Dialogo sulle narrazioni pitagoriche

Di recente Paolo Alessandrini mi ha coinvolto in una conversazione con l’insegnante di fisica Cristina Sbarra.
La sua domanda riguardava alcuni aspetti relativi alle narrazioni ispirate alla scuola pitagorica e alla figura di Pitagora. Di seguito, riporto la mia risposta.

Premessa su Pitagora

Dal punto di vista strettamente storico, sulla figura di Pitagora abbiamo pochissime certezze. Pitagora non scriveva o, perlomeno, non ci è pervenuta alcuna testimonianza scritta dai pitagorici del VI sec a.C. Le testimonianze più articolate su Pitagora che ci sono pervenute (come quelle di Giamblico, Porfirio o Diogene Laerzio) risalgono a molti secoli dopo la sua morte. A questo proposito, ti segnalo un lavoro fondamentale dello storico della scienza americano Alberto A. Martínez, The Cult of Pythagoras: Math and Myths, in cui viene riassunto con grande rigore ciò che è storicamente documentato e ciò che appartiene al mito. Solo per farti un esempio, ho copiato qui una tabella dal suo libro che mostra l’evoluzione della narrazione intorno al teorema di Pitagora.

La certezza storica riguarda soprattutto l’esistenza della scuola pitagorica, ma si hanno dubbi persino sull’esistenza dell’uomo Pitagora. Anche se a me verrebbe da pensare: è possibile che qualcuno abbia costruito artificialmente questo caposcuola?

Questa premessa potrebbe far pensare che io sostenga l’impossibilità di scrivere storie su Pitagora. Ovviamente non è così. Io stesso ho scritto una narrazione ispirata alla scuola dei pitagorici in cui compare lo stesso Pitagora insieme al suo migliore allievo, Ippaso. Per questo tipo di narrazioni, la tradizione, pur con tutte le sue stratificazioni leggendarie, è una miniera d'oro.

Quando ho scritto Il mistero del suono senza numero, mi sono basato proprio sui racconti della tradizione, cercando però di rielaborarli in modo da renderli coerenti con la realtà storica, scientifica e acustica.

Un esempio è la celebre leggenda di Pitagora che scopre i rapporti armonici mentre camminava vicino alla fucina di un fabbro. È probabile che la scoperta sia avvenuta davvero in quel modo? Credo di no. Ma ciò implica che la leggenda non possa essere usata in una narrazione che miri alla verosimiglianza? Non necessariamente. Il compito del narratore che miri alla verosimiglianza dovrebbe essere quello di filtrare la tradizione attraverso coerenza storico-scientifica.

Nella scena della fucina, la tradizione tramanda che l'altezza dei suoni dipendesse dal peso dei martelli. Tuttavia, se analizziamo l’affermazione da un punto di vista acustico, ci rendiamo conto che il suono emesso non può dipendere dalle dimensioni del martello: le vibrazioni della testa del martello vengono smorzate quasi istantaneamente dal manico e dalla mano. Il suono che percepiamo è, invece, prodotto dalla vibrazione dell'incudine! E la dimensione del martello non può influire sulla frequenza (l'altezza della nota). Semmai influisce sull'ampiezza dell'onda (cioè sul volume). Altrimenti sarebbe come come sostenere che l'altezza delle note di un pianoforte dipenda dalla stazza dei martelletti anziché dalla lunghezza e tensione delle corde.

Così nella mia narrazione ho scelto di rispettare la storia della tradizione ma correggendone la fisica: ho inserito quindi una scena in cui Pitagora conduce esperimenti con i suoi discepoli, in cui dimostra che la consonanza o dissonanza tra i suoni dipende dalla dimensione delle incudini e smentisce l'ipotesi (errata) dello scolaro secondo cui l'altezza dipenderebbe dal martello.

In sintesi, credo che il presupposto per una buona narrazione su Pitagora sia: prendere spunto dalla tradizione, ma filtrarla attraverso la verosimiglianza storico-scientifica. Inoltre, potrebbe essere molto utile aggiungere in prefazione o postfazione una nota che chiarisca al lettore il confine tra storia, leggenda e finzione narrativa.

Dopo l'uscita del libro nel 2017 ho continuato la ricerca e svolto diversi incontri nelle scuole in cui coinvolgo i ragazzi in esperimenti matematico-musicali attraverso la misura delle corde. Certamente, con le conoscenze acquisite in seguito, oggi modificherei alcuni passaggi del libro, ma nella narrativa occorre accettare un compromesso: la ricerca della coerenza storica assoluta rischierebbe di paralizzare la scrittura.

Se ti interessa approfondire, ti lascio il link a un mio articolo pubblicato sulla rivista Archimede, I PITAGORICI E IL MISTERO DEL SUONO SENZA NUMERO Pitagora e la musica dell’universo, dove sviluppo alcuni delle considerazioni precedenti, riporto indicazioni bibliografiche per approfondire ulteriormente e, alla fine descrivo pure un po’ dettagliatamente il tipo di lezione che posso organizzare nelle scuole.

Ho trattato argomenti simili anche sul mio blog Pitagora e dintorni ma in modo un po’ più giocoso e meno rigoroso. In particolare, questa è la lista di articoli in cui compare, anche marginalmente, Pitagora

Domanda sul comma pitagorico e su come narrare la sua scoperta:

La tua intuizione narrativa è molto interessante. Ecco alcune mie considerazioni basate sulle mie limitate competenze storico-matematico-musicali.

1. L'orecchio umano e la discrepanza - Il comma pitagorico equivale a circa un quarto di semitono (23,46 cent). Visto che un orecchio umano allenato dovrebbe riuscire a percepire variazioni di circa 10 cent, due note a questa distanza suonate contemporaneamente vengono sicuramente percepite come una stonatura. Sicuramente generano i famigerati battimenti (da trombonisti lo sappiamo bene!😊). La percezione è invece più difficile se i suoni sono ascoltati in successione temporale o peggio ancora, se si confrontano a distanza due intere scale (pitagorica e temperata). Per percepire una differenza in quei casi serve davvero un orecchio molto sensibile e allenato.

2. Il limite del monocordo e la genesi della scoperta - Sul monocordo, riportare 12 quinte pure (3/2) per confrontarle con 7 ottave (2/1) mediante la sola divisione della corda presenta un grande limite fisico: l'errore di misurazione manuale accumulato in 12 passaggi finirebbe per coprire il comma stesso.
Per questo sono abbastanza convinto che la scoperta sia nata prima di tutto da considerazioni teorico-numeriche:

• L'ipotesi: I pitagorici cercavano la "chiusura del cerchio", sperando che un numero n di quinte pure coincidesse con un numero m di ottave.
• La prova aritmetica: Come hai giustamente notato, tali interi n e m non esistono. Se si procede salendo di 12 quinte e scendendo di 7 ottave, ci si scontra con il fatto che 3^12 ≠ 2^19. Se i pitagorici avessero conosciuto il teorema fondamentale dell'aritmetica, non avrebbero nemmeno dovuto fare i calcoli! 🙂
• La verifica acustica: Il tentativo di riportare questi numeri sul monocordo serve da conferma, ma sconta sempre l'imprecisione della misura pratica.

3. Il difetto meccanico e il nodo della voce umana - L'idea che Pitagora ipotizzi inizialmente un difetto dello strumento (il ponte mobile posizionato male, difetti della corda, ecc.) e ricostruisca il monocordo più volte è una buona intuizione narrativa: rappresenta perfettamente la resistenza dello scienziato di fronte a un fatto controintutivo.

Sulla voce umana, invece, nutro qualche dubbio che possa servire da controprova di precisione:

• Una voce esercitata tende naturalmente verso gli intervalli puri e corregge inconsciamente i micro-difetti di intonazione.
• Se anche si facesse cantare al cantore il giro delle 12 quinte (riabbassando di volta in volta la nota nell'ottava comoda per non uscire dal registro vocale), l'instabilità fisiologica della voce (pressione dell'aria, vibrato, affaticamento) accumulerebbe un errore nettamente superiore ai 23 centesimi del comma, mascherando il dato matematico.

In conclusione: Credo sia storicamente e scientificamente più plausibile che i Pitagorici si siano accorti della "non chiusura" della scala attraverso l'aritmetica, per poi scontrarsi con i limiti della materia nel cercare di riprodurlo sul monocordo.

Possibili alternative per proseguire la narrazione: dopo la scoperta attraverso considerazioni teorico-numeriche, potresti inserire una diatriba tra chi è sicuro della discrepanza, vista la supposta superiorità dei numeri sulla realtà stessa, e chi, invece, ipotizza un errore, magari nei calcoli numerici. Quindi organizzano comunque una prova per verificare, dove le due fazioni si scontrano e fanno il tifo. Dopo le prime difficoltà di misurazione e di intonazione, riprovano, affinando il più possibile gli strumenti di misura e andando a ricercare uno di quei rari cantori dotati della facoltà dell’orecchio assoluto. A quel punto forse si potrebbe ipotizzare la verosimiglianza degli eventi. E avresti pure inserito una certa tensione narrativa aggiuntiva.
La conclusione potrebbe essere:

• o che si rendono conto delle difficoltà nel creare un esperimento affidabile e continuano ad affidarsi alla sola teoria;
• oppure confermano la discrepanza attraverso qualcosa di simile:

• Non usano la voce per misurare il comma, ma per verificare l'effetto acustico della stonatura. Cioè:
• Pitagora accorda due corde sul monocordo: una di riferimento e l'altra ottenuta dalla prima dopo le 12 quinte verso l’alto e le 7 ottave verso il basso (3^12/2^19).
  (Sale di una quinta, con una corda di lunghezza 2/3 e, se la nota supera l'estensione dell'ottava di partenza, scende di un'ottava con una corda di lunghezza doppia)
• Poi chiede al cantore dotato di orecchio assoluto di intonare un unisono con la prima corda e poi di cantare insieme alla seconda corda.
• Il cantore proverà una sensazione fisica di disagio. Oppure, se canterà sull’intonazione delle prima corda mentre Pitagora pizzica la seconda, percepirà i battimenti (il tipico sfarfallio acustico della stonatura) e cercherà istintivamente di sforzare la laringe per adattare la nota e raggiungere la consonanza.

Borges e la topologia della Biblioteca di Babele: un 3-toro o un labirinto infinito?

Articolo ispirato dalla puntata L’arte della matematica di Radio3 Scienza.

Nel racconto La biblioteca di Babele, Jorge Luis Borges descrive una biblioteca-universo fatta di gallerie esagonali, tutte uguali, collegate da corridoi, scale e pozzi centrali.

Da qualunque esagono si intravedono piani superiori e inferiori, destri e sinistri, anteriori e posteriori: senza fine. Ogni settore ripete esattamente lo stesso schema.

La si potrebbe immaginare come una biblioteca infinita. Vai avanti o indietro e trovi altri esagoni; vai a destra o a sinistra e ne trovi altri ancora; sali e scendi e il paesaggio continua identico. Tuttavia, Borges aggiunge un dettaglio: ipotizza che la biblioteca sia non soltanto illimitata, ma anche periodica. In altre parole, un viaggiatore eterno, proseguendo abbastanza a lungo, ritroverebbe gli stessi libri nello stesso ordine.

Ma quindi Borges sta parlando la lingua della matematica? E in particolare quella della geometria e della topologia?

 

Struttura geometrico-topologica

In matematica, una struttura del genere ricorda un 3‑toro. Detto in termini più semplici, il toro è una ciambella. Ma quella di Borges potrebbe essere una ciambella con una dimensione in più rispetto alle ciambelle che conosciamo. È una ciambella in uno spazio a quattro dimensioni. E ha una precisa equazione matematica:

In un 3-toro, se cammini sempre nella stessa direzione, torni al punto di partenza: è quello che succede su una circonferenza o a una formica che cammini sul nastro di Möbius.

 

 Il 3‑toro aggiunge però una terza direzione rispetto al nastro di Möbius: avanti/indietro, destra/sinistra, alto/basso diventano tutte direzioni che, in un certo senso, si richiudono. Una lettura matematica del racconto sostiene che la frase finale di Borges implicherebbe esattamente questa struttura.
Ed è quanto afferma Marcus du Sautoy nella puntata radiofonica dedicata al rapporto tra arte e matematica: la Biblioteca di Babele potrebbe essere rappresentata come una ciambella in uno spazio a quattro dimensioni.

Non è stupefacente che Borges, con la sua immaginazione, costruisca narrativamente un mondo che poi viene riconosciuto dalla topologia? Borges parte da un bibliotecario, da scale e da esagoni ed evoca una geometria non euclidea.

Tuttavia, l’intuizione merita una piccola precisazione matematica.

La supposta forma toroidale della biblioteca implicherebbe che, muovendosi abbastanza a lungo in una direzione, si dovrebbe tornare esattamente al punto di partenza dopo un tempo finito.

Borges, tuttavia, non lo afferma mai. Nel racconto la biblioteca viene descritta come “interminabile” e, solo nel finale, il narratore avanza l’ipotesi che sia “illimitata e periodica”: un viaggiatore eterno, attraversandola per secoli, finirebbe prima o poi per ritrovare gli stessi volumi nello stesso disordine. 

Quindi si tratta di un 3-toro o no? Voi che ne pensate?

 

La libreria contiene infiniti libri?

La biblioteca di Borges sembrerebbe quindi infinita, ma i libri possibili non lo sono nel senso stretto: il narratore precisa che i simboli ortografici sono venticinque e che i libri sono costruiti combinando un numero finito di segni in un formato fisso. Dunque il numero totale dei libri possibili è enorme ma comunque finito. Non esistono infiniti libri diversi.

Eppure, questo non impedisce alla biblioteca di essere infinita. Se lo spazio degli esagoni si estende senza limite, allora gli stessi libri devono necessariamente comparire più volte: le copie possono essere infinite, anche se i contenuti distinti non lo sono. Non l’infinito dei libri, ma l’infinita ripetizione delle combinazioni possibili. Questo significa che la biblioteca nasce dall’incrocio di due idee: uno spazio sterminato e un repertorio finito di combinazioni.

La libreria come sfera con centro ovunque e circonferenza irraggiungibile

A rendere tutto ancora più borgesianamente interessante c’è la famosa immagine della biblioteca come sfera il cui centro è ovunque e la cui circonferenza è irraggiungibile. È una frase che sposta il problema dal “quanto è grande?” al “che cosa significa stare dentro un universo senza un vero bordo accessibile?”. In una biblioteca così, nessun punto è privilegiato e ogni esagono può sembrare centrale.

Conclusione

Collegare Borges alla matematica, come accade nella puntata L’arte della matematica di Radio3 Scienza, ispirata dal lavoro di Marcus du Sautoy, significa anche esplorare come alcune idee letterarie sanno evocare strutture matematiche profonde.

La letteratura evoca e la matematica aiuta a dare un nome a quanto intuito. Tra le due un racconto che non si limita a narrare il mondo, ma che inventa una forma per immaginarlo.

La dimestichezza con i numeri di alcuni giornalisti

Se parlando vi dicessi che il 74% di 4000 è 54 vi accorgereste subito che qualcosa non va?

Eppure, nella puntata di prima pagina di Radio 3 di oggi, Paolo Valentino del Corriere della Sera non ha battuto ciglio quando un ascoltatore ha riportato questi e altri strafalcioni numerici.
Anzi, lo ha pure elogiato per aver fornito una conferma numerica.

Nel dettaglio…

In una telefonata in diretta, un ascoltatore propone un confronto tra le percentuali dei caduti italiani e statunitensi sui rispettivi numeri di truppe inviate truppe inviate in Afghanistan.
L’ascoltatore afferma che tra gli 80.000 militari statunitensi inviati in Afghanistan si sono registrati 2465 caduti.

"Cioè il 32%".

E tra i 4000 militari  italiani si sono registrati 54 caduti 

"Cioè il 74%".

"Questi sono i calcoli che si fanno!" ha sentenziato l'ascoltatore. "È stato semplice dimostrare che in proporzione abbiamo avuto più morti degli americani".
"Certo", conferma il giornalista. "È giusto indignarsi. Lei con questi dati conferma l’errore del presidente americano".

La telefonata è al minuto 16 di questo podcast:

Prima pagina | Prima pagina - Filo diretto del 25/01/2026 | Rai Radio 3 | RaiPlay Sound

Recensioni su La scienza espressa

La scienza espressa – Scienza Express edizioni ha pubblicato la pagina Libri che i nostri autori leggono e consigliano di leggere.

Ho contribuito così:  

Carlo Rovelli, L’ordine del tempo, Adelphi
Un testo che ribalta le nostre certezze: il tempo non è ciò che pensiamo. Prima di Newton, nessuno immaginava un tempo assoluto e uniforme. Scoprire che questa idea è una costruzione recente è stato per me stupefacente. Rovelli ci accompagna in un viaggio che cambia il modo di guardare il mondo. (Flavio Ubaldini)

Roberta Fulci, Il male detto, Codice edizioni
L’ho iniziato per curiosità e non sono riuscito a smettere. Un libro che svela i segreti del dolore e cattura come un romanzo giallo. Ne esci con più consapevolezza e più parole per raccontare ciò che provi. (Flavio Ubaldini)

Luciano Floridi, Pensare l’infosfera, Raffaello Cortina
La filosofia è viva solo se dialoga con il proprio tempo. Domande che erano filosofiche diventano scientifiche, mentre le crisi e le tecnologie ne generano di nuove. Floridi invita i filosofi a coltivare chiarezza e umiltà, evitando sofismi autoreferenziali. Spiega come il digitale non sia solo uno strumento, ma cambi la natura stessa delle cose. (Flavio Ubaldini)

"Numeri che pensano. Le sei grandi idee matematiche dentro l’IA" di Paolo Alessandrini

Ho avuto il piacere di leggere in anteprima i capitoli di "Numeri che pensano", il nuovo libro di Paolo Alessandrini, e sono stato catturato dalla capacità dell’autore di intrecciare rigore matematico, curiosità e leggerezza divulgativa.

Ogni capitolo è una piccola scoperta, una finestra aperta su idee matematiche, storie, intuizioni e collegamenti inattesi. L’autore alterna narrazione storica, aneddoti e spiegazioni tecniche con uno stile che rende accessibili anche i concetti più ostici.

L’incipit del primo capitolo, ad esempio, trasporta il lettore in un’osteria cinquecentesca, tra dadi e calcoli, per introdurre la legge dei grandi numeri e la nascita della probabilità. È un esempio di come Paolo Alessandrini sappia rendere la matematica viva e concreta, radicandola nelle vicende umane e nelle passioni dei suoi protagonisti.
 
Il libro si articola attorno a sei grandi idee matematiche che costituiscono l’ossatura dell’intelligenza artificiale moderna: dalla probabilità alla statistica inferenziale, dalla geometria analitica all’algebra lineare, dal calcolo infinitesimale al teorema di Bayes, fino al concetto di tensore e alle reti neurali profonde. Ogni concetto viene introdotto con esempi concreti, storie di scienziati e applicazioni che spaziano dalla medicina al marketing, dalla fisica alla musica.

Paolo Alessandrini invita a guardare la matematica e l’intelligenza artificiale con occhi nuovi, mostrando come dietro le tecnologie che usiamo ogni giorno si nascondano idee matematiche nate secoli fa, spesso in contesti lontanissimi dal nostro. La matematica, qui, non è solo un insieme di formule, ma una chiave per interpretare il mondo e per capire come le macchine possano "pensare".

Le spiegazioni sono sempre puntuali, ma mai pedanti; le metafore sono scelte con cura per illuminare i passaggi più delicati. Anche i riferimenti alla cultura pop, alla fantascienza e alla storia contemporanea contribuiscono a rendere il testo coinvolgente e attuale.

"Numeri che pensano" riesce a essere un libro divulgativo chiaro e profondo allo stesso tempo, e a mostrarvi la matematica e l’intelligenza artificiale sotto una luce nuova.
Insomma è un libro consigliatissimo: informa, appassiona, educa e, soprattutto, lascia il lettore con la voglia di saperne di più.


Nota personale:
Le mie note ai capitoli hanno sottolineato la qualità della scrittura, la precisione delle spiegazioni e la capacità di Paolo Alessandrini di anticipare le domande del lettore. Ho apprezzato in particolare la scelta di alternare narrazione e rigore, la cura nel rendere accessibili concetti complessi e la sensibilità nel collegare la storia della matematica agli sviluppi dell’intelligenza artificiale contemporanea. Un libro che merita di essere letto!

Zenone e il mistero della discesa infinita: un mio articolo per La scienza espressa

È online su La scienza espressa un mio nuovo articolo dedicato a Zenone di Elea.

Si tratta di una versione più sintetica e informale del testo pubblicato su Nuova Lettera matematica – Rivista trimestrale di cultura e informazione matematica.

Ecco una piccola anticipazione.

"Prova a immaginare questa scena: ti trovi all’inizio di un corridoio e devi raggiungere una stanza. Fai metà del percorso, poi la metà della distanza che ti resta, poi ancora la metà…  potresti continuare a percorrere le metà delle metà fino all’infinito?
Ecco, questo è il paradosso della dicotomia. Insieme a quello di Achille e la tartaruga, è tra i più celebri paradossi di Zenone di Elea, un pensatore greco vissuto circa 2500 anni fa, che con semplici esempi riuscì a mettere in crisi le nostre concezioni di movimento, spazio e tempo."

L’articolo completo è su La scienza espressa: Zenone e il mistero della discesa infinita

"La scienza espressa" è un progetto editoriale curato da Scienza Express, dedicato alla divulgazione e al dialogo tra scienza, cultura e società.
Ospita articoli, recensioni e approfondimenti di diversi autori su temi scientifici, matematici e di attualità.

Zenone e il mistero della discesa infinita: un mio articolo per Nuova Lettera matematica

Il prossimo numero di Nuova Lettera matematica – Rivista trimestrale di cultura e informazione matematica conterrà un mio articolo: "Zenone e il mistero della discesa infinita – I paradossi di Zenone nel XXI secolo". 
Ecco una piccola anticipazione: il primo paragrafo.

"Perché, dopo quasi due millenni e mezzo, continuiamo a parlare dei paradossi di Zenone?
La matematica moderna ha offerto soluzioni teoriche a molte delle questioni sollevate dal filosofo eleate. Le sue argomentazioni hanno dunque ancora qualcosa da dirci sulla natura del movimento, dello spazio e del tempo?
In questo articolo analizzeremo i più significativi tentativi di risolvere uno dei paradossi sul movimento che, fino ai nostri giorni, ha impegnato le menti di grandi studiosi ed esploreremo come i paradossi di Zenone continuino a stimolare riflessioni sul rapporto tra realtà, percezione del mondo fisico e astrazioni matematiche. 

Vedremo inoltre come essi ci spingano a confrontarci con interrogativi essenziali sulla natura – continua o discreta – dello spazio e del tempo, e con questioni fondamentali legate all’infinito e al rapporto tra ragione ed esperienza sensibile. Riflettere oggi sui paradossi di Zenone significa instaurare un dialogo vivo tra passato e presente, tra filosofia e scienza, e riscoprire il fascino di temi che continuano a mettere in discussione le nostre intuizioni più radicate e le teorie più avanzate."

Carnevale della Matematica #187: La matematica è umanistica o scientifica?

Benvenuti alla centottantasettesima edizione del Carnevale della Matematica!

Il tema di questa edizione è una domanda: La matematica è umanistica o scientifica?
E il suo verso gaussiano, "all’alba zampettando", è associato a un consonante intervallo di terza maggiore (sebbene i Pitagorici avrebbero da obiettare sulla suddetta consonanza).

Ma sono sicuro che adesso sarete in trepidante attesa per conoscere le stupefacenti proprietà del numero del carnevale! Quindi non vi tengo sulle spine.

Poiché la somma dei suoi divisori è 29 < 187, è un numero difettivo.
È un semiprimo formato dai divisori 11 e 17.
È un numero omirpimes.
È un numero colombiano.
È la somma di tre numeri primi consecutivi, 187 = 59 + 61 + 67.
È parte delle terne pitagoriche (84, 187, 205), (88, 165, 187), (187, 1020, 1037), (187, 1584, 1595), (187, 17484, 17485).
È un numero palindromo e un numero a cifra ripetuta nel sistema numerico esadecimale.

E, infine, ecco la sezione dei contributi.

Annalisa Santi da Matetango contribuisce con l'articolo in tema: La Matematica è più di una forma d'arte.

Per Takakazu Seki la matematica è più di un'arte!
Nella cultura giapponese c’era una forte attenzione alla bellezza formale, all’eleganza e alla semplicità, valori che si riflettevano anche nell’approccio matematico.
La matematica era vista non solo come scienza, ma come arte, pratica educativa e persino atto spirituale, con una tradizione originale che univa rigore e estetica.

Maurizio Codogno contribuisce con la seguente lista.

Quizzini:
* Passaggio: un semplice modo per arrivare da A a B lavorando il meno possibile.
* Progressione aritmogeometrica: c’è solo un trucchetto da tenere a mente.
* Successione: a furia di sommare, quando si arriva a 10000?
* Quarto grado: un'equazione di quarto grado per cui però è facile trovare una soluzione.

Recensioni:
*From Counting to Continuum di Edward Scheinerman. L’approccio alla definizione dei vari tipi di numeri è quello attuale, ma le note a latere fanno comunque meritare lo stesso la lettura.

Matematica light:
* I numeri di Ulam: una successione che pare casuale ma forse non lo è davvero.
* Gli insiemi di Ulam: una generalizzazione dei numeri di Ulam della settimana precedente.
* Quasi pi greco: come mai questa formula è un’approssimazione incredibile di pi greco?
* Il teorema di Tolomeo senza parole: una dimostrazione dei teorema per mezzo di un semplice disegno.
*Il teorema di Schinzel: come costruire una circonferenza che passi per esattamente n punti a coordinate intere.

Altro:
* Un museo della matematica a Kiev: una buona notizia in mezzo alla guerra.
* 119 milioni di vite salvate!: negli USA sparano numeri a caso, tanto chi li guarda?
* Citazione matematica di John Barrow su Tumblr. 

*  Un libro NON scritto da Leone XIV: parla di teologia e del teorema di Bayes, scritto alla fine degli anni '80 da Robert Prevost. Peccato sia solo un omonimo del papa...

Gianluigi Filippelli ha inviato:

* Noi alla conquista dell'universo di Eugenij Zamjatin: romanzo distopico in cui la matematica ha un ruolo non esattamente marginale e non solo perché il protagonista è un matematico.
* Matematica in pausa pranzo di Maurizio Codogno: libro di agili rompicapi che non ha bisogno di troppe presentazioni!
* Attraverso lo specchio di Lewis Carroll, il seguito di Alice nel paese delle meraviglie;
* Una storia intricata: raccolta di racconti matematici di, come sopra, Lewis Carroll.

Per la rubrica de Le grandi domande della vita. Ecco Einstein, la matematica e gli scacchi, in cui una apparente violazione del famoso ultimo teorema di Fermat diventa lo spunto per parlare di Einstein e del suo rapporto con i teoremi matematici e con gli scacchi.

Per i Ritratti ecco, invece, la biografia di Wilhelm Lenz, fisico teorico che fu il primo a proporre il modello di Ising, poi studiato da un suo studente, e che è alla base delle reti neurali.

Segue La memoria degli elefanti, dedicato alla passeggiata casuale dell'elefante, un caso particolare di passeggiata casuale.

Infine, da La scienza con i supereroi ecco Absolute Power #4: Fisica mai vista, ultimo di quattro articoli di approfondimento scientifico abbinati alle recensioni dei quattro numeri di questo crossover supereroistico. In quest'ultimo Gianluigi si occupa in particolare di costanti fisiche.
Per chi vuole recuperare tutta la serie, c'è un breve post con i link agli articoletti scientifici e alle recensioni Absolute Power: Tra fumetti e scienza | La scienza con i supereroi.

Leonardo Petrillo contribuisce con LA MATEMATICA È UMANISTICA O SCIENTIFICA?

Leonardo prende chiara ispirazione dal tema proposto per il Carnevale di maggio, ovvero la domanda "La matematica è umanistica o scientifica?", cercando dunque brevemente di rispondere alla questione mediante svariati esempi.

Da Maddmaths! Marco Menale ci informa che maggio è il mese in cui si celebrano i risultati conseguiti dalle donne matematiche perché il 12 maggio è la data di nascita di Maryam Mirzakhani, prima donna a ricevere la Medaglia Fields. Chiara de Fabritiis (della redazione Maddmaths!) ha raccolto dal sito May12 tutti gli eventi che si svolgono in Italia.

Matematiche a Milano: e festa è stata!
Lunedì 5 maggio, un centinaio di matematiche e matematici, giovani e meno giovani, hanno partecipato alla festa delle donne matematiche, Matematiche a Milano, organizzata da Maddmaths! con la collaborazione di 4 atenei milanesi (Bicocca, Bocconi, Politecnico e Statale) e il patrocinio dell’UMI. Ce ne parla Chiara de Fabritiis, una delle organizzatrici.

E da Maddmaths! arrivano anche tutti i seguenti contributi.

Avevamo i numeri – Storie di matematici È possibile ribaltare gli stereotipi sulla matematica con delle storie a fumetti, provando a raccontare storie di persone che hanno segnato la nostra disciplina? È quello che ha provato a fare un gruppo dell’Università di Perugia guidato da Nicola Ciccoli che ha prodotto un libro a fumetti. Vediamo di cosa si tratta. 

Come MaddMaths! abbiamo aperto uno spazio di discussione – FOCUS MADDMATHS!: Le Nuove Indicazioni Nazionali per la scuola del primo ciclo: reazioni e commenti – sugli aspetti che riguardano la matematica nella bozza di Nuove Indicazioni per la Scuola dell’infanzia e il Primo ciclo di istruzione recentemente pubblicata sul sito del MIM-Ministero dell'Istruzione e del Merito. Questo spazio serve a raccogliere e rendere disponibili a un pubblico ampio un po’ di pareri di associazioni del settore, di gruppi di opinione, e di persone che hanno avuto in passato rilevanti responsabilità istituzionali. Abbiamo raccolto un intervento relativo all'integrazione sinergica tra Matematica e Informatica, scritto da Alice Raffaele, assegnista di ricerca in Ricerca Operativa presso l’Università degli Studi di Padova, e Giovanni Righini, professore ordinario di Ricerca Operativa presso l’Università degli Studi di Milano.

È finalmente in stampa il numero 1/2025 della rivista Archimede. Vi proponiamo il sommario del direttore:

“Siamo in un anno cruciale per la scuola italiana, in cui si sta discutendo delle Nuove Indicazioni Nazionali da poco proposte dal Ministero dell’Istruzione e del Merito. Archimede non segue l’attualità, ma alza la testa e cerca di proporre materiali di lunga durata per diversi contesti scolastici, cercando di lavorare sulla pratica della didattica. Il primo numero del 2025 si apre con un’analisi di Alice Lemmo e Anna Guerrieri di alcuni possibili modi per valutare in matematica nel contesto della classe, privilegiando un approccio non riduttivo e incentrato su “quello che c’è”, piuttosto che su “quello che non c’è”. Michele Fiorentino ci propone invece una serie di attività da svolgere negli istituti professionali, cercando di mettere insieme matematica e discipline professionalizzanti. Per la scuola primaria è invece il turno di Silvia Sbaragli di raccontarci come sia possibile produrre materiali di lavoro per permettere di portare in classe i risultati più avanzati della ricerca in didattica della matematica. E poi due saluti: Giuseppe Pontrelli riflette sulla sua attività decennale di enigmista matematico, svolta in parte su queste pagine, mentre Giulia Bini e Francesca Gregorio concludono con i numeri complessi la serie di articoli dedicati agli insiemi numerici. Sandra Lucente recensisce un libro di Alberto Saracco. Per le rubriche segnaliamo la proposta “pop” di Davide Palmigiani per lavorare con la probabilità nella scuola superiore usando … le carte dei Pokémon. Infine, per i fumetti di Archimede, tutto il 2025 sarà accompagnato da alcune divertenti tavole di Claudia Flandoli che ci racconterà, in compagnia di un insolito Virgilio, come la matematica possa essere usata nello studio della biologia. A partire dalla copertina.”

Attraverso lo specchio In matematica capita che una struttura possieda un alter ego che vive in un mondo completamente diverso. Questo gioco di specchi viene formalizzato come dualità categoriale e traduce informazioni attraverso mondi differenti. Qui faremo un piccolo viaggio tra queste dualità. Parleremo di coppie strane ma inseparabili: geometria e algebra, insiemi e logica, curve ed equazioni. Questo articolo è stato scritto da Marco Abbadini. 

  

È logico fare logica a scuola? – LOVLEI Le dimostrazioni sono il cuore della matematica, ma insegnarle a scuola è una sfida complessa. OILER, una piattaforma online dedicata alla didattica della logica, propone un percorso che parte dai giochi e dalle strategie vincenti per guidare studenti e studentesse a riconoscere la correttezza delle dimostrazioni e a costruirne di nuove. Questo articolo è stato scritto da Luigi Bernardi.

Con il numero di maggio di Le Scienze troverete in allegato il trentaduesimo dei volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al Teorema spettrale e decomposizione ai valori singolari di Alessandro Benfenati e Giovanni Naldi. 

Per Storie che contano, il progetto per esplorare la matematica e le sue tantissime branche con la lente della scrittura:

• Pacifico D’Auria, Alessandro Scribani, Daniele Palladino, “Il patto della tangente” Questa volta pubblichiamo una scena teatrale noir, dove la matematica si mescola al crimine e alla goniometria, a cura di tre studenti liceali.
• Valentina Penza, “π“  Il testo di Valentina Penza prende spunto da una delle più famosi costanti matematiche.
  
  

Per la mini-serie Je n’ai pas le temps (Non ho tempo), a cura di Marco Trombetti: 

• Episodio 8 – Il teorema enorme In questo ultimo episodio parliamo di una delle vette più alte raggiunte dalla matematica da sempre, tenevi forte per: il teorema enorme.
• Episodio 7 (filler) – Verso l'infinito e oltre: Apologia di un gruppista In questo settimo episodio scopriamo la bellezza dell'infinito in teoria dei gruppi.
  
  

Per il Diario di un matematico non-praticante di Maurizio Codogno:

• Solo somme e moltiplicazioni La matematica non è solo una disciplina scientifica, ma anche un modo di guardare in modo diverso quello che è accanto a noi… compresa la matematica stessa, se serve. Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Il tema di oggi sono le successioni numeriche con regole strane.
• Turing e l’intelligenza artificiale La matematica non è solo una disciplina scientifica, ma anche un modo di guardare in modo diverso quello che è accanto a noi… compresa la matematica stessa, se serve. Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Il tema di oggi è l’intelligenza artificiale come vista da Alan Turing.

I "nostri" Rudi Matematici ci deliziano così questo mese:

• I Problemi dei Rudi Mathematici su LeScienze – Aprile 2025 – Come consultare i consulenti È tempo di parlare del problema dei Rudi apparso sul numero di Aprile di Le Scienze, dall’allitterante titolo “Come consultare i consulenti”. Chiunque abbia mai avuto bisogno d’una consulenza sa bene che prima ancora di esporre le sue esigenze all’esperto di turno occorrerebbe premunirsi di uno specifico Manuale d’Uso per il Funzionamento dei Consulenti, ma per fortuna non era questo il nostro caso. Questa volta, quel che serviva, era l’analisi di un gioco a due. Servivano molti segnalini, e sono stati usati allo scopo un tipo di croccantini per gatti che la micia nera disdegna. Serviva anche un consulente, appunto, e per convincere il consulente (la stessa micia nera) i tre Rudi non hanno esitato a usare il tipo di croccantini che Gaetanagnesi invece adora. Ma come funzionava questo gioco? Scopriamolo insieme e vediamo se avete una bella soluzione da proporre!
• Problemi Classici - Giochi Logici Che cosa sono dei problemi “classici”?  Per i giochi proposti dai Rudi l’età non manca, l’aspetto non esattamente giovanile neppure, ma forse quello che sembra più “classico” è il metodo risolutivo. Vorremmo la vostra opinione in merito (però solo dopo che li avete risolti). Se sono dei “classici”, comunque, devono avere delle storie attorno. Scopriamo di cosa si tratta. 

Per le News:

• Fare carriera con la matematica Una laurea in matematica può condurre a traguardi inaspettati, come dimostrano le recentissime notizie da Bucarest e da Roma: ce ne parla, con un sorriso, Chiara de Fabritiis, della nostra redazione.
• Un possibile nuovo metodo per la soluzione delle equazioni oltre il quinto grado? Un nuovo approccio alla risoluzione delle equazioni polinomiali di grado superiore è stato proposto da Norman Wildberger dell’Università del Nuovo Galles del Sud in collaborazione con l’informatico Dean Rubine. Il metodo, descritto in un articolo pubblicato sulla rivista The American Mathematical Monthly, si basa su estensioni delle serie di potenze e introduce una nuova classe di sequenze numeriche con l’obiettivo di ottenere soluzioni non approssimate a problemi finora affrontati principalmente con metodi numerici. 

 

Per La Lente Matematica di Marco Menale:

• Coda al supermercato: la scelta matematica Sei al supermercato con il carrello della spesa. Arrivi alle casse: quale coda scegliere? Un modello matematico suggerisce di non limitarsi a sceglierne una a caso, ma di guardarne almeno due.
• Reti di passaggi per vincere una partita La scelta della rete di passaggi influenza non solo il gioco di una squadra di calcio, ma anche i suoi risultati. Un recente studio ha analizzato matematicamente i vari tipi di passaggi tra tre giocatori, individuando le tattiche più performanti.

Daniela Molinari contribuisce con un articolo in tema.
Le due culture: Il tema delle due culture è molto presente nella scuola: è un po' come se la matematica avesse un ruolo diverso rispetto alle altre discipline, considerata non all'altezza delle discipline umanistiche, ma anche un po' a sé. Per realizzare l'articolo, Daniela si à confrontata con un docente di italiano delle medie, con un docente universitario di filosofia e con l'intelligenza artificiale, ma non mancano i riferimenti al suo passato e ai docenti che hanno contribuito a formarla. Al di là dell'etichetta che si può scegliere, la matematica appartenga innanzi tutto al regno della cultura, e la cultura non conosce classificazioni.

E infine i miei contributi.

Il mio testo teatrale "Muia e i Pitagorici" torna in scena a Torino

Tratto da “Il mistero del suono senza numero”, tornerà in scena il 29 maggio a Torino.

Come distinguiamo la matematica da altre discipline umanistiche? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

"Mentre la matematica è umanistica rispetto alla sua materia - le idee umane - essa è simile alla scienza nella sua oggettività.
I risultati del mondo fisico che sono riproducibili - cioè che producono sempre gli stessi risultati - sono definiti scientifici. Le discipline che hanno a che fare con risultati riproducibili sono chiamate scienze naturali.
Nel dominio delle idee, degli oggetti mentali, quelle idee le cui proprietà sono riproducibili sono chiamate oggetti matematici, e lo studio degli oggetti mentali con proprietà riproducibili è chiamato matematica.

Breve sintesi del pensiero di Reuben Hersh sulla natura umanistica della matematica

Hersh sosteneva che la matematica è un fenomeno umano, non un'entità astratta che esiste indipendentemente da noi (come credono i platonisti), né solo un gioco di simboli e regole (come dicono i formalisti).

Gabriele Lolli e l’irragionevole efficacia della matematica nella fisica
Il pensiero di Lolli sul celebre tema dell’irragionevole efficacia della matematica nella fisica.

Concludo ricordando che la prossima edizione sarà la numero 188 del 14 giugno 2025, e come verso gaussiano avrà “canta, canta tenebroso”.

Ma quale sarà la sua cellula melodica gaussiana? Lo scopriremo tra un mese. A presto!

Calendario con le date delle prossime edizioni passate, presenti e future del Carnevale.

Il mio testo teatrale "Muia e i Pitagorici" torna in scena a Torino

Dopo le edizioni del 2016 e del 2018, il mio testo teatrale "Muia e i Pitagorici", tratto da “Il mistero del suono senza numero”, tornerà in scena il 29 maggio a Torino, presso il Dipartimento di Chimica - Università di Torino - Via Giuria, 7 Torino, a cura di Teatro e Scienza.

Descrizione dello spattacolo

"Dal libro “Il mistero del suono senza numero” di Flavio Ubaldini si dipana un racconto che spazia dalla scuola dei Pitagorici fino ai giorni nostri. Ippaso, il più dotato tra i seguaci di Pitagora, ma anche il più ribelle e arrogante, ha un amore segreto: Muia, la figlia di Pitagora. Rispondendo a una domanda di lei, fa una scoperta che lo metterà in pericolo: la non esistenza di una frazione che rappresenti la diagonale del quadrato di lato 1. Solo dopo molti secoli, con la scoperta del “Taglio di Dedekind” si risolverà la questione.

Spettacolo di Flavio Ubaldini, con Maria Rosa Menzio, Margherita Premoli e Laura Riviera; Mimi: Marco Dalponte, Patrizia Genesi, Roberto Mandosso e Susanna Patroncini; Canto: Marco Dalponte e Simonetta Sola; Scenografia Virtuale: Nikolinka Nikolova; Tecnica: Fulvio Cavallucci; Assistente alla regia: Susanna Patroncini; Regia: Maria Rosa Menzio."

Settimane della Scienza 2025

Teatro & Scienza

Breve sintesi del pensiero di Reuben Hersh sulla natura umanistica della matematica

Reuben Hersh è stato uno dei pensatori più originali sul significato della matematica. La sua visione si distacca sia dal platonismo tradizionale sia dal formalismo puro.

Hersh sosteneva che la matematica è un fenomeno umano, non un'entità astratta che esiste indipendentemente da noi (come credono i platonisti), né solo un gioco di simboli e regole (come dicono i formalisti).

Questa posizione è conosciuta come umaneismo matematico (Vedi Reuben Hersh di Maurizio Codogno).

Punti chiave del pensiero di Hersh:

1. La matematica è un'attività sociale e culturale
   La matematica non "esiste" nel mondo ideale o nella mente di Dio: è prodotta, condivisa e vefiricata dalla comunità matematica. Vive nei libri, nei dialoghi, nella pratica collettiva.

2. È reale, ma non nel senso metafisico
   Secondo Hersh, la matematica è "reale" allo stesso modo in cui sono reali il denaro, le leggi o le istituzioni: sono costruzioni umane con effetti reali, ma non oggetti fisici.

3. La verità matematica è intersoggettiva
   Una proposizione matematica è "vera" se è accettata come tale dalla comunità dei matematici, tramite dimostrazioni rigorose e consenso. Quindi è oggettiva nel contesto umano, ma non assoluta o trascendente.

4. Contesto storico e culturale
   Hersh sottolineava che la matematica cambia con la storia, i contesti culturali e perfino gli interessi dei matematici. Non è statica.

Opere sul tema

• "The Mathematical Experience" (con Philip J. Davis) - un classico che esplora la matematica come pratica umana.

• "What is Mathematics, Really?" - dove espone in dettaglio la sua visione umanistica.

In sostanza, Reuben Hersh rifiuta l’idea che la matematica sia una verità eterna indipendente dall’essere umano, proponendo invece una visione in cui la matematica è viva, sociale, culturale: umana, appunto.

Gabriele Lolli e l’irragionevole efficacia della matematica nella fisica

In Gabriele Lolli: la matematica è consolidata, stabile e cumulativa? abbiamo visto come Lolli cerca di definire che cosa si intenda per “matematica” e riflette sulla visione che la vuole consolidata, stabile e cumulativa.
Qui riporterò il pensiero di Lolli sul celebre tema dell’irragionevole efficacia della matematica nella fisica.

"I matematici sono condotti dal loro senso della bellezza matematica a sviluppare strutture formali che i fisici in seguito trovano utili, anche quando i matematici non avevano per nulla in mente una tale finalità. (Steve Weinberg)

Naturalmente tale riconoscimento comporta meraviglia e incredulità, continua Weinberg: [...] I fisici in generale trovano che la capacità dei matematici di anticipare la matematica che abbisogna nelle teorie fisiche è fortemente misteriosa [uncanny].

Come se Neil Armstrong nel 1969 quando per primo mise piede sulla superficie della luna avesse trovato nella polvere lunare le impronte lasciate da Jules Verne. Eppure succede; è un fatto documentabile che spesso nella storia i matematici hanno studiato oggetti che al momento non si pensava e non ci si preoccupava di riconoscere che avessero un riscontro nella natura o in altre scienze, dalle coniche di Apollonio di Perga (262-190) al calcolo tensoriale di Gregorio Ricci Curbastro (1853-1925) e Tullio Levi-Civita (1873-1941), offerto poi su un piatto d’argento a Albert Einstein (1879-1955) per la teoria della relatività generale.

Gli esempi che si fanno riguardano sempre concetti e teorie che dopo si sono rivelate utili, ed è naturale perché non si può individuare un argomento di matematica di cui si possa dire che non sarà mai utile, non si ha preveggenza. Tuttavia non è facile neppure trovare qualche ricerca importante che per adesso non si sia dimostrata utile. L’argomento sarà da sviluppare a parte, perché riguarda anche, o piuttosto, il modo come è cambiata la fisica; la fisica era studiata già da Aristotele, ma ovviamente altra cosa è la fisica che ha iniziato a usare la matematica; essa ha incominciato con la matematica che era disponibile, naturalmente, facendola così apparire precorritrice. Il caso delle coniche ne è un esempio. Vero è che anche prima forme geometriche, almeno le sfere, erano usate nella cosmologia, ma quelle sfere celesti forse non si dovrebbero considerare enti matematici. Infatti coloro che conoscono e praticano l’aritmetica e la geometria, secondo Aristotele, nella Metafisica, giungono, a suo avviso, a risultati eccellenti “ponendo come separato ciò che non lo è”. Porre “come separato ciò che non lo è” è il modo di Aristotele di intendere la differenza tra i concetti matematici e le cose reali che sono oggetto ciascuna di altre discipline; per esempio considerando una sfera come la superficie matematica “separata” di una palla si può dire che essa ha un solo punto di contatto con un piano tangente su cui giace, a differenza della palla stessa, anche se ben gonfiata. … Poi nell’epoca del calcolo infinitesimale la matematica entra nella fisica con le equazioni differenziali e la ricerca matematica e fisica procede per un po’ in simbiosi, ma guidata dalla matematica–“l’equazione alle derivate parziali è entrata nella fisica teorica come un’ancella, ma gradualmente è diventata padrona”, diceva Einstein. Un momento di crisi sarà quello in cui nasce la matematica pura, nei primi decenni dell’Ottocento, e le due discipline sembrano andare ognuna per la sua strada."