venerdì 29 novembre 2019

Sistema numerico giapponese e sue relazioni con i numeri raggiungibili di Hersh

Alla fine della lezione di oggi l’insegnante ci ha parlato di nuovo del complicatissimo sistema di conteggio giapponese.

In realtà il sistema di numerazione per i numeri come concetto astratto (o numeri puri, come direbbe Reuben Hersh) non è complicato perché è molto logico. Ma quando si vogliono contare oggetti bisogna usare categorie di termini diversi (classificatori) a seconda della categoria di oggetti che si stanno contando.

Ad esempio c’è una categoria numerica per contare le persone, una per gli animali grandi, una per gli animali piccoli, una per le bevande, una per gli oggetti lunghi, una per gli oggetti tondi, ecc.

L’insegnante ci ha anche detto che le otto categorie che ci ha mostrato e che vedete nella foto sono un'estrema semplificazione di tutte le categorie esistenti. Visti i miei problemi con la memoria, penso che non ci proverò neppure a memorizzare quei termini.

Ad ogni modo, guardando quelle tabelle mi è tornato in mente il discorso sulla distinzione tra numeri raggiungibili - aggettivi applicati alle collezioni di oggetti fisici - e numeri puri - oggetti, idee nella coscienza condivisa di una porzione di umanità.
Beh, la cultura e la lingua giapponese rendono la distinzione tra questi due concetti molto più esplicita ed evidente.

Relativamente alla distinzione tra numeri raggiungibili e numeri puri, Reuben Hersh scrive che per cercare di dirimere la questione, dobbiamo cercare di capire che "2" gioca due ruoli linguistici. A volte è un aggettivo e a volte è un nome.
In "due dinosauri", "due" è un aggettivo collettivo. La frase "Due dinosauri più due dinosauri equivalgono a quattro dinosauri" parla di dinosauri. Se dico "Due oggetti discreti non interagenti insieme ad altri due oggetti discreti non interagenti fa quattro di questi oggetti", sto dicendo parte di ciò che si intende per oggetti discreti non interagenti. E questa è un'affermazione nel dominio della fisica elementare. Quindi, per quanto riguarda gli oggetti discreti e non interagenti, l'esperienza ci dice che 2 + 2 = 4.
Al contrario, "Due è primo ma quattro è composto" è un'affermazione sui numeri puri dell'aritmetica elementare. Ora "due" e "quattro" sono nomi, non aggettivi. Rappresentano numeri puri, che sono concetti e oggetti. Sono oggetti concettuali, condivisi da tutti coloro che conoscono l'aritmetica elementare, descritti da assiomi e teoremi.
Quindi "due" e "quattro" hanno due significati: quello di numeri raggiungibili e quello di numeri puri. Quindi, la formula 2 + 2 = 4 ha un doppio significato. Ha a che fare con il contare, cioè con il comportano gli oggetti discreti non interagenti; ma è anche un teorema di aritmetica pura (aritmetica di Peano, ad esempio).
Questa ambiguità linguistica confonde la differenza tra i numeri raggiungibili e i numeri naturali puri.
Ecco, questa ambiguità linguistica non esiste in giapponese. Infatti due nel caso di "due dinosauri", due si dice nihiki (二匹)1, mentre nel caso di "due è un numero primo", due si dice ni ().2

Nella pagina Wikipwedia Termini giapponesi per contare si trovano alcuni tra i classificatori più comuni:
  •  ri/nin per le persone
  •  mai per le cose piatte e sottili
  •  hon per le cose lunghe e cilindriche
  •   per gli animali grandi (cavalli, elefanti, "più grandi di una persona")
  •  hiki per gli animali piccoli (cani, gatti... il metro di paragone è: "più piccolo di una persona")
  •  wa per gli uccelli (prevale sul contatore degli animali piccoli) e i conigli
  •  satsu per libri e riviste
  •  kai per i piani degli edifici
  •  soku per le paia di scarpe, calze e calzini
  • ...

Altre particolarità del giapponese


Esiste la coniugazione/declinazione degli aggettivi. Per cui gli aggettivi si coniugano/declinano al passato. Quindi, quello che noi esprimiamo con una frase, “è stato bello”, loro lo esprimono con una sola parola: l’aggettivo bello coniugato/declinato al passato.

Inoltre esiste anche la distinzione tra questo, codesto e quello. E si usano parole diverse quando sono pronomi rispetto a quando sono aggettivi, come nel mio dialetto:

kore (vistu), sore (vissu), are (villu)
kono (stu), sono (ssu), ano (llu)

1 hiki (匹) viene solitamente usato per gli animali piccoli ma i dinosauri sono rettili e con i rettili si fa eccezione
Per curiosità, nel caso di "due uomini" due si dice futari (二人).

mercoledì 20 novembre 2019

Čajkovskij e i compositori italiani

“Non mi piace che Busoni faccia violenza alla propria natura e si sforzi ad apparire tedesco ad ogni costo. Qualcosa di simile appare anche in Sgambati. Entrambi si vergognano di essere italiani e hanno paura che nelle loro composizioni appaia qualcosa che possa anche solo somigliare a una melodia”

Pëtr Il’ič Čajkovskij - Il compositore a cui sarà dedicato il nostro prossimo concerto monografico di febbraio

domenica 17 novembre 2019

La fortezza di Ecbatana

“La fortezza di Ecbatana è costituita da una serie di mura concentriche. Essa è studiata in modo tale che ogni giro di mura superi il precedente solo per l'altezza dei bastioni. ...

کاربر:Technoarya - wikimedia
In tutto le mura di cinta sono sette: l'ultima racchiude la reggia e i tesori; la più ampia si estende all'incirca quanto il perimetro di Atene. I bastioni del primo giro sono bianchi, quelli del secondo neri; sono rosso porpora al terzo, azzurri al quarto e rosso arancio al quinto; i bastioni delle prime cinque cerchie sono stati tinti con sostanze coloranti, invece le ultime due hanno bastioni rivestiti rispettivamente di argento e d'oro.”


Erodoto - Le storie

lunedì 28 ottobre 2019

Lo sapevate che l’ora legale verrà abolita? - Dati e numeri sul cambio di orario

Quasi tutti sappiamo come e quando spostare le lancette. Anche se spesso qualche dubbio viene.

Ma era in avanti o all’indietro? Dormiremo un’ora in più o un’ora di meno?

Ed è per questo gli anglosassoni hanno inventato un sistema mnemonico, “Fall back, spring forward”, molto difficile da tradurre in italiano visto che non abbiamo coincidenze simili tra verbi di movimento e stagioni dell’anno.

Ma se tutti sappiamo come e quando spostare le lancette, forse pochi sanno, almeno in base a un piccolo sondaggio personale condotto tra amici, parenti e colleghi, che il cambio d'orario verrà abolito e che l’ultimo avverrà nel 2021. Voi lo sapevate?

Da quanto sono riuscito a ricostruire, le cose dovrebbero essere andate più o meno così.

In seguito a richieste di cittadini, di parlamentari europei e di alcuni Stati membri (principalmente Finlandia e Polonia, ma forse anche Estonia, Lettonia e Germania), la Commissione Europea ha deciso di lanciare una consultazione pubblica sull’ora legale invitando i cittadini a compilare
questo questionario tra il 4 luglio e il 16 agosto 2018. Da quanto mi è dato sapere ben pochi cittadini italiani ne erano al corrente e ancora meno si sono espressi partecipando alla consultazione.

Infatti, secondo Rapporto sui risultati pubblicato dalla Commissione avrebbero votato circa 4,6 milioni di cittadini europei, cioè meno dell'1% delle popolazione dell'UE. Il che renderebbe questa consultazione la più partecipata di sempre.
I tassi di risposta sono stati molto vari, con i più alti tassi provenienti da tre paesi: Germania (70% di tutte le risposte pari a 3,1 milioni, cioè il 4% della popolazione tedesca), Francia (8,6%; 393.000) e Austria (6%; 259.000). Altri paesi le cui risposte hanno rappresentato più dell'1% del totale sono stati Polonia, Spagna, Repubblica Ceca, Belgio, Finlandia e Svezia.

Ecco un grafico che mostra paese per paese la percentuale dei votanti rispetto alla popolazione del paese. Come vedete, l'Italia si trova al terzultimo posto.


Complessivamente 3,8 dei 4,6 milioni di votanti (circa l'83%) si sono dichiarati contrari al cambio di orario.
Solo in Grecia e a Cipro i favorevoli sono risultati in lieve maggioranza (56% e 53%). Mentre, oltre il 90% delle risposte provenienti da Finlandia (95%), Polonia (95%), Spagna (93%), Lituania (91%) e Ungheria (90%) si sono per l'abolizione del cambio di orario.



Interessanti sono anche le ragioni dei contrari al cambio di orario. Come evidenzia il grafico, la ragione predominante è stata il supposto effetto deleterio che il cambio di orario avrebbe sulla salute. 


Più goduriose, invece, sembrerebbero essere le ragioni dei favorevoli al cambio di orario: le attività ricreative serali.



Ma una volta abolito il cambio di orario che facciamo? Manteniamo per tutto l'anno l'ora legale o l'ora solare?

L'opzione preferita è stata l'ora legale permanente con 2 529 000 degli intervistati (55%).


Ma che è successo dopo la consultazione del 2018?

Nei primi mesi del 2019, il Parlamento europeo ha accolto la proposta della Commissione per l'abolizione del cambio di ora e ha lasciato a ogni Stato libertà di scelta rispetto a quale orario adottare, se solare o legale. Per cui gli Stati membri che decideranno di mantenere l'ora legale dovranno cambiare l'orario per l'ultima volta a marzo del 2021, mentre quelli che preferiranno mantenere l'ora solare dovranno farlo l'ultima a ottobre 2021. Ma "per proteggere il mercato interno da perturbazioni, i deputati hanno chiesto che gli Stati membri e la Commissione coordinino le loro decisioni su quale ora adottare."

Infine qualche riflessionede tutto soggettiva e personale

Per il piccolo sondaggio personale che citavo all'inizio ho indagato tra contatti sia italiani sia europei e gli orientamenti del mio piccolo campione sono molto in linea con gli esiti della consultazione. Nell’Europa del nord la notizia dell'abolizione è molto più nota e sentita rispetto all’Europa mediterranea. I contatti dell’Europa del nord e dell'est hanno espresso forte opposizione nei confronti del cambio di orario citando gli enormi effetti deleteri che questo avrebbe sui loro bioritmi e anche il fatto che gli animali delle fattorie ne sofrirebbero perché devono ricalibrare le loro abitudini due volte l'anno.
I contatti dell’Europa mediterranea, invece, generalmente non erano a conoscenza della consultazione ed erano increduli relativamente all'esito e alle ragioni.
Personalmente, la storia dei bioritmi mi convince poco. Sicuramente può volerci qualche giorno per adattarsi e magari le reazioni  possono essere molto soggetive. Ma alcune domande mi sorgono spontanee:

  • Gli oppositori del cambio di orario si svegliano, mangiano e vanno a letto sempre esattamente alla stessa ora del giorno?
  • Non fanno mai viaggi verso luoghi che si trovano in fusi orari diversi?
  • I bioritmi di umani e animali, più che sull'orario in sé, non dovrebbero essere regolati sull'alternanza luce/tenebra?

Infine, la cosa che mi ha più sorpreso rispetto al fatto che la grande maggioranza degli italiani non sa nulla dell'abolizione (ammesso che la mia assunzione sia corretta) è che il tema si sarebbe prestato molto a quei dibattiti infiniti e inutili che tanto appassionano alcuni media nazionali. Quindi ho trovato strano che nessuno abbia ancora portato il tema al centro del circo dei dibattiti inutili. Forse hanno ritenuto che fosse ancora troppo presto per farlo?
E mi sono anche chiesto come reagirà la maggioranza del paese se e quando il tema entrerà nel dibattito, visto che, a occhio, la barra della percentuale dei votanti rispetto alla popolazione pare essere sotto allo 0,1% per l'Italia.

Altre fonti

https://eur-lex.europa.eu/legal-content/EN/TXT/PDF/?uri=CELEX:52018SC0406&from=IT

martedì 17 settembre 2019

Carnevale della Matematica #132

L'edizione di settembre del Carnevale della Matematica, la numero 132, è ospitata da Maurizio Codogno ne Il Post e il tema è libero.
Così vengono introdotti i miei contributi:

Visto che 132 è un numero ben fattorizzabile, la cellula melodica preparata da Dioniso è cantabile senza troppi problemi: eccovela qua.


Dioniso vive ad Heidelberg, dove è in corso la mostra „La La Lab – Die Mathematik der Musik“ nell’ambito dell’Heidelberg Laureate Forum. Trattandosi di matematica della musica lui non potevo mancare: è stato subito attratto da una tastiera con cui poter suonare con quattro diverse intonazioni: temperamento equabile, intonazione pitagorica, intonazione naturale e temperamento mesotonico. Ne parla in Die Mathematik der Musik ovvero la matematica della musica.

Per quanto riguarda l'edizione numero 133... 
14 ottobre 2019: (“melodioso nella luce”Al caffè del Cappellaio matto – la matematica delle meraviglie
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.



lunedì 16 settembre 2019

Elea

Mercoledì scorso sono stato a Elea e ho provato a salire sull’acropoli lungo i sentieri battuti da due giganti del pensiero filosofico occidentale: Parmenide e Zenone.

Ma mi sono ritrovato protagonista di uno strano fenomeno: ogni volta che avanzavo, la sommità dell’altura sembrava allontanarsi. Alla fine ho dovuto rinunciare.

Qualcuno mi ha detto che per sbloccare la spirale spazio-temporale avrei dovuto scoccare una freccia verso la sommità.

domenica 28 luglio 2019

Die Mathematik der Musik ovvero la matematica della musica

Qui a Heidelberg è in corso la mostra „La La Lab – Die Mathematik der Musik“ nell'ambito dell'Heidelberg Laureate Forum. Trattandosi di matematica della musica non potevo mancare.


Sono stato subito attratto da una tastiera con cui poter suonare con quattro diverse intonazioni: temperamento equabileintonazione pitagoricaintonazione naturale e temperamento mesotonico.


Indovinate qual è stata la prima intonazione che ho provato?


E qui devo tristemente ammettere una mia limitazione: il mio orecchio non è sufficientemente sensibile da poter distinguere le diverse intonazioni. O almeno non lo è stato quando ho eseguito scale, intervalli e melodie. Una differenza, invece, l'ho percepita quando ho suonato accordi (bicordi o triadi).

Poi ci siamo divertiti un po' con i timbri e le forme d'onda, con composizioni e grafi e con la panchina che invitava i due ospiti a toccare i due braccioli e poi a toccarsi varie parti del corpo per produrre musica attraverso la variazione di resistenza elettrica dei vari tessuti umani.


Purtroppo ci siamo dovuti fermare qui perché eravamo andati oltre l'orario di chiusura. Penso proprio che torneremo per esplorare il resto dei dispositivi.

martedì 16 luglio 2019

Carnevale della Matematica #131: La luna

L'edizione di giugno del Carnevale della Matematica, la numero 131, è ospitata da DropSea e il tema è “La luna”.
Così vengono introdotti i miei contributi:

Prendiamoci, ora, uno stacco musicale dal flusso matematico e lunare fin qui proposto con Flavio Ubaldini e Il tempo nella musica e l'esibizione più lenta e più lunga di sempre
Vi lamentate per le più di 15 ore di durata de L'anello del Nibelungo?
Organ²/ASLSP (As SLow aS Possible) è un brano musicale per organo nonché soggetto dell'esibizione musicale più lunga della storia: 639 anni (se giungerà a termine).
Flavio manda anche un interessante parallelo tra libri, insiemi e materia oscura - What is Mathematics, Really? e Matematica come narrazione
A leggere più libri contemporaneamente ci sono vantaggi e svantaggi. Un vantaggio è che può capitare di leggere contemporaneamente paralleli inattesi.
E un affascinante parallelo è sicuramente quello tra sottoinsiemi indefinibili e materia oscura che Gabriele Lolli propone in Matematica come narrazione...
Ma poi se si trova anche un parallelo tra questo parallelo e un altro libro allora la sorpresa divent più piacevole...
Giunti alla fine, non mi resta che salutarvi, dandovi appuntamento all'ancora non ben definita edizione #132 del Carnevale della Matematica (vedi l'elenco di tutte le edizioni) non senza lasciarvi con l'ormai tradizionale cellula melodica, realizzata come al solito da Flavio Ubaldini...








Per quanto riguarda l'edizione numero 132... 
è programmata per settembre e non è ancora stata assegnata.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


lunedì 1 luglio 2019

Il tempo nella musica e l'esibizione più lenta e più lunga di sempre

Vi lamentate per le più di 15 ore di durata de L'anello del Nibelungo? Allora leggete quanto segue.
Grazie all'ascolto dell'interessantissima puntata Inventare il tempo - Tempo liquido, flessibile di Lezioni di musica sono venuto a conoscenza di un'altra composizione singolare di John Cage*.

Organ²/ASLSP (As SLow aS Possible): un brano musicale per organo nonché soggetto dell'esibizione musicale più lunga della storia: 639 anni (se giungerà a termine).
L'esecuzione è cominciata nel 2001 nella chiesa di Sankt-Burchard ad Halberstadt per commemorare la prima installazione permanente di un organo, che avvenne nel 1361, ovvero 639 anni prima della data in cui era originalmente previsto l'inizio dell'esecuzione: il 2000.
Il termine dell'esibizione è previsto per il 2640.

Per chi fosse interessato, qui c'è un video sul cambiamento di accordo del 5/10/2013. Il prossimo avverà il 5/9/2020. Chissà, magari ci faccio un pensierino.
Qui c'è il sito del progetto, da cui si ha anche la possibilità di ascoltare l'accordo attuale.

giovedì 27 giugno 2019

Un parallelo tra libri, insiemi e materia oscura - What is Mathematics, Really? e Matematica come narrazione

A leggere più libri contemporaneamente ci sono vantaggi e svantaggi. Un vantaggio è che può capitare di leggere contemporaneamente paralleli inattesi.

E un affascinante parallelo è sicuramente quello tra sottoinsiemi indefinibili e materia oscura che Gabriele Lolli propone in Matematica come narrazione

“...la potenza di x, ℘( x), è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di x, ed è un insieme infinito che è ancora più grande di x, anche se x è infinito. Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con il caso finito: se x è finito e ha n elementi, i suoi sottoinsiemi si possono contare, e sono 2^n; ma il senso della potenza non è evidente, perché il concetto è ambiguo, per x infinito. Parlare di tutti è una scorciatoia, è un tentativo di dire la totalità, o meglio forse l’aspirazione a dire la totalità; ma la maggior parte dei sottoinsiemi è come la materia oscura della fisica, molto più estesa della materia visibile. La totalità non si riesce a fissarla in modo unanime, ℘( x) deve essere approssimato, e il suo senso è reso solo da una pluralità di risultati parziali che lo riguardano. Non è scontato quale parte di ℘( x) riusciamo a dominare: i sottoinsiemi finiti di x, x stesso, x meno sottoinsiemi finiti, certo; ma per vedere per esempio un sottoinsieme infinito il cui complemento in x sia anch’esso infinito bisogna definirlo; è il caso del sottoinsieme di ℕ dei numeri pari, o quello dei numeri di Fibonacci, e solo quelli definibili siamo sicuri che tutti li riconoscano; eppure si sa per il teorema di Cantor che non esauriscono tutti i sottoinsiemi, perché i sottoinsiemi definibili sono tanti quante le formule del linguaggio, che sono un’infinità numerabile. Gli insiemi definibili li vediamo in modo indiretto attraverso le loro definizioni, con gli strumenti linguistici, e questa è la seconda azione.”

Ma poi se si trova anche un parallelo tra questo parallelo e un altro libro allora la sorpresa divent più piacevole.

Ma, a differenza dell'ultima volta, il tema esula un po' dal tormentone del platonismo in matematica ... o no? Stavolta si parla di insiemi finiti che sono più complicati degli insiemi infiniti.


"Il lettore potrebbe aver notato che quasi tutti gli insiemi finiti sono enormi. Basta selezionare, ad esempio, un numero enorme M. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi minore di M? Moltissimi, ma in numero finito. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi maggiore di M? Un’infinità. Quindi quasi tutti gli insiemi finiti sono più grandi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. Se si sceglie un insieme finito a caso, è quasi sicuro che contenga più elementi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. E la finitezza potrebbe essere un suo aspetto ingannevolmente semplificativo. Infatti, gli insiemi infiniti vengono spesso introdotti perché più semplici degli insiemi finiti di partenza. Ad esempio, l'integrazione è di solito più semplice della somma di un numero finito di termini. Le equazioni differenziali sono solitamente più facili delle corrispondenti.
Per concludere, se si ammettono tutti gli insiemi finiti, non ci sono scuse per rifiutare l'infinito. L'infinito è controintuitivo e metafisico? Ma abbiamo appena visto che lo sono quasi tutti gli insiemi finiti. Se si vuole che tutta la matematica sia concreta e intuitiva allora bisogna affidarsi solo ai numeri e agli insiemi che siano finiti e piccoli.
Quanto piccoli? È molto difficile a dirsi, perché se n è piccolo, lo è anche n + 1. Non c'è un confine netto tra piccolo e grande. Non esistono né un minimo tri i numeri grandi né un massimo tra i numeri piccoli."
Si potrebbe provare un andamento degli assiomi di Peano ma la strada non sarebbe molto fruttuosa.
"Ma allora, forse è meglio che ci teniamo il nostro sistema numerico infinito.
Il grande mistero dell'infinito è un artefatto del platonismo. Esistono serie infinite in qualche dominio trascendentale? Questa è la domanda sbagliata. I sistemi numerici sono inventati perché utile agli esseri umani. Le domande appropriate sull'infinito sono: è utile a qualcosa? È interessante? I matematici hanno già risposto da tempo: sì!"

What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh

...continua...

sabato 15 giugno 2019

Carnevale della Matematica #130: notte prima degli esami

L'edizione di maggio del Carnevale della Matematica, la numero 130, è ospitata da Maurizio Codogno ne Il Post e il tema è “notte prima degli esami” . Tema scelto apposta per fare andare tutti fuori tema! ─ ci fa sapere Maurizio Codogno

Così vengono introdotti i miei contributi:

Dioniso ci manda la sua “cellula melodica ossimorica”: l’allegria caratterizzata da un’armonia minore. Immagino avrà pensato a Losing My Religion dei R.E.M….






Oltre che con la cellula melodica ho contribuito con...

Cominciamo con Dioniso, che continua a dedicarsi alla filosofia della matematica: un argomento perfetto per l’ultimo ripasso :-). In Sull’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali riprende “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini riprende un brano in cui l’autore mostra come l’irragionevole efficacia dipenda in fin dei conti dal fatto che noi abbiamo modellato la matematica in maniera algoritmica; in Il concetto di infinito esiste in un universo trascendentale o solo nella mente umana? Dioniso parte da “What is Mathematics, Really?” di Reuben Hersh per cui tutti i concetti matematici sono inventati dagli esseri umani, a differenza di quanto affermano i platonisti: l’esempio fatto stavolta è l’infinito.


Per quanto riguarda l'edizione numero 131... 
è programmata per settembre e non è ancora stata assegnata.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


mercoledì 5 giugno 2019

Il concetto di infinito esiste in un universo trascendentale o solo nella mente umana? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

Come l'ultima volta rimaniamo sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica. Ma stavolta il concetto usato come esempio non è il numero ma l'infinito. Come al solito la traduzione è molto libera.

«Anche se considerassimo la somma di tutti i numeri calcolati dagli esseri umani da sempre, otterremo un numero finito. Eppure la matematica è piena di infiniti. La linea R1 è infinita; lo spazio R3 è infinito; N, l'insieme di numeri naturali, è infinito. C’è un’infinità di serie di infiniti. Ci sono punti "all'infinito" sulla linea reale, nel piano complesso, nello spazio proiettivo e, ovviamente, le gerarchie di Cantor di insiemi infiniti, numeri ordinali infiniti, numeri cardinali infiniti.
...
Da dove vengono questi infiniti? Non dall'osservazione né dall'esperienza fisica. Escludendo l’esistenza di un universo spirituale o trascendentale separato dal nostro, essi devono necessariamente nascere dalla mente umana.
...
Il cervello è un oggetto finito. Non può contenere nulla di infinito. Tuttavia abbiamo idee sull'infinito. Ma la nostra mente non genera l'infinito, genera nozioni dell'infinito. La logica non ci costringe a includere l'infinito in matematica. Euclide, ad esempio, parlava di segmenti di finiti di retta e mai di una retta infinita. Nella teoria degli insiemi è l'assioma dell'infinito che fornisce un insieme infinito. Senza adottare quell'assioma, Frege e Russell avrebbero avuto solo insiemi finiti. A volte escludiamo consapevolmente l'infinito. Una serie infinita convergente è interpretata come una sequenza di somme parziali finite. Sebbene la chiamiamo serie infinita, in realtà siamo interessati alle somme parziali finite. Eppure l'intuizione "senza senso" di sommare infiniti termini costituisce ancora il significato centrale del concetto di "serie infinite".
...
A volte ci si chiede che tipo di matematica sarebbe prodotta da intelligenze aliene. Forse tali intelligenze non avrebbero il concetto di infinito, visto che esso è un prodotto della nostra mente ed è assente dalla realtà fisica.»

venerdì 31 maggio 2019

Il volo delle chimere: presentazione a Palermo domenica 9 giugno

Domenica 9 giugno sarò a Palermo per presentare "Il volo delle Chimere" nell'ambito del festival del libro Una marina di libri.

La presentazione è organizzata da Palermo Scienza e dal CIDI Palermo e avrà luogo alle 12:00 nel Tepidarium dell'Orto botanico di Palermo. Le relatrici saranno:

Matilde Passantino, naturalista
Elisa Gulli, chimico

Programma completo del festival


domenica 26 maggio 2019

Sull’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini

L'ultima volta ho riportato delle osservazioni di Zellini sul limite del concetto di limite.

Oggi riporto osservazioni sull’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali.

"Alla fine, quella che è stata definita «l’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali» appare la conseguenza di una complessa e articolata combinazione di proprietà e di circostanze che attenuano sensibilmente l’impressione iniziale di accidentalità dei possibili collegamenti tra i concetti astratti della matematica e il mondo fisico.
...
Il concetto di sezione e il continuo aritmetico di Dedekind sono la naturale conseguenza di un fatto primordiale che si esprime in una costruzione algoritmica: «Non è forse vero che il concetto di partizione [di sezione secondo Dedekind] è preceduto da un fatto puramente algoritmico, cioè dal bisogno di giustificare e legittimare certi processi algoritmici come quello dell’approssimazione per eccesso e per difetto di √ 2, che si traducono precisamente nella costruzione di classi composte di infiniti numeri discreti?».
...
Come spiegava Tommaso d’Aquino, prima di ciò che esiste in potenza deve esserci qualcosa che esiste in atto, perché la potenza non si risolve in atto se non per qualcosa che già esiste in atto."

mercoledì 15 maggio 2019

Carnevale della Matematica #129: La matematica del XVIII e XIX secolo

L'edizione di maggio del Carnevale della Matematica, la numero 129, è ospitata dal blog Scienza e Musica, il tema è "La matematica del XVIII e XIX secolo" ed è molto interessante anche per la lunga introduzione storica di Leonardo Petrillo.

Così viene introdotto il carnevale:

Tale edizione ha nome in codice (dovuto al sommo Popinga"il merlo intrepido" e cellula melodica (grazie a Dioniso Dionisi, che ritroveremo come partecipante):






Oltre che con la cellula melodica ho contribuito con...

Flavio Ubaldini (conosciuto sul web come Dioniso Dionisi), oltre alla cellula melodica che avete potuto apprezzare all'inizio del Carnevale, ci invia, dal blog Pitagora e dintorni, un contributo che rientra in tema, pensate un po', per soli 3 anni! Trattasi infatti della seconda parte di un post dedicato ai cosiddetti numeri p-adici. Questi furono introdotti, nel 1897, dal matematico tedesco Kurt Hensel (1861-1941), allievo di Kronecker e mostrano un'importante utilità nell'ambito della teoria dei numeri. Ripartendo dalla segnalazione della 1° parte, il nostro Dioniso, in "La medaglia Fields e i numeri p-adici - seconda parte", ci regala una stimolante chiacchierata esplicativa, concludendo alla fine con diverse feconde risorse per approfondire il tema trattato. Ecco l'incipit del post:

"– Allora, dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."


Aspettate; c'è pure un secondo contributo di Flavio. Trattasi di una libera traduzione, come l'ultima volta, di un passo tratto dal libro What Is Mathematics, Really? di Reuben Hersh inerente al platonismo in matematica. Il post in questione cerca di rispondere alla domanda: "I numeri naturali sono stati scoperti o inventati?". L'ho inserito nella sezione dei contributi in tema giacché lo spunto di riflessione sulla suddetta domanda scaturisce da una celebre affermazione di Leopold Kronecker:

"Dio fece i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo."

Per saperne di più proseguite la lettura su Pitagora e dintorni. 



Per quanto riguarda l'edizione numero 130... 
non è ancora stata assegnata.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


giovedì 9 maggio 2019

Visione prospettica tra antica Grecia e Rinascimento

Qualche anno fa avevo parlato della nascita della prospettiva e i suoi aspetti geometrici

Ora completo il quadro con una citazione da "Perché la cultura classica. La risposta di un non classicista" di Lucio Russo.

"Nonostante la convinzione di Piero della Francesca, nei secoli successivi, e in particolare in epoca illuministica, quando ci si convinse della superiorità dei moderni sugli antichi, fra gli storici dell’arte si diffuse la tesi (ancora ripetuta in qualche libro) che i greci non avessero conosciuto la prospettiva. In realtà non è più possibile dubitare dell’esistenza dell’antica prospettiva, poiché, oltre agli accenni più o meno vaghi di autori classici che erano sempre stati noti, oggi disponiamo di due tipi di documentazione: dipinti in cui le regole matematiche della prospettiva sono applicate in modo evidente, e brani di antichi trattati in cui si riportano in modo inequivocabile regole matematiche della prospettiva. Nella prima categoria è particolarmente importante l’affresco nella «stanza delle maschere», scoperto nel 1961 nella Casa di Augusto, sul Palatino. L’affresco nella «stanza delle maschere» nella Casa di Augusto, sul Palatino, dove tutti i segmenti che nella realtà sarebbero ortogonali alla parete di fondo, coerentemente alle regole della prospettiva, sono rappresentati convergenti esattamente in un punto."

martedì 7 maggio 2019

I numeri naturali sono stati scoperti o inventati? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

Come l'ultima volta rimaniamo sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica. Come al solito la traduzione è molto libera.

«I numeri naturali 1, 2, 3. . . sono stati scoperti o inventati? [In questo ambito] non si può fare a meno di ricordare il celebre aforisma di Leopold Kronecker: "Dio fece i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo". Visto che Kronecker era un credente, è possibile che credesse letteralmente a quell'affermazione. Ma quando i matematici di oggi lo citano, "Dio" viene considerato una figura retorica: "I numeri interi vengono scoperti, tutto il resto è inventato." Tale affermazione è una dichiarazione di platonismo, almeno per quanto riguarda i numeri interi.

Come si può rispondere dal punto di vista di un umanista? 
Ma allora, la matematica è stata creata o scoperta? 
Un po' tutte e due le cose, in un'interazione e alternanza dialettiche. E questo non è un compromesso; bensì una reinterpretazione e una sintesi.»

What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh


mercoledì 1 maggio 2019

La medaglia Fields e i numeri p-adici - seconda parte

– Allora, dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."

– Ah, ecco. Allora, partiamo dagli interi p-adici e diciamo che una volta scelto un certo numero primo p preciso, un intero p-adico α è definito da una sequenza illimitata di interi xk per k > 0
α = {xk}k=1 = {x1, x2, x3, . . . },
Tali che xk+1 ≡ xk (mod pk) per ogni k > 0,    (1)
E due sequenze {xk} e {yk} determinano lo stesso intero p-adico se e solo se
xk ≡ yk (mod pk) per ogni k > 0    (2)
L’insieme degli interi p-adici viene indicato con Zp.
– Aspetta. Il segno ≡ è la congruenza, giusto?

– Sì. È definita come a ≡ b (mod n) se a − b è divisibile per n.

– Quindi dalla (2) deduco che esistono infinite sequenze che rappresentano lo stesso intero p-adico, giusto?

– Sì, giusto. Però possiamo pure introdurre una definizione che, sfruttando le relazioni di equivalenza, renda la definizione univoca. Cioè, definiamo l'intero p-adico ridotto come la rappresentazione che soddisfi la
0 xk < pk for all k 1   (3)

– Scusa, solo con delle definizioni del genere però non riesco ad afferare il senso di un numero p-adico. Mi servirebbero degli esempi.

– Certo. Gli esempi più semplici sono gli interi rappresentati in Zp. Possiamo decidere di rappresentare gli interi Z attraverso delle sequenze costanti. Cioè, dato z Z, rappresentiamo z in Zp come {z, z, z, . . . }.

– Ah, immergiamo Z in Zp attraverso un'applicazione iniettiva!

– Giusto! Z può essere visto come un sottoinsieme di Zp e possiamo chiamare interi razionali gli elementi di Z per distinguerli dagli interi p-adici.

– Quindi se prendo ad esempio p = 3 posso scrivere 40 in Z3 come {40, 40, 40, 40, 40, . . . }... E... applicando la (3) avrei 40 = {1, 4, 13, 40, 40, . . . }?

– Corretto! Hai trovato un esempio da sola!

– Ma se scelgo un numero p che non è primo che succede? Ad esempio con p = 10 avremmo la base decimale a cui siamo più abituati.

– Sì, si può fare. Però perdiamo delle proprietà. Ad esmpio avremmo degli inversi moltiplicativi di zero. E questo è un risultato indesiderato. Ma... Purtroppo adesso devo andare.

– Va bene. Diciamo che questi numeri p-adici hanno cominciato anche a stancarmi un po'.

– Dai, chiudiamo qui e ti lascio dei riferimenti a del materiale che si può trovare in rete.

Introduction to number theory - 5. p-adic Numbers
mathworld.wolfram p-adic Number
en.wikipedia.org P-adic_number
quora: What are p-adic integers, how do they work and what problems can we solve using them
en.wikipedia.org P-adic_analysis

domenica 14 aprile 2019

Carnevale della Matematica #128: La comunicazione della matematica

L'edizione di aprile del Carnevale della Matematica, la numero 128, è ospitata dai MaddMaths!, il tema è "La comunicazione della matematica" ed è straordinariamente interessante. Non solo per il tema, non solo per l'interessantissimo aritcolo in tema di Silvia Benvenuti e Roberto Natalini, non solo perché dall’agosto del 2013 il carnevale della matematica non incontrava una potenza di 2 ma anche per l'eccezionale qualità dei contributi.

Così viene introdotto il carnevale:

Prima o poi doveva succedere, siamo arrivati al numero 128. Era dall’agosto del 2013 che il carnevale della matematica non incontrava una potenza di 2. Certo, è inevitabile, nel tempo questi incontri saranno sempre più radi, un po’ come i numeri primi che si diradano (ma in realtà qui la situazione è molto più drammatica). Quindi godiamocela un po’, in attesa di ascoltare la cellula melodica qui sotto. Pensate a quando festeggeremo il carnevale della matematica #18.446.744,073.709.551.616 che cosa ci toccherà sentire (capirete questa frase fra poche righe, dopo la cellula melodica, continuate a leggere).


Io ho contribuito con...

"A seguire, Dioniso Dionisi, a.k.a. Flavio Ubaldini, creatore di Pitagora e dintorni. Si tratta di alcuni commenti su citazioni a carattere matematico. La matematica tra scoperta e invenzione – What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh L’ultima volta Dioniso aveva riportato un brano in cui Reuben Hersh osserva che la matematica è umanistica rispetto alla sua materia – le idee umane – mentre è simile alla scienza nella sua oggettività. Oggi riporta un altro suo brano sul tema del platonismo e della dicotomia tra scoperta e invenzione in matematica. E poi Il limite del concetto di limite – “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini Interessanti osservazioni di Zellini sul concetto di limite… In qualche modo sul limite del concetto di limite."

E con ...
"...ma insomma, pare veramente che siamo arrivati al Carnevale della Matematica numero 128, di cui nella Poesia Gaussiana (o dell’unicità della fattorizzazione) di Popinga, la strofa corrispondente è “canta, canta, canta, canta, canta, canta, canta” (=27). E non perdete la “cellula melodica” puntualmente offertaci da Dioniso Dionisi di Pitagora e dintorni:"






Per quanto riguarda l'edizione numero 129... 
14 maggio 2019: (“il merlo intrepido”) Scienza e musica – La Matematica del XVIII e XIX secolo
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


lunedì 1 aprile 2019

Il limite del concetto di limite - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini

L'ultima volta ho riportato un'interessante osservazione di Zellini sul grado di realtà dei numeri.

Oggi riporto osservazioni altrettanto interessanti sul concetto di limite... In qualche modo sul limite del concetto di limite.

"...con applicazioni ripetute di un operatore si genera una successione di numeri la cui distanza dalla soluzione tende a zero. Da simili processi di calcolo, noti fin dalla più remota antichità, derivarono i concetti analitici di limite e di convergenza di una successione, e certe dimostrazioni di convergenza si basano ancora, più che su argomentazioni logiche, sull’esistenza e sulle proprietà degli stessi processi di calcolo. Ma siamo effettivamente in grado, con una procedura iterativa, di avvicinarci alla soluzione fino a ridurre la distanza a un valore arbitrariamente piccolo? I matematici non si sono posti questo problema per molto tempo, e si sente spiegare ancora oggi, con le stesse parole di Cauchy, come si possano calcolare, per una radice di un’equazione algebrica, «valori numerici approssimati arbitrariamente vicini». Tuttavia questo avvicinamento indefinito alla soluzione vale solo in linea di principio, e l’errore di approssimazione non può diventare arbitrariamente piccolo. Gli errori di arrotondamento creano fatalmente, attorno alla radice dell’equazione, un intervallo di incertezza che rende privi di significato i valori numerici calcolati oltre un certo limite di approssimazione: un buon algoritmo potrà fornire, dopo un certo numero di passi, un valore all’interno di quell’intervallo, ma non ha senso cercare di migliorare quel valore calcolandone uno successivo dentro lo stesso intervallo."

Altre considerazioni correlate:Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà
Ma i numeri hanno tutti lo stesso grado di realtà?

domenica 31 marzo 2019

La matematica tra scoperta e invenzione - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

L'ultima volta ho riportato un brano in cui Reuben Hersh si pone una domanda sul come distinguere la matematica da altre discipline umanistiche e osserva che la matematica è umanistica rispetto alla sua materia - le idee umane - mentre è simile alla scienza nella sua oggettività.
Oggi propongo un brano in cui l'autore torna sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica.
Personalmente ho sempre trovato più affascinante l’attività di chi costruisce teorie rispetto a quella di chi risolve problemi.

“...risolvere problemi ben definiti non è l'unico modo in cui la matematica avanza. Si devono anche creare concetti e teorie. In effetti, la nostra più grande lode va a chi, come Gauss, Riemann, Eulero, ha creato nuovi campi della matematica. Una ben nota classificazione dei matematici è quella tra chi risolve problemi e chi costruisce teorie. Quando si parla di teorie - la teoria di Galois dei campi dei numeri algebrici, la teoria di Cantor degli insiemi infiniti, la teoria di Robinson sull'analisi non standard, la teoria di Schwartz sulle funzioni generalizzate - non diciamo che siano state "scoperte". La teoria è in parte predeterminata da conoscenza, e in parte una creazione del suo inventore. Tuttavia, di fronte a esse percepiamo un salto intellettuale, come quando ci si trovi di fronte a un grande romanzo o a una grande sinfonia.

Quando diversi matematici risolvono un problema, i loro risultati sono identici. Tutti “scoprono” la stessa risposta. Ma quando essi creano teorie per soddisfare qualche necessità, i loro risultati non sono identici. Le teorie risultanti sono diverse. Come, ad esempio, nel caso dell'analisi vettoriale di Gibbs contrapposta ai quaternioni di Hamilton. La differenza tra inventare e scoprire è la differenza tra due tipi di progresso matematico. La scoperta sembra essere completamente determinata. L’invenzione sembra venire da un'idea che semplicemente non c'era prima che il suo inventore ci pensasse. Ma poi, dopo aver inventato una nuova teoria, devi scoprire le sue proprietà, risolvendo con precisione le domande matematiche correlate. Quindi inventare porta alla scoperta.”