Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema di Ippaso: prima parte

– «La risposta arrivò circa un millennio dopo, quando, intorno al 1860, Richard Dedekind, professore non ancora trentenne al Politecnico di Zurigo, definì quello che divenne poi noto come il taglio di Dedekind. Attraverso quella definizione, i numeri irrazionali, come la radice quadrata di 2, poterono finalmente essere costruiti a partire dagli interi ed entrare così a pieno titolo nell’insieme dei numeri.»
– Ma che leggi? È uno dei brani finali de "Il mistero del suono senza numero"?
– Sì, l'ho appena finito.
– E ti è piaciuto?
– Sì, però mi sono rimaste delle curiosità. E una di queste riguarda proprio il taglio di Dedekind. Vorrei proprio capire come fece il professore crucco a definire i numeri irrazionali a partire dai numeri interi!
– Te lo dico subito. Allora, sia K un corpo commutativo linearmente ordinato. Allora una coppia (A, B) di sottoinsiemi di K tali che...
– No, no, no, no, no! Partiamo male. Me lo dovresti spiegare in modo discorsivo e con parole semplici. Considera che lo stai spiegando a una persona normale e non a un altro matematico.
– Uhm. Compito arduo. Non so se ci riuscirò.
– Provaci, dai.
– Vediamo... Penso che Dedekind abbia proceduto più o meno così. Come ha dimostrato Ippaso, sappiamo che esistono i numeri irrazionali e che questi non posso essere espressi come rapporti di numeri interi. Prendiamone uno qualsiasi. Per semplificare considererò che questo sia proprio la radice di due. Ora, se quel numero lo immagini disposto su una retta sappiamo che si troverà tra l'1 e il 2, poco sotto all'1,5.

Inoltre, Ippaso aveva pure capito che, pur non essendo una frazione, per quel numero si possono trovare, sia alla sua destra sia alla sua sinistra, frazioni che gli si avvicinano molto. Allora che fa Dedekind?
– Non lo so. Che fa?
– Prende come definizione di radice di due tutte le frazioni che si trovano alla sua sinistra più tutte quelle che si trovano alla sua destra.
– Cioè? Definisce un numero irrazionale usando la quantità infinita di tutte le frazioni immaginabili?!
– Sì, ma lo fa dividendo in due quell'insieme infinito. E a dividerlo in due è proprio il numero irrazionale che si vuole definire.
– Ho capito. Ma allora "taglio" viene proprio dal fatto che quel numero "taglia" la retta in due!
– Credo di sì. Comunque poi Dedekind quella definizione la semplifica e dice che basta considerare solo tutte le frazioni che si trovano alla sinistra del numero.
– Scusa, però mi pare che ci sia un problema. Per definire un numero irrazionale come , usiamo  stessa dicendo che è definita da tutte le frazioni n/m tali che n/m < ? Non è una petizione di principio?
– Beh, non necessariamente... Puoi sempre dire che  è definita da tutte le frazioni negative più quelle n/m tali che (n/m)²  < 2. Quindi, nella definizione di  uso solo 2 che è un numero razionale.
– Ho capito. Si aggira la petizione di principio trovando una proprietà che definisca il numero irrazionale usando solo i numeri razionali. È così quindi che si sarebbero colmati i buchi della la retta dei numeri reali? Riempiendoli con questi irrazionali ognuno dei quali è definito attraverso un'infinità di frazioni?
– Si. Wikipedia, ad esempio, descrive la cosa in questo modo.
"La sezione di Dedekind risolve la contraddizione tra la natura continua del continuum dell'asse numerico e la natura discreta dei numeri stessi. Ovunque ci sia una sezione che non sia su un numero razionale reale, viene creato un numero irrazionale dal matematico. Attraverso l'uso di questo strumento, si considera esserci un numero reale, che sia razionale o irrazionale, in ogni punto nel continuum della linea numerica, senza discontinuità.
« Quando abbiamo a che fare con una sezione prodotta da un numero non razionale, quindi, ne creiamo uno nuovo, un numero irrazionale, che consideriamo come completamente definito da questa sezione... . D'ora in poi, di conseguenza, per ogni sezione definita corrisponde un numero razionale o irrazionale definito... » - (Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Section IV).
– Mi rimane un dubbio, però. Ma te ne parlerò dopo. Adesso mi interesserebbe sapere come si definiscono le operazioni su questi nuovi numeri.
– Quello è abbastanza facile. Se r1 ed r2 sono due numeri reali e A1 e A2 i relativi insiemi di Dedekind che li definiscono, r1 + r2 si definirà semplicemente con l'insieme A3 che ha come membri tutte le somme dei membri di A1 e A2. Allo stesso modo si procederà per le altre operazioni.
– Ed esistono altri modi per definire i numeri irrazionali oltre a quello di Dedekind?
– Sì, ma ora devo andare. Te lo dirò la prossima volta.