Dialogo sulle narrazioni pitagoriche

Di recente Paolo Alessandrini mi ha coinvolto in una conversazione con l’insegnante di fisica Cristina Sbarra.
La sua domanda riguardava alcuni aspetti relativi alle narrazioni ispirate alla scuola pitagorica e alla figura di Pitagora. Di seguito, riporto la mia risposta.

Premessa su Pitagora

Dal punto di vista strettamente storico, sulla figura di Pitagora abbiamo pochissime certezze. Pitagora non scriveva o, perlomeno, non ci è pervenuta alcuna testimonianza scritta dai pitagorici del VI sec a.C. Le testimonianze più articolate su Pitagora che ci sono pervenute (come quelle di Giamblico, Porfirio o Diogene Laerzio) risalgono a molti secoli dopo la sua morte. A questo proposito, ti segnalo un lavoro fondamentale dello storico della scienza americano Alberto A. Martínez, The Cult of Pythagoras: Math and Myths, in cui viene riassunto con grande rigore ciò che è storicamente documentato e ciò che appartiene al mito. Solo per farti un esempio, ho copiato qui una tabella dal suo libro che mostra l’evoluzione della narrazione intorno al teorema di Pitagora.

La certezza storica riguarda soprattutto l’esistenza della scuola pitagorica, ma si hanno dubbi persino sull’esistenza dell’uomo Pitagora. Anche se a me verrebbe da pensare: è possibile che qualcuno abbia costruito artificialmente questo caposcuola?

Questa premessa potrebbe far pensare che io sostenga l’impossibilità di scrivere storie su Pitagora. Ovviamente non è così. Io stesso ho scritto una narrazione ispirata alla scuola dei pitagorici in cui compare lo stesso Pitagora insieme al suo migliore allievo, Ippaso. Per questo tipo di narrazioni, la tradizione, pur con tutte le sue stratificazioni leggendarie, è una miniera d'oro.

Quando ho scritto Il mistero del suono senza numero, mi sono basato proprio sui racconti della tradizione, cercando però di rielaborarli in modo da renderli coerenti con la realtà storica, scientifica e acustica.

Un esempio è la celebre leggenda di Pitagora che scopre i rapporti armonici mentre camminava vicino alla fucina di un fabbro. È probabile che la scoperta sia avvenuta davvero in quel modo? Credo di no. Ma ciò implica che la leggenda non possa essere usata in una narrazione che miri alla verosimiglianza? Non necessariamente. Il compito del narratore che miri alla verosimiglianza dovrebbe essere quello di filtrare la tradizione attraverso coerenza storico-scientifica.

Nella scena della fucina, la tradizione tramanda che l'altezza dei suoni dipendesse dal peso dei martelli. Tuttavia, se analizziamo l’affermazione da un punto di vista acustico, ci rendiamo conto che il suono emesso non può dipendere dalle dimensioni del martello: le vibrazioni della testa del martello vengono smorzate quasi istantaneamente dal manico e dalla mano. Il suono che percepiamo è, invece, prodotto dalla vibrazione dell'incudine! E la dimensione del martello non può influire sulla frequenza (l'altezza della nota). Semmai influisce sull'ampiezza dell'onda (cioè sul volume). Altrimenti sarebbe come come sostenere che l'altezza delle note di un pianoforte dipenda dalla stazza dei martelletti anziché dalla lunghezza e tensione delle corde.

Così nella mia narrazione ho scelto di rispettare la storia della tradizione ma correggendone la fisica: ho inserito quindi una scena in cui Pitagora conduce esperimenti con i suoi discepoli, in cui dimostra che la consonanza o dissonanza tra i suoni dipende dalla dimensione delle incudini e smentisce l'ipotesi (errata) dello scolaro secondo cui l'altezza dipenderebbe dal martello.

In sintesi, credo che il presupposto per una buona narrazione su Pitagora sia: prendere spunto dalla tradizione, ma filtrarla attraverso la verosimiglianza storico-scientifica. Inoltre, potrebbe essere molto utile aggiungere in prefazione o postfazione una nota che chiarisca al lettore il confine tra storia, leggenda e finzione narrativa.

Dopo l'uscita del libro nel 2017 ho continuato la ricerca e svolto diversi incontri nelle scuole in cui coinvolgo i ragazzi in esperimenti matematico-musicali attraverso la misura delle corde. Certamente, con le conoscenze acquisite in seguito, oggi modificherei alcuni passaggi del libro, ma nella narrativa occorre accettare un compromesso: la ricerca della coerenza storica assoluta rischierebbe di paralizzare la scrittura.

Se ti interessa approfondire, ti lascio il link a un mio articolo pubblicato sulla rivista Archimede, I PITAGORICI E IL MISTERO DEL SUONO SENZA NUMERO Pitagora e la musica dell’universo, dove sviluppo alcuni delle considerazioni precedenti, riporto indicazioni bibliografiche per approfondire ulteriormente e, alla fine descrivo pure un po’ dettagliatamente il tipo di lezione che posso organizzare nelle scuole.

Ho trattato argomenti simili anche sul mio blog Pitagora e dintorni ma in modo un po’ più giocoso e meno rigoroso. In particolare, questa è la lista di articoli in cui compare, anche marginalmente, Pitagora

Domanda sul comma pitagorico e su come narrare la sua scoperta:

La tua intuizione narrativa è molto interessante. Ecco alcune mie considerazioni basate sulle mie limitate competenze storico-matematico-musicali.

1. L'orecchio umano e la discrepanza - Il comma pitagorico equivale a circa un quarto di semitono (23,46 cent). Visto che un orecchio umano allenato dovrebbe riuscire a percepire variazioni di circa 10 cent, due note a questa distanza suonate contemporaneamente vengono sicuramente percepite come una stonatura. Sicuramente generano i famigerati battimenti (da trombonisti lo sappiamo bene!😊). La percezione è invece più difficile se i suoni sono ascoltati in successione temporale o peggio ancora, se si confrontano a distanza due intere scale (pitagorica e temperata). Per percepire una differenza in quei casi serve davvero un orecchio molto sensibile e allenato.

2. Il limite del monocordo e la genesi della scoperta - Sul monocordo, riportare 12 quinte pure (3/2) per confrontarle con 7 ottave (2/1) mediante la sola divisione della corda presenta un grande limite fisico: l'errore di misurazione manuale accumulato in 12 passaggi finirebbe per coprire il comma stesso.
Per questo sono abbastanza convinto che la scoperta sia nata prima di tutto da considerazioni teorico-numeriche:

• L'ipotesi: I pitagorici cercavano la "chiusura del cerchio", sperando che un numero n di quinte pure coincidesse con un numero m di ottave.
• La prova aritmetica: Come hai giustamente notato, tali interi n e m non esistono. Se si procede salendo di 12 quinte e scendendo di 7 ottave, ci si scontra con il fatto che 3^12 ≠ 2^19. Se i pitagorici avessero conosciuto il teorema fondamentale dell'aritmetica, non avrebbero nemmeno dovuto fare i calcoli! 🙂
• La verifica acustica: Il tentativo di riportare questi numeri sul monocordo serve da conferma, ma sconta sempre l'imprecisione della misura pratica.

3. Il difetto meccanico e il nodo della voce umana - L'idea che Pitagora ipotizzi inizialmente un difetto dello strumento (il ponte mobile posizionato male, difetti della corda, ecc.) e ricostruisca il monocordo più volte è una buona intuizione narrativa: rappresenta perfettamente la resistenza dello scienziato di fronte a un fatto controintutivo.

Sulla voce umana, invece, nutro qualche dubbio che possa servire da controprova di precisione:

• Una voce esercitata tende naturalmente verso gli intervalli puri e corregge inconsciamente i micro-difetti di intonazione.
• Se anche si facesse cantare al cantore il giro delle 12 quinte (riabbassando di volta in volta la nota nell'ottava comoda per non uscire dal registro vocale), l'instabilità fisiologica della voce (pressione dell'aria, vibrato, affaticamento) accumulerebbe un errore nettamente superiore ai 23 centesimi del comma, mascherando il dato matematico.

In conclusione: Credo sia storicamente e scientificamente più plausibile che i Pitagorici si siano accorti della "non chiusura" della scala attraverso l'aritmetica, per poi scontrarsi con i limiti della materia nel cercare di riprodurlo sul monocordo.

Possibili alternative per proseguire la narrazione: dopo la scoperta attraverso considerazioni teorico-numeriche, potresti inserire una diatriba tra chi è sicuro della discrepanza, vista la supposta superiorità dei numeri sulla realtà stessa, e chi, invece, ipotizza un errore, magari nei calcoli numerici. Quindi organizzano comunque una prova per verificare, dove le due fazioni si scontrano e fanno il tifo. Dopo le prime difficoltà di misurazione e di intonazione, riprovano, affinando il più possibile gli strumenti di misura e andando a ricercare uno di quei rari cantori dotati della facoltà dell’orecchio assoluto. A quel punto forse si potrebbe ipotizzare la verosimiglianza degli eventi. E avresti pure inserito una certa tensione narrativa aggiuntiva.
La conclusione potrebbe essere:

• o che si rendono conto delle difficoltà nel creare un esperimento affidabile e continuano ad affidarsi alla sola teoria;
• oppure confermano la discrepanza attraverso qualcosa di simile:

• Non usano la voce per misurare il comma, ma per verificare l'effetto acustico della stonatura. Cioè:
• Pitagora accorda due corde sul monocordo: una di riferimento e l'altra ottenuta dalla prima dopo le 12 quinte verso l’alto e le 7 ottave verso il basso (3^12/2^19).
  (Sale di una quinta, con una corda di lunghezza 2/3 e, se la nota supera l'estensione dell'ottava di partenza, scende di un'ottava con una corda di lunghezza doppia)
• Poi chiede al cantore dotato di orecchio assoluto di intonare un unisono con la prima corda e poi di cantare insieme alla seconda corda.
• Il cantore proverà una sensazione fisica di disagio. Oppure, se canterà sull’intonazione delle prima corda mentre Pitagora pizzica la seconda, percepirà i battimenti (il tipico sfarfallio acustico della stonatura) e cercherà istintivamente di sforzare la laringe per adattare la nota e raggiungere la consonanza.

Il mio testo teatrale "Muia e i Pitagorici" torna in scena a Torino

Dopo le edizioni del 2016 e del 2018, il mio testo teatrale "Muia e i Pitagorici", tratto da “Il mistero del suono senza numero”, tornerà in scena il 29 maggio a Torino, presso il Dipartimento di Chimica - Università di Torino - Via Giuria, 7 Torino, a cura di Teatro e Scienza.

Descrizione dello spattacolo

"Dal libro “Il mistero del suono senza numero” di Flavio Ubaldini si dipana un racconto che spazia dalla scuola dei Pitagorici fino ai giorni nostri. Ippaso, il più dotato tra i seguaci di Pitagora, ma anche il più ribelle e arrogante, ha un amore segreto: Muia, la figlia di Pitagora. Rispondendo a una domanda di lei, fa una scoperta che lo metterà in pericolo: la non esistenza di una frazione che rappresenti la diagonale del quadrato di lato 1. Solo dopo molti secoli, con la scoperta del “Taglio di Dedekind” si risolverà la questione.

Spettacolo di Flavio Ubaldini, con Maria Rosa Menzio, Margherita Premoli e Laura Riviera; Mimi: Marco Dalponte, Patrizia Genesi, Roberto Mandosso e Susanna Patroncini; Canto: Marco Dalponte e Simonetta Sola; Scenografia Virtuale: Nikolinka Nikolova; Tecnica: Fulvio Cavallucci; Assistente alla regia: Susanna Patroncini; Regia: Maria Rosa Menzio."

Settimane della Scienza 2025

Teatro & Scienza

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - terza parte

 Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   Nota¹ 

«Uhm», annuì Platone.

«Poi, si costruisce il cilindro che passi per il cerchio rosso», disse mostrando il cilindro rosso.

 

 

 

«E, infine, il cerchio giallo viene fatto ruotare in modo da formare questo toro», disse mostrando il toro giallo.



«E ora dovremmo immaginare la presenza contemporanea di questi tre solidi costruiti a partire da quei tre cerchi. I tre solidi si intersecherebbero in quattro punti»². Platone annuì dopo aver riflettuto qualche istante.

«E così il procedimento è finito. Perché prendiamo uno di questi punti d’intersezione, lo proiettiamo sul piano del cerchio rosso, e poi proiettiamo quel nuovo punto sull’asse del cono azzurro.

Ed ecco che il segmento compreso tra il vertice di quel cono e quel secondo nuovo punto sarà proprio il lato del cubo di volume doppio rispetto al cubo iniziale».

Platone lo guardava ammirato ed Eudosso sentiva tutta la gratificazione del momento.

«E la dimostrazione?», chiese Platone.

«La dimostrazione… è un po’ complicata», disse Eudosso dopo un istante di esitazione. «Il maestro ha voluto che ogni allievo la scrivesse. È tutta qui», disse mostrando le tavolette che aveva portato con sé.

Platone ne prese in mano un paio. Erano sette in tutto. Contenevano fitte descrizioni testuali che, a partire dal lato del cubo da raddoppiare, definivano esattamente tutti i passaggi per costruire i tre cerchi, i tre solidi e l’intersezione tra di loro. Nelle altre tavolette seguiva la dimostrazione di come quel punto di intersezione permetteva di costruire il lato del cubo con volume doppio rispetto al cubo costruito sul segmento iniziale.

Eudosso aveva ragione. Quella dimostrazione era tra le più complesse che avesse mai visto.

«È stupefacente!», sussurrò infine Platone. «L’occhio della ragione di Archita è tra i più acuti che io abbia mai conosciuto. Pochi come lui riescono a ricostruire così bene gli oggetti a partire dalle loro ombre». Il giovane lo guardava perplesso.

«Non capisco bene il discorso delle ombre e degli oggetti», disse infine.

«Credi che questo sia un cubo?», chiese Platone indicando la figura di legno che avevano usato poco prima.

«Beh… dire di sì».

«Se fosse un cubo quei dodici spigoli dovrebbero avere tutti esattamente la stessa lunghezza. E tutti quegli angoli dovrebbero essere perfettamente retti», osservò Platone. «Credi che le cose stiano così?» Eudosso lo guardava con le ciglia aggrottate. «Il falegname che lo ha costruito ha usato i suoi strumenti per renderlo il più possibile simile a un cubo», riprese Platone. «Ma se avesse avuto a disposizione strumenti più precisi, non si sarebbe accorto che quei dodici spigoli non hanno tutti esattamente la stessa lunghezza? Non si sarebbe accorto che quegli angoli non sono tutti esattamente retti?». Eudosso annuì dopo qualche istante di riflessione. «Quel pezzo di legno», continuò Platone, «è solo la proiezione dell’ombra del quadrato ideale. È il nostro tentativo di rappresentare qualcosa che non potremo mai produrre materialmente ma che potremo solo contemplare nel mondo delle idee investigandolo attraverso la ragione». Eudosso annuì più convinto. «Tornando, invece, all’aspetto più pratico, relativo al calcolo e alla dimostrazione», proseguì Platone, «una differenza che noto è che nel caso della duplicazione del quadrato si usa solo la figura di partenza più alcuni segmenti tracciati a partire da quella figura. Sono tutte operazioni geometriche che potrebbero essere eseguite usando solo gli strumenti della riga e del compasso. Mentre nel caso del cubo bisogna ricorrere alla costruzione di altre figure piane, di altre figure solide, di intersezioni e proiezioni. Certo, funziona, ma…».

«Ma, cosa?». «Mi chiedo se non esista una dimostrazione così semplice anche per la duplicazione del cubo. Da una parte», cercò d’illustrare meglio all’occhio curioso di Eudosso, «abbiamo tre cerchi, un cono, un cilindro, un toro, intersezioni e proiezioni. Mentre dall’altra», proseguì Platone, «abbiamo solo qualche prolungamento di lato, il tracciamento di quattro diagonali e una semplice dimostrazione. Ecco… mi chiedevo se non esistesse una costruzione più semplice anche per la duplicazione del cubo. Una dimostrazione che si possa produrre usando solo la riga e il compasso». Eudosso continuava a fissarlo assorto. «Beh, comunque grazie per la spiegazione. Questo nostro primo incontro è stato molto fruttuoso. Spero lo siano anche i prossimi», disse infine Platone. Poi si accomiatò.

 

¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

² Con notazione moderna.

 

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

«Beh… è difficile spiegarla senza una copia delle figure geometriche… Ma casa mia è dietro l’angolo», aggiunse subito. «Lì ho le copie che il maestro Archita ci ha fatto usare».

Eudosso tornò, poco dopo, carico di oggetti che a stento riusciva a trasportare. Diverse tavolette erano serrate sotto l’ascella destra, alcuni sottili dischi di legno colorato sotto l’altra ascella e le mani stringevano altre figure di legno, anch’esse colorate. Alcuni passanti li guardarono incuriositi.

«Spostiamoci verso quell’angolo un po’ più in disparte», lo esortò Platone.

Raggiunto il luogo più nascosto il giovane lasciò cadere tutto il materiale a terra. «Immaginiamo che questo sia il cubo che vogliamo duplicare», cominciò dopo aver recuperato la figura. «Il primo passo della costruzione consiste nel formare tre cerchi il cui raggio corrisponda alla lunghezza del lato del cubo», proseguì poggiando il cubo sul disco rosso per mostrare l’equivalenza.

Nota¹ 

«Poi dovremo disporre i tre cerchi sui tre piani individuati da tre delle facce adiacenti del cubo».

Per mostrare la disposizione Eudosso chiese a Platone di tenere il cubo con una mano in modo tale che una faccia fosse parallela al terreno, e il cerchio rosso con l’altra mano, anch’esso orientato parallelamente al terreno. Poi lui dispose gli altri due cerchi, uno azzurro e uno giallo, vicino al primo ma li orientò verticalmente rispetto a quello e in modo che fossero perpendicolari tra di loro.

«Adesso, usando l’immaginazione», riprese Eudosso con fare saccente, «dovremmo raffigurarci che questi tre cerchi si avvicinino l’un l’altro fino a sovrapporsi, in modo che ogni circonferenza abbia solo due punti d’intersezione con ognuna delle altre».



«Ho capito», disse immediatamente Platone un po’ infastidito.

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   

Continua su Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - terza parte

¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

Il giovane fissava il maestro riflettendo sulle sue parole. Aveva già sentito critiche rivolte al sistema democratico, ma mai sostenute da argomentazioni così convincenti.

«Comunque», fece Platone voltandosi verso Eudosso e interrompendo quel flusso di pensieri, «parlavo dell’importanza della matematica. Durante questo soggiorno a Taranto, vivendo a stretto contatto con voi e immergendomi negli insegnamenti della scuola pitagorica di Archita, mi sono convinto che la natura stessa del numero e degli enti geometrici è un faro che illumina la strada della comprensione della realtà. Numeri e figure geometriche esistono nel mondo delle idee, mentre nel mondo reale vediamo solo la proiezione delle loro ombre. Ma, numeri ed enti geometrici non sono meno reali di ciò che vediamo e tocchiamo. Anzi, sono sempre più convinto che la vera realtà risieda proprio nel mondo delle idee, quella che si può vedere solo con l’occhio della ragione, come sostenevano anche Parmenide e Zenone».

Eudosso lo guardava vagamente confuso. Frattanto avevano raggiunto l’avvallamento che precedeva la lieve salita verso la penisoletta dell’acropoli. Alcuni uomini stavano trasportando un’imbarcazione leggera da una sponda all’altra della penisola.

«Tuttavia…», Platone sembrava cercare le parole giuste, «abbiamo appena parlato degli aspetti teorici dei numeri e della geometria, ma per quelli più… pratici. Mi riferisco ai calcoli, ai metodi di manipolazione geometrica, alle tecniche di dimostrazione», Eudosso lo fissava dubbioso.

«Ecco, per quegli aspetti… credo che sarebbe opportuno…», il maestro parlava con frammentata cautela, stentando ad arrivare alla conclusione. Forse era ancora in dubbio. Non sarebbe stato più saggio parlarne con Archita? Ma forse non voleva rivelare così apertamente la sua ignoranza proprio al maestro. «Penso che le tue competenze mi sarebbero molto utili». Gli occhi del giovane s’illuminarono. «Vorrei dunque proporti una serie di incontri per discutere di quei temi».

«Ma sì, certo!». Eudosso faticava a trattenere l’entusiasmo. «Anzi, possiamo cominciare subito. Sono a vostra completa disposizione».

«Beh … Ci sarebbe…», tentennò Platone mentre i suoi occhi fissavano le colonne del tempio di Poseidone. Alcuni fedeli stavano assistendo a una cerimonia davanti all’altare esterno. «Vedi, Eudosso», riprese, «ci sono metodi, come quello per la duplicazione del quadrato, che sono facili da comprendere e da riprodurre. Lo si fa semplicemente tracciando linee aggiuntive a partire dal quadrato che si vuole duplicare. Invece… Per la duplicazione del cubo… So che ci sono vari metodi…».

  
«Ah, conosco bene la duplicazione del cubo», replicò subito il giovane. «Il maestro Archita ha preteso che la studiassimo a fondo. Anche perché… la vera soluzione è sua. Quella di Ippocrate è insufficiente perché semplifica il problema ma non lo risolve», sentenziò sistemandosi il chitone sulle spalle. Era un gesto tipico di Archita che il giovane aveva fatto suo. Lo usava, più o meno inconsapevolmente, quando si atteggiava a maestro. «Allora, il problema della duplicazione del cubo», proseguì, «è nato da una richiesta del dio Apollo. La città di Delo era stata colpita dalla peste e i suoi abitanti si radunarono a pregare intorno all’altare a lui dedicato per chiedere di esserne liberati. Attraverso il suo oracolo il dio disse che avrebbe sconfitto la peste se loro avessero raddoppiato l’altare. E, stupidamente,…»

«…loro raddoppiarono il lato dell’altare esistente, che era di forma cubica, ottenendo un altare otto volte più grande», lo interruppe Platone. «Sì, lo sappiamo».

«Ehm…», fece Eudosso. «Sì, lo si sa», ripeté un po’ frustrato. «Dicevo quindi che la soluzione di Ippocrate è insufficiente perché non fa altro che ridurre un problema di geometria dei cubi a un problema di geometria dei triangoli ma il calcolo rimane insolubile. Invece il mio maestro Archita ha trovato la soluzione concreta e non solo teorica, come quella di Ippocrate», sorrise riprendendosi dalla frustrazione.

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

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Maieutica e duplicazione del quadrato - terza parte

 Continua da Pitagora e dintorni: Maieutica e duplicazione del quadrato - seconda parte

Atene, gennaio 386 a.C.

«Allora», riprese Teeteto, «proviamo a disegnare daccapo questi quattro quadrati», disse mentre tracciava una copia semplificata del precedente schema. «E ora aggiungiamo quattro linee da angolo ad angolo di ognuno dei quattro quadrati piccoli».

«Adesso dimmi: queste quattro linee non tagliano in due ognuna di queste quattro aree?».

«Sì, mi sembra che le tagliano in due».

«E questi quattro lati uguali che figura formano?», chiese Teeteto mentre muoveva il bastoncino circolarmente lungo il perimetro della nuova figura interna.

«Non capisco la domanda, signore».

«Non si chiama quadrato la figura con quattro lati uguali?».

«Certo, signore».

«Quanto è grande, allora, l’area di questo quadrato interno?».

«Non lo so», scosse la testa Menone.

«Rifletti», lo spronò Teeteto. «Non abbiamo detto che ogni linea ha diviso a metà questi quattro quadrati piccoli?».

«Sì».

«Ricordi quanto misurava l’area di quei quadrati piccoli, che poi erano una copia del quadrato iniziale?».

«Quattro piedi, signore».

«Quanto misureranno, dunque, quelle metà?».

«Due piedi».

«E quante di queste metà riempiono l’interno di questo nuovo quadrato obliquo?».

«Quattro, signore».

«L’area di quel quadrato non misurerà allora quattro volte due piedi?».

«Certo… otto piedi… ma allora è questo!», gridò Menone dopo averci pensato un istante. «È questo il quadrato di area doppia che cercavamo!», esultò guardando gioioso Teeteto ed Eudosso.

Come uno specchio deformante, il volto di Teeteto trasformò il sorriso d’entusiasmo in un ghigno di rivalsa e lo proiettò verso Eudosso.

«Sapresti indicarmi qual è il lato di quel quadrato?», intervenne Platone.

«Questo, signore», rispose Menone avvicinando il dito a una delle quattro linee oblique.

«Cioè la linea tesa da angolo ad angolo dell’area di quattro piedi?».

«Sì, quella».

«Sappi che quella linea si chiama diagonale del quadrato. Dunque abbiamo appurato che la diagonale di un quadrato genera un quadrato di area doppia rispetto al quadrato iniziale, giusto?».

«Giusto».

«Ora dimmi se non abbiamo assistito a un prodigio», chiese Platone rivolgendosi a Eudosso. «Trovi che qualche opinione espressa da Menone non fosse sua?».

«No», rispose Eudosso, «ma…».

«Ma?», replicò Teeteto con un tono di sfida.

«Sei stato tu a tracciare le diagonali. Lui, da solo, non ci sarebbe mai arrivato».

«Questa è l'arte della maieutica!», sentenziò Platone. «Prevede la presenza di una guida. O, come preferiva dire Socrate, di una levatrice che agevoli la rinascita delle idee che giacciono dormienti nel profondo dell’anima. L’anima è immortale e rinasce più volte. E nel suo lungo ciclo di reincarnazioni ha già visto tutto, sia nel mondo dei vivi sia nell’Ade. E non c’è niente che essa non abbia già imparato. Non dovremmo dunque meravigliarci se è capace di ricordare ciò che già sapeva». Eudosso contemplava il maestro. Ora la sua barba era quasi totalmente imbiancata dai fiocchi di neve che cadevano più intensi. «Il metodo di Socrate prevede domande e risposte tra maestro e allievo, e procede per eliminazione delle risposte contraddittorie o irragionevoli. E può far anche emergere l’infondatezza di verità che diamo per scontate, declassificandole al loro vero ruolo di opinioni. È così che l'allievo viene indotto ad accorgersi della propria ignoranza e a discernere le verità dalle false presunzioni».

«Sì, ma le diagonali…», ribadì Eudosso con gli occhi che tradivano un barlume di incertezza.

«Il suggerimento di Teeteto sulle diagonali rientra perfettamente nel metodo della maieutica», dichiarò Platone apodittico.

Il giovane tacque. Osservò un nuovo scambio di sguardi tra Platone e Teeteto. Si rese conto che non era più il caso di insistere su quella linea.

«Ho capito», disse infine abbassando la testa.

«Bene», disse il maestro scrollandosi un po’ di neve dalla barba. «Credo che sia arrivato il momento di rientrare a casa».

In quel momento Eudosso non immaginava quanto quella conversazione avrebbe influenzato il suo futuro.

Il mistero del suono senza numero - "in superficie è una storia semplice e ricca di mistero, in profondità nasconde l’essenza della matematica"

Daniela Molinari, insegnante di matematica e fisica presso un Liceo Scientifico ha scritto una recensione del Il mistero del suono senza numero. 

Qui riporto solo un piccolo estratto. Per la recensione completa: amolamatematica/il-mistero-del-suono-senza-numero

Il percorso è davvero interessante: in superficie è una storia semplice e ricca di mistero, ma in profondità nasconde l’essenza della matematica: mette in luce le caratteristiche della scuola pitagorica, il percorso della ricerca matematica dalla nascita di un’idea fino alla sua formalizzazione, ed evidenzia come le domande fondamentali si mostrino a volte come banali, ma possano mettere in crisi anche i saperi più antichi.

Le idee più profonde della matematica e della filosofia pitagorica sono trasmesse al lettore nel corso della storia e, permeando la vicenda, consentono un’assimilazione più efficace dei concetti difficili.

Non con l’occhio che non vede né con l’orecchio che rimbomba ma con la ragione giudica la prova

«Dunque, la dea vi disse che pensare è lo stesso che essere…».
«Ti faccio un esempio» lo interruppe Parmenide. «Nelle lezioni ho parlato dei pitagorici e della loro teoria del numero».
«Sì, tutto è numero» annuì Zenone.
«Bene, tu hai mai visto un numero?».
«Ehm…» fece Zenone. Poi prese una delle tavolette che teneva in un sacchetto e tracciò tre trattini sulla sua superficie. «Immagino non intendiate i segni che scriviamo per fare i calcoli».

«No. Quelle sono rappresentazioni. Potremmo rappresentare quel numero in molti modi: con ciottoli, con trattini, con lettere dell’alfabeto. Ma quelle rappresentazioni non sono i numeri. Quei tre trattini non sono il numero tre. Il numero tre non si può né vedere né toccare. Ma forse per questo non esiste? È meno reale di ciò che vedi e che tocchi?» fece una pausa sotto lo sguardo interrogativo di Zenone. «Se lo possiamo pensare, allora esiste!» affermò poi con veemenza. «Se lo possiamo pensare, è!».

«Ma allora i pitagorici avevano già capito questo concetto?».

 
«Quella di Pitagora è stata la prima grande scuola di pensiero. La ragione ha condotto i suoi allievi attraverso il sentiero della verità guidandoli verso importanti scoperte. Così ci hanno svelato l’importanza dei numeri, mostrandoci la loro corrispondenza con i fenomeni naturali. Inoltre, furono i primi a usare il metodo del ragionamento per assurdo. Quel tipo di ragionamento in cui l’assurdità di una conclusione fa dedurre la falsità dell’affermazione iniziale. E quel metodo rimane tra i più importanti mezzi con cui la ragione umana può mantenersi sul sentiero della verità. Ma i pitagorici non si mantennero sempre su quel sentiero. Ne uscirono proprio nelle occasioni in cui non usarono il ragionamento per assurdo. Ad esempio, quando pretesero di attribuire un significato a ogni numero. In quel caso non sottoposero l’ipotesi alla prova dell’assurdo: se ammetto che ogni singolo numero non abbia un significato specifico, quale assurdità genererei? Nessuna! Oppure quando vollero trovare la musica persino nel moto degli astri. Ma se ammetto che gli astri non producano suoni, genero una contraddizione? No! Inoltre, caro Zenone, alla luce delle rivelazioni della dea Dike, io sostengo che i pitagorici furono miopi persino quando raggiunsero conclusioni valide usando la ragione in modo perspicace. Furono miopi perché interpretavano fatti percepiti attraverso i sensi, senza accorgersi che i sensi possono essere fallaci e illusori. I sensi annebbiano la vista della ragione. Possono farci deviare dal sentiero della verità per condurci nei vicoli ciechi dell’illusione».

«Dobbiamo dubitare anche di ciò che vediamo e che sentiamo?».
«È così. Lo dedussi dalle parole della dea: “Non con l’occhio che non vede né con l’orecchio che rimbomba ma con la ragione giudica la prova”. Pensa alla forma della Terra» continuò il maestro sotto lo sguardo ancora dubbioso dell’allievo. «Se ci fermiamo alla prima impressione suggerita dai sensi, la vediamo piatta. Così come credevano i nostri antenati, o ancora oggi le persone semplici. Ma è 
davvero piatta? Se sottoponiamo la prima impressione al vaglio della ragione, ponendoci domande sensate e interrogandoci sul significato di altre osservazioni, allora ci rendiamo conto che non può essere piatta: come spiegheremmo che i naviganti vedono prima le vette delle montagne e poi le terre basse? E che vedono prima le vele e poi gli scafi delle altre barche? Come spiegheremmo che, quando si naviga dall’Egitto a Massalia, alcune stelle vanno più in alto mentre altre scompaiono sotto l’orizzonte? Come spiegheremmo che a inizio estate un paletto piantato verticalmente non proietta ombra sul suolo della Tebe egiziana, mentre la proietta su quello della Tebe greca?».

«Vero!» esclamò Zenone ammirato. «Però, riguardo ai pitagorici… Non sono sicuro di aver capito. Raggiunsero la verità percorrendo il sentiero sbagliato?».
«Volendo sintetizzare, sì. Partendo dall’osservazione che certi rapporti numerici corrispondono a precisi intervalli musicali scoprirono che il cosmo può essere compreso attraverso i numeri. Ma la loro osservazione si basava sulla percezione acustica. Una percezione che può allontanare dal sentiero della verità».

«Uhm» fece Zenone poco convinto, ma guardandosi bene dall’esprimere la propria perplessità.
«Tuttavia, anche le apparenze a volte possono essere utili» aggiunse il maestro. «A patto che non contraddicano la ragione generando delle assurdità: “con la ragione giudica la prova”. E, in quel caso, i pitagorici non la contraddissero».

«Quindi… non sempre i sensi sono fallaci e illusori» azzardò Zenone.
«I sensi sono illusori quando ci comunicano parvenze irreali. Ma abbiamo altri mezzi per percepire la realtà che ci circonda? No. Possiamo farlo solo attraverso i sensi. Quindi tali parvenze rappresentano l’esperienza umana di partenza da cui l’intelletto può ricostruire l’unità del tutto. La scoperta dei pitagorici sul ruolo dei numeri e della matematica nella comprensione della realtà è stata fondamentale, ma rappresenta solo un passo lungo la via necessaria per raggiungere l’unificazione totale e definitive della realtà. Tuttavia, il sentiero della verità continua a essere costantemente tradito. Anche da pensatori moderni come il vecchio Eraclito di Efeso».

«Eraclito di Efeso? Mi pare che non ce ne abbiate mai parlato».
«Non ve ne ho mai parlato per difendervi dal pensiero dissennato di chi scrive che non si può discendere due volte nel medesimo fiume e che non si può toccare due volte una sostanza mortale nel medesimo stato» si infervorò Parmenide. «Che sciocchezze! L’essere è immutabile, immobile e sempre uguale a se stesso! Il cambiamento implicherebbe il passaggio dall’Essere al Non-Essere. Ma del Non-Essere non si può né dire né pensare nulla, perché non è possible né dire né pensare ciò che non è!».

«Efeso si trova nella Ionia, vero?» cambiò discorso Zenone avendo intuito di essersi cacciato in un vespaio.

Alessandro Barbero: la storia come caos di cose che si sovrappongono e si contraddicono

Riporto un'interessantissima considerazione di Alessandro Barbero sulla ricerca compulsiva delle cause degli eventi storici.

Barbero conclude affermando:
"La storia è esattamente come le nostre vite: un caos di cose che si sovrappongono, che si contraddicono, di casualità, di azioni altrui. Metterci ordine significa capire, ma significa anche falsificarle un pochino."

"Io, da storico, comincio ad averne abbastanza di questa nostra compulsione a cercare le cause delle cose. Perché tu ricostruisci degli avvenimenti ed è già tanto se riesci a capire come si sono svolti, che cosa è successo. E poi le persone vogliono sapere: perché? E i perché sono difficili da ricostruire e sono sempre provvisori. Ad esempio, nella discussione sulle cause della guerra civile americana si è detto che le cause fossero da ricercare nel fatto che si voleva abolire la schiavitù. Poi per trent’anni si è detto: no non è vero niente; sono gli Stati del sud che hanno un’economia in conflitto con quelli del Nord. Poi si torna a dire: no abbiamo capito che era davvero la schiavitù il problema.
Tutto questo è interessante perché è un esercizio continuo di scavo, di approfondimento e di argomentazione. Ma sono sempre operazioni un po’ artificiali perché mettono ordine nella realtà quando la realtà ordinata non è. La storia è esattamente come le nostre vite: un caos di cose che si sovrappongono, che si contraddicono, di casualità, di azioni altrui. Metterci ordine significa capire, ma significa anche falsificarle un pochino.
...
Quando un evento storico è accaduto, proprio per questa nostra compulsione di trovare le cause, ci precipitiamo alla ricerca dei segni premonitori e, regolarmente, li troviamo.
Io stesso ho scritto che la catastrofe di Adrianopoli è legata alla corruzione del sistema romano nel IV secolo. Ma il sistema romano di 300 anni prima era altrettanto corrotto e non è collassato per niente. Anzi ha conquistato il mondo. Quindi io sarei sempre prudente."

Il gatto Achille e la tartaruga Hermes (seconda parte)

Propongo la seconda parte del capitolo Il gatto Achille e la tartaruga Hermes, che fa parte del progetto descritto in Zenone, Achille, la tartaruga e… Pitagora

...
«Allora… Significa che il movimento è davvero un’illusione?», chiese Zenone.

«A meno che…», aggiunse Apollonia dopo averci riflettuto. «Il ragionamento sbagliato non sia proprio nella suddivisione dello spazio e del tempo».

«Ma se funziona nell’esperimento mentale perché non dovrebbe funzionare nella realtà?».

Who's gonna win this race - Ellen Miffitt

«Beh…», fece lei. «L’esperimento mentale funziona attraverso una divisione numerica che va avanti illimitatamente. Ora, io ho imparato dai pitagorici che i numeri aiutano a interpretare la realtà. Ma…», continuò la ragazza sempre più immersa nelle sue speculazioni, «c’è anche il precedente che citavo prima. Ippaso scoprì un oggetto a cui non corrisponde nessun numero. Scoprì una corda che non può essere misurata e che quindi emette un suono senza numero». Zenone la fissava ammirato. Nel frattempo avevano raggiunto la scuola e Zenone salutò degli allievi che ciondolavano davanti all’ingresso. Alcuni di loro guardarono la coppia con una certa curiosità. «Questo ci insegna che», riprese Apollonia ignorandoli, «sebbene i numeri siano un ottimo strumento per indagare la realtà, esistono aspetti di questa a cui non corrispondono numeri e, similmente, potrebbero esistere fenomeni immaginabili attraverso i numeri ma senza riscontro nel mondo reale».

«Vorresti dire che…».
«…che forse non si può andare avanti illimitatamente nella frammentazione dello spazio e del tempo. Se lo si può immaginare attraverso i numeri deve essere necessariamente vero anche nella realtà?».
«Uhm…», fece Zenone. «Quindi potrebbe esserci un limite? Un’unità elementare di spazio e un’unità elementare di tempo che non sarebbero divisibili ulteriormente?».
«Potrebbe essere così. Oppure una tale unità indivisibile potrebbe esistere solo per lo spazio o solo per il tempo».
«Hai un’intelligenza insuperabile!», fece Zenone col fiato corto mentre attraversavano uno spazio angusto tra due edifici. «No, mi correggo. La tua intelligenza è superata solo dalla tua bellezza».
«Smettila!», ridacchiò lei. «Non sono bella!».
«Lo sei!», protestò lui prendendola per mano. «E l’intelligenza ti rende ancora più bella», continuò avvicinandola a sé.

I due giovani si fissarono intensamente per alcuni istanti. Poi i volti cominciarono a cedere alla forza di attrazione reciproca. E il bacio li proiettò di nuovo in quel meraviglioso mondo parallelo in cui esistevano solo loro.

Il gatto Achille e la tartaruga Hermes

Propongo un frammento del progetto descritto in Zenone, Achille, la tartaruga e… Pitagora 

Zenone tornò a rimuginare sulla gara di corsa tra gatto e tartaruga, che gli era stata suggerita per indagare la natura illusoria di spazio e tempo. Era giunto alla conclusione che, per risolvere quel dilemma, avrebbe dovuto usare l’occhio della ragione immaginando un esperimento mentale. Raziocinando intorno a quella corsa immaginaria sarebbe dovuto andare alla ricerca di possibili contraddizioni. Decise di parlarne con Apollonia una mattina in cui si erano ritrovati nell’acropoli. Le presentò le premesse come una sua idea guardandosi bene dal citare i suggerimenti ricevuti.

Who's gonna win this race - Ellen Miffitt

«Mi è venuta in mente per poter indagare la vera natura dello spazio e del tempo cercando di minimizzare l’illusorietà dei nostri sensi. Non con l’occhio che non vede né con l’orecchio che rimbomba ma con la ragione giudica la prova!», disse Zenone un po’ tronfio mentre attraversavano la spianata dell’acropoli. I nuovi edifici erano stati completati da poco. Tra tutti spiccavano il teatro e il tempio di Atena Poliade, che era ben visibile anche ai naviganti che veleggiavano in prossimità del promontorio di Elea. Una massa di Eleati si muoveva e si assembrava, in modo abbastanza imprevedibile, tra quelle nuove costruzioni. E ad Apollonia non sfuggivano gli sguardi indirizzati a loro, alla coppia sgradita. Alcuni lo facevano con maliziosa discrezione, parlottando poi alle loro spalle. Pochi altri con atteggiamento ostentatamente aggressivo, come a volerli sfidare. Ma, c’era anche chi sembrava guardarli con benevolenza e ammirazione. Loro avevano deciso di ignorare il più possibile quelle manifestazioni indiscrete.

«Vuoi dire che non dobbiamo credere ai nostri sensi?», obiettò Apollonia. «È attraverso l’occhio e l’orecchio che i pitagorici hanno scoperto la connessione tra matematica, musica e fenomeni naturali».

Zenone le propose la spiegazione che aveva appreso da Parmenide e che lui stesso aveva già ripetuto più volte ai giovani allievi. Era vero che i pitagorici si erano affidati a una percezione acustica che, in quanto percezione, può allontanare dal sentiero della verità. Ma anche le apparenze possono essere plausibili, a patto che non contraddicano la ragione generando assurdità. E, in quel caso, i pitagorici non la contraddissero.

Dopo aver girovagato un po’ per l’acropoli avevano deciso di dirigersi verso il limite occidentale della spianata. Apollonia lo ascoltava mentre il suo sguardo svolazzava incantato tra le meraviglie di quel paesaggio che la lunga assenza aveva punteggiato di emozioni nuove. Un’ammirazione nostalgica che sconfinava a tratti nello struggimento mistico. Ma lo stato d’animo durava fino al momento in cui si imbatteva in un nuovo atteggiamento ostile. Decisero di abbandonare l’acropoli.

«È solo attraverso i sensi che possiamo esplorare i fenomeni naturali», ammise poi il giovane mentre discendevano il lato occidentale del promontorio. «Tuttavia, le percezioni sensoriali possono allontanare dal sentiero della verità. È per questo che dobbiamo sempre sottoporle al vaglio della ragione per verificare che non generino contraddizioni».

«Sembra un punto di vista interessante», concesse Apollonia che continuava ad ammirare le distese marine.

«Dunque, sono partito dall’ipotesi che quel gattaccio di Achille sia cento volte più veloce della mia Hermes».

«Mi pare realistico», disse lei. «Ma perché hai scelto proprio il gatto di Cleudoro per questo esempio?», chiese poi arricciando il naso.

«Ehm, non lo so. Forse sono stato influenzato dai ricordi d’infanzia», disse frettolosamente Zenone. «Ma tornando alla corsa, nel momento in cui Achille avrà percorso lo stadio di vantaggio concesso alla tartaruga, la mia Hermes avrà percorso un centesimo di stadio e avrà ancora un piccolo vantaggio. Però… Mi pare che non ci sia storia. Hermes potrà rimanere in vantaggio ancora per qualche istante ma, prima o poi, Achille la supererà».

«Uhm», fece Apollonia muovendo lo sguardo tra le frasche degli olivi come se seguisse quella corsa immaginaria. «Non ne sarei così sicura».

«Che vuoi dire!?», protestò Zenone.

«Beh, quando Achille avrà percorso quell’ulteriore centesimo di stadio che lo separa da Hermes, la tartaruga ne avrà percorso un centesimo di centesimo. E sarà ancora in vantaggio».

«Sì ma prima o poi…».

«Prima o poi, che?», lo interruppe Apollonia. «Un discorso simile può essere ripetuto illimitatamente andando avanti con i centesimi di centesimi di centesimi di centesimi… Ed Hermes avrà sempre un vantaggio che, per quanto piccolo, non sarà mai nullo».

«Per Zeus!», esclamò Zenone. «Ma… Come hai fatto a farti venire in mente un’idea così brillante?».

«Non so…», si schermì Apollonia. «Forse… Sono stata influenzata dal ragionamento usato in una dimostrazione che si insegna nella scuola pitagorica. Quella dell’impossibilità di esprimere la diagonale del quadrato di lato uno come rapporto tra due numeri». Zenone ebbe un sussulto. «Anche lì compare la ripetizione illimitata di un’operazione e quel processo genera una conclusione assurda», proseguì la ragazza. «E se la conclusione è assurda allora l’ipotesi di partenza deve essere falsa. Inizialmente quella dimostrazione veniva nascosta. Pensa che il pitagorico Ippaso venne punito per averla divulgata!».

Al suono di quel nome il sussulto si trasformò in vertigine. «Ma… in questo caso…», riuscì ad articolare Zenone dopo essersi ripreso, «quale sarebbe l’ipotesi di partenza sbagliata?».

«Mah, non mi pare ci sia un’ipotesi sbagliata. Il ragionamento sembra corretto».

«Allora… Significa che il movimento è davvero un’illusione?»

Zenone, Achille, la tartaruga e… Pitagora

“Pitagora fu nel corpo di Zenone di Elea e sotto quelle spoglie investigò il problema della quantità di nu­meri compresi tra due numeri dati. Una strada che lo con­dusse all’elaborazione di quattro paradossi e all’intuizione che la geometria e non il Numero governasse il mondo.”

Così si chiudeva “Il mistero del suono senza numero”. E così si apre il suo seguito a cui ho cominciato a lavorare e che spero veda la luce nel 2021.
La lievissima brezza del Tirreno riusciva appena a stemperare l’arsura dell’aria. Viste da quel tratto, a mezzacosta del promontorio, le due isolette Enotridi di Pontia e Isacia sembravano due strane creature marine pietrificate dal vigore della vampa. I caseggiati di Elea apparivano deserti: sia quello in basso vicino al litorale, sia quelli più in alto. Anche i lavori di edificazione dell’acropoli erano fermi. In quella stagione nessuno avrebbe voluto sfidare la potenza dell’astro nelle ore centrali del cammino celeste del carro di Elio… O quasi nessuno.

«Vai, Hermes! Vai!»
«Forza, Eracle! Puoi ancora recuperare!»

Le urla d’incitazione erano rivolte a una decina tartarughe impegnate in una gara di corsa. Un branco di ragazzini le circondava. Tutti grondavano sudore. Molti saltavano e sbraitavano. E qualcuno si manteneva in silenzio, esprimendo il coinvolgimento attraverso il movimento delle braccia o la contrazione di pugni e mascelle.

«Nooo, è di nuovo Hermes», piagnucolò Pitodoro saltellando. «Di nuovo Hermes! È di nuovo lui a vincere», continuò con un tono carico d’insofferenza che strideva con l’espressione gioiosa e sorridente del volto. Era il suo modo di rallegrarsi per la nuova vittoria della tartaruga del suo amico Zenone nella gara di corsa. Hermes era un fulmine! Quando riusciva a partire in vantaggio era irraggiungibile. Avrebbe potuto battere anche un ga…

«Attenzione! Achille in vista!», urlò improvvisamente un altro ragazzino da un dosso al limite dell’ombra della grande quercia che sovrastava la pista per le gare. Molti corsero immediatamente verso la pista. Ma nessuno ebbe il tempo di recuperare la propria tartaruga. Achille, per niente a disagio sotto il sole rovente, avanzò tra le stoppie come una furia; un istante prima che Hermes tagliasse il traguardo, irruppe nella pista e si mise a menar zampate, e a dispensare morsi e graffi ai carapaci nei quali le tartarughe si erano istantaneamente ritratte.

Al seguito di Achille comparve un ragazzino dalla corporatura massiccia che indossava un elmo e brandiva una spada: entrambi di legno. Come tutti gli altri indossava un leggerissimo chitoniskos, ma se lo era fatto disporre in modo che ricordasse la linothorax, l’armatura che i guerrieri achei indossavano nella guerra di Troia. Una linothorax piuttosto umidiccia. Le braccia e le gambe scoperte mostravano sbucciature nella parte inferiore degli avambracci e sulle ginocchia. «Salve, femminucce! Avete occupato di nuovo la nostra pista con quegli stupidi animali», sbraitò con fare aggressivo e tono di voce forzatamente rauco mentre dimenava la spada verso gli altri e con l’altra mano recuperava il suo gatto. Tutti tacquero pietrificati. Cleudoro era più grande di loro e molto prepotente. Nessuno si sarebbe azzardato ad affrontarlo. «Vieni, Achille. Non sporcarti le zampe con quegli… animali di terra. Noi abbiamo ascendenze celesti. Discendiamo da Ailuros, la dea Bastet dei sapienti Egizi», declamò con sguardo ispirato ripetendo probabilmente una frase ascoltata da qualche adulto. Poi mosse dei passi verso Zenone, che nel frattempo aveva recuperato la sua Hermès, e gli puntò la spada contro. «E so che tu», riprese inasprendo il tono della voce, «sei il capo di questa banda di mezze calzette.»

«Io non sono il capo di nessuno, Cleudoro. E questa non è solo la vostra pista», rispose Zenone con tono deciso. Non sembrava intimorito. Un soffio di vento caldo gli attraversò i capelli neri e andò a smuovere anche la zazzera castana di Cleudoro.
«Non chiamarmi Cleudoro! Non vedi che indosso il sacro elmo di Achille?!» strepitò il giovane mascherato avvicinando il volto a quello di Zenone.

L’afrore dell’alito rese Cleudoro ancora più repellente. Zenone non resistette all’impulso e gli sferrò uno spintone che lo fece capitombolare all'indietro. Cleudoro piombò di schiena su una zona del prato dai ciuffi d’erba molto radi. Il suo elmo rotolò di lato e terminò la sua corsa su un mucchietto di pietrisco. La spada andò, invece, a urtare una pietra sporgente.
Cleudoro si rialzò con il volto deformato da una smorfia di incredulo stupore. Due nuove sbucciature gli erano comparse sui gomiti. Recuperò la spada e si accorse che la lama si era scheggiata. E l’elmo presentava dei graffi. Lo stupore si trasformò in collera. Gli altri ragazzini assistevano alla scena pietrificati. Il silenzio era rotto solo dal frenetico frinire delle cicale.

«Zenone maledetto!», sbraitò Cleudoro. «Ti ammazzo!»
Ma prima che riuscisse a lanciarglisi addosso, la piccola Nika si frappose tra i due. Cleudoro le incespicò addosso sbilanciandosi in avanti. Per non finire di nuovo a terra fece scattare le braccia e, toccando il terreno con i palmi delle mani, cercò di spingersi in alto. Ci riuscì ma al costo di due nuove ferite.

«Vi ammazzo tuttiii!», urlò.
Era furioso. Ma successe qualcosa di ancor più inatteso. Apollonia, la ragazzina dai capelli rossi, prese il posto di Nika, che era rimasta a terra con il viso rigato di lacrime, e immediatamente altri ragazzini si munirono di pietre e le balzarono al fianco creando un muro davanti a Zenone.
Cleudoro sbarrò gli occhi, incredulo. Come un lupo che assista a una ribellione delle pecore. Serrò i pugni sui palmi sanguinanti. Gli occhi rossi. Il volto rosso, rabbioso e dolorante. Poi il furore sembrò attenuarsi. La tensione parve dissolversi. Forse aveva capito che non gli conveniva combattere.

«Zenoneee. Niiikaaaa», risuonò una voce in lontananza.
«Che c’è, mamma!», rispose Zenone infastidito mentre Filista si avvicinava risalendo la mezzacosta.
«Perché hai fatto venire qui tua sorella!?», strillò lei continuando ad avvicinarsi. «Oh, divina Hera. È caduta! Perché è lì a terra?! E sta piangendo!», proseguì dimenandosi.
«Non l’ho fatta venire io! È stata lei a seguirmi», protestò Zenone.
«Ma tu avresti dovuto impedirglielo!»
«Zenoncino, ascolta la mamma», fece Cleudoro. La collera sembrava essere svanita e aver fatto posto a un atteggiamento di scherno. «Prendi la sorellina e tornatene a casa». Poi un lampo di rabbia tornò ad attraversargli il volto. «Femminucce! Ecco chi siete!», sibilò posando gli occhi su Apollonia.

«E tu sei un vigliacco!» replicò lei, sostenendone lo sguardo. «Fai il lupo con noi e l’agnellino con i più grandi».
«Ma da quando maschi e femmine giocano insieme? Voi avete le vostre bambole di pezza, le vostre pentoline», disse Cleudoro sprezzante.
«Smettila di fare il prepotente, Cleudoro!», intervenne Pitodoro.

Nel frattempo la madre di Zenone aveva raggiunto l’ombra della grande quercia.
«E poi non voglio che frequenti ragazzi… più grandi di te», disse Filista guardando Cleudoro con sguardo torvo.
«Che cos’ha mio figlio che non va?», chiese con impeto la madre di Cleudoro, che nel frattempo era scesa dal quartiere alto e aveva raggiunto il prato della pista senza essere vista.
«Nessuno si è rivolto a vostro figlio», ribatté Filista voltandosi.
«E io invece penso che stavate parlando proprio di lui!», incalzò l’altra.
«Ma siete voi a pensare che tutti ce l’abbiano con la vostra famiglia. E comunque non è un mistero che vostro figlio sia un prepotente e un maleducato».

«Ma che maleducato e maleducato!», gridò la donna. «E poi mi pare che ci abbia rimesso lui», aggiunse guardando le nuove sbucciature del figlio. «La verità è che voi siete invidiosi perché abbiamo fatto fortuna commerciando con l’Egitto!».
«Noi non abbiamo mai invidiato le fortune altrui. Le vere ricchezze, per noi, sono altre».
«Eh, sì. Loro sono superiori! Sono intelligenti, istruiti. Non si abbassano a desiderare ciò che tutti desiderano».
«Zenone, Nika, andiamo!», ordinò Filista ignorando le provocazioni. Poi si allontanò scendendo verso il quartiere costiero preceduta dai figli, mentre l’altra continuava a sbraitarle dietro.
«Non è finita qui… Gliela farò pagare», sibilò Cleudoro fissando Zenone che si allontanava.

Un mio articolo sulla rivista Archimede: I pitagorici e il mistero del suono senza numero

È uscito il n. 1/2020 della rivista Archimede. Tra i vari interessantissimi articoli, questo numero contiene anche il mio I pitagorici e il mistero del suono senza numero (scaricabile gratuitamente).

L'articolo contiene:

• una ricostruzione della vita di Pitagora e delle scoperte più importanti dei pitagorici basata sulle tarde fonti che ci sono pervenute;
• ipotesi su possibili percorsi usati per raggiungere tali scoperte;
• proposte per la realizzazione di una lezione-spettacolo nella scuola secondaria di primo e secondo grado.

Ecco il sommario del direttore Roberto Natalini:

“Questo numero di Archimede viene composto ed esce nel pieno di un’emergenza sanitaria mondiale senza precedenti. Ora più che mai crediamo che il buon insegnamento della matematica e la capacità di analisi quantitativa della realtà debbano essere al centro della nostra riflessione nella formazione e nella vita delle persone. Presentiamo comunque i nostri articoli, che speriamo possano essere utili ai docenti che ci leggono. Flavio Ubaldini ci parla di Pitagora e dei misteri intorno alla scoperta degli irrazionali (liberamente scaricabile). Giorgio Dall’Aglio, già professore di calcolo delle probabilità presso Sapienza Università di Roma, ci racconta come, in molte situazioni, lasciare scegliere al caso sia l’opzione migliore. Giovanni Canu e Carlo Andrea Pensavalle si occupano invece di una generalizzazione tridimensionale del rettangolo aureo. Nicola Marasciuolo analizza in dettaglio l’accelerazione di gravità, un argomento a cavallo tra fisica e matematica. La copertina e i disegni del fumetto sono di Andrea Scoppetta e sono dedicati al grande matematico tedesco David Hilbert, a cui è dedicata la breve storia scritta da Diego Cajelli.” E non dimentichiamo le soluzioni dei giochi di Archimede Enigmistica, apparsi nei numeri precedenti e la nuova rubrica “A colpo d’occhio” tenuta da Roberto Zanasi. Provate a guardare e commentare la sua ultima proposta.

La fortezza di Ecbatana

“La fortezza di Ecbatana è costituita da una serie di mura concentriche. Essa è studiata in modo tale che ogni giro di mura superi il precedente solo per l'altezza dei bastioni. ...

کاربر:Technoarya - wikimedia

In tutto le mura di cinta sono sette: l'ultima racchiude la reggia e i tesori; la più ampia si estende all'incirca quanto il perimetro di Atene. I bastioni del primo giro sono bianchi, quelli del secondo neri; sono rosso porpora al terzo, azzurri al quarto e rosso arancio al quinto; i bastioni delle prime cinque cerchie sono stati tinti con sostanze coloranti, invece le ultime due hanno bastioni rivestiti rispettivamente di argento e d'oro.”


Erodoto - Le storie

Elea

Mercoledì scorso sono stato a Elea e ho provato a salire sull’acropoli lungo i sentieri battuti da due giganti del pensiero filosofico occidentale: Parmenide e Zenone.

Ma mi sono ritrovato protagonista di uno strano fenomeno: ogni volta che avanzavo, la sommità dell’altura sembrava allontanarsi. Alla fine ho dovuto rinunciare.

Qualcuno mi ha detto che per sbloccare la spirale spazio-temporale avrei dovuto scoccare una freccia verso la sommità.

Il mistero del suono senza numero è il libro più venduto di Scienza Express al salone del libro di Torino

Ottime notizie dal salone del libro di Torino!

Visione prospettica tra antica Grecia e Rinascimento

Qualche anno fa avevo parlato della nascita della prospettiva e i suoi aspetti geometrici

Ora completo il quadro con una citazione da "Perché la cultura classica. La risposta di un non classicista" di Lucio Russo.

"Nonostante la convinzione di Piero della Francesca, nei secoli successivi, e in particolare in epoca illuministica, quando ci si convinse della superiorità dei moderni sugli antichi, fra gli storici dell’arte si diffuse la tesi (ancora ripetuta in qualche libro) che i greci non avessero conosciuto la prospettiva. In realtà non è più possibile dubitare dell’esistenza dell’antica prospettiva, poiché, oltre agli accenni più o meno vaghi di autori classici che erano sempre stati noti, oggi disponiamo di due tipi di documentazione: dipinti in cui le regole matematiche della prospettiva sono applicate in modo evidente, e brani di antichi trattati in cui si riportano in modo inequivocabile regole matematiche della prospettiva. Nella prima categoria è particolarmente importante l’affresco nella «stanza delle maschere», scoperto nel 1961 nella Casa di Augusto, sul Palatino. L’affresco nella «stanza delle maschere» nella Casa di Augusto, sul Palatino, dove tutti i segmenti che nella realtà sarebbero ortogonali alla parete di fondo, coerentemente alle regole della prospettiva, sono rappresentati convergenti esattamente in un punto."

La medaglia Fields e i numeri p-adici - seconda parte

– Allora, dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."

– Ah, ecco. Allora, partiamo dagli interi p-adici e diciamo che una volta scelto un certo numero primo p preciso, un intero p-adico α è definito da una sequenza illimitata di interi x_k per k > 0
α = {x_k}^∞_k=1 = {x₁, x₂, x₃, . . . },
Tali che x_k+1 ≡ x_k (mod p^k) per ogni k > 0,    (1)
E due sequenze {x_k} e {y_k} determinano lo stesso intero p-adico se e solo se
x_k ≡ y_k (mod p^k) per ogni k > 0    (2)
L’insieme degli interi p-adici viene indicato con Z_p.
– Aspetta. Il segno ≡ è la congruenza, giusto?

– Sì. È definita come a ≡ b (mod n) se a − b è divisibile per n.

– Quindi dalla (2) deduco che esistono infinite sequenze che rappresentano lo stesso intero p-adico, giusto?

– Sì, giusto. Però possiamo pure introdurre una definizione che, sfruttando le relazioni di equivalenza, renda la definizione univoca. Cioè, definiamo l'intero p-adico ridotto come la rappresentazione che soddisfi la
0 ≤ x_k < p^k for all k ≥ 1   (3)

– Scusa, solo con delle definizioni del genere però non riesco ad afferare il senso di un numero p-adico. Mi servirebbero degli esempi.

– Certo. Gli esempi più semplici sono gli interi rappresentati in Z_p. Possiamo decidere di rappresentare gli interi Z attraverso delle sequenze costanti. Cioè, dato z ∈ Z, rappresentiamo z in Z_p come {z, z, z, . . . }.

– Ah, immergiamo Z in Z_p attraverso un'applicazione iniettiva!

– Giusto! Z può essere visto come un sottoinsieme di Z_p e possiamo chiamare interi razionali gli elementi di Z per distinguerli dagli interi p-adici.

– Quindi se prendo ad esempio p = 3 posso scrivere 40 in Z₃ come {40, 40, 40, 40, 40, . . . }... E... applicando la (3) avrei 40 = {1, 4, 13, 40, 40, . . . }?

– Corretto! Hai trovato un esempio da sola!

– Ma se scelgo un numero p che non è primo che succede? Ad esempio con p = 10 avremmo la base decimale a cui siamo più abituati.

– Sì, si può fare. Però perdiamo delle proprietà. Ad esmpio avremmo degli inversi moltiplicativi di zero. E questo è un risultato indesiderato. Ma... Purtroppo adesso devo andare.

– Va bene. Diciamo che questi numeri p-adici hanno cominciato anche a stancarmi un po'.

– Dai, chiudiamo qui e ti lascio dei riferimenti a del materiale che si può trovare in rete.

Introduction to number theory - 5. p-adic Numbers
mathworld.wolfram p-adic Number
en.wikipedia.org P-adic_number
quora: What are p-adic integers, how do they work and what problems can we solve using them
en.wikipedia.org P-adic_analysis