lunedì 19 novembre 2018

"I Pitagorici" in scena al Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano" di Torino

Dopo due anni "I Pitagorici", tratto da “Il mistero del suono senza numero“, torna in scena a Torino.

Spettacolo "I PITAGORICI" di Flavio Ubaldini
Torino - PALAZZO CAMPANA Via Carlo Alberto 10
Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano" - AULA MAGNA
Martedì 20 novembre 2018 ore 17.00
La storia di Pitagora e Ippaso: i problemi di quest’ultimo con gli altri discepoli della scuola, la scoperta della non esistenza di una frazione che rappresenti la diagonale di un quadrato di lato 1, l’amore per Muia, l’espulsione dalla scuola, l’ira degli Dei contro Pitagora e la loro condanna, fino a Richard Dedekind e alla scoperta del “taglio” con cui si risolve la questione.

INGRESSO GRATUITO
(fino ad esaurimento posti)

prenotazioni --> eventi@teatroescienza.it

giovedì 15 novembre 2018

Carnevale della Matematica #123: che cos’è la matematica?

L'edizione di novembre del Carnevale della Matematica, la numero 123, è ospitata da MaddMaths! e il tema è "che cos’è la matematica?". Il carnevale contiene anche un interessante invito: chiedetevi cos’è secondo voi la matematica e scrivetelo in fondo come commento al post.

Io ho contribuito con...
"un contributo abbastanza i tema, in quanto parte di una serie dedicata al libro di Reuben Hersh “Che cos’è davvero la matematica?”  Il post è qui Ma il platonismo in matematica è una sorta di religione? L’ultima volta aveva riportato un brano in cui l’autore cercava di indagare la natura degli oggetti matematici. Qui propone riflessioni sulle varie scuole di pensiero che hanno cercato di indagare tale natura. Come al solito, il tutto è in libera traduzione."

E con ...
nella Poesia Gaussiana (o dell’unicità della fattorizzazione) di Popinga, la strofa corrispondente è “il merlo innamorato“(=3×41). E la “cellula melodica” puntualmente offertaci da Dioniso Dionisi di Pitagora e dintorni è...





Per quanto riguarda l'edizione numero 124... 
14 dicembre 2018: (“canta, canta, nero”) Notiziole di .mau. – Matematica delle feste
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


domenica 14 ottobre 2018

What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh - Ma il platonismo in matematica è una sorta di religione?

Ma il platonismo in matematica tende a una trasfigurazione mistica della materia tramutandola in una sorta di religione?

Così sembra pensarla Reuben Hersh, autore di What Is Mathematics, Really?

L'ultima volta che ho parlato di questo libro ho riportato un brano in cui l'autore cerca di indagare la natura degli oggetti matematici. Oggi propongo riflessioni sulle varie scuole di pensiero che hanno cercato di indagare tale natura. Come al solito, il tutto è in libera traduzione.

Il costruttivista considera i numeri naturali come il dato fondamentale della matematica, che non si può né si deve ridurre a una nozione più basilare, e da cui deve essere costruita tutta la matematica.

Il platonista considera gli oggetti matematici come preesistenti, una volta per tutte, in un indefinito senso ideale e atemporale. Il matematico non creerebbe ma scoprirebbe ciò che esiste già, compresi gli infiniti di una complessità non ancora concepita dalla sua mente.

Il formalista rifiuta sia le restrizioni del costruttivista sia la teologia del platonista. Ciò che conta sono solo le regole di inferenza con cui trasforma una formula in un'altra. Qualsiasi significato di tali formule è al di fuori della matematica e quindi non interessa al formalista.



Che cosa manca a ognuna di queste tre filosofie da un punto di vista intuitivo?

La difficoltà più ovvia è quella che affligge il platonista. Se gli oggetti matematici costituiscono un mondo ideale immateriale, in che modo la mente umana stabilirebbe un contatto con quel mondo? Consideriamo, ad esempio, l'ipotesi del continuo. Gödel e Cohen hanno dimostrato che non può essere dimostrata né smentita dagli attuali assiomi della matematica. Il platonista dovrebbe considerare questo risultato un inaccettabile manifestazione di ignoranza. Secondo lui il continuo dovrebbe essere un oggetto definito e indipendente dalla mente umana. E quindi dovrebbe o contenere o non contenere un sottoinsieme infinito non equivalente né all'insieme dei numeri interi né all'insieme dei numeri reali. Dovrebbe essere la nostra intuizione a dirci quale sia il caso. Il platonista ha quindi bisogno dell'intuizione per collegare la consapevolezza umana e la realtà matematica. Ma questo suo concetto di intuizione è inafferrabile. Il platonista non lo descrive né, tantomeno, lo analizza.
Ci si potrebbe chiedere: come viene acquisita questa intuizione? Varia da persona a persona, da matematico a matematico? Deve essere sviluppata e raffinata. Ma in che modo e con quali criteri la si sviluppa? L'intuito del platonista vedrebbe direttamente una realtà ideale così come i nostri occhi percepiscono la realtà visibile? 

Quindi l'intuizione sarebbe una seconda entità ideale, la controparte soggettiva della realtà matematica platonica. E così abbiamo introdotto un secondo mistero. Oltre alla misteriosa relazione tra la realtà mondana del cambiamento e quella delle idee atemporali e immateriali; adesso abbiamo anche la misteriosa relazione tra il matematico in carne e ossa e la sua intuizione, che percepisce direttamente l'eterno e l'atemporale.
Queste difficoltà rendono il platonismo difficile da sostenere per una persona con una mentalità scientifica. Ma i platonisti matematici ignorano bellamente tali difficoltà. Per loro, l'intuizione è qualcosa di inanalizzabile ma indispensabile. Così come l'anima del protestantesimo moderno, l'intuizione esiste, ma non può essere oggetto di dibattito.


...continua...

lunedì 1 ottobre 2018

La medaglia Fields e i numeri p-adici - prima parte

– Ma allora questo Peter Scholze avrebbe vinto la Medaglia Fields per ricerche nell'ambito dei numeri p-adici?

– Ma come? Tutti parlano dell'italiano Alessio Figalli vincitore della medaglia Fields per i contributi alla teoria del trasporto ottimale e alle sue applicazioni alle equazioni alle derivate parziali e tu ti interessi al campo di ricerca del vincitore tedesco? Sei un po' al di fuori dello spirito del tempo. Non sai che questo è il momento di "prima gli italiani"?!

– Scusa, ma hai visto il mio colore? Pensi che certi slogan possano far presa su di me?

– Beh... effettivamente...

– E poi... quel tipo di matematica, equazioni alle derivate parziali e cose simili, non mi ha mai appassionata molto. È troppo complicata per me.

– Ah! E invece pensi che i numeri p-adici siano semplici?

– Boh… forse no però, da quel poco che ho sentito, una delle conseguenze dell'introduzione di quei inumeri mi ha ricordato la nostra discussione su Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema di Ippaso.

– Sì, è vero. Sono temi correlati. Con quella tecnica Dedekind definì i numeri irrazionali, come la radice quadrata di 2, a partire dai numeri interi. Detto in altre parole estese l'aritmetica dei numeri razionali (interi e frazioni) ai numeri irrazionali creando così il campo dei numeri reali.

– Sì, mi ricordo.

– E con i numeri p-adici, sebbene essi siano nati inizialmente per applicazioni nell'ambito della teoria dei numeri, si può fare una cosa simile a quella che fece Dedekind. Cioè, si possono estendere i numeri razionali a quelli reali in un modo diverso rispetto a quello di Dedekind. Ma che risulta anche un po' più complicato.

– Ancora più complicato di quel metodo?!

– Eh, sì. Credo che sia molto meno intuitivo. Sostanzialmente, l'estensione è ottenuta attraverso un'interpretazione alternativa del concetto di distanza.

– E cioè? Come viene definita questa distanza?

– Allora, dato un numero p fissato, si possono costruire i numeri p-adici ottenuti a partire da quel numero p. La vicinanza tra due di questi numeri p-adici, chiamiamoli a e b, si misura attraverso la divisibilità della loro differenza, a - b,  per una potenza pn. Più il pn che la divide è grande, più i due numeri sono vicini.
Questa proprietà consente ai numeri p-adici di codificare informazioni che generano potenti applicazioni nella teoria dei numeri, inclusa, ad esempio, anche la famosa dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat di Andrew Wiles.
Inoltre, con l'estensione ai numeri reali di cui parlavamo, si riesce anche a estendere la tradizionale analisi matematica a un'analisi p-adica che, in certi ambiti, fornisce una forma alternativa all'analisi matematica tradizionale.

– Interessante. Non credo di aver capito bene il discorso della distanza, però.

– Allora, cerchiamo di definirla in modo un po’ più intuitivo.

– Quando parliamo di un solo numero la distanza coincide con la misura del numero, giusto?

– In qualche modo sì. In quel caso la distanza viene chiamata anche “norma”. Sui numeri reali tradizionali corrisponde al numero stesso privato del segno. Ad esempio, la norma di 2, indicata con |2|, è 2 così come la norma di -2:
|-2|=2

– E sui p-adici?

– Nel caso dei p-adici la cosa è leggermente più complessa. Dobbiamo partire dal fatto che ogni numero razionale q diverso da zero può essere scritto come

 q=pa·r/s     (1)

dove p è un numero primo fissato, r ed s due interi non divisibili per p, e a è l’unico intero che soddisfi la (1). E quindi definiamo la norma p-adica di q come

|q|p=pa

– Scusa, ma la (1) è una conseguenza del Teorema fondamentale dell’aritmetica, vero?

– Sì, certo. Del fatto che Ogni numero naturale maggiore di 1 si può esprimere come prodotto di numeri primi. È più chiaro adesso?

– Un pochino. Però vorrei vedere qualche esempio.

– Allora, prendiamo una frazione non semplicissima: q = 140/297. Se la fattorizziamo in numeri primi avremo che:

140 = 22·5·7
297 = 33·11

E dunque,

140/297 = 22·3-3·5·7·11-1

– Ah, ho capito! A seconda del numero primo che sceglierò come base p-adica avrò una norma diversa?

– Certo! In questo caso, a seconda della scelta di p = 2, 3, 5, 7 o 11, come norma 2-adica, 3-adica, 5-adica, 7-adica o 11-adica avremo:

|140/297|2 = 2-2 = 1/4
|140/297|3 = 33 = 27
|140/297|5 = 5-1 = 1/5
|140/297|7 = 7-1 = 1/7
|140/297|11 = 11

Ed ecco degli altri esempi di norme 2-adiche e 3-adiche:

p = 2

1 = 20 =>                |1|2 = 2-0 = 1

2 = 21 =>                |2|2 = 2-1 = ½
1/2 = 2-1 =>            |1/2|2 = 21 = 2
3 = 20·31 =>           |3|2 = 2-0 = 1
1/3 = 2-0·3-1 =>       |1/3|2 = 20 = 1
4 = 22 =>                |4|2 = 2-2 = ¼
1/4 = 2-2 =>            |1/4|2 = 22 = 4
5 = 20·5 =>             |5|2 = 2-0 = 1
1/5 = 2-0·5-1 =>       |5|2 = 20 = 1
6 = 21·3 =>             |6|2 = 2-1 = ½
1/6 = 2-1·3-1 =>       |6|2 = 21 = 2
7 = 20·7 =>             |7|2 = 2-0 = 1

8 = 23 =>                |8|2 = 2-3  = 1/8
2/3 = 21·3-1 =>       |2/3|2 = 2-1 = 1/2
9 = 20·32 =>           |9|2 = 2-0 = 1

10 = 21·5 =>           |10|2 = 2-1 = ½
2/3 = 21·3-1 =>       |2/3|3 = 31 = 3
11 = 20·11 =>         |11|2 = 2-0 = 1
 1/8 = 2-3 =>           |1/8|2 = 23 = 8
12 = 22·3 =>           |12|2 = 2-2 = 1/4
1/16 = 2-4 =>              |16|2 = 24 = 16
13 = 20·13 =>         |13|2 = 2-0 = 1
16 = 24 =>              |16|2 = 2-4 = 1/16


p=3
1 = 30 => |1|3 = 3-0 = 1
2 = 2·30 => |2|3 = 3-0 = 1
3 = 31 => |3|3 = 3-1 = 1/3
4 = 22·30 => |4|3 = 3-0 = 1
5 = 30·5 => |5|3 = 3-0 = 1
6 = 2·31 => |6|3 = 3-1 = 1/3
7 = 30·7 => |7|3 = 3-0 = 1
8 = 23·30 => |8|3 = 3-0 = 1
9 = 32 => |9|3 = 3-2 = 1/9
10 = 2·30·5 => |10|3 = 3-0 = 1
11 = 30·11 => |11|3 = 3-0 = 1
12 = 22·31 => |12|3 = 3-1 = 1/3
13 = 30·13 => |13|3 = 3-0 = 1
14 = 2·30·7 => |14|3 = 3-0 = 1
15 = 31·5 => |15|3 = 3-1 = 1/3
16 = 24·30 => |16|3 = 3-0 = 1
17 = 30·17 => |17|3 = 3-0 = 1
18 = 21·32 => |18|3 = 3-2 = 1/9


– Beh, adesso capisco meglio. Però…

– Che cosa?

– Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E poi, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico.

– Te ne mostrerò più di uno, ma non oggi.

...continua...

domenica 16 settembre 2018

Carnevale della Matematica #121

L'edizione di settembre del Carnevale della Matematica, la numero 121, è ospitata da Paolo Alessandrini su Mr. Palomar e il tema è "Matematica e arte".

Paolo la introduce così
Benvenuti all'edizione 121 del Carnevale della Matematica, il settimo ospitato da Mr. Palomar. Com'era accaduto anche l'anno scorso, il Carnevale si è preso una lunga pausa nei mesi di luglio e agosto: per tale motivo l'edizione settembrina non si limita ai contributi dell'ultimo mese ma spazia sull'ultimo trimestre, risultando insolitamente ricca.


Io ho contribuito con...

Flavio "Dioniso Dionisi" Ubaldini ha fornito, come da consolidata usanza, la cellula melodica di questo Carnevale. Come sottolinea il suo autore, essa presenta una inedita caratteristica:

Essendo il primo quadrato perfetto di un numero primo da quando ci sono le cellule melodiche, questa è la prima cellula a essere composta da un solo suono ribattuto: quasi un segnale di allarme al manifestarsi dell’alba.

 

Il tema di questa edizione del Carnevale, come sempre non obbligatorio, è "Matematica e arte". Senza distinguere tra contributi a tema e contributi non a tema, cominciamo dunque la ricca carrellata.

Il già menzionato Dioniso Dionisi, raffinato matematico-musicista autore del blog Pitagora e dintorni, ci propone un generoso elenco di contributi.

Matematica e musica al premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura
Il 23 giugno Dioniso ha parlato di "Matematica e musica" nella Sala delle Lapidi del Palazzo delle Aquile, il municipio di Palermo, nell'ambito del premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura. È stata per lui un'esperienza molto positiva, durante la quale ha ricevuto commenti assai incoraggianti, inclusi un paio di probabili inviti per eventi futuri.

Non ci si può muovere contando - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini
Proseguono i commenti su Zellini, Zenone  e il calcolo infinitesimale.
Dopo aver visto che viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete, Zellini conclude: "nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che chi si muove si muova contando. Ma allora è chiaro che il movimento e la continuità della retta non possono trovare una spiegazione nei numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si rende necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

Le connessioni tra matematica e musica - "From Music to Mathematics: Exploring the Connections"
Una libera traduzione da "From Music to Mathematics: Exploring the Connections" di Gareth E. Roberts in cui l'autore evidenzia connessioni a vari livelli tra le strutture della matematica e della musica.

Il mio dramma "I Pitagorici" di nuovo in scena a Torino
Il 20 novembre alle 17 "I Pitagorici", tratto da “Il mistero del suono senza numero”, sarà di nuovo in scena. Danza e scenografia virtuale arricchiranno la recitazione di Maria Rosa Menzio e Simonetta Sola.

Intervista su musica e numeri a "L'ultima spiaggia" di Radio 1
Mario Pezzolla ha intervistato Dioniso per pochi minuti durante la trasmissione "L'ultima spiaggia" di Radio 1. Il tema è stato i rapporti tra musica e matematica.

Matematizzazione della fisica e misticismo crociano
Dioniso riporta due interessanti brani dal libro “I paradossi di Zenone” di Vincenzo Fano.
«Secondo alcuni filosofi contemporanei le soluzioni matematiche dei paradossi non colgono il punto posto da Zenone – né mai lo coglieranno. Gli avanzamenti matematici non avrebbero alcuna rilevanza metafisica e troverebbero il loro uso appropriato solo nel “rendere più veloci i jet”.
Prendiamo le distanze da queste forme di misticismo, che oggi purtroppo sono alquanto comuni.»



Per quanto riguarda l'edizione numero 122... 
14 ottobre 2018: (“canta, merlino”) Al caffè del Cappellaio matto – La matematica e l’arte visuale
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.


venerdì 31 agosto 2018

Matematizzazione della fisica e misticismo crociano

Riporto due interessanti brani dal libro “I paradossi di Zenone” di Vincenzo Fano.

«La filosofa canadese Trish Glazebrook (2001) rilegge i paradossi di Zenone come una critica alla tesi pitagorica secondo cui la realtà sarebbe numero.
Tale lettura, pur essendo storicamente discutibile, è teoricamente ragionevole:

“Intendo usare i paradossi di Zenone sul moto per sostenere che l’applicazione dei concetti matematici al mondo fisico porta paradossi e che la matematizzazione della realtà fisica non è un’assunzione innocente... Suggerisco che il punto di Zenone potrebbe essere stato che la descrizione matematica del moto è problematica.”

Questo però non significa che abbracciamo la tesi della filosofia italiana, Alba Papa-Grimaldi, secondo la quale le soluzioni matematiche dei paradossi non colgono il punto posto da Zenone – né mai lo coglieranno.
In questa prospettiva, gli avanzamenti matematici non avrebbero alcuna rilevanza metafisica e troverebbero il loro uso appropriato solo nel “rendere più veloci i jet”. Per cui tali considerazioni matematiche “nemmeno scalfiscono la superficie” del problema metafisico di Zenone.
Benché le diverse possibili formalizzazioni vadano sempre usate con spirito critico, esse di fatto consentono una formulazione rigorosa dei problemi e un’analisi delle possibili soluzioni che difficilmente si possono raggiungere con il linguaggio ordinario della filosofia. Perciò prendiamo le distanze da queste forme di misticismo, che oggi purtroppo sono alquanto comuni.»

...

"In questo mondo capriccioso, nulla è più capriccioso della fama presso i posteri. Una delle più notevoli vittime della mancanza di senno è Zenone di Elea. Malgrado abbia inventato quattro argomentazioni tutte smisuratamente sottili e profonde, la stupidità dei filosofi all’lui successivi proclamò che Zhai non è non era altro che un ingegnoso giocolieri e le sue argomentazioni erano tutti sofismi.
Dopo 2000 anni di continua confutazione, questi sofismi sono stati nuovamente enunciati e formano la base di una rinascita della matematica, a opera di un professore tedesco, il quale probabilmente non aveva sognato che esistesse qualche legame fra lui e Zenone."

Bertrand Russell - Principia Matematica

lunedì 13 agosto 2018

sabato 11 agosto 2018

venerdì 10 agosto 2018

Il mio dramma "I Pitagorici" di nuovo in scena a Torino

A novembre il mio dramma "I Pitagorici" tratto da “Il mistero del suono senza numero” sarà di nuovo in scena. Stavolta presso il Palazzo Campana, sede del Dipartimento di Matematica "Giuseppe Peano" dell'Università di Torino. Come nella messa in scena del 2016 danza e scenografia virtuale arricchiranno la recitazione di Maria Rosa Menzio e Simonetta Sola.

20 novembre 2018 h 17 – Torino, Palazzo Campana: “I PITAGORICI”



Dal libro “Il mistero del suono senza numero” di Flavio Ubaldini si dipana un racconto che spazia dalla scuola dei Pitagorici fino ai giorni nostri. Ippaso, un giovane atletico e brillante, il più dotato tra gli allievi della scuola di Pitagora, ma anche il più ribelle e arrogante, ha un amore segreto: Muia, la figlia di Pitagora. Rispondendo a una domanda di lei, fa una scoperta che lo metterà in pericolo, tanto che dovranno passare molti secoli per interpretare quella scoperta. Ma qual è il segreto che i Pitagorici vogliono preservare a tutti i costi? E’ un segreto che potrebbe fornire la chiave per l’interpretazione e il controllo dell’Universo. Ma Ippaso si accorge che c’è qualcosa che non va. C’è un numero che manca. C’è un suono di troppo. E qualcuno trama nelle tenebre per impedire il crollo della dottrina pitagorica. Dal giorno in cui Ippaso viene accolto nella scuola, ai problemi con gli altri discepoli (Milone e Filolao), alla scoperta della non esistenza di una frazione che rappresenti la diagonale di un quadrato di lato 1, all’amore per Muia, poi l’espulsione, l’ira degli Dei contro Pitagora e la condanna alle varie reincarnazioni, si arriva fino a Richard Dedekind e alla scoperta del “Taglio” con cui si risolve la questione (nel 2016 ricorre il centenario della morte di Dedekind).

SEMINARIO a cura di LIVIA GIACARDI

mercoledì 1 agosto 2018

Un matematico italiano vince la medaglia Fields!

Un matematico italiano vince la medaglia Fields! Non succedeva da 44 anni.

Di che cosa si occupa esattamente Alessio Figalli, medaglia Fields 2018?

Breve biografia scientifico-professionale di Alessio Figalli e alcuni materiali di approfondimento.








Gli altri vincitori sono: Caucher Birkar, Peter Scholze e Akshay Venkatesh.

Caucher BirkarUniversity of Cambridge-"for his proof of the boundedness of Fano varieties and for contributions to the minimal model program"
Alessio FigalliSwiss Federal Institute of Technology ZurichSwiss Federal Institute of Technology Zurich"for his contributions to the theory of optimal transport, and its application to partial differential equations, metric geometry, and probability"
Peter Scholze"for transforming arithmetic algebraic geometry over p-adic fields through his introduction of perfectoid spaces, with application to galois representations and for the development of new cohomology theories."
Akshay Venkatesh"for his synthesis of analytic number theory, homogeneous dynamics, topology, and representation theory, which has resolved long-standing problems in areas such as the equidistribution of arithmetic objects."[94]

martedì 31 luglio 2018

Congresso Mondiale dei Matematici e medaglie Fields 2018

Ricevo da Roberto Natalini​ e condivido.

Domani è una giornata importante per i matematici di tutto il mondo. Si apre infatti il Congresso Mondiale dei Matematici e verranno annunciate le medaglie Fields 2018.

La cerimonia sarà in streaming dal sito del congresso (23) a partire dalle ore 13e30 italiane (8e30 a Rio).
MaddMaths​ vi aggiornerà sul sito e nei social sulle news più importanti.
Si comincerà però a parlarne anche prima, alle 11e30 su Radio3 Scienza.

Matematici in attesa - Mercoledì 1 agosto dalle 11.30 alle 12.00

Si apre domani a Rio de Janeiro il Congresso internazionale dei matematici che si tiene ogni quattro anni. Grande l'attesa per il conferimento delle medaglie Fields, considerato come il premio Nobel della matematica.  Enrico Arbarello e Roberto Natalini ci raccontano come si decide la sua assegnazione.
Al microfono Marco Motta

venerdì 6 luglio 2018

Le connessioni tra matematica e musica - "From Music to Mathematics: Exploring the Connections"

Libera traduzione da "From Music to Mathematics: Exploring the Connections" di Gareth E. Roberts.

"Le connessioni tra matematica e musica da un punto di vista strutturale sono abbondanti. Entrambi usano una forma speciale di notazione per comunicare le loro idee. Ogni soggetto ha una sua struttura logica e un insieme di assiomi finemente messi a punto su secoli di studio.

Gli studenti del liceo apprendono le tecniche assiomatiche di Euclide per scrivere le loro prime dimostrazioni.
Gli studenti di teoria musicale apprendono le regole della scrittura vocale a quattro parti, cercando di evitare le quinte e le ottave parallele, per comprendere meglio l'armonia.

I matematici usano i numeri come gli elementi costitutivi invariabili della loro teoria mentre i musicisti usano le altezze dei suoni come comun denominatore delle loro creazioni.

Così come il numero 3 ha lo stesso significato astratto per i matematici di tutto il mondo, la frequenza del la a 440 HZ, usata per accordare le orchestre moderne, è uno standard globale.

A prima vista, la matematica è spesso considerata una scienza "dura", mentre la musica è considerata una materia umanistica. Tuttavia, oltre ai molti tratti strutturali condivisi, ci sono anche diversi legami estetici e artistici tra le due discipline.

Ad esempio, entrambi i campi hanno prodotto grandi  bambini prodigio, come Mozart e Gauss. I genitori fanno ascoltare Bach e Beethoven ai loro bambini al fine di favorire lo sviluppo del cervello e le capacità analitiche. Molti matematici sono musicisti eccezionali, mentre molti musicisti, in particolare i compositori, possiedono acute menti matematiche.
Gli studiosi parlano spesso della "bellezza" e della "purezza" della matematica, e le stesse descrizioni  possono  applicarsi anche alla musica.
La musica ha l'ovvia capacità di muovere lo spirito, ma anche le grandi scoperte e le grandi intuizioni matematiche sono spesso accompagnate da un senso di esaltazione travolgente. Il grande matematico contemporaneo Andrew Wiles ha pianto davanti alle telecamere mentre parlava della sua incredibile dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat.
Ed è evidente che compositori e musicisti, consapevoli o meno, usino concetti matematici nelle loro creazioni."

domenica 1 luglio 2018

Non ci si può muovere contando - "La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini" di Paolo Zellini

L'ultima volta abbiamo visto come Zellini dà ragione a Zenone ritenendo che Weierstrass, col bandire rigorosamente tutti gli infinitesimali, dimostrò finalmente che viviamo in un mondo immutabile, e che la freccia, in ogni singolo istante del suo volo, è realmente in quiete. L’immobilità prevale sul movimento che può essere interpretato attraverso le sole coordinate dello spazio-tempo, e quindi per via di successive posizioni fisse e puntuali. Per cui «La meccanica può spiegare il movimento solo attraverso l’immobilità».

Oggi proseguiremo ancora su quel tema riportando le considerazioni che spingono Zellini a concludere: "nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

"Come spiegava Russell, «infinità e continuità appaiono insieme nell’aritmetica pura» (Principles, par. 435). Fu questa conquista dell’intelletto a presentarsi come un rimedio alle difficoltà che Zenone aveva sollevato circa la natura del movimento e la composizione del continuo. La soluzione moderna del paradosso di Achille si basò sull’assumere come reale o possibile proprio ciò che Zenone considerava paradossale, cioè, nel commento di Russell, l’assenza di uno stato di moto: un sacrificio che salvava un dato irrinunciabile, l’esistenza attuale delle cose. Un’entità attuale, notava Whitehead, non si muove: essa è dove è ed è ciò che è. Russell sosteneva che la nozione di uno stato di moto non è fondata, perché il movimento è fatto di posizioni atomiche occupate in determinati istanti, entrambi valutabili mediante numeri reali, corrispondenti a punti della retta. Aristotele (Fisica, 234 a 24 sgg.) aveva dimostrato che nulla può muoversi in un istante fissato, e che perciò il tempo non è fatto di istanti. Russell rispondeva che in effetti è vero, nell’istante nulla si muove, e che questo è compatibile con una teoria coerente del continuo aritmetico provvisto di metrica euclidea, come era stato elaborato da Weierstrass, da Dedekind e da Cantor. Solamente così si poteva garantire la realtà di ciò che muta e si muove. Il paradossale diventava reale...

La matematica è sempre stata un’arte del paradosso, e le sue formule hanno spesso suscitato una reazione d’incredulità nello stesso scienziato che le ha scoperte o ideate. Ma la matematica è anche un’arte di costruire simulazioni e modelli fedeli, fin dove è possibile, delle nostre concezioni comuni, mediante definizioni e teorie in grado di farci riconoscere ciò che ci attendiamo. A quell’impercettibile forzatura che si coglie nei commenti di Russell, seguì l’esplicito imbarazzo del commento al primo paradosso sul moto di Zenone da parte di Hilbert e di Bernays, fatto proprio, successivamente, anche da Stephen Kleene: C’è una soluzione molto più radicale del paradosso. Questa consiste nel prendere atto che non siamo obbligati in nessun modo a credere che la rappresentazione matematica del moto in termini di spazio e tempo sia fisicamente significativa per intervalli di spazio e di tempo arbitrariamente piccoli; piuttosto abbiamo ogni ragione di supporre che quel modello matematico estrapola i fatti di un certo dominio di esperienza, cioè i movimenti entro ordini di grandezza finora accessibili alla nostra osservazione, nel senso di una semplice costruzione concettuale, analoga al modo in cui la meccanica dei continui effettua un’estrapolazione in cui si assume che lo spazio sia riempito, in modo continuo, di materia.
...
La situazione è simile in tutti i casi in cui si crede possibile esibire direttamente un infinito [attuale] come dato dall’esperienza o dalla percezione
...
Un esame più attento mostra allora che un’infinità non ci è data in nessun modo, ma è interpolata o estrapolata per via di un procedimento intellettuale. Non c’era però altra via se non appunto quella di estrapolare, di completare i fatti dell’esperienza con un modello matematico del continuo, riconducibile a sua volta, come notò Hermann Weyl, a una mera costruzione simbolica. Aristotele (Fisica, 263 a 25-30) osservava che se si divide ripetutamente il continuo in due metà non possono risultare continui né la linea né il movimento. Il movimento, precisava, è proprio di un continuo, e nel continuo ci sono, è vero, infinite metà, ma solamente in potenza, non in atto. In termini più semplici si potrebbe riassumere così: è assurdo pensare che ciò che si muove si muova contando. Ma allora era chiaro che il movimento e la continuità della retta non potevano trovare una spiegazione nei soli numeri naturali con cui si contano le cose una per una. Si sarebbe resa necessaria una teoria più generale del numero e una estensione dell’idea di attualità o di entelechia a quelli che alla fine del XIX secolo si sarebbero chiamati, non a caso, numeri reali."

Altre considerazioni correlate:
Zellini e l'ontologia della matematica
Roberto Natalini e il rapporto tra matematica e realtà

sabato 30 giugno 2018

Il mistero della bicicletta scomparsa

Il giorno prima della partenza per Palermo Zucchero era uscita a fare delle compere ed era tornata molto tardi e trafelata: le si era sganciata la catena ed era dovuta tornare a piedi trascinando la bicicletta.

Vista la frenesia dei preparativi per il viaggio abbiamo rimandato il riaggancio della catena a dopo il ritorno.

Lunedì sono sceso per l’operazione ma la bici non c’era.
– Noo! Me l’hanno rubata! Ci ero così affezionata!
– Ma sei sicura di averla chiusa con il lucchetto?
– Mi pare di sì. Però, con lo sconforto che avevo, potrebbe essermi sfuggito.

Senonché, dopo avere elaborato il lutto per la compianta, ieri pomeriggio ci siamo recati dal ciclista del quartiere per l’acquisto di una sostituta.

Appena scesi Zucchero ha dato uno sguardo al nostro parcheggio delle biciclette e mi ha chiesto:
– Non è ricomparsa vero?

Abbiamo continuato e dopo 50 m Zucchero ha esclamato:

– Eccola!

Era lì solitaria e abbandonata al bordo della strada. Forse io non l’avrei neppure notata. Inizialmente non siamo riusciti a spiegarci chi potesse averla presa e poi lasciata dopo 50 m. Una mia prima ipotesi: forse effettivamente non era stata legata e qualche ragazzo, avendo urgenza di spostarsi rapidamente, ha pensato di prenderla per poi riportarla alla fine dell’incombenza.

Poi Zucchero, osservando alcuni fatti, ha formulato un’ipotesi più plausibile e insieme siamo riusciti a elaborare una teoria più probabile di come possano essersi svolti i fatti.

Le osservazioni che ci hanno condotto all’elaborazione della nuova teoria sono essenzialmente due:

1. Il lucchetto - di scarsissima qualità - era scomparso senza lasciare segni.

2. La catena era ancora sganciata.

Qual è secondo voi la teoria più probabile?

mercoledì 27 giugno 2018

Matematica e musica al premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura

Il 23 giugno ho parlato di "Matematica e musica" nella Sala delle Lapidi del Palazzo delle Aquile, il municipio di Palermo, nell'ambito del premio-UMI Archimede: Matematica è Cultura.


È stata un'esperienza molto positiva e ho ricevuto commenti assai incoraggianti. Inclusi un paio di probabili inviti per eventi futuri.

Ringrazio molto la professoressa Elena Toscano per lo straordinario supporto, il suo allievo Pietro Figlia per la collaborazione musicale e la professoressa Cinzia Cerroni per avermi invitato.


Ho avuto anche l’opportunità di assistere alla premiazione e alle presentazioni dei ragazzi.
Tutti molto bravi. Ma alcuni avevano doti dialettiche davvero eccezionali.
Alla fine ho anche avuto una piacevole conversazione con il sindaco, Leoluca Orlando, a cui qualcuno aveva detto che abito a Heidelberg e che quindi è voluto venire a intrattenersi con me sui begli anni dei suoi studi nella mia città di adozione.

50

Ho trovato inoltre molto interessanti le relazioni di Carlo Toffalori su Matematica e letteratura e quella di Valeria Patera su Scienza e teatro.
Lascio infine un po' di bellezze palermitane con l'auspicio di tornare a vederle presto.
La prima foto l'ho scattata da una finestra del Palazzo delle Aquile.







Qui i racconti delle mie altre presentazioni di Crotone, Arce, Heidelberg, Scandriglia, BariFrancoforte e Roma.