Dialogo sulle narrazioni pitagoriche

Di recente Paolo Alessandrini mi ha coinvolto in una conversazione con l’insegnante di fisica Cristina Sbarra.
La sua domanda riguardava alcuni aspetti relativi alle narrazioni ispirate alla scuola pitagorica e alla figura di Pitagora. Di seguito, riporto la mia risposta.

Premessa su Pitagora

Dal punto di vista strettamente storico, sulla figura di Pitagora abbiamo pochissime certezze. Pitagora non scriveva o, perlomeno, non ci è pervenuta alcuna testimonianza scritta dai pitagorici del VI sec a.C. Le testimonianze più articolate su Pitagora che ci sono pervenute (come quelle di Giamblico, Porfirio o Diogene Laerzio) risalgono a molti secoli dopo la sua morte. A questo proposito, ti segnalo un lavoro fondamentale dello storico della scienza americano Alberto A. Martínez, The Cult of Pythagoras: Math and Myths, in cui viene riassunto con grande rigore ciò che è storicamente documentato e ciò che appartiene al mito. Solo per farti un esempio, ho copiato qui una tabella dal suo libro che mostra l’evoluzione della narrazione intorno al teorema di Pitagora.

La certezza storica riguarda soprattutto l’esistenza della scuola pitagorica, ma si hanno dubbi persino sull’esistenza dell’uomo Pitagora. Anche se a me verrebbe da pensare: è possibile che qualcuno abbia costruito artificialmente questo caposcuola?

Questa premessa potrebbe far pensare che io sostenga l’impossibilità di scrivere storie su Pitagora. Ovviamente non è così. Io stesso ho scritto una narrazione ispirata alla scuola dei pitagorici in cui compare lo stesso Pitagora insieme al suo migliore allievo, Ippaso. Per questo tipo di narrazioni, la tradizione, pur con tutte le sue stratificazioni leggendarie, è una miniera d'oro.

Quando ho scritto Il mistero del suono senza numero, mi sono basato proprio sui racconti della tradizione, cercando però di rielaborarli in modo da renderli coerenti con la realtà storica, scientifica e acustica.

Un esempio è la celebre leggenda di Pitagora che scopre i rapporti armonici mentre camminava vicino alla fucina di un fabbro. È probabile che la scoperta sia avvenuta davvero in quel modo? Credo di no. Ma ciò implica che la leggenda non possa essere usata in una narrazione che miri alla verosimiglianza? Non necessariamente. Il compito del narratore che miri alla verosimiglianza dovrebbe essere quello di filtrare la tradizione attraverso coerenza storico-scientifica.

Nella scena della fucina, la tradizione tramanda che l'altezza dei suoni dipendesse dal peso dei martelli. Tuttavia, se analizziamo l’affermazione da un punto di vista acustico, ci rendiamo conto che il suono emesso non può dipendere dalle dimensioni del martello: le vibrazioni della testa del martello vengono smorzate quasi istantaneamente dal manico e dalla mano. Il suono che percepiamo è, invece, prodotto dalla vibrazione dell'incudine! E la dimensione del martello non può influire sulla frequenza (l'altezza della nota). Semmai influisce sull'ampiezza dell'onda (cioè sul volume). Altrimenti sarebbe come come sostenere che l'altezza delle note di un pianoforte dipenda dalla stazza dei martelletti anziché dalla lunghezza e tensione delle corde.

Così nella mia narrazione ho scelto di rispettare la storia della tradizione ma correggendone la fisica: ho inserito quindi una scena in cui Pitagora conduce esperimenti con i suoi discepoli, in cui dimostra che la consonanza o dissonanza tra i suoni dipende dalla dimensione delle incudini e smentisce l'ipotesi (errata) dello scolaro secondo cui l'altezza dipenderebbe dal martello.

In sintesi, credo che il presupposto per una buona narrazione su Pitagora sia: prendere spunto dalla tradizione, ma filtrarla attraverso la verosimiglianza storico-scientifica. Inoltre, potrebbe essere molto utile aggiungere in prefazione o postfazione una nota che chiarisca al lettore il confine tra storia, leggenda e finzione narrativa.

Dopo l'uscita del libro nel 2017 ho continuato la ricerca e svolto diversi incontri nelle scuole in cui coinvolgo i ragazzi in esperimenti matematico-musicali attraverso la misura delle corde. Certamente, con le conoscenze acquisite in seguito, oggi modificherei alcuni passaggi del libro, ma nella narrativa occorre accettare un compromesso: la ricerca della coerenza storica assoluta rischierebbe di paralizzare la scrittura.

Se ti interessa approfondire, ti lascio il link a un mio articolo pubblicato sulla rivista Archimede, I PITAGORICI E IL MISTERO DEL SUONO SENZA NUMERO Pitagora e la musica dell’universo, dove sviluppo alcuni delle considerazioni precedenti, riporto indicazioni bibliografiche per approfondire ulteriormente e, alla fine descrivo pure un po’ dettagliatamente il tipo di lezione che posso organizzare nelle scuole.

Ho trattato argomenti simili anche sul mio blog Pitagora e dintorni ma in modo un po’ più giocoso e meno rigoroso. In particolare, questa è la lista di articoli in cui compare, anche marginalmente, Pitagora

Domanda sul comma pitagorico e su come narrare la sua scoperta:

La tua intuizione narrativa è molto interessante. Ecco alcune mie considerazioni basate sulle mie limitate competenze storico-matematico-musicali.

1. L'orecchio umano e la discrepanza - Il comma pitagorico equivale a circa un quarto di semitono (23,46 cent). Visto che un orecchio umano allenato dovrebbe riuscire a percepire variazioni di circa 10 cent, due note a questa distanza suonate contemporaneamente vengono sicuramente percepite come una stonatura. Sicuramente generano i famigerati battimenti (da trombonisti lo sappiamo bene!😊). La percezione è invece più difficile se i suoni sono ascoltati in successione temporale o peggio ancora, se si confrontano a distanza due intere scale (pitagorica e temperata). Per percepire una differenza in quei casi serve davvero un orecchio molto sensibile e allenato.

2. Il limite del monocordo e la genesi della scoperta - Sul monocordo, riportare 12 quinte pure (3/2) per confrontarle con 7 ottave (2/1) mediante la sola divisione della corda presenta un grande limite fisico: l'errore di misurazione manuale accumulato in 12 passaggi finirebbe per coprire il comma stesso.
Per questo sono abbastanza convinto che la scoperta sia nata prima di tutto da considerazioni teorico-numeriche:

• L'ipotesi: I pitagorici cercavano la "chiusura del cerchio", sperando che un numero n di quinte pure coincidesse con un numero m di ottave.
• La prova aritmetica: Come hai giustamente notato, tali interi n e m non esistono. Se si procede salendo di 12 quinte e scendendo di 7 ottave, ci si scontra con il fatto che 3^12 ≠ 2^19. Se i pitagorici avessero conosciuto il teorema fondamentale dell'aritmetica, non avrebbero nemmeno dovuto fare i calcoli! 🙂
• La verifica acustica: Il tentativo di riportare questi numeri sul monocordo serve da conferma, ma sconta sempre l'imprecisione della misura pratica.

3. Il difetto meccanico e il nodo della voce umana - L'idea che Pitagora ipotizzi inizialmente un difetto dello strumento (il ponte mobile posizionato male, difetti della corda, ecc.) e ricostruisca il monocordo più volte è una buona intuizione narrativa: rappresenta perfettamente la resistenza dello scienziato di fronte a un fatto controintutivo.

Sulla voce umana, invece, nutro qualche dubbio che possa servire da controprova di precisione:

• Una voce esercitata tende naturalmente verso gli intervalli puri e corregge inconsciamente i micro-difetti di intonazione.
• Se anche si facesse cantare al cantore il giro delle 12 quinte (riabbassando di volta in volta la nota nell'ottava comoda per non uscire dal registro vocale), l'instabilità fisiologica della voce (pressione dell'aria, vibrato, affaticamento) accumulerebbe un errore nettamente superiore ai 23 centesimi del comma, mascherando il dato matematico.

In conclusione: Credo sia storicamente e scientificamente più plausibile che i Pitagorici si siano accorti della "non chiusura" della scala attraverso l'aritmetica, per poi scontrarsi con i limiti della materia nel cercare di riprodurlo sul monocordo.

Possibili alternative per proseguire la narrazione: dopo la scoperta attraverso considerazioni teorico-numeriche, potresti inserire una diatriba tra chi è sicuro della discrepanza, vista la supposta superiorità dei numeri sulla realtà stessa, e chi, invece, ipotizza un errore, magari nei calcoli numerici. Quindi organizzano comunque una prova per verificare, dove le due fazioni si scontrano e fanno il tifo. Dopo le prime difficoltà di misurazione e di intonazione, riprovano, affinando il più possibile gli strumenti di misura e andando a ricercare uno di quei rari cantori dotati della facoltà dell’orecchio assoluto. A quel punto forse si potrebbe ipotizzare la verosimiglianza degli eventi. E avresti pure inserito una certa tensione narrativa aggiuntiva.
La conclusione potrebbe essere:

• o che si rendono conto delle difficoltà nel creare un esperimento affidabile e continuano ad affidarsi alla sola teoria;
• oppure confermano la discrepanza attraverso qualcosa di simile:

• Non usano la voce per misurare il comma, ma per verificare l'effetto acustico della stonatura. Cioè:
• Pitagora accorda due corde sul monocordo: una di riferimento e l'altra ottenuta dalla prima dopo le 12 quinte verso l’alto e le 7 ottave verso il basso (3^12/2^19).
  (Sale di una quinta, con una corda di lunghezza 2/3 e, se la nota supera l'estensione dell'ottava di partenza, scende di un'ottava con una corda di lunghezza doppia)
• Poi chiede al cantore dotato di orecchio assoluto di intonare un unisono con la prima corda e poi di cantare insieme alla seconda corda.
• Il cantore proverà una sensazione fisica di disagio. Oppure, se canterà sull’intonazione delle prima corda mentre Pitagora pizzica la seconda, percepirà i battimenti (il tipico sfarfallio acustico della stonatura) e cercherà istintivamente di sforzare la laringe per adattare la nota e raggiungere la consonanza.

Borges e la topologia della Biblioteca di Babele: un 3-toro o un labirinto infinito?

Articolo ispirato dalla puntata L’arte della matematica di Radio3 Scienza.

Nel racconto La biblioteca di Babele, Jorge Luis Borges descrive una biblioteca-universo fatta di gallerie esagonali, tutte uguali, collegate da corridoi, scale e pozzi centrali.

Da qualunque esagono si intravedono piani superiori e inferiori, destri e sinistri, anteriori e posteriori: senza fine. Ogni settore ripete esattamente lo stesso schema.

La si potrebbe immaginare come una biblioteca infinita. Vai avanti o indietro e trovi altri esagoni; vai a destra o a sinistra e ne trovi altri ancora; sali e scendi e il paesaggio continua identico. Tuttavia, Borges aggiunge un dettaglio: ipotizza che la biblioteca sia non soltanto illimitata, ma anche periodica. In altre parole, un viaggiatore eterno, proseguendo abbastanza a lungo, ritroverebbe gli stessi libri nello stesso ordine.

Ma quindi Borges sta parlando la lingua della matematica? E in particolare quella della geometria e della topologia?

 

Struttura geometrico-topologica

In matematica, una struttura del genere ricorda un 3‑toro. Detto in termini più semplici, il toro è una ciambella. Ma quella di Borges potrebbe essere una ciambella con una dimensione in più rispetto alle ciambelle che conosciamo. È una ciambella in uno spazio a quattro dimensioni. E ha una precisa equazione matematica:

In un 3-toro, se cammini sempre nella stessa direzione, torni al punto di partenza: è quello che succede su una circonferenza o a una formica che cammini sul nastro di Möbius.

 

 Il 3‑toro aggiunge però una terza direzione rispetto al nastro di Möbius: avanti/indietro, destra/sinistra, alto/basso diventano tutte direzioni che, in un certo senso, si richiudono. Una lettura matematica del racconto sostiene che la frase finale di Borges implicherebbe esattamente questa struttura.
Ed è quanto afferma Marcus du Sautoy nella puntata radiofonica dedicata al rapporto tra arte e matematica: la Biblioteca di Babele potrebbe essere rappresentata come una ciambella in uno spazio a quattro dimensioni.

Non è stupefacente che Borges, con la sua immaginazione, costruisca narrativamente un mondo che poi viene riconosciuto dalla topologia? Borges parte da un bibliotecario, da scale e da esagoni ed evoca una geometria non euclidea.

Tuttavia, l’intuizione merita una piccola precisazione matematica.

La supposta forma toroidale della biblioteca implicherebbe che, muovendosi abbastanza a lungo in una direzione, si dovrebbe tornare esattamente al punto di partenza dopo un tempo finito.

Borges, tuttavia, non lo afferma mai. Nel racconto la biblioteca viene descritta come “interminabile” e, solo nel finale, il narratore avanza l’ipotesi che sia “illimitata e periodica”: un viaggiatore eterno, attraversandola per secoli, finirebbe prima o poi per ritrovare gli stessi volumi nello stesso disordine. 

Quindi si tratta di un 3-toro o no? Voi che ne pensate?

 

La libreria contiene infiniti libri?

La biblioteca di Borges sembrerebbe quindi infinita, ma i libri possibili non lo sono nel senso stretto: il narratore precisa che i simboli ortografici sono venticinque e che i libri sono costruiti combinando un numero finito di segni in un formato fisso. Dunque il numero totale dei libri possibili è enorme ma comunque finito. Non esistono infiniti libri diversi.

Eppure, questo non impedisce alla biblioteca di essere infinita. Se lo spazio degli esagoni si estende senza limite, allora gli stessi libri devono necessariamente comparire più volte: le copie possono essere infinite, anche se i contenuti distinti non lo sono. Non l’infinito dei libri, ma l’infinita ripetizione delle combinazioni possibili. Questo significa che la biblioteca nasce dall’incrocio di due idee: uno spazio sterminato e un repertorio finito di combinazioni.

La libreria come sfera con centro ovunque e circonferenza irraggiungibile

A rendere tutto ancora più borgesianamente interessante c’è la famosa immagine della biblioteca come sfera il cui centro è ovunque e la cui circonferenza è irraggiungibile. È una frase che sposta il problema dal “quanto è grande?” al “che cosa significa stare dentro un universo senza un vero bordo accessibile?”. In una biblioteca così, nessun punto è privilegiato e ogni esagono può sembrare centrale.

Conclusione

Collegare Borges alla matematica, come accade nella puntata L’arte della matematica di Radio3 Scienza, ispirata dal lavoro di Marcus du Sautoy, significa anche esplorare come alcune idee letterarie sanno evocare strutture matematiche profonde.

La letteratura evoca e la matematica aiuta a dare un nome a quanto intuito. Tra le due un racconto che non si limita a narrare il mondo, ma che inventa una forma per immaginarlo.

La musica occidentale: un classico senza apporto dei classici - un mio articolo per La scienza espressa

Oggi su La scienza espressa – Scienza Express edizioni compare un mio articolo/recensione su musica occidentale come classico senza apporto dei classici e sul saggio di Baricco come esempio di maieutica socratica.

 Perché la musica colta occidentale è diversa da tutte le altre arti?

Mentre pittura, scultura e letteratura hanno potuto costruirsi sulle rovine visibili del mondo greco-romano, la musica si è trovata davanti a un vuoto: nessun repertorio antico da suonare, nessuna opera fondativa da cui ripartire.

In questo articolo rifletto su come la tradizione musicale europea abbia dovuto “inventare” la propria classicità e su come la lettura della Breve storia eretica della musica classica di Alessandro Baricco mi abbia aiutato a rendere esplicita una consapevolezza che possedevo solo in forma implicita.

👉 Leggi qui l’articolo completo:
La musica occidentale senza l’apporto classico – La scienza espressa – Scienza Express edizioni

Il linguaggio filosofico tra profondità e incomprensibilità

Le parole di Maurizio Ferraris, ordinario di filosofia teoretica all’Università di Torino, fanno riflettere sul malinteso ruolo della filosofia e sul rapporto, spesso problematico, tra profondità e oscurità del linguaggio.
In questo intervento Ferraris critica una certa tradizione novecentesca che ha trasformato la filosofia in commento di altri autori, appesantendola con terminologie “sacre” e termini greco-tedeschi usati più per stupire che per chiarire. Ferraris auspica un ritorno a una filosofia comprensibile e accessibile, senza rinunciare al rigore e alla complessità ma evitando l’incomprensibilità ammantata di pseudo profondità.

La chiarezza semplifica il pensiero o, al contrario, ne è la sua forma più esigente?

“La filosofia è stata molto oscura soprattutto nel novecento, perché si è spesso ridotta a glossa di altri autori.
Così si è introdotto un livello ulteriore di oscurità, perché per capire lo scritto di tale su tal altro devi già conoscere tal altro. Se non lo conosci già, lo scritto ti risulta oscuro.
Inoltre, spesso tale scrive sotto la soggezione della lingua di tal altro per cui sente la necessità di citare termini tedeschi del tutto inutili ma convocati come parole sacre all’interno del testo.
Si faceva prima con il tedesco, si fa adesso con l’inglese.
Ma è esattamente la stessa cosa: si citano le parole magiche per impressionare i lettori, così come faceva azzeccagarbugli per impressionare Renzo.
Tra l’altro, chi introduce questi termini tedeschi o greci ne è spesso già soggiogato. Cioè crede che queste parole abbiano un valore magico per la comprensione. Credono che portino un plusvalore all’interno del testo ma, in realtà, lo svalorizzano rendendolo incomprensibile.
Allo stesso tempo ci sono molte persone che amano leggere i testi oscuri, perché hanno l’impressione di avere a che fare con qualcosa di profondo. Credono di entrare in una profondità che loro stessi non comprendono, ma che avvolge tutto in un’aura magica.
Da queste considerazioni si evince che si può anche parlare di filosofia in modo chiarissimo, senza aggiungere glosse e senza ricorrere a parole magiche.
Io e altri facciamo così e ci troviamo benissimo.”

La lingua batte | Le parole della filosofia | Rai Radio 3 | RaiPlay Sound

Chimere, trapianti e destini

Curarsi non dovrebbe dipendere dal conto in banca.
Un trapianto di midollo costa più di 200.000 euro nel primo anno. Per molti, è semplicemente inaccessibile. Grazie alla sanità pubblica, io l’ho ricevuto gratuitamente e senza contenziosi contro le assicurazioni.

Questa esperienza mi ha insegnato che la sanità pubblica resta un patrimonio collettivo enorme. Difenderla significa decidere che il diritto alla cura non debba dipendere dal reddito ma restare tale per tutti.

Ne parlo in questo articolo pubblicato ieri su La Scienza Espressa:

Chimere, trapianti e destini – La scienza espressa – Scienza Express edizioni