Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - terza parte

 Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   Nota¹ 

«Uhm», annuì Platone.

«Poi, si costruisce il cilindro che passi per il cerchio rosso», disse mostrando il cilindro rosso.

 

 

 

«E, infine, il cerchio giallo viene fatto ruotare in modo da formare questo toro», disse mostrando il toro giallo.



«E ora dovremmo immaginare la presenza contemporanea di questi tre solidi costruiti a partire da quei tre cerchi. I tre solidi si intersecherebbero in quattro punti»². Platone annuì dopo aver riflettuto qualche istante.

«E così il procedimento è finito. Perché prendiamo uno di questi punti d’intersezione, lo proiettiamo sul piano del cerchio rosso, e poi proiettiamo quel nuovo punto sull’asse del cono azzurro.

Ed ecco che il segmento compreso tra il vertice di quel cono e quel secondo nuovo punto sarà proprio il lato del cubo di volume doppio rispetto al cubo iniziale».

Platone lo guardava ammirato ed Eudosso sentiva tutta la gratificazione del momento.

«E la dimostrazione?», chiese Platone.

«La dimostrazione… è un po’ complicata», disse Eudosso dopo un istante di esitazione. «Il maestro ha voluto che ogni allievo la scrivesse. È tutta qui», disse mostrando le tavolette che aveva portato con sé.

Platone ne prese in mano un paio. Erano sette in tutto. Contenevano fitte descrizioni testuali che, a partire dal lato del cubo da raddoppiare, definivano esattamente tutti i passaggi per costruire i tre cerchi, i tre solidi e l’intersezione tra di loro. Nelle altre tavolette seguiva la dimostrazione di come quel punto di intersezione permetteva di costruire il lato del cubo con volume doppio rispetto al cubo costruito sul segmento iniziale.

Eudosso aveva ragione. Quella dimostrazione era tra le più complesse che avesse mai visto.

«È stupefacente!», sussurrò infine Platone. «L’occhio della ragione di Archita è tra i più acuti che io abbia mai conosciuto. Pochi come lui riescono a ricostruire così bene gli oggetti a partire dalle loro ombre». Il giovane lo guardava perplesso.

«Non capisco bene il discorso delle ombre e degli oggetti», disse infine.

«Credi che questo sia un cubo?», chiese Platone indicando la figura di legno che avevano usato poco prima.

«Beh… dire di sì».

«Se fosse un cubo quei dodici spigoli dovrebbero avere tutti esattamente la stessa lunghezza. E tutti quegli angoli dovrebbero essere perfettamente retti», osservò Platone. «Credi che le cose stiano così?» Eudosso lo guardava con le ciglia aggrottate. «Il falegname che lo ha costruito ha usato i suoi strumenti per renderlo il più possibile simile a un cubo», riprese Platone. «Ma se avesse avuto a disposizione strumenti più precisi, non si sarebbe accorto che quei dodici spigoli non hanno tutti esattamente la stessa lunghezza? Non si sarebbe accorto che quegli angoli non sono tutti esattamente retti?». Eudosso annuì dopo qualche istante di riflessione. «Quel pezzo di legno», continuò Platone, «è solo la proiezione dell’ombra del quadrato ideale. È il nostro tentativo di rappresentare qualcosa che non potremo mai produrre materialmente ma che potremo solo contemplare nel mondo delle idee investigandolo attraverso la ragione». Eudosso annuì più convinto. «Tornando, invece, all’aspetto più pratico, relativo al calcolo e alla dimostrazione», proseguì Platone, «una differenza che noto è che nel caso della duplicazione del quadrato si usa solo la figura di partenza più alcuni segmenti tracciati a partire da quella figura. Sono tutte operazioni geometriche che potrebbero essere eseguite usando solo gli strumenti della riga e del compasso. Mentre nel caso del cubo bisogna ricorrere alla costruzione di altre figure piane, di altre figure solide, di intersezioni e proiezioni. Certo, funziona, ma…».

«Ma, cosa?». «Mi chiedo se non esista una dimostrazione così semplice anche per la duplicazione del cubo. Da una parte», cercò d’illustrare meglio all’occhio curioso di Eudosso, «abbiamo tre cerchi, un cono, un cilindro, un toro, intersezioni e proiezioni. Mentre dall’altra», proseguì Platone, «abbiamo solo qualche prolungamento di lato, il tracciamento di quattro diagonali e una semplice dimostrazione. Ecco… mi chiedevo se non esistesse una costruzione più semplice anche per la duplicazione del cubo. Una dimostrazione che si possa produrre usando solo la riga e il compasso». Eudosso continuava a fissarlo assorto. «Beh, comunque grazie per la spiegazione. Questo nostro primo incontro è stato molto fruttuoso. Spero lo siano anche i prossimi», disse infine Platone. Poi si accomiatò.

 

¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

² Con notazione moderna.

 

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

«Beh… è difficile spiegarla senza una copia delle figure geometriche… Ma casa mia è dietro l’angolo», aggiunse subito. «Lì ho le copie che il maestro Archita ci ha fatto usare».

Eudosso tornò, poco dopo, carico di oggetti che a stento riusciva a trasportare. Diverse tavolette erano serrate sotto l’ascella destra, alcuni sottili dischi di legno colorato sotto l’altra ascella e le mani stringevano altre figure di legno, anch’esse colorate. Alcuni passanti li guardarono incuriositi.

«Spostiamoci verso quell’angolo un po’ più in disparte», lo esortò Platone.

Raggiunto il luogo più nascosto il giovane lasciò cadere tutto il materiale a terra. «Immaginiamo che questo sia il cubo che vogliamo duplicare», cominciò dopo aver recuperato la figura. «Il primo passo della costruzione consiste nel formare tre cerchi il cui raggio corrisponda alla lunghezza del lato del cubo», proseguì poggiando il cubo sul disco rosso per mostrare l’equivalenza.

Nota¹ 

«Poi dovremo disporre i tre cerchi sui tre piani individuati da tre delle facce adiacenti del cubo».

Per mostrare la disposizione Eudosso chiese a Platone di tenere il cubo con una mano in modo tale che una faccia fosse parallela al terreno, e il cerchio rosso con l’altra mano, anch’esso orientato parallelamente al terreno. Poi lui dispose gli altri due cerchi, uno azzurro e uno giallo, vicino al primo ma li orientò verticalmente rispetto a quello e in modo che fossero perpendicolari tra di loro.

«Adesso, usando l’immaginazione», riprese Eudosso con fare saccente, «dovremmo raffigurarci che questi tre cerchi si avvicinino l’un l’altro fino a sovrapporsi, in modo che ogni circonferenza abbia solo due punti d’intersezione con ognuna delle altre».



«Ho capito», disse immediatamente Platone un po’ infastidito.

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   

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¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

Il giovane fissava il maestro riflettendo sulle sue parole. Aveva già sentito critiche rivolte al sistema democratico, ma mai sostenute da argomentazioni così convincenti.

«Comunque», fece Platone voltandosi verso Eudosso e interrompendo quel flusso di pensieri, «parlavo dell’importanza della matematica. Durante questo soggiorno a Taranto, vivendo a stretto contatto con voi e immergendomi negli insegnamenti della scuola pitagorica di Archita, mi sono convinto che la natura stessa del numero e degli enti geometrici è un faro che illumina la strada della comprensione della realtà. Numeri e figure geometriche esistono nel mondo delle idee, mentre nel mondo reale vediamo solo la proiezione delle loro ombre. Ma, numeri ed enti geometrici non sono meno reali di ciò che vediamo e tocchiamo. Anzi, sono sempre più convinto che la vera realtà risieda proprio nel mondo delle idee, quella che si può vedere solo con l’occhio della ragione, come sostenevano anche Parmenide e Zenone».

Eudosso lo guardava vagamente confuso. Frattanto avevano raggiunto l’avvallamento che precedeva la lieve salita verso la penisoletta dell’acropoli. Alcuni uomini stavano trasportando un’imbarcazione leggera da una sponda all’altra della penisola.

«Tuttavia…», Platone sembrava cercare le parole giuste, «abbiamo appena parlato degli aspetti teorici dei numeri e della geometria, ma per quelli più… pratici. Mi riferisco ai calcoli, ai metodi di manipolazione geometrica, alle tecniche di dimostrazione», Eudosso lo fissava dubbioso.

«Ecco, per quegli aspetti… credo che sarebbe opportuno…», il maestro parlava con frammentata cautela, stentando ad arrivare alla conclusione. Forse era ancora in dubbio. Non sarebbe stato più saggio parlarne con Archita? Ma forse non voleva rivelare così apertamente la sua ignoranza proprio al maestro. «Penso che le tue competenze mi sarebbero molto utili». Gli occhi del giovane s’illuminarono. «Vorrei dunque proporti una serie di incontri per discutere di quei temi».

«Ma sì, certo!». Eudosso faticava a trattenere l’entusiasmo. «Anzi, possiamo cominciare subito. Sono a vostra completa disposizione».

«Beh … Ci sarebbe…», tentennò Platone mentre i suoi occhi fissavano le colonne del tempio di Poseidone. Alcuni fedeli stavano assistendo a una cerimonia davanti all’altare esterno. «Vedi, Eudosso», riprese, «ci sono metodi, come quello per la duplicazione del quadrato, che sono facili da comprendere e da riprodurre. Lo si fa semplicemente tracciando linee aggiuntive a partire dal quadrato che si vuole duplicare. Invece… Per la duplicazione del cubo… So che ci sono vari metodi…».

  
«Ah, conosco bene la duplicazione del cubo», replicò subito il giovane. «Il maestro Archita ha preteso che la studiassimo a fondo. Anche perché… la vera soluzione è sua. Quella di Ippocrate è insufficiente perché semplifica il problema ma non lo risolve», sentenziò sistemandosi il chitone sulle spalle. Era un gesto tipico di Archita che il giovane aveva fatto suo. Lo usava, più o meno inconsapevolmente, quando si atteggiava a maestro. «Allora, il problema della duplicazione del cubo», proseguì, «è nato da una richiesta del dio Apollo. La città di Delo era stata colpita dalla peste e i suoi abitanti si radunarono a pregare intorno all’altare a lui dedicato per chiedere di esserne liberati. Attraverso il suo oracolo il dio disse che avrebbe sconfitto la peste se loro avessero raddoppiato l’altare. E, stupidamente,…»

«…loro raddoppiarono il lato dell’altare esistente, che era di forma cubica, ottenendo un altare otto volte più grande», lo interruppe Platone. «Sì, lo sappiamo».

«Ehm…», fece Eudosso. «Sì, lo si sa», ripeté un po’ frustrato. «Dicevo quindi che la soluzione di Ippocrate è insufficiente perché non fa altro che ridurre un problema di geometria dei cubi a un problema di geometria dei triangoli ma il calcolo rimane insolubile. Invece il mio maestro Archita ha trovato la soluzione concreta e non solo teorica, come quella di Ippocrate», sorrise riprendendosi dalla frustrazione.

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

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Maieutica e duplicazione del quadrato - terza parte

 Continua da Pitagora e dintorni: Maieutica e duplicazione del quadrato - seconda parte

Atene, gennaio 386 a.C.

«Allora», riprese Teeteto, «proviamo a disegnare daccapo questi quattro quadrati», disse mentre tracciava una copia semplificata del precedente schema. «E ora aggiungiamo quattro linee da angolo ad angolo di ognuno dei quattro quadrati piccoli».

«Adesso dimmi: queste quattro linee non tagliano in due ognuna di queste quattro aree?».

«Sì, mi sembra che le tagliano in due».

«E questi quattro lati uguali che figura formano?», chiese Teeteto mentre muoveva il bastoncino circolarmente lungo il perimetro della nuova figura interna.

«Non capisco la domanda, signore».

«Non si chiama quadrato la figura con quattro lati uguali?».

«Certo, signore».

«Quanto è grande, allora, l’area di questo quadrato interno?».

«Non lo so», scosse la testa Menone.

«Rifletti», lo spronò Teeteto. «Non abbiamo detto che ogni linea ha diviso a metà questi quattro quadrati piccoli?».

«Sì».

«Ricordi quanto misurava l’area di quei quadrati piccoli, che poi erano una copia del quadrato iniziale?».

«Quattro piedi, signore».

«Quanto misureranno, dunque, quelle metà?».

«Due piedi».

«E quante di queste metà riempiono l’interno di questo nuovo quadrato obliquo?».

«Quattro, signore».

«L’area di quel quadrato non misurerà allora quattro volte due piedi?».

«Certo… otto piedi… ma allora è questo!», gridò Menone dopo averci pensato un istante. «È questo il quadrato di area doppia che cercavamo!», esultò guardando gioioso Teeteto ed Eudosso.

Come uno specchio deformante, il volto di Teeteto trasformò il sorriso d’entusiasmo in un ghigno di rivalsa e lo proiettò verso Eudosso.

«Sapresti indicarmi qual è il lato di quel quadrato?», intervenne Platone.

«Questo, signore», rispose Menone avvicinando il dito a una delle quattro linee oblique.

«Cioè la linea tesa da angolo ad angolo dell’area di quattro piedi?».

«Sì, quella».

«Sappi che quella linea si chiama diagonale del quadrato. Dunque abbiamo appurato che la diagonale di un quadrato genera un quadrato di area doppia rispetto al quadrato iniziale, giusto?».

«Giusto».

«Ora dimmi se non abbiamo assistito a un prodigio», chiese Platone rivolgendosi a Eudosso. «Trovi che qualche opinione espressa da Menone non fosse sua?».

«No», rispose Eudosso, «ma…».

«Ma?», replicò Teeteto con un tono di sfida.

«Sei stato tu a tracciare le diagonali. Lui, da solo, non ci sarebbe mai arrivato».

«Questa è l'arte della maieutica!», sentenziò Platone. «Prevede la presenza di una guida. O, come preferiva dire Socrate, di una levatrice che agevoli la rinascita delle idee che giacciono dormienti nel profondo dell’anima. L’anima è immortale e rinasce più volte. E nel suo lungo ciclo di reincarnazioni ha già visto tutto, sia nel mondo dei vivi sia nell’Ade. E non c’è niente che essa non abbia già imparato. Non dovremmo dunque meravigliarci se è capace di ricordare ciò che già sapeva». Eudosso contemplava il maestro. Ora la sua barba era quasi totalmente imbiancata dai fiocchi di neve che cadevano più intensi. «Il metodo di Socrate prevede domande e risposte tra maestro e allievo, e procede per eliminazione delle risposte contraddittorie o irragionevoli. E può far anche emergere l’infondatezza di verità che diamo per scontate, declassificandole al loro vero ruolo di opinioni. È così che l'allievo viene indotto ad accorgersi della propria ignoranza e a discernere le verità dalle false presunzioni».

«Sì, ma le diagonali…», ribadì Eudosso con gli occhi che tradivano un barlume di incertezza.

«Il suggerimento di Teeteto sulle diagonali rientra perfettamente nel metodo della maieutica», dichiarò Platone apodittico.

Il giovane tacque. Osservò un nuovo scambio di sguardi tra Platone e Teeteto. Si rese conto che non era più il caso di insistere su quella linea.

«Ho capito», disse infine abbassando la testa.

«Bene», disse il maestro scrollandosi un po’ di neve dalla barba. «Credo che sia arrivato il momento di rientrare a casa».

In quel momento Eudosso non immaginava quanto quella conversazione avrebbe influenzato il suo futuro.

Maieutica teorema di Pitagora e duplicazione del quadrato nel Menone di Platone

Molti testi riportano che la prima dimostrazione a noi pervenuta del teorema di Pitagora si trova negli Elementi di Euclide. Vedi, ad esempio, Teorema di Pitagora#Dimostrazioni. Tuttavia, nessuno dei testi che ho letto finora cita il Menone di Platone.

Di recente, leggendo The Mathematics of Plato's Academy – A New Reconstruction di David Fowler, ho scoperto che quel dialogo contiene una dimostrazione semplicissima di un caso particolare del teorema di Pitagora, che emerge dalla tecnica per la duplicazione di un quadrato¹. E probabilmente il Menone è stato scritto prima della nascita di Euclide. Secondo David Fowler sarebbe infatti stato scritto intorno al 385 a.C.
Certo, sussiste sempre l’ipotesi che gli Elementi siano ispirati a qualche versione più antica. Ma rimane solo un’ipotesi.

Qui riporto il brano di Platone a cui ho aggiunto alcune immagini.

SOCRATE Dimmi dunque, ragazzo, sai che un’area quadrata è fatta così? È un’area quadrangolare che ha uguali tutte queste linee, che sono quattro.

Socrate traccia un quadrato avente un lato di due piedi.

SCHIAVO Certo.









SOCRATE E non ha uguali anche queste linee che passano per il centro?

Socrate disegna le linee che, partendo dal punto centrale di ciascun lato, dividono il quadrato in quattro quadrati uguali.
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Se dunque questo lato fosse di due piedi e di due piedi questo, di quanti piedi sarebbe il tutto? Rifletti in questo modo: se qui fosse stato di due piedi e qui di un piede soltanto, la superficie non sarebbe forse stata di un piede per due?
SOCRATE Ma dal momento che anche qui è di due piedi, non è forse di due volte due piedi?
SCHIAVO Lo è.
SOCRATE E dunque è di due piedi per due?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Quanto sono dunque questi due piedi per due? Fa’ il calcolo e dimmi.
SCHIAVO Quattro, Socrate.
SOCRATE E non potrebbe esservi un’area che sia il doppio di questa ma simile, avente tutti i lati uguali, come questa?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE E dunque di quanti piedi sarà?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE Suvvia, prova a dirmi quanto sarà la lunghezza di ogni lato di quell’area. Il lato di questa è infatti di due piedi: quanto sarà il lato di quell’area doppia?
SCHIAVO È evidente, o Socrate, che sarà il doppio.
SOCRATE Vedi, Menone, che a costui non sto insegnando nulla, ma che mi limito a chiedergli tutto? E ora egli pensa di sapere quale sia la lunghezza da cui risulterà un’area di otto piedi: non credi?
MENONE Sì.
SOCRATE E dunque lo sa?
MENONE No davvero.
SOCRATE Lo suppone dal lato che è il doppio dell’altro?
MENONE Sì.
SOCRATE Sta’ a vedere come egli ricorda di seguito, come deve ricordare. Dimmi, ragazzo: tu affermi che dal lato doppio si genera l’area doppia; tale area non dico che sia lunga da questo lato e corta da quest’altro, ma che sia invece uguale da tutti i lati, come questa appunto, ma il doppio di questa, di otto piedi: ebbene guarda se a tuo parere risulterà ancora dal lato doppio.
SCHIAVO A me almeno sembra.
SOCRATE E questa linea non diventa forse il doppio di questa se aggiungiamo un’altra linea della stessa lunghezza a partire da qui?
SCHIAVO Certo.
SOCRATE Da questa linea, dunque, tu dici, risulterà l’area di otto piedi, se i quattro lati sono della stessa lunghezza?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Tracciamo dunque, a partire da questo, quattro lati uguali. Sarebbe questa o qualcos’altro l’area che, a tuo parere, è di otto piedi?

Socrate prolunga di altri due piedi i lati del quadrato iniziale e disegna un quadrato maggiore, avente i lati di quattro piedi.

SCHIAVO Certo.
SOCRATE E in quest’area non ci sono forse questi quattro quadrati, ognuno dei quali è uguale a questo di quattro piedi?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Dunque di quanto è? Non è il quadruplo?
SCHIAVO Come no?
SOCRATE Dunque ciò che è il quadruplo è anche doppio?
SCHIAVO No, per Zeus.
SOCRATE Ma allora di quante volte è maggiore?
SCHIAVO Di quattro volte.
SOCRATE Dunque, ragazzo, dal lato doppio risulta non un’area doppia, ma quadrupla.
SCHIAVO È vero.
SOCRATE Quattro volte quattro infatti fa sedici, no?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Da quale lato risulta, invece, un’area di otto piedi? Non risulterà da un lato maggiore di questo e da un lato minore di quest’altro? o no?
SCHIAVO A me almeno sembra così.
SOCRATE Bene: perché rispondi quello che pensi. E dimmi: questo lato non era di due piedi e di quattro quest’altro?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Bisogna dunque che il lato dell’area di otto piedi sia maggiore di questo di due piedi, ma minore di quello di quattro.
SCHIAVO Necessariamente.
SOCRATE Prova dunque a dire quanto pensi che sia lungo.
SCHIAVO Tre piedi.
SOCRATE Se dunque è di tre piedi, dobbiamo aggiungere a questo la metà della sua lunghezza e sarà di tre piedi? Infatti questi sono due piedi, questo un piede; e a partire da qui allo stesso modo questi sono di due piedi e questo uno: e ne risulta quest’area che tu dici.
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Se dunque è qui di tre piedi e qui di tre piedi, l’area totale non è di tre volte tre piedi? SCHIAVO È evidente.
SOCRATE Ma tre volte tre piedi quanti piedi sono?
SCHIAVO Nove.
SOCRATE E l’area doppia di quanti piedi dovrebbe essere?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE Quindi neppure da un lato di tre piedi deriva l’area di otto piedi.
SCHIAVO No, certo.
SOCRATE Ma da quale lato risulta? Cerca di dircelo esattamente; e se non vuoi fare il calcolo, mostra tuttavia da quale lato.
SCHIAVO Per Zeus, o Socrate, io non lo so.
SOCRATE Ti rendi conto, ancora una volta, di quanto costui sia già andato avanti sulla strada della reminiscenza? considera che prima non sapeva quale fosse il lato dell’area di otto piedi, come del resto non lo sa adesso, ma almeno allora pensava di saperlo, e rispondeva con audacia come se sapesse, e non pensava di trovarsi in difficoltà; ora invece ritiene di essere ormai in difficoltà, e poiché non sa, neppure pensa di sapere.
MENONE Quel che dici è vero.
SOCRATE E non non si trova in una condizione migliore adesso riguardo alla cosa che non sapeva?
MENONE Anche su questo sono d’accordo.
SOCRATE Noi avevamo tuttavia bisogno di un’area doppia: o non ti ricordi?
SCHIAVO Certamente.
SOCRATE Questa linea da angolo ad angolo non taglia in due ognuna di queste aree?

SCHIAVO Sì.
SOCRATE Non ne risultano questi quattro lati uguali che contengono quest’area?
SCHIAVO Sì, risulta così.
SOCRATE Osserva dunque: quanto è grande quest’area?
SCHIAVO Non capisco.
SOCRATE Non è forse vero che, ogni linea le ha divise a metà all’interno queste quattro aree? o no?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Quante sono all’interno di questa superficie queste metà?
SCHIAVO Quattro.
SOCRATE E quante in quest’altra?
SCHIAVO Due.
SOCRATE Quattro che cos’è di due?
SCHIAVO Il doppio.
SOCRATE Dunque quest’area di quanti piedi è?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE A partire da quale linea?
SCHIAVO Da questa.
SOCRATE Cioè da quella tesa da angolo ad angolo dell’area di quattro piedi?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE I sofisti chiamano questa linea diagonale: cosicché, se questa linea ha il nome di diagonale, a partire dalla diagonale, come tu dici, o schiavo di Menone, risulterebbe l’area doppia.
SCHIAVO Certo, o Socrate.
SOCRATE Che ne pensi, Menone? C’è qualche opinione che costui non espresse, nelle sue risposte, come sua?
MENONE No, sono opinioni sue.
SOCRATE E tuttavia non sapeva, come dicevamo poco fa.
MENONE Quel che dici è vero.
SOCRATE Dunque queste opinioni si trovavano in lui: o no?
MENONE Sì.
SOCRATE Ma in chi non sa possono essere presenti, sulle cose che non sa, opinioni vere?
MENONE È evidente.
SOCRATE E adesso in lui queste opinioni sono emerse, come in un sogno; ma se uno gli chiederà più volte queste stesse cose e in molti modi, puoi star certo che alla fine avrà di questi argomenti una conoscenza puntuale non meno di chiunque altro.
MENONE È probabile.
SOCRATE Dunque avrà una conoscenza senza che nessuno gli abbia insegnato, ma grazie a delle semplici domande, avendo recuperato lui da se stesso la conoscenza?
MENONE Sì.
SOCRATE Il recuperare da se stessi all’interno di sé una conoscenza non significa ricordarsi?
MENONE Certamente.

¹ The Mathematics of Plato's Academy – A New Reconstruction di David Fowler p. 7 – "The passage is well known and frequently discussed (Plato’s, quotation of Pythagoras theorem), but I quote it here in full for special reasons that it is our first direct, explicit, extended piece of evidence about Greek mathematics, it probably dates from about 385 bc."

Gabriele Lolli e il platonismo matematico

Nel secondo capitolo del suo libro, Matematica in movimento. Come cambiano le dimostrazioni, Gabriele Lolli esplora il concetto di platonismo matematico. Cioè, di quella visione, “abbracciata dalla maggioranza dei matematici” che postula “l’esistenza di un mondo di oggetti ideali che contiene tutti gli oggetti e le funzioni della matematica”. Mi trovo molto d'accordo con le conclusioni di Lolli sul platonismo assoluto. Ho sempre avuto l'impressione che proponesse una prospettiva mistica dell'ontologia della matematica.

"Nel 1935, Paul Bernays (1891-1995), prezioso collaboratore di Hilbert nelle ricerche logiche, ha reso attuale il termine di “platonismo matematico”, definendo gli oggetti matematici come “distaccati da ogni legame con il soggetto riflettente”, senza affrontare né considerare le difficoltà logiche e gnoseologiche di una simile condizione. Nemmeno noi le affrontiamo perché la discussione sarebbe infinita. Il teorema di Pitagora, per fare un esempio, era noto in tutte le civiltà antiche, non solo mediterranee, anche indiane e cinesi; un segno dell’esistenza distaccata del triangolo rettangolo? eppure le dimostrazioni tramandate sono tutte diverse, pur se tutte di tipo geometrico; un segno che le rappresentazioni mentali connesse al triangolo rettangolo in ogni civiltà non coincidevano?

Secondo Bernays “l’applicazione [del platonismo alla matematica] è così diffusa che non è esagerato dire che il platonismo oggi regna sovrano in matematica”. Tuttavia, se si va avanti a leggere, Bernays parla del platonismo matematico come di una concezione “quasi-combinatoria” dei concetti di insieme, successione, funzione, e con questo intende alludere all’estensione all’infinito, per analogia, delle manipolazioni sugli insiemi finiti; Bernays chiama “platonismo ristretto” tale “proiezione ideale di un dominio di pensiero”; invece “l’esistenza di un mondo di oggetti ideali che contiene tutti gli oggetti e le funzioni della matematica” lo denota “platonismo assoluto” e non nasconde che non supera la prova delle antinomie. Comunque l’immagine del mito, che è evocata dalla semplice menzione del platonismo, abbracciato dalla maggioranza dei matematici, che si riferiscono a quello “assoluto”, è passata nella cultura, trasmessa nella scuola, si è trasformata in un luogo comune. Nella scuola è inevitabile all’inizio usare una terminologia realista, parlare di verità delle relazioni numeriche, e di numeri come esistenti utilizzandoli in esperienze concrete empiriche o costruttive, dalle quali sono estrapolati e quasi personificati come oggetti; quando poi si introducono concetti più astratti, il linguaggio e la disposizione mentale realistica sono destinati a permanere. Parlare allora di come cambia la natura della dimostrazione in matematica richiede come preliminare che l’interlocutore entri nella disposizione ad accettare la possibilità di un cambiamento in un edificio che quasi certamente è abituato a considerare come monolitico e stabile per eccellenza."