Breve sintesi del pensiero di Reuben Hersh sulla natura umanistica della matematica

Reuben Hersh è stato uno dei pensatori più originali sul significato della matematica. La sua visione si distacca sia dal platonismo tradizionale sia dal formalismo puro.

Hersh sosteneva che la matematica è un fenomeno umano, non un'entità astratta che esiste indipendentemente da noi (come credono i platonisti), né solo un gioco di simboli e regole (come dicono i formalisti).

Questa posizione è conosciuta come umaneismo matematico (Vedi Reuben Hersh di Maurizio Codogno).

Punti chiave del pensiero di Hersh:

1. La matematica è un'attività sociale e culturale
   La matematica non "esiste" nel mondo ideale o nella mente di Dio: è prodotta, condivisa e vefiricata dalla comunità matematica. Vive nei libri, nei dialoghi, nella pratica collettiva.

2. È reale, ma non nel senso metafisico
   Secondo Hersh, la matematica è "reale" allo stesso modo in cui sono reali il denaro, le leggi o le istituzioni: sono costruzioni umane con effetti reali, ma non oggetti fisici.

3. La verità matematica è intersoggettiva
   Una proposizione matematica è "vera" se è accettata come tale dalla comunità dei matematici, tramite dimostrazioni rigorose e consenso. Quindi è oggettiva nel contesto umano, ma non assoluta o trascendente.

4. Contesto storico e culturale
   Hersh sottolineava che la matematica cambia con la storia, i contesti culturali e perfino gli interessi dei matematici. Non è statica.

Opere sul tema

• "The Mathematical Experience" (con Philip J. Davis) - un classico che esplora la matematica come pratica umana.

• "What is Mathematics, Really?" - dove espone in dettaglio la sua visione umanistica.

In sostanza, Reuben Hersh rifiuta l’idea che la matematica sia una verità eterna indipendente dall’essere umano, proponendo invece una visione in cui la matematica è viva, sociale, culturale: umana, appunto.

Sistema numerico giapponese e sue relazioni con i numeri raggiungibili di Hersh

Alla fine della lezione di oggi l’insegnante ci ha parlato di nuovo del complicatissimo sistema di conteggio giapponese.

In realtà il sistema di numerazione per i numeri come concetto astratto (o numeri puri, come direbbe Reuben Hersh) non è complicato perché è molto logico. Ma quando si vogliono contare oggetti bisogna usare categorie di termini diversi (classificatori) a seconda della categoria di oggetti che si stanno contando.

Ad esempio c’è una categoria numerica per contare le persone, una per gli animali grandi, una per gli animali piccoli, una per le bevande, una per gli oggetti lunghi, una per gli oggetti tondi, ecc.

L’insegnante ci ha anche detto che le otto categorie che ci ha mostrato e che vedete nella foto sono un'estrema semplificazione di tutte le categorie esistenti. Visti i miei problemi con la memoria, penso che non ci proverò neppure a memorizzare quei termini.

Ad ogni modo, guardando quelle tabelle mi è tornato in mente il discorso sulla distinzione tra numeri raggiungibili - aggettivi applicati alle collezioni di oggetti fisici - e numeri puri - oggetti, idee nella coscienza condivisa di una porzione di umanità.
Beh, la cultura e la lingua giapponese rendono la distinzione tra questi due concetti molto più esplicita ed evidente.

Relativamente alla distinzione tra numeri raggiungibili e numeri puri, Reuben Hersh scrive che per cercare di dirimere la questione, dobbiamo cercare di capire che "2" gioca due ruoli linguistici. A volte è un aggettivo e a volte è un nome.
In "due dinosauri", "due" è un aggettivo collettivo. La frase "Due dinosauri più due dinosauri equivalgono a quattro dinosauri" parla di dinosauri. Se dico "Due oggetti discreti non interagenti insieme ad altri due oggetti discreti non interagenti fa quattro di questi oggetti", sto dicendo parte di ciò che si intende per oggetti discreti non interagenti. E questa è un'affermazione nel dominio della fisica elementare. Quindi, per quanto riguarda gli oggetti discreti e non interagenti, l'esperienza ci dice che 2 + 2 = 4.
Al contrario, "Due è primo ma quattro è composto" è un'affermazione sui numeri puri dell'aritmetica elementare. Ora "due" e "quattro" sono nomi, non aggettivi. Rappresentano numeri puri, che sono concetti e oggetti. Sono oggetti concettuali, condivisi da tutti coloro che conoscono l'aritmetica elementare, descritti da assiomi e teoremi.
Quindi "due" e "quattro" hanno due significati: quello di numeri raggiungibili e quello di numeri puri. Quindi, la formula 2 + 2 = 4 ha un doppio significato. Ha a che fare con il contare, cioè con il comportano gli oggetti discreti non interagenti; ma è anche un teorema di aritmetica pura (aritmetica di Peano, ad esempio).
Questa ambiguità linguistica confonde la differenza tra i numeri raggiungibili e i numeri naturali puri.
Ecco, questa ambiguità linguistica non esiste in giapponese. Infatti due nel caso di "due dinosauri", due si dice nihiki (二匹)¹, mentre nel caso di "due è un numero primo", due si dice ni (二).²

Nella pagina Wikipwedia Termini giapponesi per contare si trovano alcuni tra i classificatori più comuni:

• 人 ri/nin per le persone
• 枚 mai per le cose piatte e sottili
• 本 hon per le cose lunghe e cilindriche
• 頭 tō per gli animali grandi (cavalli, elefanti, "più grandi di una persona")
• 匹 hiki per gli animali piccoli (cani, gatti... il metro di paragone è: "più piccolo di una persona")
• 羽 wa per gli uccelli (prevale sul contatore degli animali piccoli) e i conigli
• 冊 satsu per libri e riviste
• 階 kai per i piani degli edifici
• 足 soku per le paia di scarpe, calze e calzini
• ...

Altre particolarità del giapponese

Esiste la coniugazione/declinazione degli aggettivi. Per cui gli aggettivi si coniugano/declinano al passato. Quindi, quello che noi esprimiamo con una frase, “è stato bello”, loro lo esprimono con una sola parola: l’aggettivo bello coniugato/declinato al passato.

Inoltre esiste anche la distinzione tra questo, codesto e quello. E si usano parole diverse quando sono pronomi rispetto a quando sono aggettivi, come nel mio dialetto:

kore (vistu), sore (vissu), are (villu)
kono (stu), sono (ssu), ano (llu)

¹ hiki (匹) viene solitamente usato per gli animali piccoli ma i dinosauri sono rettili e con i rettili si fa eccezione
2 Per curiosità, nel caso di "due uomini" due si dice futari (二人).

Un parallelo tra libri, insiemi e materia oscura - What is Mathematics, Really? e Matematica come narrazione

A leggere più libri contemporaneamente ci sono vantaggi e svantaggi. Un vantaggio è che può capitare di leggere contemporaneamente paralleli inattesi.

E un affascinante parallelo è sicuramente quello tra sottoinsiemi indefinibili e materia oscura che Gabriele Lolli propone in Matematica come narrazione

“...la potenza di x, ℘( x), è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di x, ed è un insieme infinito che è ancora più grande di x, anche se x è infinito. Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con il caso finito: se x è finito e ha n elementi, i suoi sottoinsiemi si possono contare, e sono 2^n; ma il senso della potenza non è evidente, perché il concetto è ambiguo, per x infinito. Parlare di tutti è una scorciatoia, è un tentativo di dire la totalità, o meglio forse l’aspirazione a dire la totalità; ma la maggior parte dei sottoinsiemi è come la materia oscura della fisica, molto più estesa della materia visibile. La totalità non si riesce a fissarla in modo unanime, ℘( x) deve essere approssimato, e il suo senso è reso solo da una pluralità di risultati parziali che lo riguardano. Non è scontato quale parte di ℘( x) riusciamo a dominare: i sottoinsiemi finiti di x, x stesso, x meno sottoinsiemi finiti, certo; ma per vedere per esempio un sottoinsieme infinito il cui complemento in x sia anch’esso infinito bisogna definirlo; è il caso del sottoinsieme di ℕ dei numeri pari, o quello dei numeri di Fibonacci, e solo quelli definibili siamo sicuri che tutti li riconoscano; eppure si sa per il teorema di Cantor che non esauriscono tutti i sottoinsiemi, perché i sottoinsiemi definibili sono tanti quante le formule del linguaggio, che sono un’infinità numerabile. Gli insiemi definibili li vediamo in modo indiretto attraverso le loro definizioni, con gli strumenti linguistici, e questa è la seconda azione.”

Ma poi se si trova anche un parallelo tra questo parallelo e un altro libro allora la sorpresa divent più piacevole.

Ma, a differenza dell'ultima volta, il tema esula un po' dal tormentone del platonismo in matematica ... o no? Stavolta si parla di insiemi finiti che sono più complicati degli insiemi infiniti.

"Il lettore potrebbe aver notato che quasi tutti gli insiemi finiti sono enormi. Basta selezionare, ad esempio, un numero enorme M. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi minore di M? Moltissimi, ma in numero finito. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi maggiore di M? Un’infinità. Quindi quasi tutti gli insiemi finiti sono più grandi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. Se si sceglie un insieme finito a caso, è quasi sicuro che contenga più elementi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. E la finitezza potrebbe essere un suo aspetto ingannevolmente semplificativo. Infatti, gli insiemi infiniti vengono spesso introdotti perché più semplici degli insiemi finiti di partenza. Ad esempio, l'integrazione è di solito più semplice della somma di un numero finito di termini. Le equazioni differenziali sono solitamente più facili delle corrispondenti.
Per concludere, se si ammettono tutti gli insiemi finiti, non ci sono scuse per rifiutare l'infinito. L'infinito è controintuitivo e metafisico? Ma abbiamo appena visto che lo sono quasi tutti gli insiemi finiti. Se si vuole che tutta la matematica sia concreta e intuitiva allora bisogna affidarsi solo ai numeri e agli insiemi che siano finiti e piccoli.
Quanto piccoli? È molto difficile a dirsi, perché se n è piccolo, lo è anche n + 1. Non c'è un confine netto tra piccolo e grande. Non esistono né un minimo tri i numeri grandi né un massimo tra i numeri piccoli."
Si potrebbe provare un andamento degli assiomi di Peano ma la strada non sarebbe molto fruttuosa.
"Ma allora, forse è meglio che ci teniamo il nostro sistema numerico infinito.
Il grande mistero dell'infinito è un artefatto del platonismo. Esistono serie infinite in qualche dominio trascendentale? Questa è la domanda sbagliata. I sistemi numerici sono inventati perché utile agli esseri umani. Le domande appropriate sull'infinito sono: è utile a qualcosa? È interessante? I matematici hanno già risposto da tempo: sì!"

What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh

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Il concetto di infinito esiste in un universo trascendentale o solo nella mente umana? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

Come l'ultima volta rimaniamo sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica. Ma stavolta il concetto usato come esempio non è il numero ma l'infinito. Come al solito la traduzione è molto libera.

«Anche se considerassimo la somma di tutti i numeri calcolati dagli esseri umani da sempre, otterremo un numero finito. Eppure la matematica è piena di infiniti. La linea R1 è infinita; lo spazio R3 è infinito; N, l'insieme di numeri naturali, è infinito. C’è un’infinità di serie di infiniti. Ci sono punti "all'infinito" sulla linea reale, nel piano complesso, nello spazio proiettivo e, ovviamente, le gerarchie di Cantor di insiemi infiniti, numeri ordinali infiniti, numeri cardinali infiniti.
...
Da dove vengono questi infiniti? Non dall'osservazione né dall'esperienza fisica. Escludendo l’esistenza di un universo spirituale o trascendentale separato dal nostro, essi devono necessariamente nascere dalla mente umana.
...
Il cervello è un oggetto finito. Non può contenere nulla di infinito. Tuttavia abbiamo idee sull'infinito. Ma la nostra mente non genera l'infinito, genera nozioni dell'infinito. La logica non ci costringe a includere l'infinito in matematica. Euclide, ad esempio, parlava di segmenti di finiti di retta e mai di una retta infinita. Nella teoria degli insiemi è l'assioma dell'infinito che fornisce un insieme infinito. Senza adottare quell'assioma, Frege e Russell avrebbero avuto solo insiemi finiti. A volte escludiamo consapevolmente l'infinito. Una serie infinita convergente è interpretata come una sequenza di somme parziali finite. Sebbene la chiamiamo serie infinita, in realtà siamo interessati alle somme parziali finite. Eppure l'intuizione "senza senso" di sommare infiniti termini costituisce ancora il significato centrale del concetto di "serie infinite".

...
A volte ci si chiede che tipo di matematica sarebbe prodotta da intelligenze aliene. Forse tali intelligenze non avrebbero il concetto di infinito, visto che esso è un prodotto della nostra mente ed è assente dalla realtà fisica.»

What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh

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I numeri naturali sono stati scoperti o inventati? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

Come l'ultima volta rimaniamo sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica. Come al solito la traduzione è molto libera.

«I numeri naturali 1, 2, 3. . . sono stati scoperti o inventati? [In questo ambito] non si può fare a meno di ricordare il celebre aforisma di Leopold Kronecker: "Dio fece i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo". Visto che Kronecker era un credente, è possibile che credesse letteralmente a quell'affermazione. Ma quando i matematici di oggi lo citano, "Dio" viene considerato una figura retorica: "I numeri interi vengono scoperti, tutto il resto è inventato." Tale affermazione è una dichiarazione di platonismo, almeno per quanto riguarda i numeri interi.

Come si può rispondere dal punto di vista di un umanista? 

Ricordate la distinzione tra numeri raggiungibili - aggettivi applicati alle collezioni di oggetti fisici - e numeri puri - oggetti, idee nella coscienza condivisa di una porzione di umanità? Mentre i numeri raggiungibili vengono scoperti, quelli puri sono inventati. 

Ma allora, la matematica è stata creata o scoperta? 

Un po' tutte e due le cose, in un'interazione e alternanza dialettiche. E questo non è un compromesso; bensì una reinterpretazione e una sintesi.»

What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh

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La matematica tra scoperta e invenzione - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

L'ultima volta ho riportato un brano in cui Reuben Hersh si pone una domanda sul come distinguere la matematica da altre discipline umanistiche e osserva che la matematica è umanistica rispetto alla sua materia - le idee umane - mentre è simile alla scienza nella sua oggettività.

Oggi propongo un brano in cui l'autore torna sul tema del platonismo in matematica e della dicotomia tra scoperta e invenzione matematica.
Personalmente ho sempre trovato più affascinante l’attività di chi costruisce teorie rispetto a quella di chi risolve problemi.

“...risolvere problemi ben definiti non è l'unico modo in cui la matematica avanza. Si devono anche creare concetti e teorie. In effetti, la nostra più grande lode va a chi, come Gauss, Riemann, Eulero, ha creato nuovi campi della matematica. Una ben nota classificazione dei matematici è quella tra chi risolve problemi e chi costruisce teorie. Quando si parla di teorie - la teoria di Galois dei campi dei numeri algebrici, la teoria di Cantor degli insiemi infiniti, la teoria di Robinson sull'analisi non standard, la teoria di Schwartz sulle funzioni generalizzate - non diciamo che siano state "scoperte". La teoria è in parte predeterminata da conoscenza, e in parte una creazione del suo inventore. Tuttavia, di fronte a esse percepiamo un salto intellettuale, come quando ci si trovi di fronte a un grande romanzo o a una grande sinfonia.

Quando diversi matematici risolvono un problema, i loro risultati sono identici. Tutti “scoprono” la stessa risposta. Ma quando essi creano teorie per soddisfare qualche necessità, i loro risultati non sono identici. Le teorie risultanti sono diverse. Come, ad esempio, nel caso dell'analisi vettoriale di Gibbs contrapposta ai quaternioni di Hamilton. La differenza tra inventare e scoprire è la differenza tra due tipi di progresso matematico. La scoperta sembra essere completamente determinata. L’invenzione sembra venire da un'idea che semplicemente non c'era prima che il suo inventore ci pensasse. Ma poi, dopo aver inventato una nuova teoria, devi scoprire le sue proprietà, risolvendo con precisione le domande matematiche correlate. Quindi inventare porta alla scoperta.”

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Come distinguiamo la matematica da altre discipline umanistiche? - What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh

L'ultima volta ho riportato un brano in cui Reuben Hersh lascia intendere che il platonismo in matematica tende a una trasfigurazione mistica della materia tramutandola in una sorta di religione.Oggi propongo un brano in cui l'autore si pone una domanda interessante:

Come distinguiamo la matematica da altre discipline umanistiche?

C'è una differenza fondamentale tra matematica e critica letteraria. Mentre la matematica è umanistica rispetto alla sua materia - le idee umane - essa è simile alla scienza nella sua oggettività.
I risultati del mondo fisico che sono riproducibili - cioè che producono sempre gli stessi risultati - sono definiti scientifici. Le discipline che hanno a che fare con risultati riproducibili sono chiamate scienze naturali.
Nel dominio delle idee, degli oggetti mentali, quelle idee le cui proprietà sono riproducibili sono chiamate oggetti matematici, e lo studio degli oggetti mentali con proprietà riproducibili è chiamato matematica. L'intuizione è la facoltà con cui consideriamo o esaminiamo questi oggetti mentali interni. Sebbene ci sia sempre qualche discrepanza tra l’intuizione di due soggetti l'adeguamento per mantenere l’univocità è continuamente in corso.
Nel momento in cui vengono proposte nuove domande, allora possono comparire nuove parti della struttura. A volte capita che una domanda non abbia risposta. L'ipotesi del continuo, ad esempio, può essere vera o falsa.
...

La difficoltà nel capire che cosa sia l’intuizione emerge perché ci aspettiamo che la matematica sia infallibile. Sia il formalismo che il platonismo postulano una matematica sovrumana, per concepire la quale ognuna di queste due scuole falsifica la natura della matematica nel contesto umano e storico, creando confusione e inutili misteri.

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What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh - Ma il platonismo in matematica è una sorta di religione?

Ma il platonismo in matematica tende a una trasfigurazione mistica della materia tramutandola in una sorta di religione?

Così sembra pensarla Reuben Hersh, autore di What Is Mathematics, Really?

L'ultima volta che ho parlato di questo libro ho riportato un brano in cui l'autore cerca di indagare la natura degli oggetti matematici. Oggi propongo riflessioni sulle varie scuole di pensiero che hanno cercato di indagare tale natura. Come al solito, il tutto è in libera traduzione.

Il costruttivista considera i numeri naturali come il dato fondamentale della matematica, che non si può né si deve ridurre a una nozione più basilare, e da cui deve essere costruita tutta la matematica.

Il platonista considera gli oggetti matematici come preesistenti, una volta per tutte, in un indefinito senso ideale e atemporale. Il matematico non creerebbe ma scoprirebbe ciò che esiste già, compresi gli infiniti di una complessità non ancora concepita dalla sua mente.

Il formalista rifiuta sia le restrizioni del costruttivista sia la teologia del platonista. Ciò che conta sono solo le regole di inferenza con cui trasforma una formula in un'altra. Qualsiasi significato di tali formule è al di fuori della matematica e quindi non interessa al formalista.



Che cosa manca a ognuna di queste tre filosofie da un punto di vista intuitivo?

La difficoltà più ovvia è quella che affligge il platonista. Se gli oggetti matematici costituiscono un mondo ideale immateriale, in che modo la mente umana stabilirebbe un contatto con quel mondo? Consideriamo, ad esempio, l'ipotesi del continuo. Gödel e Cohen hanno dimostrato che non può essere dimostrata né smentita dagli attuali assiomi della matematica. Il platonista dovrebbe considerare questo risultato un inaccettabile manifestazione di ignoranza. Secondo lui il continuo dovrebbe essere un oggetto definito e indipendente dalla mente umana. E quindi dovrebbe o contenere o non contenere un sottoinsieme infinito non equivalente né all'insieme dei numeri interi né all'insieme dei numeri reali. Dovrebbe essere la nostra intuizione a dirci quale sia il caso. Il platonista ha quindi bisogno dell'intuizione per collegare la consapevolezza umana e la realtà matematica. Ma questo suo concetto di intuizione è inafferrabile. Il platonista non lo descrive né, tantomeno, lo analizza.
Ci si potrebbe chiedere: come viene acquisita questa intuizione? Varia da persona a persona, da matematico a matematico? Deve essere sviluppata e raffinata. Ma in che modo e con quali criteri la si sviluppa? L'intuito del platonista vedrebbe direttamente una realtà ideale così come i nostri occhi percepiscono la realtà visibile? 

Quindi l'intuizione sarebbe una seconda entità ideale, la controparte soggettiva della realtà matematica platonica. E così abbiamo introdotto un secondo mistero. Oltre alla misteriosa relazione tra la realtà mondana del cambiamento e quella delle idee atemporali e immateriali; adesso abbiamo anche la misteriosa relazione tra il matematico in carne e ossa e la sua intuizione, che percepisce direttamente l'eterno e l'atemporale.
Queste difficoltà rendono il platonismo difficile da sostenere per una persona con una mentalità scientifica. Ma i platonisti matematici ignorano bellamente tali difficoltà. Per loro, l'intuizione è qualcosa di inanalizzabile ma indispensabile. Così come l'anima del protestantesimo moderno, l'intuizione esiste, ma non può essere oggetto di dibattito.

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What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh - Gli oggetti matematici hanno natura mentale o fisica?

L'ultima volta ho riportato il brano in cui Reuben Hersh spiega le differenze tra "numeri raggiungibili" e numeri puri.
Oggi propongo un brano in cui l'autore cerca di indagare la natura degli oggetti matematici. Sempre in libera traduzione.

Frege ha mostrato che gli oggetti matematici non sono né fisici né mentali. Li ha etichettati come "oggetti astratti". E che ci ha detto riguardo agli oggetti astratti? Solo questo: non sono né fisici né mentali. Ci sono altre cose oltre ai numeri che non sono né puramente mentali né puramente fisiche? Sì! Le sonate. I prezzi. Gli avvisi di sfratto. Le dichiarazioni di guerra. Né mentali né fisiche, ma neppure astratte!

Quali sono le cose che contano al giorno d'oggi? Matrimoni, divorzi, asili nido. Pubblicità e acquisti. Lavori, salari, soldi. Le notizie e i programmi televisivi. La guerra e la pace. Tutte queste entità hanno aspetti mentali e fisici, ma nessuna è un'entità puramente mentale o puramente fisica. Ognuna è un'entità sociale.

Dall'esperienza sappiamo che:

1. Gli oggetti matematici sono creati dagli esseri umani. E in modo non arbitrario, ma come risultato dell'attività su gli oggetti matematici esistenti e secondo i bisogni della scienza e della vita quotidiana. 

2. Una volta creati, gli oggetti matematici possono avere proprietà che per noi sono difficili da scoprire ...

Ma una volta creati, gli oggetti matematici si staccano dal loro creatore, diventano parte della cultura umana e li recepiamo come oggetti esterni, con proprietà note e proprietà ignote. Tra le proprietà ignote, ce ne sono alcune che riusciamo a scoprire e altre no, anche se gli oggetti sono nostre creazioni. È paradossale? Se lo è, ciò è causa del pensiero che riconosce solo due realtà: il soggetto individuale e il mondo fisico esteriore. L'esistenza della matematica mostra l'inadeguatezza di queste due categorie.

La matematica è proprio quel terzo tipo di categoria. Il fatto di essere inventati o creati dagli umani rende gli oggetti matematici diversi dagli oggetti naturali come le rocce, i raggi X, i dinosauri. Alcuni filosofi (Stephen Körner, Hilary Putnam) sostengono che il dominio della matematica pura sia il mondo fisico, ma non le sue realtà, bensì le sue potenzialità.

"Esistere in matematica", significherebbe "esistere in potenza nel mondo fisico". Questa interpretazione è accattivante, perché consente alla matematica di essere significativa. Ma è inaccettabile, perché cerca di spiegare il chiaro con l'oscuro¹.

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1. Ho discusso con Maurizio Codogno come tradurre quest'ultimo capoverso e lui ha parafrasato così:
la matematica è chiara, funziona con certe regole. Mentre il mondo reale è oscuro, non sappiamo in realtà come funziona. Dire che gli enti matematici esistono perché possono esistere in potenza nel mondo fisico significa partire da qualcosa che non conosciamo per spiegare qualcosa che conosciamo. Per questo quell'interpretazione è inaccettabile.

What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh - numeri raggiungibili, formalismo e platonismo

L'ultima volta ho riportato il brano in cui Reuben Hersh si chiedeva se fosse possibile che solo noi matematici potessimo essere consapevoli di una realtà che declasserebbe l'universo materiale a un minuscolo puntino.

Oggi riporto un brano in cui l'autore spiega le differenze tra "numeri raggiungibili¹" e numeri puri.

«La matematica è fatta di concetti e non di segni di matita o di gesso, né di triangoli fisici né di insiemi fisici. È fatta di concetti, che possono essere ispirati a o rappresentati da oggetti fisici. Nel recensire The Mathematical Experience, il matematico e divulgatore Martin Gardner sollevò questa obiezione: quando due dinosauri dell'era Giurassica incontrarono altri due dinosauri che sguazzavano allegramente nella stessa pozza d'acqua, in tutto la pozza d'acqua conteneva quattro dinosauri, anche se non era presente alcun umano che potesse pensare, "2 + 2 = 4". Questo dimostra, dice Gardner, che 2 + 2 fa veramente 4 nella realtà e non solo nelle coscienze culturali umane. 2 + 2 = 4 è una legge della natura, dice, indipendente dal pensiero umano.

Per cercare di dirimere questa questione, dobbiamo cercare di capire che "2" gioca due ruoli linguistici. A volte è un aggettivo e a volte è un nome.
In "due dinosauri", "due" è un aggettivo collettivo. La frase "Due dinosauri più due dinosauri equivalgono a quattro dinosauri" parla di dinosauri. Se dico "Due oggetti discreti non interagenti insieme ad altri due oggetti discreti non interagenti fa quattro di questi oggetti", sto dicendo parte di ciò che si intende per oggetti discreti non interagenti. E questa è un'affermazione nel dominio della fisica elementare. Quindi, per quanto riguarda gli oggetti discreti e non interagenti, l'esperienza ci dice che 2 + 2 = 4.

Al contrario, "Due è primo ma quattro è composto" è un'affermazione sui numeri puri dell'aritmetica elementare. Ora "due" e "quattro" sono nomi, non aggettivi. Rappresentano numeri puri, che sono concetti e oggetti. Sono oggetti concettuali, condivisi da tutti coloro che conoscono l'aritmetica elementare, descritti da assiomi e teoremi.

I numeri raggiungibili¹ sono finiti. C'è un limite oltre il quale nessuno potrà mai contare. Eppure non esiste un ultimo numero. Se contassi fino a, diciamo, un miliardo, allora potrei contare fino a un miliardo e uno. Nell'aritmetica discreta, queste due proprietà - finitezza, e assenza di massimo - sono contraddittorie. Questo dimostra che i numeri raggiungibili non sono numeri puri. Consideriamo, ad esempio, il numero puro 10^(1010). Possiamo facilmente enunciare alcune delle sue proprietà, come, ad esempio: "Gli unici fattori primi di 10^(1010) sono 2 e 5." Ma non possiamo raggiungere quel numero contando. In tal senso, non esiste un numero raggiungibile uguale a 10^(1010). Thomas William Körner propose la stessa distinzione, usando le lettere maiuscole per i numeri raggiungibili (aggettivi) e le lettere minuscole per i numeri naturali "puri" (nomi). Jacob Klein scrisse che una distinzione simile fu proposta dai greci, che usavano le loro parole "arithmos" e "logistiké". Quindi "due" e "quattro" hanno due significati: quello di numeri raggiungibili e quello di numeri puri. Quindi, la formula 2 + 2 = 4 ha un doppio significato. Ha a che fare con il contare, cioè su come si comportano gli oggetti discreti non interagenti; ma è anche un teorema di aritmetica pura (aritmetica di Peano, ad esempio).
Questa ambiguità linguistica confonde la differenza tra i numeri raggiungibili e i numeri naturali puri. Il concetto di numero puro è un'astrazione del concetto di numero raggiungibile. Attravero un'astrazione aristotelica, i numeri puri si astraggono dagli oggetti "reali" per generarsi come concetti condivisi nelle menti delle persone che conoscono l'aritmetica elementare. In quel dominio di concetti condivisi, 2 + 2 = 4 è un oggetto diverso con un significato diverso. Dopodiché possiamo mostrare che esso consegue logicamente da altri concetti condivisi, che solitamente chiamiamo assiomi. La filosofia platonica maschera questa modalità di esistenza sociale attraverso un mito di "concetti astratti".»

1. Reuben Hersh usa l'espressione “counting numbers”. Ho discusso con .mau. come tradurre il concetto in italiano e .mau. ha proposto "numeri raggiungibili". Quello che conta per Hersh è "il processo di contare", quindi la possibile alternativa di "numeri esprimibili" non funzionerebbe, visto che (10^(10^10)) è esprimibile (lo abbiamo appena espresso). Purtroppo con "numeri raggiungibili" si perde il doppio significato di "numeri importanti", "numeri che contano" ma spesso le traduzioni non riescono a mantenere intatte tutte le sfumature semantiche.

Di seguito riporto altri brani di Reuben Hersh sulla visione pitago-platonica della matematica. Sempre in una mia libera traduzione.

"Il platonismo senza Dio è come il sorriso sul gatto di Lewis Carroll. Il gatto aveva un sorriso. A poco a poco il gatto è scomparso, tranne il sorriso: è rimasto solo il sorriso senza il gatto."

***

"La ricerca o la soluzione di problemi, anche a livello elementare, genera un platonismo ingenuo e acritico. Durante le lezioni di matematica, eccezion fatta per alcuni pasticcioni, tutti devono produrre la stessa risposta! È per questo che la matematica è speciale. Esistono le risposte giuste. E non perché quelle sono le risposte che l'insegnante vuole sentire. Sono giuste perché sono giuste. Questa universalità, questa indipendenza dagli individui, fa sembrare la matematica immateriale, inumana. Il platonismo del matematico ordinario o dello studente ordinario è un riconoscimento che i fatti della matematica sono indipendenti dai desideri dell'insegnante. Questa è la qualità che rende la matematica eccezionale. Eppure la maggior parte di questo platonismo è pedissequo. Non ci chiediamo mai, come si relaziona alla realtà materiale questo regno immateriale? Come entra in contatto con i matematici?"

***

"Si ritiene che l'universo delle teoria degli insiemi, costruito da Cantor e generalmente adottato dai matematici platonici, includa tutte le matematiche, passate, presenti e future. In esso, l'insieme innumerabile dei numeri reali è solo l'inizio di innumerabili catene di innumerabili. La cardinalità di questo universo di insiemi è indicibilmente più grande di quella del mondo materiale. Declassa l'universo materiale a un minuscolo puntino. E tutto era già lì prima che ci fosse la Terra, la Luna e il Sole, persino prima del Big Bang. Eppure questa tremenda realtà passa inosservata! L'umanità, tranne noi matematici, ne è totalmente inconsapevole. Noi soli lo notiamo. Ma solo da quando Cantor lo rivelò nel 1890. È plausibile? È credibile? Roger Penrose si dichiara platonico, ma pone un limite nell'accettazione dell'intera gerarchia insiemistica."

***

"È possibile che solo noi matematici notiamo una realtà che declasserebbe l'universo materiale a un minuscolo puntino?"

...continua...