– Allora, dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."
– Ah, ecco. Allora, partiamo dagli interi
p-adici e diciamo che una volta scelto un certo numero primo p preciso, un intero
p-adico α è definito da una sequenza illimitata di interi xk per k >
0
α = {xk}∞k=1 = {x1, x2, x3, . . . },
Tali che xk+1 ≡ xk (mod pk) per ogni k > 0, (1)
E due sequenze {xk} e {yk} determinano lo stesso intero p-adico se e solo se
xk ≡ yk (mod pk) per ogni k > 0
L’insieme degli interi p-adici viene indicato con Zp.
– Aspetta. Il segno ≡ è la congruenza, giusto?
– Sì. È definita come a ≡ b (mod n) se a − b è divisibile per n.
– Quindi dalla (2) deduco che esistono infinite sequenze che rappresentano lo stesso intero p-adico, giusto?
– Sì, giusto. Però possiamo pure introdurre una definizione che, sfruttando le relazioni di equivalenza, renda la definizione univoca. Cioè, definiamo l'intero p-adico ridotto come la rappresentazione che soddisfi la
0 ≤ xk < pk for all k ≥ 1
– Scusa, solo con delle definizioni del genere però non riesco ad afferare il senso di un numero p-adico. Mi servirebbero degli esempi.
– Certo. Gli esempi più semplici sono gli interi rappresentati in Zp. Possiamo decidere di rappresentare gli interi Z attraverso delle sequenze costanti. Cioè, dato z ∈ Z, rappresentiamo z in Zp come {z, z, z, . . . }.
– Ah, immergiamo Z in Zp attraverso un'applicazione iniettiva!
– Giusto! Z può essere visto come un sottoinsieme di Zp e possiamo chiamare interi razionali gli elementi di Z per distinguerli dagli interi p-adici.
– Quindi se prendo ad esempio p = 3 posso scrivere 40 in Z3 come {40, 40, 40, 40, 40, . . . }... E... applicando la (3) avrei 40 = {1, 4, 13, 40, 40, . . . }?
– Corretto! Hai trovato un esempio da sola!
– Ma se scelgo un numero p che non è primo che succede? Ad esempio con p = 10 avremmo la base decimale a cui siamo più abituati.
– Sì, si può fare. Però perdiamo delle proprietà. Ad esmpio avremmo degli inversi moltiplicativi di zero. E questo è un risultato indesiderato. Ma... Purtroppo adesso devo andare.
– Va bene. Diciamo che questi numeri p-adici hanno cominciato anche a stancarmi un po'.
– Dai, chiudiamo qui e ti lascio dei riferimenti a del materiale che si può trovare in rete.
Introduction to number theory - 5. p-adic Numbers
mathworld.wolfram p-adic Number
en.wikipedia.org P-adic_number
quora: What are p-adic integers, how do they work and what problems can we solve using them
en.wikipedia.org P-adic_analysis
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."
α = {xk}∞k=1 = {x1, x2, x3, . . . },
Tali che xk+1 ≡ xk (mod pk) per ogni k > 0, (1)
E due sequenze {xk} e {yk} determinano lo stesso intero p-adico se e solo se
xk ≡ yk (mod pk) per ogni k > 0
L’insieme degli interi p-adici viene indicato con Zp.
– Aspetta. Il segno ≡ è la congruenza, giusto?
– Sì. È definita come a ≡ b (mod n) se a − b è divisibile per n.
– Quindi dalla (2) deduco che esistono infinite sequenze che rappresentano lo stesso intero p-adico, giusto?
– Sì, giusto. Però possiamo pure introdurre una definizione che, sfruttando le relazioni di equivalenza, renda la definizione univoca. Cioè, definiamo l'intero p-adico ridotto come la rappresentazione che soddisfi la
0 ≤ xk < pk for all k ≥ 1
– Scusa, solo con delle definizioni del genere però non riesco ad afferare il senso di un numero p-adico. Mi servirebbero degli esempi.
– Certo. Gli esempi più semplici sono gli interi rappresentati in Zp. Possiamo decidere di rappresentare gli interi Z attraverso delle sequenze costanti. Cioè, dato z ∈ Z, rappresentiamo z in Zp come {z, z, z, . . . }.
– Ah, immergiamo Z in Zp attraverso un'applicazione iniettiva!
– Giusto! Z può essere visto come un sottoinsieme di Zp e possiamo chiamare interi razionali gli elementi di Z per distinguerli dagli interi p-adici.
– Quindi se prendo ad esempio p = 3 posso scrivere 40 in Z3 come {40, 40, 40, 40, 40, . . . }... E... applicando la (3) avrei 40 = {1, 4, 13, 40, 40, . . . }?
– Corretto! Hai trovato un esempio da sola!
– Ma se scelgo un numero p che non è primo che succede? Ad esempio con p = 10 avremmo la base decimale a cui siamo più abituati.
– Sì, si può fare. Però perdiamo delle proprietà. Ad esmpio avremmo degli inversi moltiplicativi di zero. E questo è un risultato indesiderato. Ma... Purtroppo adesso devo andare.
– Va bene. Diciamo che questi numeri p-adici hanno cominciato anche a stancarmi un po'.
– Dai, chiudiamo qui e ti lascio dei riferimenti a del materiale che si può trovare in rete.
Introduction to number theory - 5. p-adic Numbers
mathworld.wolfram p-adic Number
en.wikipedia.org P-adic_number
quora: What are p-adic integers, how do they work and what problems can we solve using them
en.wikipedia.org P-adic_analysis
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