domenica 1 luglio 2018

Non ci si può muovere contando - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini

L'ultima volta abbiamo visto come Zellini dà ragione a Zenone ritenendo che Weierstrass, col bandire rigorosamente tutti gli infinitesimali, dimostrò finalmente che viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete. L’immobilità prevale sul movimento che può essere interpretato attraverso le sole coordinate dello spazio-tempo, e quindi per via di successive posizioni fisse e puntuali. Per cui «La meccanica può spiegare il movimento solo attraverso l’immobilità».

Oggi proseguiremo ancora su quel tema riportando le considerazioni che spingono Zellini a concludere: "nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

"Come spiegava Russell, «infinità e continuità appaiono insieme nell’aritmetica pura» (Principles, par. 435). Fu questa conquista dell’intelletto a presentarsi come un rimedio alle difficoltà che Zenone aveva sollevato circa la natura del movimento e la composizione del continuo. La soluzione moderna del paradosso di Achille si basò sull’assumere come reale o possibile proprio ciò che Zenone considerava paradossale, cioè, nel commento di Russell, l’assenza di uno stato di moto: un sacrificio che salvava un dato irrinunciabile, l’esistenza attuale delle cose. Un’entità attuale, notava Whitehead, non si muove: essa è dove è ed è ciò che è. Russell sosteneva che la nozione di uno stato di moto non è fondata, perché il movimento è fatto di posizioni atomiche occupate in determinati istanti, entrambi valutabili mediante numeri reali, corrispondenti a punti della retta. Aristotele (Fisica, 234 a 24 sgg.) aveva dimostrato che nulla può muoversi in un istante fissato, e che perciò il tempo non è fatto di istanti. Russell rispondeva che in effetti è vero, nell’istante nulla si muove, e che questo è compatibile con una teoria coerente del continuo aritmetico provvisto di metrica euclidea, come era stato elaborato da Weierstrass, da Dedekind e da Cantor. Solamente così si poteva garantire la realtà di ciò che muta e si muove. Il paradossale diventava reale...

La matematica è sempre stata un’arte del paradosso, e le sue formule hanno spesso suscitato una reazione d’incredulità nello stesso scienziato che le ha scoperte o ideate. Ma la matematica è anche un’arte di costruire simulazioni e modelli fedeli, fin dove è possibile, delle nostre concezioni comuni, mediante definizioni e teorie in grado di farci riconoscere ciò che ci attendiamo. A quell’impercettibile forzatura che si coglie nei commenti di Russell, seguì l’esplicito imbarazzo del commento al primo paradosso sul moto di Zenone da parte di Hilbert e di Bernays, fatto proprio, successivamente, anche da Stephen Kleene: C’è una soluzione molto più radicale del paradosso. Questa consiste nel prendere atto che non siamo obbligati in nessun modo a credere che la rappresentazione matematica del moto in termini di spazio e tempo sia fisicamente significativa per intervalli di spazio e di tempo arbitrariamente piccoli; piuttosto abbiamo ogni ragione di supporre che quel modello matematico estrapola i fatti di un certo dominio di esperienza, cioè i movimenti entro ordini di grandezza finora accessibili alla nostra osservazione, nel senso di una semplice costruzione concettuale, analoga al modo in cui la meccanica dei continui effettua un’estrapolazione in cui si assume che lo spazio sia riempito, in modo continuo, di materia.
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La situazione è simile in tutti i casi in cui si crede possibile esibire direttamente un infinito [attuale] come dato dall’esperienza o dalla percezione
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Un esame più attento mostra allora che un’infinità non ci è data in nessun modo, ma è interpolata o estrapolata per via di un procedimento intellettuale. Non c’era però altra via se non appunto quella di estrapolare, di completare i fatti dell’esperienza con un modello matematico del continuo, riconducibile a sua volta, come notò Hermann Weyl, a una mera costruzione simbolica. Aristotele (Fisica, 263 a 25-30) osservava che se si divide ripetutamente il continuo in due metà non possono risultare continui né la linea né il movimento. Il movimento, precisava, è proprio di un continuo, e nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità o di entelechia a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

Altre considerazioni correlate:
Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà

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