domenica 16 settembre 2018

Carnevale della Matematica #121

L'edizione di settembre del Carnevale della Matematica, la numero 121, è ospitata da Paolo Alessandrini su Mr. Palomar e il tema è "Matematica e arte".

Paolo la introduce così
Benvenuti all'edizione 121 del Carnevale della Matematica, il settimo ospitato da Mr. Palomar. Com'era accaduto anche l'anno scorso, il Carnevale si è preso una lunga pausa nei mesi di luglio e agosto: per tale motivo l'edizione settembrina non si limita ai contributi dell'ultimo mese ma spazia sull'ultimo trimestre, risultando insolitamente ricca.


Io ho contribuito con...

Flavio "Dioniso Dionisi" Ubaldini ha fornito, come da consolidata usanza, la cellula melodica di questo Carnevale. Come sottolinea il suo autore, essa presenta una inedita caratteristica:

Essendo il primo quadrato perfetto di un numero primo da quando ci sono le cellule melodiche, questa è la prima cellula a essere composta da un solo suono ribattuto: quasi un segnale di allarme al manifestarsi dell’alba.

 

Il tema di questa edizione del Carnevale, come sempre non obbligatorio, è "Matematica e arte". Senza distinguere tra contributi a tema e contributi non a tema, cominciamo dunque la ricca carrellata.

Il già menzionato Dioniso Dionisi, raffinato matematico-musicista autore del blog Pitagora e dintorni, ci propone un generoso elenco di contributi.

Matematica e musica al premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura
Il 23 giugno Dioniso ha parlato di "Matematica e musica" nella Sala delle Lapidi del Palazzo delle Aquile, il municipio di Palermo, nell'ambito del premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura. È stata per lui un'esperienza molto positiva, durante la quale ha ricevuto commenti assai incoraggianti, inclusi un paio di probabili inviti per eventi futuri.

Non ci si può muovere contando - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini
Proseguono i commenti su Zellini, Zenone  e il calcolo infinitesimale.
Dopo aver visto che viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete, Zellini conclude: "nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che chi si muove si muova contando. Ma allora è chiaro che il movimento e la continuità della retta non possono trovare una spiegazione nei numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si rende necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

Le connessioni tra matematica e musica - "From Music to Mathematics: Exploring the Connections"
Una libera traduzione da "From Music to Mathematics: Exploring the Connections" di Gareth E. Roberts in cui l'autore evidenzia connessioni a vari livelli tra le strutture della matematica e della musica.

Il mio dramma "I Pitagorici" di nuovo in scena a Torino
Il 20 novembre alle 17 "I Pitagorici", tratto da “Il mistero del suono senza numero”, sarà di nuovo in scena. Danza e scenografia virtuale arricchiranno la recitazione di Maria Rosa Menzio e Simonetta Sola.

Intervista su musica e numeri a "L'ultima spiaggia" di Radio 1
Mario Pezzolla ha intervistato Dioniso per pochi minuti durante la trasmissione "L'ultima spiaggia" di Radio 1. Il tema è stato i rapporti tra musica e matematica.

Matematizzazione della fisica e misticismo crociano
Dioniso riporta due interessanti brani dal libro “I paradossi di Zenone” di Vincenzo Fano.
«Secondo alcuni filosofi contemporanei le soluzioni matematiche dei paradossi non colgono il punto posto da Zenone – né mai lo coglieranno. Gli avanzamenti matematici non avrebbero alcuna rilevanza metafisica e troverebbero il loro uso appropriato solo nel “rendere più veloci i jet”.
Prendiamo le distanze da queste forme di misticismo, che oggi purtroppo sono alquanto comuni.»



Per quanto riguarda l'edizione numero 122... 
14 ottobre 2018: (“canta, merlino”) Al caffè del Cappellaio matto – La matematica e l’arte visuale
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


venerdì 31 agosto 2018

Matematizzazione della fisica e misticismo crociano

Riporto due interessanti brani dal libro “I paradossi di Zenone” di Vincenzo Fano.

«La filosofa canadese Trish Glazebrook (2001) rilegge i paradossi di Zenone come una critica alla tesi pitagorica secondo cui la realtà sarebbe numero.
Tale lettura, pur essendo storicamente discutibile, è teoricamente ragionevole:

“Intendo usare i paradossi di Zenone sul moto per sostenere che l’applicazione dei concetti matematici al mondo fisico porta paradossi e che la matematizzazione della realtà fisica non è un’assunzione innocente... Suggerisco che il punto di Zenone potrebbe essere stato che la descrizione matematica del moto è problematica.”

Questo però non significa che abbracciamo la tesi della filosofia italiana, Alba Papa-Grimaldi, secondo la quale le soluzioni matematiche dei paradossi non colgono il punto posto da Zenone – né mai lo coglieranno.
In questa prospettiva, gli avanzamenti matematici non avrebbero alcuna rilevanza metafisica e troverebbero il loro uso appropriato solo nel “rendere più veloci i jet”. Per cui tali considerazioni matematiche “nemmeno scalfiscono la superficie” del problema metafisico di Zenone.
Benché le diverse possibili formalizzazioni vadano sempre usate con spirito critico, esse di fatto consentono una formulazione rigorosa dei problemi e un’analisi delle possibili soluzioni che difficilmente si possono raggiungere con il linguaggio ordinario della filosofia. Perciò prendiamo le distanze da queste forme di misticismo, che oggi purtroppo sono alquanto comuni.»

...

"In questo mondo capriccioso, nulla è più capriccioso della fama presso i posteri. Una delle più notevoli vittime della mancanza di senno è Zenone di Elea. Malgrado abbia inventato quattro argomentazioni tutte smisuratamente sottili e profonde, la stupidità dei filosofi all’lui successivi proclamò che Zhai non è non era altro che un ingegnoso giocolieri e le sue argomentazioni erano tutti sofismi.
Dopo 2000 anni di continua confutazione, questi sofismi sono stati nuovamente enunciati e formano la base di una rinascita della matematica, a opera di un professore tedesco, il quale probabilmente non aveva sognato che esistesse qualche legame fra lui e Zenone."

Bertrand Russell - Principia Matematica

lunedì 13 agosto 2018

sabato 11 agosto 2018

venerdì 10 agosto 2018

Il mio dramma "I Pitagorici" di nuovo in scena a Torino

A novembre il mio dramma "I Pitagorici" tratto da “Il mistero del suono senza numero” sarà di nuovo in scena. Stavolta presso il Palazzo Campana, sede del Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano" dell'Università di Torino. Come nella messa in scena del 2016 danza e scenografia virtuale arricchiranno la recitazione di Maria Rosa Menzio e Simonetta Sola.

20 novembre 2018 h 17 – Torino, Palazzo Campana: “I PITAGORICI”



Dal libro “Il mistero del suono senza numero” di Flavio Ubaldini si dipana un racconto che spazia dalla scuola dei Pitagorici fino ai giorni nostri. Ippaso, un giovane atletico e brillante, il più dotato tra gli allievi della scuola di Pitagora, ma anche il più ribelle e arrogante, ha un amore segreto: Muia, la figlia di Pitagora. Rispondendo a una domanda di lei, fa una scoperta che lo metterà in pericolo, tanto che dovranno passare molti secoli per interpretare quella scoperta. Ma qual è il segreto che i Pitagorici vogliono preservare a tutti i costi? E’ un segreto che potrebbe fornire la chiave per l’interpretazione e il controllo dell’Universo. Ma Ippaso si accorge che c’è qualcosa che non va. C’è un numero che manca. C’è un suono di troppo. E qualcuno trama nelle tenebre per impedire il crollo della dottrina pitagorica. Dal giorno in cui Ippaso viene accolto nella scuola, ai problemi con gli altri discepoli (Milone e Filolao), alla scoperta della non esistenza di una frazione che rappresenti la diagonale di un quadrato di lato 1, all’amore per Muia, poi l’espulsione, l’ira degli Dei contro Pitagora e la condanna alle varie reincarnazioni, si arriva fino a Richard Dedekind e alla scoperta del “Taglio” con cui si risolve la questione (nel 2016 ricorre il centenario della morte di Dedekind).

SEMINARIO a cura di LIVIA GIACARDI

mercoledì 1 agosto 2018

Un matematico italiano vince la medaglia Fields!

Un matematico italiano vince la medaglia Fields! Non succedeva da 44 anni.

Di che cosa si occupa esattamente Alessio Figalli, medaglia Fields 2018?

Breve biografia scientifico-professionale di Alessio Figalli e alcuni materiali di approfondimento.








Gli altri vincitori sono: Caucher Birkar, Peter Scholze e Akshay Venkatesh.

Caucher BirkarUniversity of Cambridge-"for his proof of the boundedness of Fano varieties and for contributions to the minimal model program"
Alessio FigalliSwiss Federal Institute of Technology ZurichSwiss Federal Institute of Technology Zurich"for his contributions to the theory of optimal transport, and its application to partial differential equations, metric geometry, and probability"
Peter Scholze"for transforming arithmetic algebraic geometry over p-adic fields through his introduction of perfectoid spaces, with application to galois representations and for the development of new cohomology theories."
Akshay Venkatesh"for his synthesis of analytic number theory, homogeneous dynamics, topology, and representation theory, which has resolved long-standing problems in areas such as the equidistribution of arithmetic objects."[94]

martedì 31 luglio 2018

Congresso Mondiale dei Matematici e medaglie Fields 2018

Ricevo da Roberto Natalini​ e condivido.

Domani è una giornata importante per i matematici di tutto il mondo. Si apre infatti il Congresso Mondiale dei Matematici e verranno annunciate le medaglie Fields 2018.

La cerimonia sarà in streaming dal sito del congresso (23) a partire dalle ore 13e30 italiane (8e30 a Rio).
MaddMaths​ vi aggiornerà sul sito e nei social sulle news più importanti.
Si comincerà però a parlarne anche prima, alle 11e30 su Radio3 Scienza.

Matematici in attesa - Mercoledì 1 agosto dalle 11.30 alle 12.00

Si apre domani a Rio de Janeiro il Congresso internazionale dei matematici che si tiene ogni quattro anni. Grande l'attesa per il conferimento delle medaglie Fields, considerato come il premio Nobel della matematica.  Enrico Arbarello e Roberto Natalini ci raccontano come si decide la sua assegnazione.
Al microfono Marco Motta

venerdì 6 luglio 2018

Le connessioni tra matematica e musica - "From Music to Mathematics: Exploring the Connections"

Libera traduzione da "From Music to Mathematics: Exploring the Connections" di Gareth E. Roberts.

"Le connessioni tra matematica e musica da un punto di vista strutturale sono abbondanti. Entrambi usano una forma speciale di notazione per comunicare le loro idee. Ogni soggetto ha una sua struttura logica e un insieme di assiomi finemente messi a punto su secoli di studio.

Gli studenti del liceo apprendono le tecniche assiomatiche di Euclide per scrivere le loro prime dimostrazioni.
Gli studenti di teoria musicale apprendono le regole della scrittura vocale a quattro parti, cercando di evitare le quinte e le ottave parallele, per comprendere meglio l'armonia.

I matematici usano i numeri come gli elementi costitutivi invariabili della loro teoria mentre i musicisti usano le altezze dei suoni come comun denominatore delle loro creazioni.

Così come il numero 3 ha lo stesso significato astratto per i matematici di tutto il mondo, la frequenza del la a 440 HZ, usata per accordare le orchestre moderne, è uno standard globale.

A prima vista, la matematica è spesso considerata una scienza "dura", mentre la musica è considerata una materia umanistica. Tuttavia, oltre ai molti tratti strutturali condivisi, ci sono anche diversi legami estetici e artistici tra le due discipline.

Ad esempio, entrambi i campi hanno prodotto grandi  bambini prodigio, come Mozart e Gauss. I genitori fanno ascoltare Bach e Beethoven ai loro bambini al fine di favorire lo sviluppo del cervello e le capacità analitiche. Molti matematici sono musicisti eccezionali, mentre molti musicisti, in particolare i compositori, possiedono acute menti matematiche.
Gli studiosi parlano spesso della "bellezza" e della "purezza" della matematica, e le stesse descrizioni  possono  applicarsi anche alla musica.
La musica ha l'ovvia capacità di muovere lo spirito, ma anche le grandi scoperte e le grandi intuizioni matematiche sono spesso accompagnate da un senso di esaltazione travolgente. Il grande matematico contemporaneo Andrew Wiles ha pianto davanti alle telecamere mentre parlava della sua incredibile dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat.
Ed è evidente che compositori e musicisti, consapevoli o meno, usino concetti matematici nelle loro creazioni."

domenica 1 luglio 2018

Non ci si può muovere contando - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini

L'ultima volta abbiamo visto come Zellini dà ragione a Zenone ritenendo che Weierstrass, col bandire rigorosamente tutti gli infinitesimali, dimostrò finalmente che viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete. L’immobilità prevale sul movimento che può essere interpretato attraverso le sole coordinate dello spazio-tempo, e quindi per via di successive posizioni fisse e puntuali. Per cui «La meccanica può spiegare il movimento solo attraverso l’immobilità».

Oggi proseguiremo ancora su quel tema riportando le considerazioni che spingono Zellini a concludere: "nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

"Come spiegava Russell, «infinità e continuità appaiono insieme nell’aritmetica pura» (Principles, par. 435). Fu questa conquista dell’intelletto a presentarsi come un rimedio alle difficoltà che Zenone aveva sollevato circa la natura del movimento e la composizione del continuo. La soluzione moderna del paradosso di Achille si basò sull’assumere come reale o possibile proprio ciò che Zenone considerava paradossale, cioè, nel commento di Russell, l’assenza di uno stato di moto: un sacrificio che salvava un dato irrinunciabile, l’esistenza attuale delle cose. Un’entità attuale, notava Whitehead, non si muove: essa è dove è ed è ciò che è. Russell sosteneva che la nozione di uno stato di moto non è fondata, perché il movimento è fatto di posizioni atomiche occupate in determinati istanti, entrambi valutabili mediante numeri reali, corrispondenti a punti della retta. Aristotele (Fisica, 234 a 24 sgg.) aveva dimostrato che nulla può muoversi in un istante fissato, e che perciò il tempo non è fatto di istanti. Russell rispondeva che in effetti è vero, nell’istante nulla si muove, e che questo è compatibile con una teoria coerente del continuo aritmetico provvisto di metrica euclidea, come era stato elaborato da Weierstrass, da Dedekind e da Cantor. Solamente così si poteva garantire la realtà di ciò che muta e si muove. Il paradossale diventava reale...

La matematica è sempre stata un’arte del paradosso, e le sue formule hanno spesso suscitato una reazione d’incredulità nello stesso scienziato che le ha scoperte o ideate. Ma la matematica è anche un’arte di costruire simulazioni e modelli fedeli, fin dove è possibile, delle nostre concezioni comuni, mediante definizioni e teorie in grado di farci riconoscere ciò che ci attendiamo. A quell’impercettibile forzatura che si coglie nei commenti di Russell, seguì l’esplicito imbarazzo del commento al primo paradosso sul moto di Zenone da parte di Hilbert e di Bernays, fatto proprio, successivamente, anche da Stephen Kleene: C’è una soluzione molto più radicale del paradosso. Questa consiste nel prendere atto che non siamo obbligati in nessun modo a credere che la rappresentazione matematica del moto in termini di spazio e tempo sia fisicamente significativa per intervalli di spazio e di tempo arbitrariamente piccoli; piuttosto abbiamo ogni ragione di supporre che quel modello matematico estrapola i fatti di un certo dominio di esperienza, cioè i movimenti entro ordini di grandezza finora accessibili alla nostra osservazione, nel senso di una semplice costruzione concettuale, analoga al modo in cui la meccanica dei continui effettua un’estrapolazione in cui si assume che lo spazio sia riempito, in modo continuo, di materia.
...
La situazione è simile in tutti i casi in cui si crede possibile esibire direttamente un infinito [attuale] come dato dall’esperienza o dalla percezione
...
Un esame più attento mostra allora che un’infinità non ci è data in nessun modo, ma è interpolata o estrapolata per via di un procedimento intellettuale. Non c’era però altra via se non appunto quella di estrapolare, di completare i fatti dell’esperienza con un modello matematico del continuo, riconducibile a sua volta, come notò Hermann Weyl, a una mera costruzione simbolica. Aristotele (Fisica, 263 a 25-30) osservava che se si divide ripetutamente il continuo in due metà non possono risultare continui né la linea né il movimento. Il movimento, precisava, è proprio di un continuo, e nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità o di entelechia a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

Altre considerazioni correlate:
Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà

sabato 30 giugno 2018

Il mistero della bicicletta scomparsa

Il giorno prima della partenza per Palermo Zucchero era uscita a fare delle compere ed era tornata molto tardi e trafelata: le si era sganciata la catena ed era dovuta tornare a piedi trascinando la bicicletta.

Vista la frenesia dei preparativi per il viaggio abbiamo rimandato il riaggancio della catena a dopo il ritorno.

Lunedì sono sceso per l’operazione ma la bici non c’era.
– Noo! Me l’hanno rubata! Ci ero così affezionata!
– Ma sei sicura di averla chiusa con il lucchetto?
– Mi pare di sì. Però, con lo sconforto che avevo, potrebbe essermi sfuggito.

Senonché, dopo avere elaborato il lutto per la compianta, ieri pomeriggio ci siamo recati dal ciclista del quartiere per l’acquisto di una sostituta.

Appena scesi Zucchero ha dato uno sguardo al nostro parcheggio delle biciclette e mi ha chiesto:
– Non è ricomparsa vero?

Abbiamo continuato e dopo 50 m Zucchero ha esclamato:

– Eccola!

Era lì solitaria e abbandonata al bordo della strada. Forse io non l’avrei neppure notata. Inizialmente non siamo riusciti a spiegarci chi potesse averla presa e poi lasciata dopo 50 m. Una mia prima ipotesi: forse effettivamente non era stata legata e qualche ragazzo, avendo urgenza di spostarsi rapidamente, ha pensato di prenderla per poi riportarla alla fine dell’incombenza.

Poi Zucchero, osservando alcuni fatti, ha formulato un’ipotesi più plausibile e insieme siamo riusciti a elaborare una teoria più probabile di come possano essersi svolti i fatti.

Le osservazioni che ci hanno condotto all’elaborazione della nuova teoria sono essenzialmente due:

1. Il lucchetto - di scarsissima qualità - era scomparso senza lasciare segni.

2. La catena era ancora sganciata.

Qual è secondo voi la teoria più probabile?

mercoledì 27 giugno 2018

Matematica e musica al premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura

Il 23 giugno ho parlato di "Matematica e musica" nella Sala delle Lapidi del Palazzo delle Aquile, il municipio di Palermo, nell'ambito del premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura.


È stata un'esperienza molto positiva e ho ricevuto commenti assai incoraggianti. Inclusi un paio di probabili inviti per eventi futuri.

Ringrazio molto la professoressa Elena Toscano per lo straordinario supporto, il suo allievo Pietro Figlia per la collaborazione musicale e la professoressa Cinzia Cerroni per avermi invitato.


Ho avuto anche l’opportunità di assistere alla premiazione e alle presentazioni dei ragazzi.
Tutti molto bravi. Ma alcuni avevano doti dialettiche davvero eccezionali.
Alla fine ho anche avuto una piacevole conversazione con il sindaco, Leoluca Orlando, a cui qualcuno aveva detto che abito a Heidelberg e che quindi è voluto venire a intrattenersi con me sui begli anni dei suoi studi nella mia città di adozione.

50

Ho trovato inoltre molto interessanti le relazioni di Carlo Toffalori su Matematica e letteratura e quella di Valeria Patera su Scienza e teatro.
Lascio infine un po' di bellezze palermitane con l'auspicio di tornare a vederle presto.
La prima foto l'ho scattata da una finestra del Palazzo delle Aquile.







Qui i racconti delle mie altre presentazioni di Crotone, Arce, Heidelberg, Scandriglia, BariFrancoforte e Roma.

giovedì 14 giugno 2018

Carnevale della Matematica #120: "la didattica"

L'edizione di giugno del Carnevale della Matematica, la numero 120, è ospitata da Maurizio Codogno su Il Post e il tema è la didattica.

Io ho contribuito con la cellula melodica e con...

Dioniso ha scritto molto in questo mese su Pitagora e dintorni:
Zenone aveva ragione! – “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini, Sull’annoso problema dei razionali e degli irrazionali con le considerazioni di Zellini sui paradossi di Zenone… Ma quindi Zenone aveva ragione?
Presentazione de “Il mistero del suono senza numero” nella libreria Assaggi di Roma: Dopo varie tappe non poteva mancare Roma, con un roster di eccezione!
What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh – Gli oggetti matematici hanno natura mentale o fisica?. Continua la serie dedicata a What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh. In questo brano l’autore indaga la natura degli oggetti matematici.
La costruzione di una scala musicale attraverso i numeri – F. Talamucci: il temperamento equabile e i numeri irrazionali. Si parla delle difficoltà di accordatura insite nel temperamento equabile, vista la presenza di numeri irrazionali, e degli aspetti psicofisici correlati a tale scala musicale.

Di musica parla anche Leonardo Petrillo su Scienza e musica, con La rappresentazione integrale di Cauchy, un nuovo post della serie dedicata all’analisi complessa. Questa volta protagonista è la rappresentazione integrale di Cauchy, assieme alle sue varie implicazioni. All’inizio del post è presente una lista delle “puntate precedenti”.


Per quanto riguarda l'edizione numero 121... 
14 settembre 2018: (“all’alba, all’alba”) Mr. Palomar Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


mercoledì 13 giugno 2018

Matematica e musica al premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura

Se il 23 giugno vi troverete dalle parti di Palermo venite al Palazzo delle Aquile dove, alle 12:15, parlerò di Matematica e musica. Ci sarà persino Leoluca Orlando!


domenica 3 giugno 2018

La costruzione di una scala musicale attraverso i numeri - F. Talamucci: il temperamento equabile e i numeri irrazionali

Riporto questo interessante brano da La costruzione di una scala musicale attraverso i numeri in cui Federico Talamucci parla delle difficoltà insite nel temperamento equabile e degli aspetti psicofisici correlati a tale scala musicale.

"Un aspetto contestato alla scala del temperamento equabile1 è stato proprio quello di imporre l'uso di numeri complicati dal punto di vista aritmetico: i numeri irrazionali hanno uno sviluppo decimale infinito, non periodico, necessitano di essere approssimati, ... Pertanto la scala non fu unanimemente associata ad una naturale e spontanea condizione, come poteva essere quella di ottenere i suoni per divisioni in poche parti (dunque facendo uso di semplici numeri razionali che esprimono le divisioni) di una corda. In secondo luogo, se abbiamo presente la formazione fisica di un suono come sovrapposizione di suoni armonici, ovvero di suoni con frequenze f, 2f, 3f, . . ., è da notare l'estraneità dei suoni della scala E dal punto di vista degli armonici: nessun suono, a parte ovviamente l'ottava, fa parte degli armonici di qualche altro. Tuttavia, in ambito sperimentale esiste una legge empirica (formulata già dal 1860) che si adatta perfettamente a spiegare la costruzione della scala equabile: tale legge, nota come legge di Weber, riguarda in generale la relazione tra uno stimolo (che può essere un peso da sopportare, un agente che provoca dolore, oppure, appunto, una fonte sonora) e la percezione che consegue. Si tratta evidentemente di rappresentare un fenomeno a carattere soggettivo (si parla infatti di psicofisica): in modo generale, sulla base di test ed esperimenti, tale fenomeno viene inquadrato da una formula matematica...  la legge afferma che un graduale aumento della sensazione in altezza avviene in corrispondenza di frequenze che si susseguono in progressione geometrica, proprio come nella scala temperata. Pur rimanendo nella sfera delle percezioni e non delle leggi fisiche automaticamente quantificabili, l’obiettivo di avvertire un aumento dell’altezza dei suoni progressivo ed uniforme viene realizzato dalla scala dei suoni irrazionali.



1. La scala del temperamento equabile è caratterizzata dall'essere equidistanziata. Cioè le distanze tra i semitoni sono tutte uguali. Quindi lo saranno i rapporti tra le frequenze dei semitoni adiacenti f1/f0 = f2/f1 = · · · = 2f0/fN-1 = r. Questo comporta che i suoni della scala formino una progressione geometrica di ragione r. Per determinarli, operiamo ad esempio come segue: 2 = 2f0/f0 = 2f0/fN-1*fN-1/fN-2*. . . * f2/f1*f1/f0 = rN da cui r = N√2. Per ottenere i valori dei suoni della scala temperata possiamo quindi applicare questa formula:

fK = (N√2)Kf0, K = 0, 1, . . . , N

sabato 2 giugno 2018

What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh - Gli oggetti matematici hanno natura mentale o fisica?

L'ultima volta ho riportato il brano in cui Reuben Hersh spiega le differenze tra "numeri raggiungibili" e numeri puri.
Oggi propongo un brano in cui l'autore cerca di indagare la natura degli oggetti matematici. Sempre in libera traduzione.

Frege ha mostrato che gli oggetti matematici non sono né fisici né mentali. Li ha etichettati come "oggetti astratti". E che ci ha detto riguardo agli oggetti astratti? Solo questo: non sono né fisici né mentali. Ci sono altre cose oltre ai numeri che non sono né puramente mentali né puramente fisiche? Sì! Le sonate. I prezzi. Gli avvisi di sfratto. Le dichiarazioni di guerra. Né mentali né fisiche, ma neppure astratte!

Quali sono le cose che contano al giorno d'oggi? Matrimoni, divorzi, asili nido. Pubblicità e acquisti. Lavori, salari, soldi. Le notizie e i programmi televisivi. La guerra e la pace. Tutte queste entità hanno aspetti mentali e fisici, ma nessuna è un'entità puramente mentale o puramente fisica. Ognuna è un'entità sociale.

Dall'esperienza sappiamo che:
1. Gli oggetti matematici sono creati dagli esseri umani. E in modo non arbitrario, ma come risultato dell'attività su gli oggetti matematici esistenti e secondo i bisogni della scienza e della vita quotidiana. 
2. Una volta creati, gli oggetti matematici possono avere proprietà che per noi sono difficili da scoprire ...

Ma una volta creati, gli oggetti matematici si staccano dal loro creatore, diventano parte della cultura umana e li recepiamo come oggetti esterni, con proprietà note e proprietà ignote. Tra le proprietà ignote, ce ne sono alcune che riusciamo a scoprire e altre no, anche se gli oggetti sono nostre creazioni. È paradossale? Se lo è, ciò è causa del pensiero che riconosce solo due realtà: il soggetto individuale e il mondo fisico esteriore. L'esistenza della matematica mostra l'inadeguatezza di queste due categorie.

La matematica è proprio quel terzo tipo di categoria. Il fatto di essere inventati o creati dagli umani rende gli oggetti matematici diversi dagli oggetti naturali come le rocce, i raggi X, i dinosauri. Alcuni filosofi (Stephen Körner, Hilary Putnam) sostengono che il dominio della matematica pura sia il mondo fisico, ma non le sue realtà, bensì le sue potenzialità.
"Esistere in matematica", significherebbe "esistere in potenza nel mondo fisico". Questa interpretazione è accattivante, perché consente alla matematica di essere significativa. Ma è inaccettabile, perché cerca di spiegare il chiaro con l'oscuro1.


...continua...



1. Ho discusso con Maurizio Codogno come tradurre quest'ultimo capoverso e lui ha parafrasato così:
la matematica è chiara, funziona con certe regole. Mentre il mondo reale è oscuro, non sappiamo in realtà come funziona. Dire che gli enti matematici esistono perché possono esistere in potenza nel mondo fisico significa partire da qualcosa che non conosciamo per spiegare qualcosa che conosciamo. Per questo quell'interpretazione è inaccettabile.

venerdì 25 maggio 2018

Presentazione de "Il mistero del suono senza numero" nella libreria Assaggi di Roma

Dopo Crotone, Arce, HeidelbergScandriglia, Bari e Francoforte, non poteva mancare Roma.

Sono rimasto molto soddisfatto del risultato e mi sono divertito. Sono rimasto molto soddisfatto del risultato e mi sono divertito. I contributi di Roberta Fulci, Tommaso Castellani e Paolo M. Albani sono stati determinanti. E le domande e i commenti di un ex professore di filosofia mi hanno rallegrato particolarmente.




       



mercoledì 16 maggio 2018

Zenone aveva ragione! - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini

L'ultima volta ho condiviso considerazioni di Zellini sul tema del realismo in matematica e dall'annoso pitagorico problema dei razionali e degli irrazionali.
Oggi proseguiamo su quel tema riportando le considerazioni di Zellini sui paradossi di Zenone... Ma quindi Zenone aveva ragione?

"In questo mondo capriccioso, nulla è più capriccioso della fama presso i posteri. Una delle più notevoli vittime della mancanza di senno è Zenone di Elea. Malgrado abbia inventato quattro argomentazioni tutte smisuratamente sottili e profonde, la stupidità dei filosofi a lui successivi proclamò che Zenone non era altro che un ingegnoso giocoliere e le sue argomentazioni erano tutte sofismi. Dopo duemila anni di continua confutazione, questi sofismi sono stati nuovamente enunciati, e formarono la base di una rinascita della matematica ad opera di un professore tedesco...
Weierstrass, col bandire rigorosamente tutti gli infinitesimali, ha finalmente dimostrato che noi viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete.
Russell (Principles, par. 332) pensava che l’argomento della freccia enunciasse un fatto del tutto elementare, e che il trascurarlo avesse tenuto la filosofia del movimento in un pantano per lunghi secoli. Il suo richiamo a Karl Weierstrass si può spiegare in questo modo: assieme ad Augustin-Louis Cauchy, Weierstrass fu il primo matematico a rifondare con chiarezza l’analisi senza infinitesimi, affermando che

una funzione f(x) tende a un limite L, per x che tende a l, se, in corrispondenza a un dato valore positivo ε comunque piccolo, si può trovare un numero positivo δ (dipendente da ε) tale che la distanza di f(x) da L è minore di ε quando la distanza di x da l è minore di δ. Se L = 0 la funzione f si approssima a 0 per x che tende a l, ma nella definizione si evita appositamente di dire che il valore f(x) diventa infinitesimo.

Scompare allora l’idea del fluire, della tensione dinamica della variabile verso il suo limite, semplicemente perché le variabili, entro i confini disegnati da ε e da δ, non si muovono affatto, assumono soltanto i valori che a loro competono. L’immobilità prevale sul movimento
Si può allora definire la velocità di un corpo in un istante t soltanto come il limite del rapporto tra lo spazio percorso e il tempo di percorrenza al tendere della variabile tempo all’istante t. Questo limite, un semplice numero, è la derivata dello spazio come funzione del tempo di percorrenza all’istante t. In questo modo si potevano evitare le «quantità evanescenti» concepite nei primi sviluppi del calcolo infinitesimale.
...
I numeri razionali e irrazionali, pensati come limiti di variabili, ereditavano la natura effettiva e reale di concetti fisici come la velocità e l’accelerazione. Negli stessi numeri si potevano ravvisare delle entità atomiche paritetiche ai punti della retta. Il movimento poteva essere interpretato attraverso le sole coordinate dello spazio-tempo, e quindi per via di successive posizioni fisse e puntuali. «La meccanica può spiegare il movimento solo attraverso l’immobilità».

Solamente nei numeri, era questa la conclusione importante, si trovava la realtà del continuo spazio-temporale. E i numeri che assolvevano a questo compito potevano essere sia razionali che irrazionali. Di più, l’esistenza dei numeri reali (razionali + irrazionali) sarebbe apparsa, dopo Weierstrass, l’effetto di una libera creazione del matematico, ancorché indotta da proprietà oggettive del corpo numerico. Quale migliore accordo tra pensiero e natura, tra libertà ed effettività?
...
ma la continuità geometrica era già di fatto concepita, grazie alle teorie di Cantor e di Dedekind, come un dominio di numeri attuali. Il disegno dell’aritmetizzazione dell’analisi aveva già atomizzato l’estensione continua. L’attualità poggia infine, nella teoria del continuo numerico, su entità atomiche definite, costituenti un sistema di divisioni reali, di eventi istantanei in relazione con altri eventi collocati in qualche punto del continuo. Tra numeri e punti si stabilisce assiomaticamente una corrispondenza biunivoca, e per il tramite dei numeri i punti dello spazio e gli istanti del tempo acquistano una nuova specie di realtà."

Altre considerazioni correlate:
Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà

lunedì 14 maggio 2018

Carnevale della Matematica #119, il 10° anniversario: matematica e filosofia

– Πάντα αριθμός εστι, illustre Pitagora!
– Mi saluta con il motto della scuola!? Deve servirle qualcosa di impegnativo. Di nuovo informazioni per un Carnevale della Matematica, immagino.
– Avrei voluto risparmiarvi ma con un tema del genere, matematica e filosofia, non potevo non consultarvi. E poi oggi è il 10° anniversario del Carnevale della Matematica. Il 1° si tenne nel lontano 14 maggio del 2008 su Gli studenti di oggi. Un'occasione irripetibile! Uno grossa responsabilità!


Inoltre a breve ci sarà il Carnevale della Matematica dal vivo!!
– Basta, basta! Risparmi il fiato. Se non altro questa volta non dovrò rimproverarla per aver pubblicato nuove storie sulla mia scuola, visto che finalmente si è messo a scrivere di altri temi. Comunque ho già capito che le servono le proprietà del numero 119. Pur di mandarla via il prima possibile mi presterei a enumerarle persino i numeri irrazionali! Quindi ecco le proprietà del numero 119. È un numero composto. I suoi divisori sono: 1, 7, 17 e 119.
– Certo, 7 × 17! Infatti il suo verso gaussiano è “zampettando melodioso” con corrispondente cellula melodica gaussiana caratterizzata da un intervallo di quarta aumentata. Di nuovo il Diabolus in Musica!



– Non mi interrompa! ... Però, mi tolga una curiosità. Come mai ha costruito la cellula su 17 x 7 invece che sul più corretto 7 x 17?
– Per una questione puramente estetica: “melodioso zampettando” suonava male.
– Ma un criterio estetico non dovrebbe mai prevalere su un criterio numerico! E comunque non interrompa di nuovo la mia elencazione! Altrimenti non finiamo più! Riprendo. Il 119 è un numero difettivo poiché la somma dei suoi divisori, escluso 119, è minore di 119, è un numero semiprimo, un numero nontotiente, un numero altamente cototiente, un numero di Perrin, ed è parte di ben cinque delle mie terne (56, 105, 119), (119, 120, 169), (119, 408, 425), (119, 1008, 1015), (119, 7080, 7081).
Inoltre è un numero intero privo di quadrati, è un numero congruente, è la somma di cinque primi consecutivi (17 + 19 + 23 + 29 + 31). E ora la saluto!
– ArrivederVi maestro! Conoscendo l'irascibilità di Pitagora non cercheremo di fermarlo ma ci limiteremo a dar voce ai bellissimi contributi seguendo l'ordine cronologico di arrivo e, se gli stessi siano in tema o fuori tema, lo deciderete voi, cari lettori.

Annalisa Santi da Matetango ci invia l'articolo La matematica romantica dell'800. Trattasi di un excursus della matematica e dei matematici protagonisti del periodo "romantico", tra Novalis e Musil, in cui esplose e si affermò la matematica come disciplina autonoma, e soprattutto come libertà di pensiero. È anche un accostamento a questi scrittori e soprattutto a Musil che meglio ha definito la matematica "romantica" evidenziando i legami stretti tra quella matematica, la conseguente crisi dei fondamenti e il pensiero filosofico correlato.


Maurizio Codogno contribuisce con una pillola dal Post, Congetture piuttosto inutili, che racconta di un teoremino di teoria dei numeri.
E con altri articoli dalle Notiziole...
tra le recensioni Guarda caso di Giorgio Chinnici, Il mondo dei quanti di Kenneth Ford sulla fisica quantistica, e Un mondo di coincidenze di Ennio Peres... beh, sulle coincidenze, no?
Tra i quizzini ci sono Vecchi libri, Tutti al fiume, Sette e undici, Due colori e Quali primi?
Infine anche Maurizio ci segnala Il Carnevale della Matematica live a Napoli.



Leonardo Petrillo ha mandato Introduzione all'integrazione complessa.
È la seconda puntata del viaggio nel mondo dell'analisi complessa iniziato qui. Il tema, questa volta, è rappresentata da un'introduzione all'integrazione complessa, tra proprietà dell'integrale complesso e teoremi di Cauchy e Morera.



E giunti al quarto protagonista di questo Carnevale della Matematica #119, dobbiamo annunciare un grande ritorno! Dopo mesi di assenza...
Mr. Palomar è tornato (era ora!)
Con questo post Mr. Palomar torna dopo un periodo di latitanza.
E sembra un ritorno pieno di energie. Infatti Paolo Alessandrini inaugura ben due rubriche.
L'immagine matematica del giovedì (#1 e #2)
Una nuova rubrica, quasi esclusivamente "visuale".
La citazione matematica del sabato (#1 e #2)
Un'altra nuova rubrica di Mr. Palomar.
Infine, Paolo conclude con Gli enigmi di Coelum: Questo titolo ha 25 caratteri
Tornano anche gli enigmi di Coelum, questa volta con un tema già trattato spesso da questo blog.


Da Maddmaths! Roberto Natalini contribuisce con:

Attraversare l'oceano passeggiando in giardino

L'infaticabile Gianluigi Boccalon ci propone un'altra tappa del suo viaggio alla scoperta delle mille occasioni che la realtà ci regala per fare Esperienze Transdisciplinari di Matematica. In questa nuova puntata della rubrica, curata insieme alla sua collega Michela Del Favero, ci raccontano come possa essere più efficace introdurre le coordinate cartesiane e polari durante le lezioni di Geografia già durante il primo anno di scuola secondaria di I grado.

MaddMaths! propone, inoltre, una sintesi delle migliori notizie di matematica dai siti di tutto il mondo. Ecco il loro "piccolo (ma intenso)" Madd-Digest!
Madd-Digest #2
Madd-Digest #3 


Il contributo di MaddMaths! prosegue con:
I grafi di de Grey e le colorazioni del piano spiegati beneLo scorso 11 Aprile, Aubrey de Gray, un biologo appassionato di matematica ricreativa, ha postato su arXiv un articolo dal titolo "The chromatic number of the plane is at least 5" dove descrive la costruzione di un grafo di 1577 vertici con numero cromatico 5. Ci spiega di cosa si tratta Emanuele Munarini, professore di geometria presso il Politecnico di Milano.

Ricordo del Professor Manfredo
L’articolo che segue è in parte originale di Barbara Nelli ed in parte una libera traduzione dall'articolo apparso qui il giorno in cui Manfredo Perdigão Do Carmo, Professore Emerito all'Istituto di Matematica Pura e Applicata di Rio de Janeiro e padre della geometria differenziale brasiliana, è venuto a mancare.

Invisibili mondi tra fantasmi in agguato
Paolo Dulio è ricercatore di Geometria presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Si occupa da diversi anni di problemi inversi legati alle tecniche di tomografia computerizzata. È anche un amante della divulgazione matematica, come ha dimostrato con il suo recente libro "Matematica per conigli", scritto con Biagio Bagini per TAM Editore.

Indagine mondiale sugli scienziati
L'indagine globale sugli scienziati in matematica, informatica e scienze naturali 2018, promossa dal Gender Gap in Science project, è stata lanciata il 1° maggio scorso e rimarrà aperta fino al 31 ottobre prossimo. Qui trovate il link all'indagine. Si cercano persone per compilarlo, di ogni genere, in tutti i settori rappresentati dalle società partecipanti e da tutte le regioni del mondo. Siete quindi tutti benvenuti a rispondere all'indagine e a diffondere la notizia alla vostra lista di contatti e colleghi. Lettere di invito per partecipare all'indagine sono disponibili in 7 lingue ( English, French, Chinese, Japanese, Russian, Spanish, Arabic ), ma non in Italiano.

MANIFESTO PER UN ALTRO INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA
Marco Fulvio Barozzi, in arte Kees Popinga, ha segnalato a MaddMaths! che nel blog Matematichevole di Riccardo Giannitrapani c'era un post interessante, un manifesto, con alcuni spunti di discussione sull'insegnamento della matematica nella scuola secondaria. Crediamo possa essere un punto di partenza per un discussione operativa tra coloro che si interessano di didattica della matematica. Lo ripubblichiamo, parzialmente, con il permesso dell'autore.

Focus - L’energia nei fluidi e l'approssimazione di Joseph Boussinesq
Un modello matematico semplificato per illustrare i movimenti convettivi nei fluidi è il sistema proposto nel 1877 da Joseph Boussinesq, ritenuto comunemente abbastanza realistico rispetto alle evidenze sperimentali. Alcune ricerche recenti hanno però fatto emergere alcuni problemi legati a questo modello. Ce ne parla uno degli autori di queste ricerche, Lorenzo Brandolese, ricercatore di matematica presso l'Institut Camille Jordan, Université Lyon 1, a Villeurbanne, Francia.

Sulla prova d'esame di matematica
Alla pubblicazione su Archimede sul dossier sull’esame di stato è legata una giornata di riflessione proposta dall’UMI-CIIM, che si è tenuta all’Università di Roma Tre il 16 aprile scorso (i materiali sono disponibili qui a cui si è aggiunto un video della giornata della web tv CNR). La giornata è stata aperta da un contributo di Paolo Francini, insegnante al Liceo Scientifico "Tullio Levi-Civita"di Roma e membro della Commissione Olimpiadi di Matematica dell'UMI, che ha ripreso alcuni temi in parte descritti nel suo articolo apparso nel dossier di Archimede. Pubblichiamo una versione estesa dell'articolo di Archimede, che pensiamo possa interessare molti lettori.


Roberto Zanasi approfitta dell'intervallo scolastico per scrivere uno dei suoi bellissimi dialoghi maieutici:


Che è, per l'appunto, la seconda parte dell'algoritmo Karatsuba per il calcolo della radice quadrata




Rudi Matematici arrivano in extremis e così ci presentano il loro corposo contributo.

Siccome sappiamo benissimo che in questo mese di Maggio di Carnevali della Matematica ce ne sono ben due, di cui uno – cosa nuova e inaudita – addirittura dal vivo, ci peritiamo di ricordare in questo Carnevale digitale ed etereo che abbiamo fatto un po’ di pubblicità al neonato CdM analogico e partenopeo, con un post originalmente intitolato “Carnevale della Matematica dal Vivo!”.


Pubblicità a parte, abbiamo spedito nella nuvola della rete anche un problemino “veloce e sporco”, che per mantenersi tale ha anche esibito un titolo non esattamente esplicativo: “Pluff e Ciuff”.

Il canonico e istituzionale “post di soluzione” è relativo ad un problema, pubblicato sulla rubrica di “Le Scienze”, la cui sceneggiatura è tirata un po’ per i capelli: ci piace così tanto la poesia “La Merce Esclusa” di Pagliarani che finiamo per metterne i protagonisti un po’ dappertutto, anche quando non c’entrano poi tanto. Ciò non di meno, il problema e il post si chiamano “Coniglipolii da giardino”, e non abbiamo intenzione di non prendercene le conseguenti responsabilità.

Il matematico celebrato questo mese sul blog è uno dei più grandi e importanti di tutti i tempi. Ovviamente, non è affatto detto che la sua celebrazione, insomma l’articoletto che abbiamo scritto, sia altrettanto notevole e memorabile, ma insomma, questo è quel che è in grado di fornire la triplice redazione, per fare gli auguri a Gauss “30 Aprile 1777: Buon compleanno, Carl!”.

Non poteva poi mancare un Paraphernalia Mathematica: trattasi di “Potremmo prendere l’altro punto di vista”, una vera e propria esortazione matematica all’apertura mentale e prospettica.

E poi basta… oddio, il numero 232 di Rudi Mathematici non dovrebbe finire troppo oltre la fatidica data del 14, questo mese, ma ormai ci conoscete: se si parla di ritardi, RM è sempre in grado di sorprendere. Comunque, prima o poi ci sarà, e come sempre sarà ottenibile seguendo il solito, ordinario e ordinale, link RM232.


Ma, attenzione! Colpo di scena! (In extremis)2 arriva anche Gianluigi Filippelli che, con il centenario di Feynman è giunto esattamente al 12 del mese per la conclusione di una serie di post collegati. Per lo più sono centrati sulla fisica, ci dice Gianluigi, ma visto il contenuto teorico degli articoli mi sembra possano ben figurare anche nel Carnevale della Matematica:

Terra piatta: uova cubiche e altre facezie: torna la serie de Le grandi domande della vita con un lungo post che come al solito tocca quattro argomenti: la Terra piatta, le dimensioni dell'universo, il calcolo di una moltiplicazione e infine un particolare dilemma di Nonna Papera con le uova che non è di natura culinaria!

Segue una serie di quattro post che ripropongono in forma scritta una serie di lezioni che Gianluigi ha tenuto per un gruppo di insegnanti del liceo "Cavalleri" di Parabiago:

L'universo ottico: dove si esamina molto velocemente come studiare, anche con l'ausilio della matematica, l'universo utilizzando la parte visibile della radiazione elettromagnetica.

Il meraviglioso mondo quantistico: dove si riassumono alcuni dei punti salienti della rivoluzione quantistica di inizio XX secolo.

Come vincere un Nobel per la fisica con dei disegni: dove si celebra il centenario di Richard Feynman.

Una storia di paradossi, disuguaglianze e baffi: dove si raccontano un paio di cose sul paradosso EPR, l'entanglement e l'informatica quantistica. Cosa centrino i baffi, a voi scoprirlo!'


E per concludere il mio contributo:

Le capacità numeriche degli animali - da "Noi e i numeri" di Luisa Girelli
Nel precedente commento a "Noi e i numeri" di Luisa Girelli avevamo visto come in alcune culture il sistema di numerazione, “oltre a mani e piedi, include anche parti e organi genitali, squisitamente maschili”. Qui riporto dei risultati sulle capacità numeriche degli animali.

Presentazione de "Il mistero del suono senza numero" nella libreria Assaggi di Roma
23 maggio 2018 19:30 – 20:30 Presentazione | Il mistero del suono senza numero (ScienzaExpress) di Flavio Ubaldini presso la Libreria Assaggi.
Ne parlano con l'autore Roberta Fulci e Tommaso Castellani.

Come la matematica (e i vaccini) ti proteggono dalle malattie infettive
Condivido questo articolo perché, oltre a essere interessante da un punto di vista matematico, mi riguarda anche personalmente. Infatti appartengo a quel gruppo di persone che corrono grossi rischi se l'immunità di comunità viene a mancare. Propongo una libera traduzione di alcuni brani dell'articolo.

Chiudo qui ricordandovi che la prossima edizione, la 120, del 14 giugno 2018 avrà come nome in codice “canta, canta, canta il merlo tra i cespugli”, sarà ospitata da Maurizio Codogno su Il Post e avrà come tema "didattica".

Calendario con le date delle prossime edizioni passate e future del Carnevale