Gabriele Lolli e l’irragionevole efficacia della matematica nella fisica

In Gabriele Lolli: la matematica è consolidata, stabile e cumulativa? abbiamo visto come Lolli cerca di definire che cosa si intenda per “matematica” e riflette sulla visione che la vuole consolidata, stabile e cumulativa.
Qui riporterò il pensiero di Lolli sul celebre tema dell’irragionevole efficacia della matematica nella fisica.

"I matematici sono condotti dal loro senso della bellezza matematica a sviluppare strutture formali che i fisici in seguito trovano utili, anche quando i matematici non avevano per nulla in mente una tale finalità. (Steve Weinberg)

Naturalmente tale riconoscimento comporta meraviglia e incredulità, continua Weinberg: [...] I fisici in generale trovano che la capacità dei matematici di anticipare la matematica che abbisogna nelle teorie fisiche è fortemente misteriosa [uncanny].

Come se Neil Armstrong nel 1969 quando per primo mise piede sulla superficie della luna avesse trovato nella polvere lunare le impronte lasciate da Jules Verne. Eppure succede; è un fatto documentabile che spesso nella storia i matematici hanno studiato oggetti che al momento non si pensava e non ci si preoccupava di riconoscere che avessero un riscontro nella natura o in altre scienze, dalle coniche di Apollonio di Perga (262-190) al calcolo tensoriale di Gregorio Ricci Curbastro (1853-1925) e Tullio Levi-Civita (1873-1941), offerto poi su un piatto d’argento a Albert Einstein (1879-1955) per la teoria della relatività generale.

Gli esempi che si fanno riguardano sempre concetti e teorie che dopo si sono rivelate utili, ed è naturale perché non si può individuare un argomento di matematica di cui si possa dire che non sarà mai utile, non si ha preveggenza. Tuttavia non è facile neppure trovare qualche ricerca importante che per adesso non si sia dimostrata utile. L’argomento sarà da sviluppare a parte, perché riguarda anche, o piuttosto, il modo come è cambiata la fisica; la fisica era studiata già da Aristotele, ma ovviamente altra cosa è la fisica che ha iniziato a usare la matematica; essa ha incominciato con la matematica che era disponibile, naturalmente, facendola così apparire precorritrice. Il caso delle coniche ne è un esempio. Vero è che anche prima forme geometriche, almeno le sfere, erano usate nella cosmologia, ma quelle sfere celesti forse non si dovrebbero considerare enti matematici. Infatti coloro che conoscono e praticano l’aritmetica e la geometria, secondo Aristotele, nella Metafisica, giungono, a suo avviso, a risultati eccellenti “ponendo come separato ciò che non lo è”. Porre “come separato ciò che non lo è” è il modo di Aristotele di intendere la differenza tra i concetti matematici e le cose reali che sono oggetto ciascuna di altre discipline; per esempio considerando una sfera come la superficie matematica “separata” di una palla si può dire che essa ha un solo punto di contatto con un piano tangente su cui giace, a differenza della palla stessa, anche se ben gonfiata. … Poi nell’epoca del calcolo infinitesimale la matematica entra nella fisica con le equazioni differenziali e la ricerca matematica e fisica procede per un po’ in simbiosi, ma guidata dalla matematica–“l’equazione alle derivate parziali è entrata nella fisica teorica come un’ancella, ma gradualmente è diventata padrona”, diceva Einstein. Un momento di crisi sarà quello in cui nasce la matematica pura, nei primi decenni dell’Ottocento, e le due discipline sembrano andare ognuna per la sua strada."

Gabriele Lolli: la matematica è consolidata, stabile e cumulativa?

In Gabriele Lolli e il platonismo matematico abbiamo visto che le cosiderazioni di Lolli sulla visione che postula “l’esistenza di un mondo di oggetti ideali che contiene tutti gli oggetti e le funzioni della matematica”.
Nel terzo capitolo "Matematica on the move" del suo libro, Matematica in movimento. Come cambiano le dimostrazioni, Gabriele Lolli cerca di definire che cosa si intenda per “matematica” e riflette sulla visione che la vuole consolidata, stabile e cumulativa.

"Di solito si parla di “matematica” come corpo di conoscenze consolidate, stabili, cumulative mentre è un corpo di conoscenze che sono sempre in corso di definizione, che sono periodicamente riviste e per le quali si dà anche il fenomeno dell’obsolescenza. …

Con “la matematica” ci riferiamo al movimento complessivo generato dai loro cultori alla direzione delle loro ricerche e alle novità che queste hanno portato e portano, alle dichiarazioni programmatiche. Conveniamo che l’insieme di tali elementi definisca un'immagine, ma un'immagine che può essere in ogni epoca eventualmente diversa e tuttavia riconducibile sotto lo stesso nome, distinguendosi per i rapporti, che ci sono ed evolvono, con le immagini costituite in epoche precedenti e con quelli con altre discipline. …

Non è una media dei protagonisti, c’è sempre qualcuno o qualche gruppo che riesce a interpretare e esprimere meglio una direzione; anzi, che di fatto indica la direzione, di cui essi saranno le avanguardie. … Parafrasando un famosa frase di Ernst Gombrich (1909-2001) possiamo dire:
“Non esiste una cosa chiamata matematica, esistono i matematici”. E non pensano tutti nello stesso modo, ma di nuovo qui con “i matematici” ci si riferisce non a una media ma a coloro che sviluppano le tracce dei leader. ...

La matematica di Newton è diversa da quella di Euclide e Archimede, se non altro perché Newton aveva le derivate; quella di oggi è diversa da quella dei tempi di Newton, se non altro perché oggi ci sono la topologia e l’algebra astratta, ma è sempre riconoscibile come “matematica”.

Alla fine del Settecento Joseph-Louis Lagrange temeva addirittura che non ci fosse più nulla da fare in matematica. ...
Le pessimistiche previsioni di Lagrange sono smentite da due svolte: da una parte nuovi
fenomeni fisici attirano l’attenzione della filosofia naturale pur essendo impalpabili e sfuggenti,
come la trasmissione del calore per esempio, poi l’elettricità; la natura si rivela molto più varia e
ricca di manifestazioni prive della solidità della meccanica; coraggiosi matematici come Jean
Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) sono stimolati ad assoggettarle alla conoscenza scientifica.
D’altra parte nella nuova matematica non si indaga più il mondo della natura, o non solo quello
ovviamente, ma il mondo della matematica; esso inizia a popolarsi di nuovi concetti, e sono questi
a essere l’oggetto di studio. Entra nel vocabolario la distinzione tra matematica pura e matematica applicata.

… per Francis Bacon (1561-1626), e fino ancora episodicamente a fine Ottocento, la matematica è o pura o mista; la matematica pura contiene le scienze che trattano la quantità completamente separata dalla materia e dagli assiomi della filosofia naturale, e sono la geometria per la quantità continua, e l’aritmetica per la quantità separata (discreta); “[ l] a matematica mista ha come suo argomento alcuni assiomi e parti della filosofia naturale, e considera la quantità in quanto essa serve a spiegare, dimostrare e attivare quelle”.

Nell’Ottocento, a parte per i nostalgici della vecchia terminologia in estinzione, la matematica applicata è solo matematica, non include assiomi della filosofia naturale; nella matematica pura non si studia “la quantità completamente separata dalla materia”, ma si prendono come oggetti separati i concetti stessi matematici.

Georg Cantor, nel 1883, dichiara: "In ragione di questa straordinaria posizione che distingue la matematica da tutte le altre scienze, e che fornisce una spiegazione per il modo relativamente leggero e privo di vincoli di svilupparla, essa merita in modo speciale il nome di matematica libera, una descrizione che, se ne avessi il potere, io preferirei a quella ora usuale di “matematica pura”.

La “posizione straordinaria” consiste nel fatto che secondo Cantor la matematica è una conoscenza intrasoggettiva, o conoscenza di una realtà intrasoggettiva o immanente a differenza di quella transsoggetiva o transiente; la prima è composta di idee che prendono un posto coerente attraverso definizioni nel nostro pensiero, la seconda è rappresentazione di cose che occorrono effettivamente nella realtà corporea e spirituale; il primo tipo corrisponde secondo Cantor alle idee che Spinoza chiamava “adeguate”.

In termini più semplici, e senza scomodare i grandi filosofi, il senso dell’appellativo “libera” sembra essere che basta che i matematici si capiscano e siano d’accordo intra loro su quello che studiano, senza bisogno di fare appello al mondo reale per confermare la plausibilità di quello che dicono – una dichiarazione molto coraggiosa e dirompente, che tuttavia al tempo di Cantor sintetizzava una serie di tendenze che percorrevano l’Ottocento."

Gabriele Lolli e il platonismo matematico

Nel secondo capitolo del suo libro, Matematica in movimento. Come cambiano le dimostrazioni, Gabriele Lolli esplora il concetto di platonismo matematico. Cioè, di quella visione, “abbracciata dalla maggioranza dei matematici” che postula “l’esistenza di un mondo di oggetti ideali che contiene tutti gli oggetti e le funzioni della matematica”. Mi trovo molto d'accordo con le conclusioni di Lolli sul platonismo assoluto. Ho sempre avuto l'impressione che proponesse una prospettiva mistica dell'ontologia della matematica.

"Nel 1935, Paul Bernays (1891-1995), prezioso collaboratore di Hilbert nelle ricerche logiche, ha reso attuale il termine di “platonismo matematico”, definendo gli oggetti matematici come “distaccati da ogni legame con il soggetto riflettente”, senza affrontare né considerare le difficoltà logiche e gnoseologiche di una simile condizione. Nemmeno noi le affrontiamo perché la discussione sarebbe infinita. Il teorema di Pitagora, per fare un esempio, era noto in tutte le civiltà antiche, non solo mediterranee, anche indiane e cinesi; un segno dell’esistenza distaccata del triangolo rettangolo? eppure le dimostrazioni tramandate sono tutte diverse, pur se tutte di tipo geometrico; un segno che le rappresentazioni mentali connesse al triangolo rettangolo in ogni civiltà non coincidevano?

Secondo Bernays “l’applicazione [del platonismo alla matematica] è così diffusa che non è esagerato dire che il platonismo oggi regna sovrano in matematica”. Tuttavia, se si va avanti a leggere, Bernays parla del platonismo matematico come di una concezione “quasi-combinatoria” dei concetti di insieme, successione, funzione, e con questo intende alludere all’estensione all’infinito, per analogia, delle manipolazioni sugli insiemi finiti; Bernays chiama “platonismo ristretto” tale “proiezione ideale di un dominio di pensiero”; invece “l’esistenza di un mondo di oggetti ideali che contiene tutti gli oggetti e le funzioni della matematica” lo denota “platonismo assoluto” e non nasconde che non supera la prova delle antinomie. Comunque l’immagine del mito, che è evocata dalla semplice menzione del platonismo, abbracciato dalla maggioranza dei matematici, che si riferiscono a quello “assoluto”, è passata nella cultura, trasmessa nella scuola, si è trasformata in un luogo comune. Nella scuola è inevitabile all’inizio usare una terminologia realista, parlare di verità delle relazioni numeriche, e di numeri come esistenti utilizzandoli in esperienze concrete empiriche o costruttive, dalle quali sono estrapolati e quasi personificati come oggetti; quando poi si introducono concetti più astratti, il linguaggio e la disposizione mentale realistica sono destinati a permanere. Parlare allora di come cambia la natura della dimostrazione in matematica richiede come preliminare che l’interlocutore entri nella disposizione ad accettare la possibilità di un cambiamento in un edificio che quasi certamente è abituato a considerare come monolitico e stabile per eccellenza."

Un parallelo tra libri, insiemi e materia oscura - What is Mathematics, Really? e Matematica come narrazione

A leggere più libri contemporaneamente ci sono vantaggi e svantaggi. Un vantaggio è che può capitare di leggere contemporaneamente paralleli inattesi.

E un affascinante parallelo è sicuramente quello tra sottoinsiemi indefinibili e materia oscura che Gabriele Lolli propone in Matematica come narrazione

“...la potenza di x, ℘( x), è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di x, ed è un insieme infinito che è ancora più grande di x, anche se x è infinito. Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con il caso finito: se x è finito e ha n elementi, i suoi sottoinsiemi si possono contare, e sono 2^n; ma il senso della potenza non è evidente, perché il concetto è ambiguo, per x infinito. Parlare di tutti è una scorciatoia, è un tentativo di dire la totalità, o meglio forse l’aspirazione a dire la totalità; ma la maggior parte dei sottoinsiemi è come la materia oscura della fisica, molto più estesa della materia visibile. La totalità non si riesce a fissarla in modo unanime, ℘( x) deve essere approssimato, e il suo senso è reso solo da una pluralità di risultati parziali che lo riguardano. Non è scontato quale parte di ℘( x) riusciamo a dominare: i sottoinsiemi finiti di x, x stesso, x meno sottoinsiemi finiti, certo; ma per vedere per esempio un sottoinsieme infinito il cui complemento in x sia anch’esso infinito bisogna definirlo; è il caso del sottoinsieme di ℕ dei numeri pari, o quello dei numeri di Fibonacci, e solo quelli definibili siamo sicuri che tutti li riconoscano; eppure si sa per il teorema di Cantor che non esauriscono tutti i sottoinsiemi, perché i sottoinsiemi definibili sono tanti quante le formule del linguaggio, che sono un’infinità numerabile. Gli insiemi definibili li vediamo in modo indiretto attraverso le loro definizioni, con gli strumenti linguistici, e questa è la seconda azione.”

Ma poi se si trova anche un parallelo tra questo parallelo e un altro libro allora la sorpresa divent più piacevole.

Ma, a differenza dell'ultima volta, il tema esula un po' dal tormentone del platonismo in matematica ... o no? Stavolta si parla di insiemi finiti che sono più complicati degli insiemi infiniti.

"Il lettore potrebbe aver notato che quasi tutti gli insiemi finiti sono enormi. Basta selezionare, ad esempio, un numero enorme M. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi minore di M? Moltissimi, ma in numero finito. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi maggiore di M? Un’infinità. Quindi quasi tutti gli insiemi finiti sono più grandi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. Se si sceglie un insieme finito a caso, è quasi sicuro che contenga più elementi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. E la finitezza potrebbe essere un suo aspetto ingannevolmente semplificativo. Infatti, gli insiemi infiniti vengono spesso introdotti perché più semplici degli insiemi finiti di partenza. Ad esempio, l'integrazione è di solito più semplice della somma di un numero finito di termini. Le equazioni differenziali sono solitamente più facili delle corrispondenti.
Per concludere, se si ammettono tutti gli insiemi finiti, non ci sono scuse per rifiutare l'infinito. L'infinito è controintuitivo e metafisico? Ma abbiamo appena visto che lo sono quasi tutti gli insiemi finiti. Se si vuole che tutta la matematica sia concreta e intuitiva allora bisogna affidarsi solo ai numeri e agli insiemi che siano finiti e piccoli.
Quanto piccoli? È molto difficile a dirsi, perché se n è piccolo, lo è anche n + 1. Non c'è un confine netto tra piccolo e grande. Non esistono né un minimo tri i numeri grandi né un massimo tra i numeri piccoli."
Si potrebbe provare un andamento degli assiomi di Peano ma la strada non sarebbe molto fruttuosa.
"Ma allora, forse è meglio che ci teniamo il nostro sistema numerico infinito.
Il grande mistero dell'infinito è un artefatto del platonismo. Esistono serie infinite in qualche dominio trascendentale? Questa è la domanda sbagliata. I sistemi numerici sono inventati perché utile agli esseri umani. Le domande appropriate sull'infinito sono: è utile a qualcosa? È interessante? I matematici hanno già risposto da tempo: sì!"

What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh

...continua...