martedì 22 dicembre 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 16: il basso medioevo in Europa: Gerberto di Aurillac, Logica e Filosofia scolastica

Dicevamo quindi che dal secolo VIII fino alla fine del Medioevo i matematici più importanti scrivevano in arabo e vivevano nel mondo afro-asiatico di cultura islamica, mentre a metà del secolo XV i matematici più eminenti scrivevano in latino e vivevano nell'Europa cristiana.

È facile immaginare che questo passaggio di testimone non avvene improvvisamente.

Il periodo più buio per la Matematica europea furono i primi secoli dell'Alto medioevo.
Abbiamo infatti già visto che tra il VII e l'VIII secolo in Europa si poteva sentire soltanto il graffiare della penna del Venerabile Beda (672 - 735) che non viene certo citato per la rilevanza dei suoi lavori quanto piuttosto per l'unicità della sua voce tra le sabbie di un deserto culturale.

Qualcosa cominciò a muoversi di nuovo verso l'anno mille, all'inizio cioè di quello che viene definito il Basso Medioevo.

Gerberto di Aurillac (940 circa - 1003), primo papa francese, che prese il nome di Silvestro II, fu forse il primo ad insegnare l'uso delle cifre indo-arabiche nell'Europa cristiana. Sistema di numerazione che Gerberto aveva probabilmente appreso durante il suo soggiorno giovanile a Barcellona, soggiorno in cui dovette sicuramente avere dei contatti con la cultura moresca. Le cifre in uso nella Spagna dei Mori erano quelle arabe di forma occidentale:



Furono quindi questo tipo di cifre a diffondersi in Europa. A questo proposito ricordo che durante il nostro viaggio in Giordania rimasi molto sorpreso dal fatto che le loro cifre fossero diverse dalle nostre: ma come! - mi dicevo - Sin da bambini abbiamo appreso che le nostre cifre sono arabe e quelle che usano qui sono diverse?!
La spiegazione risiede proprio nelle varie forme (occidentale, orientale, ecc.) in cui le cifre arabe si sono diffuse.



Per quanto riguarda il periodo di Gerberto si può aggiungere che l’Europa non era ancora pronta a sviluppi nel campo matematico. Per molti secoli l’atteggiamento dei cristiani non era stato diverso da quello dei musulmani ai tempi della conquista dell'Egitto (639 d.C.): la ricerca scientifica era diventata superflua in quanto tutte le risposte si sarebbero dovute trovare nei testi sacri.

Inizialmente i pochi progressi, piuttosto che nel campo della Matematica, avvennero soprattutto nell'ambito della Logica, i cui aspetti matematici non erano ancor molto approfonditi. Fu solo nella seconda metà del XIX secolo che la logica tornerà a studiare gli aspetti formali del linguaggio e a essere trattata con metodi naturalistici. Si arrivò così allo sviluppo della Logica matematica.
La Logica venne sviluppata soprattutto nell’ambito della Filosofia scolastica. Tra i vari aspetti della Logica esplorati dai filosofi scolastici ci fu anche la Logica modale. Disciplina con la quale anch'io nella mia vita ho avuto un incontro ravvicinato. Per la mia tesi di laurea tentai di dimostrare il teorema di completezza per la logica modale intuizionista (dovrei dire per la precisione il teorema di completezza per un certo sistema assiomatico ed una certa semantica della logica modale intuizionista ).
Riuscii però a dimostrare solo il teorema di correttezza e qualche altro risultato. Spesi molti mesi nel tentativo di dimostrare anche il teorema di completezza. Quando stavo per arrendermi il mio relatore mi disse: se non riesci a dimostrare tale teorema dovresti riuscire a dimostrare la negazione dello stesso. In realtà non è proprio così. Infatti per i teoremi di incompletezza di Gödel esistono verità non dimostrabili. Inoltre per il teorema di indecidibilità esistono proposizioni per cui non è possibile dimostrare né la loro affermazione e né la loro negazione. Ma questo lo vedremo tra diverse puntate. Nella prossima puntata parleremo invece di Anselmo d'Aosta e Guglielmo di Ockham.

Indice della serie

lunedì 14 dicembre 2009

Carnevale della Matematica #20

Oggi è il 14 dicembre. Non può quindi mancare l'appuntamento con il Carnevale della Matematica. L'edizione è la numero 20.
Stavolta ad ospitarlo è il blog Matem@ticaMente.




Come al solito ci sono moltissimi articoli interessanti.
Il mio umile contributo viene introdotto in questo modo:

6. Dioniso del Blogghetto ci invia Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 13: i matematici islamici, l'Algebra e il ritorno di Pitagora con cui continua il suo certosino percorso di ricerca storica tra Numeri e Geometria. La parte 13 è dedicata ai matematici islamici che introdussero un nuovo approccio rivoluzionario; un approccio algebrico che si spostava dalla concezione greco - platonica della matematica, essenzialmente geometrica,...ma andate a leggere!


martedì 24 novembre 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 9 bis: ascea e declino della Biblioteca di Alessandria: Ipazia

"Inventò l'astrolabio, il planisfero e l'idroscopio. Poi un giorno, qualcuno ordinò: 'uccidete Ipazia'".

Viste le discussioni che recentemente si sono generate intorno alla figura di Ipazia di Alessandria (tra il 350 e il 370 – marzo 415 - Alessandria d'Egitto) mi sento in dovere di colmare una lacuna della nona puntata di questa mia serie.

Qui sicuramente vi chiederete, com'è possibile che nel XXI secolo si sia generata una discussione sulla figura di una donna matematica e filosofa vissuta tra il IV e il V secolo? Chi dobbiamo ringraziare per questo miracolo? Bè, certamente buona parte dei meriti vanno al regista spagnolo Alejandro Amenábar, direttore dalla pellicola Agorà. Agorà è stata girata in lingua inglese ed è uscita il 9 Ottobre in Spagna. La pellicola racconta per l'appunto la vita di Ipazia e il suo assassinio perpetrato da una folla di cristiani inferociti nel Marzo del 415.
La discussione è stata innescata sia dalla pellicola in se - che lodevolmente riaccende i riflettori su una figura quasi dimenticata anche se storicamente, culturalmente ma anche simbolicamente importante - che dal fatto che il film non è ancora stato distribuito in Italia.

Dicevo di voler colmare una lacuna della nona puntata di questa mia serie.
La vicenda di Ipazia va infatti sicuramente inquadrata tra gli eventi della fase di declino della Biblioteca di Alessandria (o da un punto di vista più generale tra gli eventi della fase di declino della cultura antica spazzata gradualmente via dalle nuove idee della società cristianizzata). Nella nona puntata di questa mia serie avevamo per l'appunto parlato dell'ascesa e del declino della Biblioteca di Alessandria. E fu proprio nell'ambito di quell'eccezionale contesto culturale che Ipazia si formò, introdotta alla Scienza da suo padre Teone, geometra e filosofo d’Alessandria.
Ipazia è ricordata come la prima donna matematica storicamente nota e come una delle scienziate più famose dell'epoca. Arrivò addirittura ad essere direttrice della Biblioteca di Alessandria.

Sul motivo per cui la pellicola di Amenábar probabilmente non giungerà in Italia ci sono sostanzialmente due interpretazioni.

C’è chi sostiene che questo dipenda soprattutto dal fatto che la Chiesa si opporrebbe alla distribuzione, visto che il mandante del barbaro assassinio di Ipazia sarebbe stato Cirillo di Alessandria, santo, dottore e padre della Chiesa celebrato il 27 Giugno.
Citando il Numero 130 della rivista Rudi Mathematici "La figura di Cirillo non è secondaria, se appena due anni fa, da piazza San Pietro, papa Benedetto XVI ha ribadito la sua perfetta aderenza al pensiero cristiano".

Per quanto riguarda l'altra interpretazione cito di nuovo la rivista Rudi Mathematici: "Non vogliamo crederci (n.d.D. alla prima interpretazione): paradossalmente, sarebbe quasi una lusinga speciale, per il pubblico
matematico italiano, quella di essere riusciti ad attrarre l’attenzione preoccupata del Vaticano. Temiamo che la ragione sia più banale, persino più triste: ovvero che i distributori del film pensino che distribuire Agorà in Italia sia semplicemente un cattivo affare, che non ne valga la pena."

A ancora sulla figura di Ipazia: "Certo è che ci piacerebbe davvero che di Ipazia si tornasse a parlare. È un personaggio dal fascino e dalla bellezza assoluti, non solo per i cultori della matematica e della scienza. È il simbolo della conoscenza e della propagazione della conoscenza, e come tale un simbolo profondamente femminile. È una martire, ma martire pagana, civile, oseremmo dire martire della ragione, e sicuramente martire della scienza. Anche se rinunciamo a prendercela con Sant’Agostino, per il quale “matematici” era un insulto, vorremmo però quantomeno avere la libertà di innamorarci di questa donna che viveva di libri e di scienza, di matematica e di filosofia."

Quale che sia l'interpretazione voglio comunque pubblicizzare su questo blog la petizione affinché la pellicola di Amenabar venga distribuita in Italia. Riporto quindi la locandina con la petizione.


http://www.petitiononline.com/agorait/petition.html

Qui invece troverete la puntata del Terzo Anello: Radio3 Scienza dedicata ad Ipazia: Tutti pazzi per Ipazia

E questo infine è il trailer (madonna mi è scappato un anglicismo! ;-):


Puntata successiva della serie

Indice della serie

sabato 14 novembre 2009

Carnevale della Matematica #19

Oggi è il 14 novermbre. Non può quindi mancare l'appuntamento con il Carnevale della Matematica. Il numero di oggi è il 19.
Stavolta ad ospitarlo è il blog Prooof.



Come al solito ci sono moltissimi articoli interessanti.
Il mio umile contributo viene introdotto in questo modo:

dioniso continua, dal suo blogghetto, a raccontarci un percorso storico tra numeri e geometria: siamo alla dodicesima parte, in cui si parla di Al-Khwārizmī.

mercoledì 14 ottobre 2009

Carnevale della Matematica #18

Così come il 14 dei mesi precedenti oggi è arrivato puntuale il Carnevale della Matematica. Stavolta è il blog Science Backstage ad ospitarlo. L'edizione è la numero 18.

Come al solito ci sono moltissimi articoli interessanti.
Il mio umile contributo viene introdotto in questo modo:

Il terzo posto tocca a dioniso che sul suo Blogghetto prosegue con il suo Percorso storico tra numeri e geometria:
Parte 10: riepilogo, monoteismo Egizio e matematici arabi
Parte 11: la Matematica Islamica

lunedì 21 settembre 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 15: l'alto medioevo tra Europa e mondo bizantino

Che succedeva nell'Europa cristiana nell'ambito della Matematica durante i secoli d'oro della Matematica islamica?
Ben poco.
Abbiamo già visto che con la caduta dell'Impero romano d'Occidente era cominciato quel declino culturale che sarebbe durato diversi secoli; e anche che la distruzione della Biblioteca di Alessandria fu un altro duro colpo che inflisse un'accelerazione a tale declino.

Carl Benjamin Boyer, nella sua celebre opera, "Storia della matematica", propone il 529 d.C. come data d'inizio del periodo medievale per la storia della Matematica. In quell'anno infatti l'imperatore bizantino Giustiniano indusse alla chiusura le illustrissime scuole filosofiche di Atene, che avevano prodotto una quantità enorme di conoscenza nei secoli precedenti. Tra queste scuole c'era anche l'Accademia fondata da Platone, la cui storia comprendeva un arco di quasi nove secoli.

La motivazione principale che spinse l'imperatore cristiano Giustiniano verso tale decisione fu il fatto che queste scuole affondavano le proprie secolari radici nell'humus culturale pagano e non sarebbero state quindi facilmente assimilabili alle nuove ideologie dominanti. È interessante notare che le persecuzioni dei pagani nei confronti dei cristiani, che secondo alcuni storici e teologi sarebbero abbondantemente sovrastimate, vengono ricordate in continuazione; mentre le persecuzioni dei cristiani nei confronti dei pagani vengono raramente citate.

"Il Codice Giustiniano conteneva due statuti che decretavano la totale distruzione dell'Ellenismo, anche nella vita civile. Queste disposizioni vennero attuate con zelo. Le fonti contemporanee (Giovanni Malala e Giovanni di Efeso) ci parlano di gravi persecuzioni perpetrate anche nei confronti di uomini altolocati."

Dopo la chiusura delle scuole filosofiche, gli studiosi che le avevano animate si dispersero in varie direzioni all'interno dell'Impero Bizantino.
Molti di essi raggiunsero anche la Persia; e la cultura greca che ivi fiorì divenne parte, un secolo dopo, del mondo arabo, costituendo forse una delle cellule fondanti della Matematica islamica.
Nel mondo bizantino la cultura matematica andò invece decadendo. I contributi dei matematici bizantini furono di livello piuttosto elementare e consistettero prevalentemente nella conservazione e nel commento dei tesori antichi.

Nell'Europa occidentale le cose andavano anche peggio. Senza incorrere nell'errore di estendere il giudizio a tutto il Medioevo nel suo complesso, si può tranquillamente asserire che gli anni dell'Alto Medioevo furono veramente gli anni bui della Scienza europea. Dal secolo VIII fino a metà del secolo XV i matematici più importanti scrivevano in arabo e vivevano nel mondo afro-asiatico di cultura islamica. In seguito il baricentro si spostò di nuovo verso l'Europa cristiana in cui si usava il latino; ma questo lo vedremo in seguito.

Qualcuno disse che in quegli anni in Europa si poteva sentire soltanto il graffiare della penna del Venerabile Beda (672 - 735) che in Inghilterra scriveva di temi piuttosto ridicoli, quali la rappresentazione dei numeri per mezzo delle dita e la Matematica necessaria al calendario ecclesiastico. Se non altro almeno sosteneva che la Terra fosse rotonda "come una palla da gioco" ed effettuò addirittura un calcolo approssimato dell'età della Terra cominciando a dividere gli anni in prima di Cristo e dopo Cristo.

Un altro nome marginale che si può citare è quello di Alcuino da York (Northumbria 735 – Tours 804) convocato da Carlomagno a dare nuova vitalità all'istruzione in Francia; ma i suoi contributi alla Matematica furono prossimi alla zero.

Nella prossima puntata cominceremo a parlare del basso medioevo in Europa con Gerberto di Aurillac e la Logica degli scolastici.

Indice della serie

martedì 15 settembre 2009

Carnevale della Matematica #17

Così come il 14 dei mesi precedenti ieri è arrivato il Carnevale della Matematica. Stavolta è il blog GRAVITÀ ZERO ad ospitare l'edizione numero 17.

Ci sono moltissimi articoli interessanti.
Il mio umile contributo viene introdotto in questo modo:



Dioniso, sta preparando una storia della matematica, anzi "Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria - come spiega - ... per quanto possa consentirlo un blogghetto"
Un percorso storico tra Numeri e Geometria che parte da Pitagora per arrivare alla fine del XX secolo. Ecco le puntate 8 e 9.
Parte 8: la Biblioteca di Alessandria: Eratostene, Diofanto e Pappo: quando frequentavate la scuola elementare la maestra vi diceva che prima di Colombo si pensava che la terra fosse piatta? Beh, è un'affermazione totalmente falsa. Vediamo perché.

Parte 9: ascesa e declino della Biblioteca di Alessandria: il numero di opere letterarie che si conservavano nella Biblioteca di Alessandria è stimato in circa 700.000 volumi. Qualcuno asserisce che si sfiorasse addirittura il milione.


Una novità di questa edizione è la seguente:

"Innanzitutto un annuncio: con intesa di .mau. si è pensato di attivare una pagina fan su Facebook del Carnevale.

Il motivo è presto detto: Facebook è oggi il canale Web più utilizzato dagli italiani (
11.301.400 persone in Italia sono iscritte al momento in cui scriviamo). Dunque non possiamo ignorarlo per raggiungere soprattutto le giovani generazioni. E così speriamo con questo piccolo contributo di allargare ad altri la passione per la bellezza di questa disciplina!"

venerdì 14 agosto 2009

La serie di Dioniso sul Carnevale della Matematica #16

La mia serie di puntate dedicate al percorso storico tra Numeri e Geometria ha avuto l'onore di essere stata citata nel Carnevale della Matematica #16.

Che cos'è il Carnevale della Matematica?

Prendo in prestito la definizione da Gravità Zero

IL CARNEVALE DELLA MATEMATICA

Il Carnevale della matematica è un’iniziativa ideata da .mau. sul modello del Carnival of Mathematics. E’ un tentativo di radunare dei blogger che parlino di matematica. Il 14 di ogni mese, un blogger si offre di scrivere un post che parli di matematica, raccogliendo i post di argomento matematico che gli sono stati segnalati, presentandoli brevemente: articoli di altri blog, software matematico, relazioni tra matematica e altre ambiti della conoscenza…insomma qualsiasi cosa abbia come tema la matematica e dintorni.

L'idea è che in questo modo si potranno conoscere nuovi blog e soprattutto nuova matematica (nel senso di "cose che non si sapevano, oppure modi nuovi di vedere le cose che si sapevano").

La data del 14 del mese coincidono con le due cifre dopo la virgola dello sviluppo decimale di π.
Le date e i luoghi su cui sono stati postati i carnevali di tutte le edizioni le potrete trovare su Gravità Zero

Questo è quanto .mau. scrive relativamente alla mia serie

Cosa è successo di bello nell'orticello matematico italiano online? parecchie cose, nonostante il caldo estivo.
Iniziamo con una new entry, Dioniso, che da qualche tempo sta preparando una storia della matematica, anzi "Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria". Come dice lui stesso, Dopo aver riascoltato una trasmissione radiofonica di Piergiorgio Odifreddi ho pensato di ripercorrere e approfondire (per quanto possa consentirlo un blogghetto) l'avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria che parte da Pitagora per arrivare alla fine del XX secolo. Ecco le prime puntate. ♦ I pitagorici, quelli di "Tutto è Numero" ♦ Il crollo del castello pitagorico, con la diagonale di un quadrato che non è un numero ♦ Il grande contributo dei pitagorici, l'idea di dimostrazione ♦ Platone e le forme geometriche: "quasi nulla è Numero", ma ... ♦ Euclide, o della Rifondazione Matematica; ♦ gli Elementi di Euclide: sistematizzazione e nascita del metodo assiomatico ♦ la Biblioteca di Alessandria: Archimede: il mondo matematico si ellenizza.

mercoledì 29 luglio 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 14: Omar Khayyám e altri risultati della matematica islamica

Nella puntata precedente abbiamo visto come i matematici islamici introdussero nuova metodologia algebrica che reincorporava, almeno da un punto di vista pratico, l'idea pitagorica (Tutto è Numero) ed unificava numeri razionali, numeri irrazionali, e grandezze geometriche trattando tutte queste entità in gioco come "oggetti algebrici".

Dicevamo inoltre che un altro matematico islamico illustre, il cui contributo allo sviluppo della Matematica è forse paragonabile a quello di al-Khwārizmī è Omar Khayyám (Nīshāpūr 1048 – 1131 d.C.).


Omar Khayyám scrisse un libro sull'Algebra che estendeva i risultati dell'Al-Jabr di al-Khwārizmī includendo le equazioni di terzo grado. Per tali equazioni però Omar Khayyám fornì solamente soluzioni basate su metodi geometrici (intersezioni di coniche) credendo erroneamente che fosse impossibile trovare soluzioni basate su metodi aritmetici.
Soluzioni basate su metodi aritmetici vennero trovate quasi mezzo millennio dopo dal matematico italiano Scipione Dal Ferro. Anche se Niccolò Tartaglia, e Girolamo Cardano inscenarono un'accesa, patetica e gretta controversia per accaparrarsi la paternità dei metodi risolutivi.

Omar Khayyám fu anche un grande precursore dei tempi in campo geometrico. Un altro suo grande risultato consistette infatti nel primo tentativo di formualzione di un postulato non-Euclideo come alternativa al quinto postulato Euclideo sulle parallele. Questione che venne definitivamente risolta in Europa solo nel XIX sec. prevalentemente ad opera di Gauss e Riemann.
In qualche modo quindi Omar Khayyám, anche se un po' inconsapevolmente, fu il primo a considerare le Geometrie non-Euclidee. In particolare la Geometria ellittica e quella iperbolica, anche se Khayyám escluse la seconda.

Tra le altre curiosità della matematica islamica che andrebbero citate c'è sicuramente l'origine dell'uso del simbolo x come variabile incognita.
Parrebbe che questo uso si possa far risalire all'uso della parola araba “šay'” (شيء ), che significa “cosa”, nei testi di Algebra islamici (anche in Al-Jabr) a significare appunto "variabile incognita".
Tale parola entrò quindi nelle traduzioni in Spagnolo con la pronuncia “šei”, che veniva translitterata in “xei” e che presto venne abbreviata con una “x”.

Un altro primato che va anche citato è quello dell'uso per la prima volta della dimostrazione per induzione.
La prima occorrenza nota di tale metodo si trova nell'opera al-Fakhri, scritta intorno all'anno 1000 da Al-Karaji. Il metodo viene usato per dimostrare sequenze aritmetiche com il triangolo di Tartaglia.

Dalla prossima puntata abbandoneremo i matematici islamici per spostarci di nuovo verso l'Europa cristiana.

Indice della serie

giovedì 9 luglio 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 13: i matematici islamici, l'Algebra e il ritorno di Pitagora

Nella puntata precedente abbiamo visto che il lavoro di al-Khwārizmī sulle equazioni algebriche portò alla nascita di un'opera che sarebbe divenuta un punto di riferimento per lo sviluppo dell'algebra moderna.

Stando a quello che J. J. O'Conner e E. F. Robertson scrivono nel MacTutor History of Mathematics archive, forse uno dei progressi più significativi dei matematici islamici fu proprio l'introduzione e lo sviluppo di una loro metodologia algebrica. Questo nuovo approccio algebrico rappresentava un nuovo rivoluzionario spostamento dalla concezione greco-platonica della Matematica, che era essenzialmente geometrica. La nuova metodologia algebrica reincorporava, almeno da un punto di vista pratico, l'idea pitagorica (Tutto è Numero) ed unificava numeri razionali, numeri irrazionali, e grandezze geometriche trattando tutte queste entità in gioco come "oggetti algebrici". Si potrebbe quindi a posteriori attribuire ai matematici islamici (un po' arbitrariamente) il motto ottenuto da una parafrasi di quello pitagorico: Tutto è Algebra.

I matematici islamici furono quindi i primi a trattare nella pratica i numeri irrazionali come oggetti algebrici. Anche se una vera giustificazione teorica rigorosa di tale prassi la troverà Dedekind diversi secoli dopo.
Ma come riuscirono a mettere in pratica ciò che non era riuscito ai pitagorici ? Beh, da un punto di vista puramente tecnico-sintattico non fecero nulla di eccezionale: accettarono semplicemente l'idea che anche le grandezze irrazionali, come la misura della diagonale del quadrato, potessero essere trattate alla stregua degli altri Numeri. Estesero quindi le operazioni aritmetiche alle grandezze irrazionali e si accorsero che le cose funzionavano. Visto a posteriori non sembra nulla di eccezionale; ma nella realtà tale idea impresse un fortissimo impulso al progresso della Matematica: il solito Uovo di Colombo.
A questo punto non posso esimermi dal compiere un enorme balzo in avanti nel tempo e citare John von Neumann, matematico del '900, tanto grande quanto moralmente discutibile:

"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." (*)
"Ragazzo, nella Matematica le cose non si capiscono. Semplicemente ci si abitua ad esse."

Frase pronunciata in risposta ad un suo studente che chiedeva spiegazioni.

Quindi i matematici islamici semplicemente si "abituarono" a considerare e a trattare le grandezze irrazionali allo stesso modo dei numeri razionali.
La nuova metodologia algebrica risolveva quindi quella che era stata la causa del crollo del modello pitagorico. Voi mi direte, ma anche l'approccio platonico-euclideo risolveva la lacuna pitagorica. Sì, ma quello implicava un'interpretazione dei concetti numerici in un modello puramente geometrico. Il modello degli Islamici era invece puramente numerico.

Oltre ad al-Khwārizmī altri due nomi che vanno necessariamente citati per i loro contributi al nuovo approccio algebrico sono quelli di Abū Kāmil (850 d.C. – 930) e al-Karkhi (953 d.C. Karaj – 1029)

In particolare di Abū Kāmil (Shujā ibn Aslam), matematico egiziano, si può dire che sia stato il primo ad accettare i numeri irrazionali (spesso nella forma di radice quadrata, cubica o quarta) come soluzioni di equazioni quadratiche e come coefficienti di equazioni.

Un altro matematico islamico illustre, il cui contributo allo sviluppo della Matematica è forse paragonabile a quello di al-Khwārizmī è Omar Khayyám.
Ma questo lo vedremo nella prossima puntata.

Indice della serie

giovedì 25 giugno 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 12: Al-Khwārizmī

Dicevamo quindi che nelle prime fasi dell'apprendimento e dello sviluppo della Matematica gli Islamici attinsero molto ai risultati delle grandi culture che li precedettero: ovviamente da quella greca, ma anche da quella indiana e babilonese; e che fu proprio grazie alle traduzioni dei lavori dei matematici indiani effettuate dai matematici islamici che in Europa si cominciò a diffondere il sistema numerico indù che andò lentamente sostituendo gli scomodi sistemi numerico-alfabetici romano e greco.
Abbiamo anche visto che un altro grande dono dei matematici indiani veicolatoci dai matematici islamici fu lo Zero.

Il più celebre tra i matematici islamici è sicuramente Al-Khwārizmī
(محمد خوارزمی Corasmia o Baghdad, 780 circa – 850 circa).

Produsse risultati rilevanti in diversi campi del sapere matematico-scientifico, come la trigonometria, l'astronomia/astrologia, la geografia e la cartografia.

Il suo nome però è inestricabilmente legato agli algoritmi e all'Algebra.
Le stesse parole "algoritmo" (o "algorismo") e "algebra" derivano rispettivamente da Algoritmi, la latinizzazione del suo nome, e dal nome del suo libro al-Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa 'l-muqābala (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة), scritto verso l’825 e tradotto in latino nel XII secolo con il titolo “Algoritmi de numero Indorum”, che fu forse la prima opera completa sul sistema di numerazione indo-arabico. Grazie a questa traduzione tale sistema di numerazione, che introduceva anche il numero zero, si diffuse nel Vicino e Medio Oriente e successivamente in Europa.

Girolamo Cardano, nel suo Ars Magna, considera al-Khwārizmī addirittura il creatore dell'algebra.
Fu solo nel secondo decennio del XVII secolo, soprattutto grazie alla famosa traduzione in latino di Bachet (1621) dell'"Arithmetica" di Diofanto - come abbiamo già visto la prima traduzione fu di un italiano, Raffaele Bombelli, nel 1570, ma non venne mai pubblicata
- che si cominciò ad essere consapevoli anche del grande contributo di Diofanto allo sviluppo dell'Algebra.

Oggi si sa che abbozzi di metodi algebrici erano già presenti nella matematica babilonese e in quella egiziana nel II millennio a.C.

Ciò non toglie importanza al lavoro di al-Khwārizmī che raccolse materiale dalle tradizioni greca, indiana e siriaco-mesopotamica, ampliò il lavoro di Brahmagupta e di Diofanto sulle equazioni algebriche e compilando così un'opera che divenne un punto di riferimento per lo sviluppo dell'algebra moderna.

La sua opera (al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ǧabr wa-al-muqābala) si diffuse in Europa grazie soprattutto alle traduzioni in latino di Roberto di Chester a Segovia (con il titolo Liber algebrae et almucabala), nel 1145, e quella di Gerardo da Cremona.

Nella prossima puntata parleremo degli ulteriori sviluppi dell'algebra presso i matematici islamici.

Indice della serie

mercoledì 27 maggio 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 11: la Matematica Islamica

Dicevamo quindi che con la caduta dell'Impero romano d'Occidente era cominciato quel declino culturale che sarebbe durato diversi secoli; e la distruzione della Biblioteca di Alessandria fu un altro duro colpo che inflisse un'accelerazione a tale declino.
Un nuovo polo del sapere matematico (e non solo) venne però a ricostituirsi più di un secolo dopo la caduta della Biblioteca presso la cultura araba.

Per tutto il primo secolo dell'Impero Arabo Islamico i nuovi conquistatori, troppo impegnati a combattere, non avevano ancora acquisito gli strumenti intellettuali necessari a produrre risultati scientifici o matematici.

Fu solo nella seconda metà dell'ottavo secolo che il mondo islamico ebbe quel risveglio culturale che permise l'inizio delle ricerche matematico-scientifiche.

Si racconta che Aristotele sia comparso in sogno al califfo Abbaside Al-Ma'mun (786-833) e che in seguito a tale apparizione onirica il califfo abbia disposto che si traducessero in Arabo tutti i volumi greci che erano sopravvissuti alla distruzione.

Nella realtà gli Islamici furono forse spinti verso la ricerca matematica soprattutto da motivazioni un po' più prosaiche; e cioè dalla ricerca di soluzioni per l'applicazione della complicata legge islamica per l'assegnazione delle eredità, attraverso la quale svilupparono soprattutto l'Algebra; e dai tentativi di determinare quando cadessero esattamente le festività islamiche basate sulle fasi lunari, attraverso i quali svilupparono soprattutto la Trigonometria. Vorrei sottolineare che il calendario islamico pur se basato sulle fasi lunari è molto più complicato del calendario lunare.

AnimazioneQuali che fossero le motivazioni, sembra comunque che gli Islamici si sarebbero impegnati così diligentemente nell'attuazione della disposizione del califfo Al-Ma'mun che che quando l'Impero bizantino chiese un trattato di pace se lo sarebbero fatto pagare con volumi greci molti dei quali erano sopravvissuti alla distruzione della Biblioteca d'Alessandria.
Fortunatamente tra i volumi tradotti ci furono anche gli Elementi di Euclide.

Molti di questi volumi greci, tra i quali anche Gli Elementi, furono tradotti da Thābit ibn Qurra (826-901).

Nelle prime fasi dell'apprendimento e dello sviluppo della Matematica gli Islamici attinsero molto dai risultati delle grandi culture che li precedettero: ovviamente da quella greca, ma anche da quella indiana e babilonese.

Infatti, oltre a ai lavori di Euclide, Apollonio, Archimede e Diofanto, vennero acquisiti, tradotti e incorporati nella Matematica islamica anche i lavori di Āryabhaṭa (Devanagari: आर्यभट; Ashmaka, 476 – 550) e Brahmagupta(ब्रह्मगुप्त) (598 – 668).

Fu proprio grazie alle traduzioni dei lavori dei matematici indiani effettuate dai matematici islamici che in Europa si cominciò a diffondere il sistema numerico indù che andò lentamente sostituendo gli scomodi sistemi numerici romano e greco che rendevano complicate anche le operazioni più semplici.

Il sistema numerico indù, spesso anche denominato un po' impropriamente sistema numerico arabo, è il sistema numerico che abbiamo ancora attualmente in uso.
Un altro grande dono dei matematici indiani veicolatoci dai matematici islamici fu lo Zero.
Si suppone che i Maya siano stati i primi ad usare lo Zero posizionale nel loro sistema di numerazione a base vigesimale. Il Brahmasphuta Siddhānta di Brahmagupta costituisce però la fonte più antica conosciuta a trattare lo Zero come un numero a tutti gli effetti.

Con il tempo, le inclinazioni dei matematici islamici si sarebbero spostate verso l'esposizione deduttiva dei Greci preferendola agli ellittici versi sanscriti degli Indiani.

Nella prossime puntate parleremo di alcuni matematici arabi ed in particolare del più celebre tra essi.

Indice della serie

lunedì 18 maggio 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 10: riepilogo, monoteismo Egizio e matematici arabi

Breve riepilogo delle puntate precedenti:

Abbiamo visto che nel V sec. a.C. il fulcro del sapere matematico era in Calabria, a Crotone: la sede della scuola pitagorica; e che i pitagorici avevano basato il loro modello del cosmo sull'Aritmetica.

Pitagora però, prima di approdare definitivamente a Crotone e spendere lì i suoi ultimi 4 decenni di vita, aveva lasciato la sua isola natìa di Samo per viaggiare in cerca di sapere e conoscenza. Era approdato in Egitto e aveva trascorso lì qualche anno ed in seguito si era spostato a Babilonia. Nei suoi prima 40 anni di vita era quindi riuscito ad entrare in contatto diretto con le tre grandi colonne portanti del sapere di allora: il mondo ellenico, l'Egitto e Babilonia.
Questo almeno secondo quello che Giamblico scriveva circa otto secoli dopo la morte di di Pitagora. Come si può facilmente immaginare non è dato sapere dove finisca la realtà e dove cominci la leggenda.

Durante il viaggio in Egitto Pitagora dovette sicuramente entrare in contatto con la teologia del monoteismo Egizio.
Se ne rivelano infatti varie tracce nella "teologia" pitagorica che asseriva che il mondo era stato creato per mezzo dei Numeri.

Il concetto proveniva appunto dalla teologia del monoteismo Egizio: il creatore crea il mondo per mezzo della Parola, del Logos, della Logica. Nella teologia pitagorica la Parola egizia si trasforma in Numero: il creatore ha bisogno di un mezzo per creare l'universo e tale mezzo è il Numero.

In principio erat Verbum - Εν αρχη ην ο Λογος

Mentre nella teologia cristiana la Parola egizia si trasformerà in Cristo: il creatore ha bisogno di un mezzo per creare l'universo e tale mezzo è Cristo.
Quindi l'incipit del Vangelo di Giovanni, scritto 6-7 secoli dopo Pitagora, tradotto in Termini Pitagorici sarebbe stato:

In principio era il Numero
E il Numero era presso Dio
E il Numero era Dio


Sul tema della "teologia" pitagorica, mutuata da quella del monoteismo Egizio, vorrei fare una breve digressione.

Comunemente si tende probabilmente a pensare che il concetto di monoteismo sia nato in Israele con la religione ebraica.
La realtà potrebbe essere diversa: sembrerebbe che il monoteismo Egizio sia ben più antico del monoteismo ebraico. Anzi secondo alcuni il monoteismo ebraico sarebbe nato proprio durante la "cattività egiziana" del popolo ebraico e non sarebbe altro quindi che uno sviluppo del monoteismo Egizio.

Addirittura, secondo l'ipotesi di Freud esposta nel suo ultimo lavoro: "L'uomo Mosè e la religione monoteistica", Mosè avrebbe fatto parte della classe dirigente egizia ed egli stesso sarebbe stato un egizio.
La vicenda di Mosè si sarebbe svolta intorno all'anno 1350 a.C. durante il regno di Amenofi IV che condusse la rivoluzione monoteista nell'antico Egitto abolendo il politeismo. Egli stesso cambiò il suo nome in Akhenaton essendo Aton il dio unico.

Sarebbe stato a causa di una reazione che volle imporre in Egitto una controriforma di segno politeistico che avrebbe avuto inizio la storia del nuovo popolo di Mosè, fondato da chi non volle sottomettersi alla restaurazione del politeismo e che fu quindi costretto a fuggire dall'Egitto in cerca di una nuova terra per poter professare liberamente il nuovo credo monoteista. Terra promessa che dopo l'attraversamento del deserto fu trovata in Palestina.

Ma torniamo al riassunto delle puntate precedenti.
Abbiamo visto che in seguito ad un crollo logico-mistico-filosofico della scuola pitagorica - ma anche in seguito fisico, visto che la scuola venne bruciata - il modello pitagorico del cosmo basato sull'Aritmetica venne abbandonato e rimpiazzato con il modello di cosmo di Platone, basato sulla geometria.

Abbiamo anche visto che dopo la distruzione definitiva della Biblioteca di Alessandria in seguito alla conquista islamica dell'Egitto del 639 d.C. da parte del secondo califfo dell'Islam Omar ibn al-Khattāb, alcuni volumi custoditi nella Biblioteca sopravvissero: sia rimanendo in loco che venendo trasportati a Bisanzio; e che i primi vennero tradotti un paio di secoli dopo dagli Arabi, che nel frattempo si erano oramai evoluti e acculturati; e che fu proprio grazie a loro che molte di quelle opere, tradotte in seguito in latino, sono pervenute fino ai nostri giorni.

Circa un secolo e mezzo prima della distruzione della Biblioteca, inoltre, con la caduta dell'Impero romano d'Occidente era cominciato quel declino culturale che sarebbe durato diversi secoli; e la distruzione della Biblioteca di Alessandria fu un altro duro colpo che inflisse un'accelerazione a tale declino.
Un nuovo polo del sapere matematico (e non solo) venne però a ricostituirsi più di un secolo dopo la caduta della Biblioteca presso la cultura araba.

I matematici arabi ebbero il vantaggio di trovarsi in una posizione geografica che gli permetteva di accedere a tre grandi fonti di cultura: quella greca, quella babilonese e quella indiana.
Essi contribuirono alla disciplina con notevoli risultati, funzionando a volte come ponte culturale tra l'India e l'Europa e a volte come anello di congiunzione sintetica.

Nella prossime puntate parleremo dei matematici arabi ed in particolare del più celebre tra essi.

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sabato 2 maggio 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 9: ascesa e declino della Biblioteca di Alessandria

Dicevamo quindi che un nuovo polo del sapere matematico si ricostituì ad Alessandria ed in particolare nella Biblioteca di Alessandria.

In quei tempi Alessandria ospitava due fari: uno costruito con la forza muscolare ed il marmo, catalogato tra le Sette meraviglie del mondo antico, e l'altro costruito con la forza intellettuale ed il papiro, che catalogherei tra le meraviglie dell'intelletto umano. Ovviamente mi sto di nuovo riferendo alla Biblioteca.
Essa rimase per molti secoli il fulcro ed il faro della scienza antica.

Secondo alcuni studiosi (vedi anche "Le geometrie della visione" di Laura Catastini e Franco Ghione) addirittura l'ideazione del metodo scientifico sarebbe da attribuire agli scienziati della Biblioteca di Alessandria e non a Galileo Galilei.
Tra i vari esempi di applicazione del metodo scientifico si può sicuramente citare La Geografia di Claudio Tolomeo. Opera che contiene le coordinate di tutto il mondo abitato conosciuto allora: in tutto circa 8000 località.
Un altro esempio che si può citare è sicuramente anche la misurazione del meridiano terrestre da parte di Eratostene.

Il numero di opere letterarie che si conservavano nella Biblioteca di Alessandria è stimato in circa 700.000 volumi. Qualcuno asserisce che si sfiorasse addirittura il milione.

Come breve inciso volevo aggiungere che sono abbastanza convinto che quando Jorge Luis Borges scrisse il bellissimo racconto "La biblioteca di Babele" avesse in mente la Biblioteca di Alessandria; ed in un gioco di citazioni e rimandi Umbero Eco si ispirò alla biblioteca di Babele quando descrisse la biblioteca nel "Nome della Rosa". Non a caso il bibliotecario si chiamava Jorge da Burgos.

Tornando alla Biblioteca di Alessandria va sicuramente citato che la sua storia secolare fu piuttosto travagliata. Sopravvisse diverse catastrofi: distruzioni, incendi, terremoti e relative ricostruzioni. Alcune furono catastrofi naturali ma per la maggior parte furono causate da mano umana ed in particolar opera di religiosi fondamentalisti delle due grandi religioni monoteiste.

Risulterebbe che la prima catastrofe - un incendio, pare accidentale - fu opera delle truppe romane al seguito di Giulio Cesare.

Un'altro durante incendio - stavolta doloso - fu appiccato dalla comunità cristiana in seguito all'editto dell'imperatore Teodosio del 391 e su istigazione del vescovo cristiano della città, Teofilo, ostile alla cosiddetta "saggezza pagana". Chissà perché di solito si citano solo le persecuzioni dei Cristiani da parte dei Pagani (secondo alcuni storici troppo sovrastimate) e mai il viceversa.

"La biblioteca venne distrutta in modo definitivo dopo la conquista islamica dell'Egitto del 639 d.C. Fu allora che il destino della Biblioteca di Alessandria si compì tragicamente e definitivamente.
La tradizione riferisce che il secondo califfo dell'Islam Omar ibn al-Khattāb pronunciasse la celebre frase: «In quei libri o si parla di cose già presenti nel Corano, oppure d cose che del Corano non fanno parte: se sono già presenti nel Corano sono inutili, se non sono presenti allora sono dannose. Vanno quindi comunque distrutti». La parte relitta di quello che fu il centro della cultura classica fu così bruciata."

Parrebbe che alcuni volumi però sopravvissero: sia rimanendo in loco che venendo trasportati a Bisanzio. I primi vennero tradotti un paio di secoli dopo dagli Arabi che si erano oramai evoluti e acculturati. Fu proprio grazie a loro che molte di quelle opere, tradotte in seguito in latino principalmente dai benedettini, sono pervenute fino ai nostri giorni.

Immaginate invece quante furono le opere che andarono definitivamente perse nelle varie distruzioni. Chissà... Magari tra queste opere distrutte c'erano delle altre opere paragonabili ai gloriosi Elementi di Euclide....

Questa puntata è stat integrata il 24 novembre 2009 con la seguente:
Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 9 bis: ascea e declino della Biblioteca di Alessandria: Ipazia

Nella prossima puntata vedremo come dopo la distruzione della Biblioteca di Alessandria il polo del sapere matematico (e non solo) si ricostituì presso un'altra cultura.

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lunedì 20 aprile 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 8: la Biblioteca di Alessandria: Eratostene, Diofanto e Pappo

Quando frequentavate la scuola elementare la maestra vi diceva che prima di Colombo si pensava che la terra fosse piatta? A me sì.
Bè, è un'affermazione totalmente falsa. Ne parlerò in questa puntata.

Nella puntata precedente dicevamo che un nuovo polo del sapere matematico si ricostituì ad Alessandria ed in particolare nella Biblioteca di Alessandria.
Dicevo inoltre che tra i vari nomi di spicco che vorrei ricordare, oltre al già ricordato Archimede, ci sono Eratostene, Diofanto e Pappo.

Di Eratostene di Cirene (Cirene, 276 a.C. – Alessandria d'Egitto, 194 a.C.) vanno citati assolutamente due grandi risultati: il primo relativo alla Matematica ed in particolare alla Teoria dei Numeri, e il secondo relativo alla Geografia.

Il primo grande risultato è un algoritmo e cioè un metodo per la soluzione di un problema. In particolare quello di Eratostene, in seguito denominato il crivello di Eratostene, è un algoritmo per il calcolo di tutti i numeri primi fino ad un certo numero numero prefissato. Se volete vedere una simpatica animazione del metodo cliccate qui.

Il secondo grande risultato è quello che smentisce la vostra maestra delle scuole elementari.
Eratostene, nel III sec a.C., più di un millennio e mezzo prima della nascita di Colombo, misurò con una certa precisione il meridiano terrestre. Misurò cioè la circonferenza massima della sfera (vabbè, non è proprio una sfera, ma allora questo effettivamente non lo sapevano) terrestre. Questo fatto dimostra quindi che già allora la consapevolezza che la terra non fosse piatta era piuttosto diffusa, almeno tra gli intellettuali.

Eratostene stimò una lunghezza del meridiano terrestre di 252.000 stadi.
Si stima che uno stadio fosse compreso tra i 155 e i 160 metri. L'errore di Eratostene è quindi al massimo di solo il -2,4% rispetto al valore corretto.

Eratostene si accorse che a mezzogiorno del giorno del solstizio d’estate l'ombra proiettata da un'asta verticale nella città di Siene, l'odierna Assuan, (che si trova sul Tropico del Cancro) scompariva totalmente, mentre ad Alessandria l'ombra non scompariva. Ergo la superficie della terra non poteva essere piatta. Eratostene assunse che la forma della terra fosse una sfera e usando la misura di un angolo (tra cateto maggiore e ipotenusa) del triangolo rettangolo con asta e ombra come cateti; e cioè l'angolo di incidenza dei raggi solari, misurò lunghezza del meridiano terrestre pari a 252.000 stadi egizi e quindi, secondo le stime, circa 39.375 km (contro i circa 40.000 reali).

Eratostene si cimentò anche nella creazione di mappe. Trovo molto affascinante questa sua mappa (da premettere che io sono un appassionato di mappe, soprattutto se antiche) dell'intero mondo conosciuto allora: dalle isole britanniche fino a Ceylon e dal Mar Caspio fino all'Etiopia.

Anche se non fu un matematico alessandrino, non posso esimermi dal citare molto brevemente anche Apollonio di Perga (Perga, 262 a.C. – Murtina, 190 a.C.) passato alla storia per i suoi importantissimi lavori sulle sezioni coniche (e cioè ellisse (circonferenza), parabola e iperbole).

Diofanto (200 d.C. 284 d.C.) viene denominato a volte "il padre dell'algebra", anche se più spesso come padre dell'algebra si cita il matematico persiano al-Khwārizmī, nato circa mezzo millennio dopo Diofanto.
Pare che effettivamente Diofanto fu il primo ad ideare l'uso di un simbolismo matematico. Prima di Diofanto si usava esclusivamente il linguaggio naturale. Ad esempio, "l’espressione 3x + 7 = 4x veniva enunciata (e scritta) press'a poco in questo modo: tre volte una quantità incognita addizionate a sette unità sono eguali a quattro volte la stessa quantità incognita".
Per snellire tali lunghe parafrasi Diofanto introdusse alcuni simboli per rappresentare gli operatori aritmetici più comuni prendendoli a prestito dall’alfabeto greco.

Alla notorietà di Diofanto contribuì molto un fatto che avvenne quasi due millenni dopo la morte del matematico alessandrino; e precisamente nel 1637, quando Pierre de Fermat, leggendo la traduzione in latino di Bachet del 1621 dell'"Arithmetica" di Diofanto (la prima traduzione in latino dell'"Arithmetica" fu di un italiano, Raffaele Bombelli, nel 1570, ma non venne mai pubblicata) scrisse ai margini della sua copia il seguente celebre enunciato accompagnato dalla non meno celebre frase:

Non esistono quattro numeri interi positivi a, b, c ed n>2 tali che:


an + bn = cn
"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto di questa pagina".

In realtà questa non era né l'unico enunciato che Fermat scrisse ai margini della sua copia dell'Arithmetica né l'unico enunciato di cui non fornì la dimostrazione. Il suddetto enunciato divenne però celeberrimo in quanto tutti gli altri vennero dimostrati negli anni successivi alla morte di Fermat, mentre questo rimase indimostrato per più di 350 anni. Generazioni di illustri matematici tentarono inutilmente di dimostrarlo. Per questo, da un certo punto in poi venne chiamato l'ultimo (o grande) teorema di Fermat.
Questa storia la vedremo però con maggiori dettagli in diverse delle puntate seguenti.

L'ultimo matematico alessandrino che vorrei ricordare è Pappo di Alessandria (290 d.C. – 350 d.C.)

Pappo di Alessandria visse in un periodo di decadenza degli studi geometrici. Di tutte le sue opere l'unica pervenutaci è quella intitolata Synagoge, nota anche come Collectiones mathematicae.

È in questa opera che Pappo dimostra il teorema dell'esagono che ricopre un ruolo fondamentale nella moderna geometria proiettiva e con cui ho avuto a che fare durante i miei studi nell'esame di Geometria I.

Nella prossima puntata vedremo il declino della Biblioteca di Alessandria ....

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martedì 31 marzo 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 7: la Biblioteca di Alessandria: Archimede

Abbiamo già visto che nel V sec. a.C. il fulcro del sapere matematico era in Calabria, a Crotone: la sede della scuola pitagorica; e che i pitagorici avevano basato il loro modello del cosmo sull'Aritmetica; e che in seguito ad un crollo logico-mistico-filosofico - ma in anche seguito fisico, visto che la scuola venne bruciata - tale modello venne abbandonato e rimpiazzato con il modello di cosmo di Platone, basato sulla geometria.

Per la precisione la scuola venne bruciata nel 450 a.C. e i pitagorici furono costretti a cercare rifugio in altre città come Fleio, Taranto, Siracusa e Locri. Fu così che il sapere matematico si diffuse per tutta l'area ellenica.

Un nuovo polo del sapere matematico si ricostituì però solo circa un secolo e mezzo più tardi, nella città di Alessandro ed in particolare nella Biblioteca di Alessandria. Luogo in cui Euclide consolidò e sviluppò l'idea di Platone rendendola quasi immortale (o almeno ancora viva e vegeta dopo più di duemila anni).

Nella puntata precedente abbiamo anche detto che dopo Euclide altri grandi matematici continuarono a popolare la Biblioteca: i cosiddetti matematici alessandrini.
I matematici (o geometri) alessandrini produssero importanti contributi al sapere matematico. Relativamente ai Fondamenti della Matematica non andarono però molto avanti rispetto all'evoluzione pitagorico-platonica-euclidea. I Fondamenti rimasero più o meno inalterati fino al XVII sec. quando Fermat e Cartesio introdussero la geometria cartesiana (o analitica) tornando un po' all'approccio pitagorico-numerico.... ma questo lo vedremo forse tra diverse puntate.

Tra i vari nomi di spicco che figurano tra i matematici alessandrini vorrei ricordare Archimede, Eratostene, Diofanto e Pappo.

Archimede (287 a.C. – 212 a.C.) era siciliano (a quei tempi meglio noti come greci della Magna Grecia). Oltre a molte altre cose interessanti che produsse e scoprì, egli va sicuramente ricordato perché fu il primo che cercò di calcolare il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio - attualmente noto come Pi greco (π) - in modo un po' più preciso. In precedenza si utilizzavano delle approssimazioni piuttosto grossolane.
Nel breve trattato La misura del cerchio Archimede espone un metodo con il quale si può approssimare arbitrariamente il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio dato, π per l'appunto.
Il metodo prevedeva l'approssimazione del cerchio, dall'interno e dall'esterno, con poligoni regolari inscritti e circoscritti.
Archimede ottenne le sue stime disegnando tali poligoni sulla sabbia: Parrebbe che arrivò fino a poligoni di 96 lati. In tal modo ottenne un valore compreso tra 223/71 e 22/7.

Fu solo nel 1761, grazie a Johann Heinrich Lambert, che si scoprì che π non può essere scritto come quoziente di due interi e che quindi, così come 2, è un numero irrazionale.

Nel 1882 si andò anche oltre. Allora infatti Ferdinand von Lindemann dimostrò che non solo π è un numero irrazionale, ma che è anche un numero trascendente; è cioè impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.
La conseguenza immediata di questa scoperta fu che la quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio, risulta impossibile.

La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, costituiva uno dei tre problemi classici della geometria greca.

La quadratura del cerchio fu l'ultimo dei tre problemi ad essere risolto; dove per risoluzione si intende appunto la dimostrazione dell'impossibilità della costruzione usando solo riga e compasso.

Nella prossima puntata parleremo degli altri tre matematici alessandrini citati: Eratostene, Diofanto e Pappo.

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mercoledì 11 marzo 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 6: gli Elementi di Euclide

Dicevamo quindi che la rifondazione della Matematica ad opera di Euclide era basata sulla Geometria, e quindi l'Aritmetica e conseguentemente gli enti numerici erano definiti a partire da essa.

Il libro con cui Euclide rifondò la Matematica, gli Elementi, era un'opera talmente solida (anche se tra la fine del XIX e l'inizio del XX sec. vennero individuate diverse piccole lacune facilmente colmabili) che, caso probabilmente unico, venne utilizzato in Europa come libro di testo scolastico per più di duemila anni, fino al XIX sec.
Pensate che gli Elementi è secondo (di poco) solo alla Bibbia come numero di edizioni. Questo fatto può indurre a pensarlo come una sorta di Bibbia del pensiero razionale accanto a quella della fede che per definizione è irrazionale.

È a partire da Platone, ma ancor di più con Euclide, che comincia a delinearsi quella iniziale dicotomia (che in seguito diventerà tricotomia, quadricotomia, fino all'attuale eptacotomia) della Matematica nei due grossi rami: della Geometria, basata su quello che poi sarà l'apriori kantiano dello Spazio, e dell'Aritmetica, che era basata sull'apriori kantiano del Tempo.

Nella puntata precedente dicevamo che viene da chiedersi come riuscì Euclide, usando questo nuovo approccio, ad aggirare il problema dell'irrazionalità e quindi indefinibilità come rapporto di numeri interi della radice quadrata di 2 (2)?

In modo abbastanza facile; e cioè, visto che l'interpretazione di Euclide era basata sulla Geometria, il problema della presenza di numeri irrazionali veniva aggirato definendo questi ultimi semplicemente come enti geometrici.
Che cosa sarebbe quindi la radice quadrata di 2 in questa nuova interpretazione? Nient'altro che la diagonale del quadrato di lato 1.

Euclide definì un sistema di poche semplici regole (dette anche assiomi) che non dovevano essere dimostrate (vere a priori) e su di esse costruì il suo sistema geometrico, usato ancora adesso con il nome di Geometria Euclidea.

Inoltre per molti anni, e addirittura anche secondo Kant, la Geometria euclidea venne considerata come l'unico modo possibile per le menti umane di immaginare lo spazio. Nel XIX sec., pochi anni dopo la morte di Kant, si mostrò che non era proprio così. Si potevano infatti concepire delle strutture geometriche coerenti e non euclidee. Rimane comunque vero il fatto che la Geometria euclidea è l'unico modo di poter percepire lo spazio per le menti umane. Ciò implica ovviamente che l'immaginazione è sconfinatamente più potente della percezione. Forse è una delle caratteristiche che ci distingue dagli altri animali?

Dopo Euclide altri grandi matematici continuarono a popolare la Biblioteca alessandrina: i cosiddetti matematici alessandrini; come Archimede, Eratostene, Ipparco, Nicomede, Erone, Menelao, Tolomeo, Diofanto e Pappo.

Di alcuni di questi faremo qualche cenno nelle prossime puntate.

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mercoledì 4 marzo 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 5: Euclide

Dicevamo quindi che il modello di cosmo di Pitagora, basato sull'aritmetica, fu abbandonato e rimpiazzato con il modello di cosmo di Platone, basato sulla geometria.

Tra i giovani discepoli di Platone ce n'era uno particolarmente promettente che si chiamava Euclide (IV sec. – III sec. a.C.).
Effettivamente l'operato dell'allievo negli anni successivi non dovette sicuramente deludere le aspettative del Maestro.

Dopo aver lasciato la scuola platonica, la fama di Euclide si era infatti già talmente diffusa per il mondo ellenico che Tolomeo I, fondatore della dinastia tolemaica, diadoco di Alessandro Magno e primo re dell'Egitto ellenistico, lo chiamò ad operare nella Biblioteca di Alessandria da lui fondata e nell'annesso Museo.

Il lavoro che Euclide portò a compimento ad Alessandria fu mastodontico. Nei suoi Elementi rifondò tutta la Matematica dei tempi (Aritmetica e Geometria) costruendo un edificio imperituro che sopravvisse inalterato per duemila anni, e che ancora oggi, anche se non è più l'unico edificio geometrico possibile, resiste.
È sopravvissuto addirittura alle molteplici demolizioni dei secoli XIX e XX. Anzi ne uscì addirittura restaurato e rafforzato. Risultò infatti essere completo a differenza dell'Aritmetica.... Ma forse stiamo anticipando troppo. Questa parte forse la discuteremo tra diverse puntate.

Euclide ebbe la fortuna di nascere dopo Aristotele (384 a.C. – 322 a.C.) e poteva quindi partire dal lavoro sulla Logica del suo predecessore.
(L'adagio di Bernardo di Chartres, "siamo dei nani sulle spalle di giganti" ricorre continuamente in tutte le branche del sapere umano, ma soprattutto nella Matematica, soprattutto dopo l'introduzione del metodo logico aristotelico).
Volle quindi costruire il suo edificio usando quello che ancora oggi è il metodo usato per costruire le strutture matematiche: il metodo assiomatico: a partire da pochi assiomi (verità aprioristiche), da una serie di ferree deduzioni logiche verificabili da ogni mente umana razionale e dall'insieme dei risultati precedenti, si costruisce l'edificio.

Il suo edificio era basato sulla Geometria, e quindi l'Aritmetica e conseguentemente gli enti numerici erano definiti a partire da essa.

A questo punto viene da chiedersi: come fece quindi Euclide usando questo nuovo approccio ad aggirare il problema dell'irrazionalità e quindi indefinibilità in termini numerici della radice quadrata di 2 (2)?
Questo lo vedremo nella prossima puntata.

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