giovedì 27 giugno 2019

Un parallelo tra libri, insiemi e materia oscura - What is Mathematics, Really? e Matematica come narrazione

A leggere più libri contemporaneamente ci sono vantaggi e svantaggi. Un vantaggio è che può capitare di leggere contemporaneamente paralleli inattesi.

E un affascinante parallelo è sicuramente quello tra sottoinsiemi indefinibili e materia oscura che Gabriele Lolli propone in Matematica come narrazione

“...la potenza di x, ℘( x), è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di x, ed è un insieme infinito che è ancora più grande di x, anche se x è infinito. Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con il caso finito: se x è finito e ha n elementi, i suoi sottoinsiemi si possono contare, e sono 2^n; ma il senso della potenza non è evidente, perché il concetto è ambiguo, per x infinito. Parlare di tutti è una scorciatoia, è un tentativo di dire la totalità, o meglio forse l’aspirazione a dire la totalità; ma la maggior parte dei sottoinsiemi è come la materia oscura della fisica, molto più estesa della materia visibile. La totalità non si riesce a fissarla in modo unanime, ℘( x) deve essere approssimato, e il suo senso è reso solo da una pluralità di risultati parziali che lo riguardano. Non è scontato quale parte di ℘( x) riusciamo a dominare: i sottoinsiemi finiti di x, x stesso, x meno sottoinsiemi finiti, certo; ma per vedere per esempio un sottoinsieme infinito il cui complemento in x sia anch’esso infinito bisogna definirlo; è il caso del sottoinsieme di ℕ dei numeri pari, o quello dei numeri di Fibonacci, e solo quelli definibili siamo sicuri che tutti li riconoscano; eppure si sa per il teorema di Cantor che non esauriscono tutti i sottoinsiemi, perché i sottoinsiemi definibili sono tanti quante le formule del linguaggio, che sono un’infinità numerabile. Gli insiemi definibili li vediamo in modo indiretto attraverso le loro definizioni, con gli strumenti linguistici, e questa è la seconda azione.”

Ma poi se si trova anche un parallelo tra questo parallelo e un altro libro allora la sorpresa divent più piacevole.

Ma, a differenza dell'ultima volta, il tema esula un po' dal tormentone del platonismo in matematica ... o no? Stavolta si parla di insiemi finiti che sono più complicati degli insiemi infiniti.


"Il lettore potrebbe aver notato che quasi tutti gli insiemi finiti sono enormi. Basta selezionare, ad esempio, un numero enorme M. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi minore di M? Moltissimi, ma in numero finito. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi maggiore di M? Un’infinità. Quindi quasi tutti gli insiemi finiti sono più grandi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. Se si sceglie un insieme finito a caso, è quasi sicuro che contenga più elementi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. E la finitezza potrebbe essere un suo aspetto ingannevolmente semplificativo. Infatti, gli insiemi infiniti vengono spesso introdotti perché più semplici degli insiemi finiti di partenza. Ad esempio, l'integrazione è di solito più semplice della somma di un numero finito di termini. Le equazioni differenziali sono solitamente più facili delle corrispondenti.
Per concludere, se si ammettono tutti gli insiemi finiti, non ci sono scuse per rifiutare l'infinito. L'infinito è controintuitivo e metafisico? Ma abbiamo appena visto che lo sono quasi tutti gli insiemi finiti. Se si vuole che tutta la matematica sia concreta e intuitiva allora bisogna affidarsi solo ai numeri e agli insiemi che siano finiti e piccoli.
Quanto piccoli? È molto difficile a dirsi, perché se n è piccolo, lo è anche n + 1. Non c'è un confine netto tra piccolo e grande. Non esistono né un minimo tri i numeri grandi né un massimo tra i numeri piccoli."
Si potrebbe provare un andamento degli assiomi di Peano ma la strada non sarebbe molto fruttuosa.
"Ma allora, forse è meglio che ci teniamo il nostro sistema numerico infinito.
Il grande mistero dell'infinito è un artefatto del platonismo. Esistono serie infinite in qualche dominio trascendentale? Questa è la domanda sbagliata. I sistemi numerici sono inventati perché utile agli esseri umani. Le domande appropriate sull'infinito sono: è utile a qualcosa? È interessante? I matematici hanno già risposto da tempo: sì!"

What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh

...continua...

sabato 15 giugno 2019

Carnevale della Matematica #130: notte prima degli esami

L'edizione di maggio del Carnevale della Matematica, la numero 130, è ospitata da Maurizio Codogno ne Il Post e il tema è “notte prima degli esami” . Tema scelto apposta per fare andare tutti fuori tema! ─ ci fa sapere Maurizio Codogno

Così vengono introdotti i miei contributi:

Dioniso ci manda la sua “cellula melodica ossimorica”: l’allegria caratterizzata da un’armonia minore. Immagino avrà pensato a Losing My Religion dei R.E.M….






Oltre che con la cellula melodica ho contribuito con...

Cominciamo con Dioniso, che continua a dedicarsi alla filosofia della matematica: un argomento perfetto per l’ultimo ripasso :-). In Sull’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali riprende “La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini” di Paolo Zellini riprende un brano in cui l’autore mostra come l’irragionevole efficacia dipenda in fin dei conti dal fatto che noi abbiamo modellato la matematica in maniera algoritmica; in Il concetto di infinito esiste in un universo trascendentale o solo nella mente umana? Dioniso parte da “What is Mathematics, Really?” di Reuben Hersh per cui tutti i concetti matematici sono inventati dagli esseri umani, a differenza di quanto affermano i platonisti: l’esempio fatto stavolta è l’infinito.


Per quanto riguarda l'edizione numero 131... 
è programmata per settembre e non è ancora stata assegnata.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


mercoledì 5 giugno 2019

Il concetto di infinito esiste in un universo trascendentale o solo nella mente umana? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

Come l'ultima volta rimaniamo sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica. Ma stavolta il concetto usato come esempio non è il numero ma l'infinito. Come al solito la traduzione è molto libera.

«Anche se considerassimo la somma di tutti i numeri calcolati dagli esseri umani da sempre, otterremo un numero finito. Eppure la matematica è piena di infiniti. La linea R1 è infinita; lo spazio R3 è infinito; N, l'insieme di numeri naturali, è infinito. C’è un’infinità di serie di infiniti. Ci sono punti "all'infinito" sulla linea reale, nel piano complesso, nello spazio proiettivo e, ovviamente, le gerarchie di Cantor di insiemi infiniti, numeri ordinali infiniti, numeri cardinali infiniti.
...
Da dove vengono questi infiniti? Non dall'osservazione né dall'esperienza fisica. Escludendo l’esistenza di un universo spirituale o trascendentale separato dal nostro, essi devono necessariamente nascere dalla mente umana.
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Il cervello è un oggetto finito. Non può contenere nulla di infinito. Tuttavia abbiamo idee sull'infinito. Ma la nostra mente non genera l'infinito, genera nozioni dell'infinito. La logica non ci costringe a includere l'infinito in matematica. Euclide, ad esempio, parlava di segmenti di finiti di retta e mai di una retta infinita. Nella teoria degli insiemi è l'assioma dell'infinito che fornisce un insieme infinito. Senza adottare quell'assioma, Frege e Russell avrebbero avuto solo insiemi finiti. A volte escludiamo consapevolmente l'infinito. Una serie infinita convergente è interpretata come una sequenza di somme parziali finite. Sebbene la chiamiamo serie infinita, in realtà siamo interessati alle somme parziali finite. Eppure l'intuizione "senza senso" di sommare infiniti termini costituisce ancora il significato centrale del concetto di "serie infinite".
...
A volte ci si chiede che tipo di matematica sarebbe prodotta da intelligenze aliene. Forse tali intelligenze non avrebbero il concetto di infinito, visto che esso è un prodotto della nostra mente ed è assente dalla realtà fisica.»