Maieutica teorema di Pitagora e duplicazione del quadrato nel Menone di Platone

Molti testi riportano che la prima dimostrazione a noi pervenuta del teorema di Pitagora si trova negli Elementi di Euclide. Vedi, ad esempio, Teorema di Pitagora#Dimostrazioni. Tuttavia, nessuno dei testi che ho letto finora cita il Menone di Platone.

Di recente, leggendo The Mathematics of Plato's Academy – A New Reconstruction di David Fowler, ho scoperto che quel dialogo contiene una dimostrazione semplicissima di un caso particolare del teorema di Pitagora, che emerge dalla tecnica per la duplicazione di un quadrato¹. E probabilmente il Menone è stato scritto prima della nascita di Euclide. Secondo David Fowler sarebbe infatti stato scritto intorno al 385 a.C.
Certo, sussiste sempre l’ipotesi che gli Elementi siano ispirati a qualche versione più antica. Ma rimane solo un’ipotesi.

Qui riporto il brano di Platone a cui ho aggiunto alcune immagini.

SOCRATE Dimmi dunque, ragazzo, sai che un’area quadrata è fatta così? È un’area quadrangolare che ha uguali tutte queste linee, che sono quattro.

Socrate traccia un quadrato avente un lato di due piedi.

SCHIAVO Certo.









SOCRATE E non ha uguali anche queste linee che passano per il centro?

Socrate disegna le linee che, partendo dal punto centrale di ciascun lato, dividono il quadrato in quattro quadrati uguali.
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Se dunque questo lato fosse di due piedi e di due piedi questo, di quanti piedi sarebbe il tutto? Rifletti in questo modo: se qui fosse stato di due piedi e qui di un piede soltanto, la superficie non sarebbe forse stata di un piede per due?
SOCRATE Ma dal momento che anche qui è di due piedi, non è forse di due volte due piedi?
SCHIAVO Lo è.
SOCRATE E dunque è di due piedi per due?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Quanto sono dunque questi due piedi per due? Fa’ il calcolo e dimmi.
SCHIAVO Quattro, Socrate.
SOCRATE E non potrebbe esservi un’area che sia il doppio di questa ma simile, avente tutti i lati uguali, come questa?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE E dunque di quanti piedi sarà?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE Suvvia, prova a dirmi quanto sarà la lunghezza di ogni lato di quell’area. Il lato di questa è infatti di due piedi: quanto sarà il lato di quell’area doppia?
SCHIAVO È evidente, o Socrate, che sarà il doppio.
SOCRATE Vedi, Menone, che a costui non sto insegnando nulla, ma che mi limito a chiedergli tutto? E ora egli pensa di sapere quale sia la lunghezza da cui risulterà un’area di otto piedi: non credi?
MENONE Sì.
SOCRATE E dunque lo sa?
MENONE No davvero.
SOCRATE Lo suppone dal lato che è il doppio dell’altro?
MENONE Sì.
SOCRATE Sta’ a vedere come egli ricorda di seguito, come deve ricordare. Dimmi, ragazzo: tu affermi che dal lato doppio si genera l’area doppia; tale area non dico che sia lunga da questo lato e corta da quest’altro, ma che sia invece uguale da tutti i lati, come questa appunto, ma il doppio di questa, di otto piedi: ebbene guarda se a tuo parere risulterà ancora dal lato doppio.
SCHIAVO A me almeno sembra.
SOCRATE E questa linea non diventa forse il doppio di questa se aggiungiamo un’altra linea della stessa lunghezza a partire da qui?
SCHIAVO Certo.
SOCRATE Da questa linea, dunque, tu dici, risulterà l’area di otto piedi, se i quattro lati sono della stessa lunghezza?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Tracciamo dunque, a partire da questo, quattro lati uguali. Sarebbe questa o qualcos’altro l’area che, a tuo parere, è di otto piedi?

Socrate prolunga di altri due piedi i lati del quadrato iniziale e disegna un quadrato maggiore, avente i lati di quattro piedi.

SCHIAVO Certo.
SOCRATE E in quest’area non ci sono forse questi quattro quadrati, ognuno dei quali è uguale a questo di quattro piedi?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Dunque di quanto è? Non è il quadruplo?
SCHIAVO Come no?
SOCRATE Dunque ciò che è il quadruplo è anche doppio?
SCHIAVO No, per Zeus.
SOCRATE Ma allora di quante volte è maggiore?
SCHIAVO Di quattro volte.
SOCRATE Dunque, ragazzo, dal lato doppio risulta non un’area doppia, ma quadrupla.
SCHIAVO È vero.
SOCRATE Quattro volte quattro infatti fa sedici, no?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Da quale lato risulta, invece, un’area di otto piedi? Non risulterà da un lato maggiore di questo e da un lato minore di quest’altro? o no?
SCHIAVO A me almeno sembra così.
SOCRATE Bene: perché rispondi quello che pensi. E dimmi: questo lato non era di due piedi e di quattro quest’altro?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Bisogna dunque che il lato dell’area di otto piedi sia maggiore di questo di due piedi, ma minore di quello di quattro.
SCHIAVO Necessariamente.
SOCRATE Prova dunque a dire quanto pensi che sia lungo.
SCHIAVO Tre piedi.
SOCRATE Se dunque è di tre piedi, dobbiamo aggiungere a questo la metà della sua lunghezza e sarà di tre piedi? Infatti questi sono due piedi, questo un piede; e a partire da qui allo stesso modo questi sono di due piedi e questo uno: e ne risulta quest’area che tu dici.
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Se dunque è qui di tre piedi e qui di tre piedi, l’area totale non è di tre volte tre piedi? SCHIAVO È evidente.
SOCRATE Ma tre volte tre piedi quanti piedi sono?
SCHIAVO Nove.
SOCRATE E l’area doppia di quanti piedi dovrebbe essere?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE Quindi neppure da un lato di tre piedi deriva l’area di otto piedi.
SCHIAVO No, certo.
SOCRATE Ma da quale lato risulta? Cerca di dircelo esattamente; e se non vuoi fare il calcolo, mostra tuttavia da quale lato.
SCHIAVO Per Zeus, o Socrate, io non lo so.
SOCRATE Ti rendi conto, ancora una volta, di quanto costui sia già andato avanti sulla strada della reminiscenza? considera che prima non sapeva quale fosse il lato dell’area di otto piedi, come del resto non lo sa adesso, ma almeno allora pensava di saperlo, e rispondeva con audacia come se sapesse, e non pensava di trovarsi in difficoltà; ora invece ritiene di essere ormai in difficoltà, e poiché non sa, neppure pensa di sapere.
MENONE Quel che dici è vero.
SOCRATE E non non si trova in una condizione migliore adesso riguardo alla cosa che non sapeva?
MENONE Anche su questo sono d’accordo.
SOCRATE Noi avevamo tuttavia bisogno di un’area doppia: o non ti ricordi?
SCHIAVO Certamente.
SOCRATE Questa linea da angolo ad angolo non taglia in due ognuna di queste aree?

SCHIAVO Sì.
SOCRATE Non ne risultano questi quattro lati uguali che contengono quest’area?
SCHIAVO Sì, risulta così.
SOCRATE Osserva dunque: quanto è grande quest’area?
SCHIAVO Non capisco.
SOCRATE Non è forse vero che, ogni linea le ha divise a metà all’interno queste quattro aree? o no?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Quante sono all’interno di questa superficie queste metà?
SCHIAVO Quattro.
SOCRATE E quante in quest’altra?
SCHIAVO Due.
SOCRATE Quattro che cos’è di due?
SCHIAVO Il doppio.
SOCRATE Dunque quest’area di quanti piedi è?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE A partire da quale linea?
SCHIAVO Da questa.
SOCRATE Cioè da quella tesa da angolo ad angolo dell’area di quattro piedi?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE I sofisti chiamano questa linea diagonale: cosicché, se questa linea ha il nome di diagonale, a partire dalla diagonale, come tu dici, o schiavo di Menone, risulterebbe l’area doppia.
SCHIAVO Certo, o Socrate.
SOCRATE Che ne pensi, Menone? C’è qualche opinione che costui non espresse, nelle sue risposte, come sua?
MENONE No, sono opinioni sue.
SOCRATE E tuttavia non sapeva, come dicevamo poco fa.
MENONE Quel che dici è vero.
SOCRATE Dunque queste opinioni si trovavano in lui: o no?
MENONE Sì.
SOCRATE Ma in chi non sa possono essere presenti, sulle cose che non sa, opinioni vere?
MENONE È evidente.
SOCRATE E adesso in lui queste opinioni sono emerse, come in un sogno; ma se uno gli chiederà più volte queste stesse cose e in molti modi, puoi star certo che alla fine avrà di questi argomenti una conoscenza puntuale non meno di chiunque altro.
MENONE È probabile.
SOCRATE Dunque avrà una conoscenza senza che nessuno gli abbia insegnato, ma grazie a delle semplici domande, avendo recuperato lui da se stesso la conoscenza?
MENONE Sì.
SOCRATE Il recuperare da se stessi all’interno di sé una conoscenza non significa ricordarsi?
MENONE Certamente.

¹ The Mathematics of Plato's Academy – A New Reconstruction di David Fowler p. 7 – "The passage is well known and frequently discussed (Plato’s, quotation of Pythagoras theorem), but I quote it here in full for special reasons that it is our first direct, explicit, extended piece of evidence about Greek mathematics, it probably dates from about 385 bc."