchio umano e la discrepanza - Il comma pitagorico equivale a circa un quarto di semitono (23,46 cent). Visto che un orecchio umano allenato dovrebbe riuscire a percepire variazioni di circa 10 cent, due note a questa distanza suonate contemporaneamente vengono sicuramente percepite come una stonatura. Sicuramente generano i famigerati battimenti (da trombonisti lo sappiamo bene!😊). La percezione è invece più difficile se i suoni sono ascoltati in successione temporale o peggio ancora, se si confrontano a distanza due intere scale (pitagorica e temperata). Per percepire una differenza in quei casi serve davvero un orecchio molto sensibile e allenato.

2. Il limite del monocordo e la genesi della scoperta - Sul monocordo, riportare 12 quinte pure (3/2) per confrontarle con 7 ottave (2/1) mediante la sola divisione della corda presenta un grande limite fisico: l'errore di misurazione manuale accumulato in 12 passaggi finirebbe per coprire il comma stesso.
Per questo sono abbastanza convinto che la scoperta sia nata prima di tutto da considerazioni teorico-numeriche:

• L'ipotesi: I pitagorici cercavano la "chiusura del cerchio", sperando che un numero n di quinte pure coincidesse con un numero m di ottave.
• La prova aritmetica: Come hai giustamente notato, tali interi n e m non esistono. Se si procede salendo di 12 quinte e scendendo di 7 ottave, ci si scontra con il fatto che 3^12 ≠ 2^19. Se i pitagorici avessero conosciuto il teorema fondamentale dell'aritmetica, non avrebbero nemmeno dovuto fare i calcoli! 🙂
• La verifica acustica: Il tentativo di riportare questi numeri sul monocordo serve da conferma, ma sconta sempre l'imprecisione della misura pratica.

3. Il difetto meccanico e il nodo della voce umana - L'idea che Pitagora ipotizzi inizialmente un difetto dello strumento (il ponte mobile posizionato male, difetti della corda, ecc.) e ricostruisca il monocordo più volte è una buona intuizione narrativa: rappresenta perfettamente la resistenza dello scienziato di fronte a un fatto controintutivo.

Sulla voce umana, invece, nutro qualche dubbio che possa servire da controprova di precisione:

• Una voce esercitata tende naturalmente verso gli intervalli puri e corregge inconsciamente i micro-difetti di intonazione.
• Se anche si facesse cantare al cantore il giro delle 12 quinte (riabbassando di volta in volta la nota nell'ottava comoda per non uscire dal registro vocale), l'instabilità fisiologica della voce (pressione dell'aria, vibrato, affaticamento) accumulerebbe un errore nettamente superiore ai 23 centesimi del comma, mascherando il dato matematico.

In conclusione: Credo sia storicamente e scientificamente più plausibile che i Pitagorici si siano accorti della "non chiusura" della scala attraverso l'aritmetica, per poi scontrarsi con i limiti della materia nel cercare di riprodurlo sul monocordo.

Possibili alternative per proseguire la narrazione: dopo la scoperta attraverso considerazioni teorico-numeriche, potresti inserire una diatriba tra chi è sicuro della discrepanza, vista la supposta superiorità dei numeri sulla realtà stessa, e chi, invece, ipotizza un errore, magari nei calcoli numerici. Quindi organizzano comunque una prova per verificare, dove le due fazioni si scontrano e fanno il tifo. Dopo le prime difficoltà di misurazione e di intonazione, riprovano, affinando il più possibile gli strumenti di misura e andando a ricercare uno di quei rari cantori dotati della facoltà dell’orecchio assoluto. A quel punto forse si potrebbe ipotizzare la verosimiglianza degli eventi. E avresti pure inserito una certa tensione narrativa aggiuntiva.
La conclusione potrebbe essere:

• o che si rendono conto delle difficoltà nel creare un esperimento affidabile e continuano ad affidarsi alla sola teoria;
• oppure confermano la discrepanza attraverso qualcosa di simile:

• Non usano la voce per misurare il comma, ma per verificare l'effetto acustico della stonatura. Cioè:
• Pitagora accorda due corde sul monocordo: una di riferimento e l'altra ottenuta dalla prima dopo le 12 quinte verso l’alto e le 7 ottave verso il basso (3^12/2^19).
  (Sale di una quinta, con una corda di lunghezza 2/3 e, se la nota supera l'estensione dell'ottava di partenza, scende di un'ottava con una corda di lunghezza doppia)
• Poi chiede al cantore dotato di orecchio assoluto di intonare un unisono con la prima corda e poi di cantare insieme alla seconda corda.
• Il cantore proverà una sensazione fisica di disagio. Oppure, se canterà sull’intonazione delle prima corda mentre Pitagora pizzica la seconda, percepirà i battimenti (il tipico sfarfallio acustico della stonatura) e cercherà istintivamente di sforzare la laringe per adattare la nota e raggiungere la consonanza.

Borges e la topologia della Biblioteca di Babele: un 3-toro o un labirinto infinito?

Articolo ispirato dalla puntata L’arte della matematica di Radio3 Scienza.

Nel racconto La biblioteca di Babele, Jorge Luis Borges descrive una biblioteca-universo fatta di gallerie esagonali, tutte uguali, collegate da corridoi, scale e pozzi centrali.

Da qualunque esagono si intravedono piani superiori e inferiori, destri e sinistri, anteriori e posteriori: senza fine. Ogni settore ripete esattamente lo stesso schema.

La si potrebbe immaginare come una biblioteca infinita. Vai avanti o indietro e trovi altri esagoni; vai a destra o a sinistra e ne trovi altri ancora; sali e scendi e il paesaggio continua identico. Tuttavia, Borges aggiunge un dettaglio: ipotizza che la biblioteca sia non soltanto illimitata, ma anche periodica. In altre parole, un viaggiatore eterno, proseguendo abbastanza a lungo, ritroverebbe gli stessi libri nello stesso ordine.

Ma quindi Borges sta parlando la lingua della matematica? E in particolare quella della geometria e della topologia?

 

Struttura geometrico-topologica

In matematica, una struttura del genere ricorda un 3‑toro. Detto in termini più semplici, il toro è una ciambella. Ma quella di Borges potrebbe essere una ciambella con una dimensione in più rispetto alle ciambelle che conosciamo. È una ciambella in uno spazio a quattro dimensioni. E ha una precisa equazione matematica:

In un 3-toro, se cammini sempre nella stessa direzione, torni al punto di partenza: è quello che succede su una circonferenza o a una formica che cammini sul nastro di Möbius.

 

 Il 3‑toro aggiunge però una terza direzione rispetto al nastro di Möbius: avanti/indietro, destra/sinistra, alto/basso diventano tutte direzioni che, in un certo senso, si richiudono. Una lettura matematica del racconto sostiene che la frase finale di Borges implicherebbe esattamente questa struttura.
Ed è quanto afferma Marcus du Sautoy nella puntata radiofonica dedicata al rapporto tra arte e matematica: la Biblioteca di Babele potrebbe essere rappresentata come una ciambella in uno spazio a quattro dimensioni.

Non è stupefacente che Borges, con la sua immaginazione, costruisca narrativamente un mondo che poi viene riconosciuto dalla topologia? Borges parte da un bibliotecario, da scale e da esagoni ed evoca una geometria non euclidea.

Tuttavia, l’intuizione merita una piccola precisazione matematica.

La supposta forma toroidale della biblioteca implicherebbe che, muovendosi abbastanza a lungo in una direzione, si dovrebbe tornare esattamente al punto di partenza dopo un tempo finito.

Borges, tuttavia, non lo afferma mai. Nel racconto la biblioteca viene descritta come “interminabile” e, solo nel finale, il narratore avanza l’ipotesi che sia “illimitata e periodica”: un viaggiatore eterno, attraversandola per secoli, finirebbe prima o poi per ritrovare gli stessi volumi nello stesso disordine. 

Quindi si tratta di un 3-toro o no? Voi che ne pensate?

 

La libreria contiene infiniti libri?

La biblioteca di Borges sembrerebbe quindi infinita, ma i libri possibili non lo sono nel senso stretto: il narratore precisa che i simboli ortografici sono venticinque e che i libri sono costruiti combinando un numero finito di segni in un formato fisso. Dunque il numero totale dei libri possibili è enorme ma comunque finito. Non esistono infiniti libri diversi.

Eppure, questo non impedisce alla biblioteca di essere infinita. Se lo spazio degli esagoni si estende senza limite, allora gli stessi libri devono necessariamente comparire più volte: le copie possono essere infinite, anche se i contenuti distinti non lo sono. Non l’infinito dei libri, ma l’infinita ripetizione delle combinazioni possibili. Questo significa che la biblioteca nasce dall’incrocio di due idee: uno spazio sterminato e un repertorio finito di combinazioni.

La libreria come sfera con centro ovunque e circonferenza irraggiungibile

A rendere tutto ancora più borgesianamente interessante c’è la famosa immagine della biblioteca come sfera il cui centro è ovunque e la cui circonferenza è irraggiungibile. È una frase che sposta il problema dal “quanto è grande?” al “che cosa significa stare dentro un universo senza un vero bordo accessibile?”. In una biblioteca così, nessun punto è privilegiato e ogni esagono può sembrare centrale.

Conclusione

Collegare Borges alla matematica, come accade nella puntata L’arte della matematica di Radio3 Scienza, ispirata dal lavoro di Marcus du Sautoy, significa anche esplorare come alcune idee letterarie sanno evocare strutture matematiche profonde.

La letteratura evoca e la matematica aiuta a dare un nome a quanto intuito. Tra le due un racconto che non si limita a narrare il mondo, ma che inventa una forma per immaginarlo.

La musica occidentale: un classico senza apporto dei classici - un mio articolo per La scienza espressa

Oggi su La scienza espressa – Scienza Express edizioni compare un mio articolo/recensione su musica occidentale come classico senza apporto dei classici e sul saggio di Baricco come esempio di maieutica socratica.

 Perché la musica colta occidentale è diversa da tutte le altre arti?

Mentre pittura, scultura e letteratura hanno potuto costruirsi sulle rovine visibili del mondo greco-romano, la musica si è trovata davanti a un vuoto: nessun repertorio antico da suonare, nessuna opera fondativa da cui ripartire.

In questo articolo rifletto su come la tradizione musicale europea abbia dovuto “inventare” la propria classicità e su come la lettura della Breve storia eretica della musica classica di Alessandro Baricco mi abbia aiutato a rendere esplicita una consapevolezza che possedevo solo in forma implicita.

👉 Leggi qui l’articolo completo:
La musica occidentale senza l’apporto classico – La scienza espressa – Scienza Express edizioni