Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − terza parte − Bertrand Russell: spazio e tempo sono infinitamente divisibili?

Segue da Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − seconda parte − I contributi di Aristotele al paradosso della dicotomia

Come già menzionato, il libro I paradossi di Zenone di Vincenzo Fano è stato fondamentale nel percorso di ricerca per il mio terzo libro, Il mistero della discesa infinita. Oltre ai già citati Giovanni Cerri e Gustavo E. Romero, l'opera di Fano è stata una risorsa inestimabile svolgendo un ruolo chiave nell'approfondimento del pensiero di Zenone in relazione al moderno pensiero scientifico, matematico e filosofico. 

Qui presenterò una sintesi delle premesse di Fano per affrontare le interpretazioni di Bertrand Russell del paradosso della dicotomia (che si basano sui risultati dei matematici Cantor, Dedekind, Weierstrass e Peano).

Premesse alla soluzione di Russell

Prima di tutto bisogna distinguere tra infinita divisione e infinita divisibilità. Abbiamo visto che Aristotele distingue i due concetti attraverso la differenza tra in potenza e in atto. Mentre noi dobbiamo ragionare in modo diverso, date le difficoltà nel tentare di definire il concetto di "in potenza" in modo rigoroso secondo il nostro moderno pensiero razionale.

Infinita divisibilità¹

Da Cantor in poi si interpreta l’infinita divisibilità di un segmento di spazio come l’affermazione che esso è costituito da un insieme infinito e non numerabile di punti. Ma questa interpretazione comporta una rivoluzione completa rispetto alla concezione aristotelica e non solo, secondo la quale l’infinito può esistere solo in potenza, poiché qui si parla di infinito in atto.

Invece, se volessimo restare nello spirito dell'antico dibattito, dovremmo provare a definire con rigore la nozione aristotelica di infinita divisibilità senza avvalerci del moderno concetto di punto matematico. Compito assai arduo che non perseguiremo.

Proseguendo, invece, sulla strada del metodo moderno, va precisato che la locuzione “infinitamente divisibile” che dobbiamo studiare riguarda la fisica e non la matematica, perché nell’argomento della dicotomia è un tratto di spazio fisico a dover essere infinitamente divisibile.
Inoltre, non ci stiamo chiedendo solo se lo spazio sia o meno infinitamente divisibile, ma anche quale sia il senso di questa espressione. Come si può procedere all’infinito nella divisione? Sebbene i fisici di oggi prescindano dalla percezione, sarebbe ragionevole supporre che quando introduciamo dei concetti della fisica ci attenessimo almeno a un principio di percepibilità naturalisticamente inteso. Ovvero nelle nostre teorie fisiche possiamo ammettere solo quelle entità teoriche (non osservabili) per le quali siamo in grado di spiegare perché non le percepiamo o perché le percepiamo con una struttura diversa da come la teoria le delinea.

Possiamo allora procedere nel modo seguente: diciamo che un tratto di spazio è infinitamente divisibile se, presa una parte di esso piccola quanto si vuole, essa è ancora divisibile.

L’espressione “piccolo quanto si vuole” ci porta nell’ambito dell’inosservabile. D’altra parte si potrebbe concepire una tecnologia sempre più avanzata che, in linea di principio, ci porti a scendere sempre di più nel più piccolo.

Dobbiamo adesso definire il concetto di “divisibile “.
Se consideriamo una striscia bianca senza divisioni percettive,

potremmo usare un metodo simile a quello di Dedekind, ma si ha la sensazione che i metodi del taglio presuppongano la divisibilità della striscia, piuttosto che definirla.

Dei diversi tentativi di rendere rigoroso il concetto aristotelico di infinita divisibilità, Fano discute solo quello del matematico Luitzen Brouwer, fondatore della "scuola intuizionistica". 

Brouwer sarebbe stato il primo a mostrare come incorporare nella matematica la questione già sottolineata da Aristotele che un insieme di elementi discreti non può rappresentare il continuo geometrico o intuitivo. Fano dedica alcune pagine per sintetizzare la complessa tecnica sviluppata da Brouwer (1930), e ripresa da Kreisel (1968) e Troelstra (1983).

L'autore analizza quindi uno dei dilemmi che sono alla base di almeno due dei paradossi di Zenone. Se lo spazio fisico sia o no un insieme denso di punti. Ma questa analisi la lasceremo per la prossima puntata.

¹ Desidero condividere una breve osservazione che va al di là del contenuto del libro di Fano.

Ho notato una chiara connessione tra la seconda antinomia kantiana e il concetto di infinita divisibilità. Sorprendentemente, non ho ancora trovato alcun articolo che esplori questa correlazione. Se qualcuno ne fosse a conoscenza, gli sarei grato se me lo segnalasse.

Carnevale della Matematica #172: tema libero

L'edizione di ottobre del Carnevale della Matematica, la numero 172, è ospitata da Notiziole di .mau.

e il tema è libero.

Per quanto riguarda i miei contributi, ...

♦ Dioniso, in Maieutica teorema di Pitagora e duplicazione del quadrato nel Menone di Platone, racconta come molti testi riportano che la prima dimostrazione a noi pervenuta del teorema di Pitagora si trovi negli Elementi di Euclide. Tuttavia, nessuno dei testi che aveva letto citava il Menone di Platone: leggendo The Mathematics of Plato’s Academy – A New Reconstruction di David Fowler, ha scoperto che quel dialogo contiene una dimostrazione semplicissima di un caso particolare del teorema di Pitagora, che emerge dalla tecnica per la duplicazione di un quadrato.

Inoltre Maurizio Codogno ha inserito... Il teorema di Pitagora prima di Euclide prende spunto dal post di Flavio quassù e mostra quale sarebbe potuta essere una prima dimostrazione del teorema di Pitagora, ipotizzando il perché si sia persa.

E, per la cellula melodica:

Il 172 si fattorizza 2×2×43: la cellula melodica ha un intervallo di seconda aumentata, che come tutti sanno è diverso dalla terza minore ma si canta praticamente allo stesso modo.

 Per quanto riguarda l'edizione numero 173... 
[173] 14 novembre 2023: (“ssssh!”) MaddMaths! –
 Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.

Maieutica teorema di Pitagora e duplicazione del quadrato nel Menone di Platone

Molti testi riportano che la prima dimostrazione a noi pervenuta del teorema di Pitagora si trova negli Elementi di Euclide. Vedi, ad esempio, Teorema di Pitagora#Dimostrazioni. Tuttavia, nessuno dei testi che ho letto finora cita il Menone di Platone.

Di recente, leggendo The Mathematics of Plato's Academy – A New Reconstruction di David Fowler, ho scoperto che quel dialogo contiene una dimostrazione semplicissima di un caso particolare del teorema di Pitagora, che emerge dalla tecnica per la duplicazione di un quadrato¹. E probabilmente il Menone è stato scritto prima della nascita di Euclide. Secondo David Fowler sarebbe infatti stato scritto intorno al 385 a.C.
Certo, sussiste sempre l’ipotesi che gli Elementi siano ispirati a qualche versione più antica. Ma rimane solo un’ipotesi.

Qui riporto il brano di Platone a cui ho aggiunto alcune immagini.

SOCRATE Dimmi dunque, ragazzo, sai che un’area quadrata è fatta così? È un’area quadrangolare che ha uguali tutte queste linee, che sono quattro.

Socrate traccia un quadrato avente un lato di due piedi.

SCHIAVO Certo.









SOCRATE E non ha uguali anche queste linee che passano per il centro?

Socrate disegna le linee che, partendo dal punto centrale di ciascun lato, dividono il quadrato in quattro quadrati uguali.
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Se dunque questo lato fosse di due piedi e di due piedi questo, di quanti piedi sarebbe il tutto? Rifletti in questo modo: se qui fosse stato di due piedi e qui di un piede soltanto, la superficie non sarebbe forse stata di un piede per due?
SOCRATE Ma dal momento che anche qui è di due piedi, non è forse di due volte due piedi?
SCHIAVO Lo è.
SOCRATE E dunque è di due piedi per due?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Quanto sono dunque questi due piedi per due? Fa’ il calcolo e dimmi.
SCHIAVO Quattro, Socrate.
SOCRATE E non potrebbe esservi un’area che sia il doppio di questa ma simile, avente tutti i lati uguali, come questa?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE E dunque di quanti piedi sarà?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE Suvvia, prova a dirmi quanto sarà la lunghezza di ogni lato di quell’area. Il lato di questa è infatti di due piedi: quanto sarà il lato di quell’area doppia?
SCHIAVO È evidente, o Socrate, che sarà il doppio.
SOCRATE Vedi, Menone, che a costui non sto insegnando nulla, ma che mi limito a chiedergli tutto? E ora egli pensa di sapere quale sia la lunghezza da cui risulterà un’area di otto piedi: non credi?
MENONE Sì.
SOCRATE E dunque lo sa?
MENONE No davvero.
SOCRATE Lo suppone dal lato che è il doppio dell’altro?
MENONE Sì.
SOCRATE Sta’ a vedere come egli ricorda di seguito, come deve ricordare. Dimmi, ragazzo: tu affermi che dal lato doppio si genera l’area doppia; tale area non dico che sia lunga da questo lato e corta da quest’altro, ma che sia invece uguale da tutti i lati, come questa appunto, ma il doppio di questa, di otto piedi: ebbene guarda se a tuo parere risulterà ancora dal lato doppio.
SCHIAVO A me almeno sembra.
SOCRATE E questa linea non diventa forse il doppio di questa se aggiungiamo un’altra linea della stessa lunghezza a partire da qui?
SCHIAVO Certo.
SOCRATE Da questa linea, dunque, tu dici, risulterà l’area di otto piedi, se i quattro lati sono della stessa lunghezza?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Tracciamo dunque, a partire da questo, quattro lati uguali. Sarebbe questa o qualcos’altro l’area che, a tuo parere, è di otto piedi?

Socrate prolunga di altri due piedi i lati del quadrato iniziale e disegna un quadrato maggiore, avente i lati di quattro piedi.

SCHIAVO Certo.
SOCRATE E in quest’area non ci sono forse questi quattro quadrati, ognuno dei quali è uguale a questo di quattro piedi?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Dunque di quanto è? Non è il quadruplo?
SCHIAVO Come no?
SOCRATE Dunque ciò che è il quadruplo è anche doppio?
SCHIAVO No, per Zeus.
SOCRATE Ma allora di quante volte è maggiore?
SCHIAVO Di quattro volte.
SOCRATE Dunque, ragazzo, dal lato doppio risulta non un’area doppia, ma quadrupla.
SCHIAVO È vero.
SOCRATE Quattro volte quattro infatti fa sedici, no?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Da quale lato risulta, invece, un’area di otto piedi? Non risulterà da un lato maggiore di questo e da un lato minore di quest’altro? o no?
SCHIAVO A me almeno sembra così.
SOCRATE Bene: perché rispondi quello che pensi. E dimmi: questo lato non era di due piedi e di quattro quest’altro?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Bisogna dunque che il lato dell’area di otto piedi sia maggiore di questo di due piedi, ma minore di quello di quattro.
SCHIAVO Necessariamente.
SOCRATE Prova dunque a dire quanto pensi che sia lungo.
SCHIAVO Tre piedi.
SOCRATE Se dunque è di tre piedi, dobbiamo aggiungere a questo la metà della sua lunghezza e sarà di tre piedi? Infatti questi sono due piedi, questo un piede; e a partire da qui allo stesso modo questi sono di due piedi e questo uno: e ne risulta quest’area che tu dici.
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Se dunque è qui di tre piedi e qui di tre piedi, l’area totale non è di tre volte tre piedi? SCHIAVO È evidente.
SOCRATE Ma tre volte tre piedi quanti piedi sono?
SCHIAVO Nove.
SOCRATE E l’area doppia di quanti piedi dovrebbe essere?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE Quindi neppure da un lato di tre piedi deriva l’area di otto piedi.
SCHIAVO No, certo.
SOCRATE Ma da quale lato risulta? Cerca di dircelo esattamente; e se non vuoi fare il calcolo, mostra tuttavia da quale lato.
SCHIAVO Per Zeus, o Socrate, io non lo so.
SOCRATE Ti rendi conto, ancora una volta, di quanto costui sia già andato avanti sulla strada della reminiscenza? considera che prima non sapeva quale fosse il lato dell’area di otto piedi, come del resto non lo sa adesso, ma almeno allora pensava di saperlo, e rispondeva con audacia come se sapesse, e non pensava di trovarsi in difficoltà; ora invece ritiene di essere ormai in difficoltà, e poiché non sa, neppure pensa di sapere.
MENONE Quel che dici è vero.
SOCRATE E non non si trova in una condizione migliore adesso riguardo alla cosa che non sapeva?
MENONE Anche su questo sono d’accordo.
SOCRATE Noi avevamo tuttavia bisogno di un’area doppia: o non ti ricordi?
SCHIAVO Certamente.
SOCRATE Questa linea da angolo ad angolo non taglia in due ognuna di queste aree?

SCHIAVO Sì.
SOCRATE Non ne risultano questi quattro lati uguali che contengono quest’area?
SCHIAVO Sì, risulta così.
SOCRATE Osserva dunque: quanto è grande quest’area?
SCHIAVO Non capisco.
SOCRATE Non è forse vero che, ogni linea le ha divise a metà all’interno queste quattro aree? o no?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Quante sono all’interno di questa superficie queste metà?
SCHIAVO Quattro.
SOCRATE E quante in quest’altra?
SCHIAVO Due.
SOCRATE Quattro che cos’è di due?
SCHIAVO Il doppio.
SOCRATE Dunque quest’area di quanti piedi è?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE A partire da quale linea?
SCHIAVO Da questa.
SOCRATE Cioè da quella tesa da angolo ad angolo dell’area di quattro piedi?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE I sofisti chiamano questa linea diagonale: cosicché, se questa linea ha il nome di diagonale, a partire dalla diagonale, come tu dici, o schiavo di Menone, risulterebbe l’area doppia.
SCHIAVO Certo, o Socrate.
SOCRATE Che ne pensi, Menone? C’è qualche opinione che costui non espresse, nelle sue risposte, come sua?
MENONE No, sono opinioni sue.
SOCRATE E tuttavia non sapeva, come dicevamo poco fa.
MENONE Quel che dici è vero.
SOCRATE Dunque queste opinioni si trovavano in lui: o no?
MENONE Sì.
SOCRATE Ma in chi non sa possono essere presenti, sulle cose che non sa, opinioni vere?
MENONE È evidente.
SOCRATE E adesso in lui queste opinioni sono emerse, come in un sogno; ma se uno gli chiederà più volte queste stesse cose e in molti modi, puoi star certo che alla fine avrà di questi argomenti una conoscenza puntuale non meno di chiunque altro.
MENONE È probabile.
SOCRATE Dunque avrà una conoscenza senza che nessuno gli abbia insegnato, ma grazie a delle semplici domande, avendo recuperato lui da se stesso la conoscenza?
MENONE Sì.
SOCRATE Il recuperare da se stessi all’interno di sé una conoscenza non significa ricordarsi?
MENONE Certamente.

¹ The Mathematics of Plato's Academy – A New Reconstruction di David Fowler p. 7 – "The passage is well known and frequently discussed (Plato’s, quotation of Pythagoras theorem), but I quote it here in full for special reasons that it is our first direct, explicit, extended piece of evidence about Greek mathematics, it probably dates from about 385 bc."

La paura dello straniero di Ilvo Diamanti

Rilancio un'analisi di Ilvo Diamanti. Estrema sintesi dell'analisi del sociologo/politologo.

Il 64% vorrebbe "confini più controllati".

Il 45% degli intervistati ritiene che "gli immigrati sono un pericolo per la sicurezza delle persone". 

Ilvo Diamanti evidenzia anche "la forte crescita che ha registrato, nell’ultimo anno, l’inquietudine dei cittadini rispetto all’aumento degli immigrati. Oggi, infatti, la quota di quanti li ritengono “un pericolo per l’ordine pubblico e la sicurezza delle persone” ha raggiunto il 45%. Il livello più alto dal 2007, 16 anni fa, quando aveva toccato il 51%. Una misura che, in seguito, si è ridimensionata sensibilmente. Fino a scivolare al 26% nel 2012-13. Per risalire in seguito intorno al 2017-18. Un passaggio significativo e non casuale. Perché coincide con la campagna elettorale delle elezioni politiche in Italia".

E la fascia dei giovani è quella più convinta che "L'Italia dovrebbe aprirsi maggiormente al mondo.

Dopo il Covid torna la paura dello straniero. Due terzi degli italiani per le frontiere chiuse - la Repubblica

Il male detto di Roberta Fulci - Un libro che svela i segreti del dolore e cattura il lettore come un romanzo giallo

È possibile scrivere un libro incentrato sul dolore che catturi il lettore come un bel romanzo giallo? Roberta Fulci ci è riuscita.

Ho cominciato a leggere la prima pagina per curiosità, con l’idea che avrei messo il libro in coda alla mia lista e invece non sono riuscito a smettere. Roberta Fulci, proponendo domande a scienziati esperti delle varie aree che gravitano intorno al dolore (medica, biologica, psicologica, filosofica) guida il lettore in una graduale scoperta dei segreti intorno al dolore.

Inoltre il libro espone termini ed espressioni per descrivere i vari aspetti del dolore. E si sa, a volte le emozioni, le sensazioni e le esperienze prendono forma concreta solo se si ha la capacità di esprimerle verbalmente. La cosa esiste se ha un nome. Il lettore ne esce quindi sicuramente arricchito anche nella capacità di esprimere le proprie esperienze di dolore fisico ed emotivo.

Aggiornamento

E dopo mezzoggiorno ci siamo anche visti la diretta dell'assegnazione del Premio Science Book of the Year a TriesteNext. Il Male detto di Roberta Fulci è arrivato secondo!!!