Eudosso e la diagonale: l'arte di imbrigliare l'incommensurabile

 Giugno 376 a.C.

Nella scuola di Cizico, tra corde annodate e tavolette di legno, il maestro Eudosso mostra al giovane Polemarco come il ragionamento possa domare ciò che la misura non riesce a stringere.

«Lui è il maestro», sussurrò il ragazzo. «È Eudosso!» aggiunse con un misto di timore e ammirazione.
Gli occhi verdi dell’uomo si fissarono sui due ragazzi che si ricomposero intimoriti. Uno era un volto noto; l’altro, più minuto, era probabilmente un nuovo arrivato. 

«Non abbiate paura», li rassicurò Eudosso. «La curiosità è la caratteristica più importante per uno scolaro.»

 
«E quella non ci manca!» disse il più giovane, mentre l’altro si voltava a guardarlo stupito. Eudosso lo osservò per qualche istante. Il ragazzo sosteneva lo sguardo del maestro, ma senza arroganza. Nei suoi occhi brillavano davvero vitalità e curiosità. C'era qualcosa, in lui,
che gli ricordava un tempo passato. Trattenne appena un sorriso.

 
«Come ti chiami?»
«Sono Polemarco, maestro.»

 
«Bene, Polemarco. Visto che non ti manca il coraggio, vieni ad aiutarmi», disse Eudosso sorridendo. «Prendi quella corda e quelle due tavole», aggiunse indicando la parete. «Le useremo tra poco.»
Polemarco le sollevò, esagerando lo sforzo e suscitando qualche risata repressa.

 
«Quale figura rappresenta quella più piccola?», chiese Eudosso indicando la prima tavola.
«Un rettangolo, maestro.»
«E questa?»
«Un quadrato.»
«Come fai a esserne certo?»
Polemarco esitò. «Perché... Si vede: in quella tavola i lati sembrano tutti uguali.»

 
«Molte cose sembrano evidenti finché non proviamo a verificarle», osservò Eudosso. «Gli occhi giudicano in fretta. La conoscenza, invece, pretende prove. Come potremmo verificare la tua affermazione?»
A Polemarco non sfuggì l’occhiata del suo amico. «Forse misurando i lati con quella corda?» rispose indicando la fune annodata.
Eudosso annuì. Polemarco prese subito la fune con un movimento rapido.

«I lati della tavola grande misurano entrambi 10 nodi. Quindi si tratta effettivamente di un quadrato», disse dopo aver misurato i due lati.

«Hai verificato che i lati sembrano avere la stessa lunghezza», precisò Eudosso.
«Sembrano?» rispose Polemarco guardandolo sorpreso.
«La corda ci permette di avvicinarci alla misura, ma non di raggiungere una certezza assoluta. Potremmo dividerla in parti sempre più piccole, infittendo i nodi, ma rimarrebbe sempre la possibilità che una differenza ancora minore sfugga alla nostra misura.»
«Quindi non possiamo mai essere sicuri?»

«Possiamo essere sicuri solo quando ragioniamo sulle figure ideali che immaginiamo nelle nostre menti. Non quando misuriamo gli oggetti del mondo», disse Eudosso indicando le tavole. «La geometria non cerca la perfezione nelle tavole che costruiamo, perché nessuna di esse è perfetta. Le tavole ci aiutano a vedere il problema, ma la certezza non viene dagli occhi. Viene dalle figure perfette che la nostra mente costruisce e dai rapporti che il nostro ragionamento riesce a stabilire.»
Polemarco annuì.
«Ma», aggiunse Eudosso, «per semplificare le cose, noi considereremo le nostre tavole come figure geometriche perfette. Misuriamo dunque i lati dell’altra tavola.»

 

«I lati del rettangolo misurano 4 nodi e 3 nodi.»
«Bene. Ora, tu sai che cos’è una diagonale?»
«Certo. È il segmento che unisce questi due vertici», disse Polemarco indicando due vertici opposti del rettangolo.
«E conosci anche il teorema dei pitagorici?»
«Sì, l’ho imparato.»

«E allora saprai applicarlo per trovare la misura di questa diagonale.»
Polemarco osservò la figura per qualche istante. «Ma certo!» esclamò infine. «La diagonale divide il rettangolo in due triangoli. E l’ipotenusa dei triangoli coincide con la diagonale. Le aree dei quadrati costruiti sui lati misurano… 9 e 16 nodi quadrati e la loro somma è… 25. Quindi 25 è l’area del quadrato costruito sulla diagonale. E il lato del quadrato di area 25 misura 5 nodi. Quindi anche la diagonale misura 5 nodi.»

«Perfetto» lo lodò Eudosso. «E, visto che hai usato il teorema, sappiamo che il risultato vale anche per la figura ideale che abbiamo costruito nella nostra mente. Ma prova a verificare il risultato misurando quella diagonale.»

«Effettivamente misura 5 nodi.»
«Dunque abbiamo verificato che possiamo esprimere con un numero la misura di quella diagonale?»
«Certo.»
«E questo accade per ogni figura?» chiese Eudosso.
«Uhm… Credo di sì» disse l’allievo.

«Allora adesso proviamo con la tavola più grande», disse Eudosso indicando il quadrato. «Secondo te sarà più difficile trovare la lunghezza della diagonale?»

Polemarco osservò la figura. «No, maestro. Dunque,» disse, aggrottando le sopracciglia, «le aree dei quadrati costruiti sui lati misurano entrambe… 10 volte 10, cioè 100 nodi quadrati. La loro somma, che poi sarebbe l’area del quadrato costruito sulla diagonale, è 200 e quindi basterà trovare il lato del quadrato di area 200.»

«Hai un’idea di quale possa essere quel numero?»
Polemarco osservava la figura e aguzzava l’orecchio per captare eventuali suggerimenti.
«Forse una misura con la corda potrebbe darti un’idea» lo esortò Eudosso.
Polemarco prese la corda e la tese lungo la diagonale.

«Misura… 14 nodi.»
«Bene. Allora verifichiamo se 14 volte 14 è uguale a 200» disse Eudosso rivolgendosi agli altri scolari.
«No, è uguale a 196», rispose il compagno di Polemarco dopo qualche istante.
«Sei sicuro che misurasse proprio 14 nodi?»

Polemarco tese di nuovo la corda lungo la diagonale. Guardando meglio si accorse che il vertice del quadrato superava di poco quel nodo.
«No. La misura non coincide perfettamente. È poco più di 14 nodi, ma molto meno di 15», rispose.
«Bene. Ma possiamo accontentarci di una misura del genere?»
«No…» disse Polemarco pensieroso. «Forse… dovremmo cercare una misura più precisa.»
«E se dividessimo ogni nodo della corda in dieci parti?» propose Eudosso. «E poi ancora in dieci parti, e così via?»
«Otterremmo una corda… che misura con più precisione.»
«Quindi potremmo trovare la misura precisa della diagonale?»
«Credo di sì» azzardò Polemarco.

«È quanto credevano anche i pitagorici di Crotone fino a più di un secolo fa» osservò Eudosso. «Poi arrivò Ippaso da Metaponto.»
«Chi è Ippaso?», chiese prontamente Polemarco.
«Un allievo di Pitagora» rispose il maestro. «Ma non un allievo qualsiasi. Era il più brillante della comunità dei pitagorici di Crotone», proseguì, guardando negli occhi l’allievo.
«E che cosa fece Ippaso?»

«Si racconta che Ippaso volesse confermare la teoria del suo maestro. “Tutto è numero” asserivano i pitagorici. Tutto nell’universo si può riportare a un numero. Ma poi scoprirono un’eccezione. Un oggetto che sembrava non corrispondere a nessun numero. Ma Ippaso si intestardì. Voleva trovare quel numero per salvare la teoria del suo maestro. Invece si accorse che effettivamente non esisteva. E lo dimostrò.»
«E che successe poi?» chiese Polemarco impaziente.

«Si dice che alcuni pitagorici avrebbero voluto mantenere segreta quella scoperta. Ammettere che esisteva un oggetto a cui non corrispondeva un numero avrebbe messo in discussione il fondamento stesso della loro visione del mondo. Ma Ippaso non volle cedere! Troppo forte era il suo desiderio di non tradire quanto aveva scoperto.»
Polemarco fissava il suo maestro. Era immerso nel racconto. Anche il resto degli scolari ascoltava avidamente.
«Quindi Ippaso preferì contraddire il suo maestro per mantenersi fedele a quanto aveva scoperto?» osservò il giovane.
Eudosso rimase in silenzio per un istante. Sembrava cercare con cura le parole. «Il suo rispetto per la verità», disse infine, «era più forte del desiderio di compiacere chi lo aveva guidato.»

«Ma qual era quindi l’oggetto che non corrisponde a nessun numero?» chiese Polemarco, passando da una curiosità all’altra.
«Quale pensi che possa essere?»
Polemarco alzò lo sguardo verso l’alto. Poi lo abbassò verso la tavola quadrata. Rimase immobile per un istante. Di colpo i suoi occhi si illuminarono.
«Nooo!» gridò. Tutti gli scolari trattennero il fiato. «È quella! È la diagonale del quadrato!»
Eudosso annuì mentre un sorriso gli si allargava sul volto. «È proprio quella» confermò.

«Ma perché non può essere misurata con la corda che usiamo per misurare il lato?»
«Non sappiamo perché la natura delle cose sia fatta così. Ma sappiamo dimostrare che non può esistere una misura comune tra lato e diagonale di un qualsiasi quadrato.»

Per qualche istante nessuno parlò. Alcuni scolari si guardavano increduli. Altri guardavano la tavola, come se quella figura familiare fosse diventata improvvisamente una meraviglia da ammirare. Ora nascondeva qualcosa che nessuno aveva mai visto. Qualcuno la osservava come se, insistendo abbastanza, l'errore potesse infine rivelarsi.

Poi Eudosso ruppe il silenzio. «Però io ho trovato un metodo, se non per misurarla, almeno per imbrigliarla.» Gli scolari si scambiarono rapide occhiate. L'incredulità sembrò lasciar posto allo stupore. «Un metodo che permette di ragionare su grandezze come questa senza doverle misurare», continuò. «Anche ciò che non può essere espresso con un numero può essere conosciuto. Non sempre la conoscenza richiede una misura esatta. A volte possiamo avvicinarci progressivamente alla verità senza pretendere di afferrarla tutta in una volta.»

«E come funziona il metodo?» chiese Polemarco sempre più curioso.
«Se quel numero non è afferrabile in un solo gesto», disse Eudosso chiudendo di scatto la mano, come se volesse davvero afferrarlo, «io ho pensato di racchiuderlo entro limiti sempre più precisi», proseguì, spingendo lentamente le mani in avanti e facendole convergere, «confrontandolo con grandezze che gli si avvicinano sempre di più e restringendo progressivamente il campo delle possibilità, in un processo che, almeno in teoria, si può ripetere senza fine.»

«E come si fa?»
«Di solito mostro questo metodo solo dopo qualche altra lezione», rispose il maestro.
Polemarco abbassò appena il capo, incapace di nascondere la delusione.
«Ma la curiosità merita qualche eccezione», riprese sorridendo mentre gli occhi del ragazzo si illuminavano. «Quindi vi anticiperò l’idea essenziale.»

«Visto che abbiamo usato questo quadrato», continuò Eudosso avvicinandosi alla tavola, «o meglio, la nostra immagine ideale di questo quadrato», precisò indicandosi la testa, «vi mostrerò il procedimento partendo da qui. Ma questa volta, anziché usare misure sempre più piccole, faremo il contrario: considereremo quadrati sempre più grandi.»
«A che servono quadrati più grandi?»
«Ve lo mostrerò tra un po’. Però dovrete fare uno sforzo di immaginazione, perché costruire tavole così grandi sarebbe piuttosto complicato.»
«Ci proviamo», disse Polemarco voltandosi verso i compagni che annuirono quasi all’unisono.

«Bene. Allora immaginate una corda molto più lunga con i nodi sempre separati dalla stessa distanza.» Gli scolari annuirono. «Adesso immaginate un quadrato con un lato lungo cento nodi, cioè dieci volte quello del quadrato attuale.»
Un vociare si diffuse tra gli scolari.
«Cento nodi!»
«Enorme!»
«Ora, se andiamo a misurare la diagonale di quel quadrato, quanto misurerà secondo voi?», chiese Eudosso gettando uno sguardo su tutti i presenti.
«Poco più di 140 nodi, ma molto meno di 150», rispose Polemarco dopo qualche istante.
«Siete d’accordo?» chiese Eudosso rivolgendosi a tutti gli scolari.
Molti annuirono subito. Pochi altri, più incerti, seguirono il loro esempio subito dopo.

«E questo metodo», aggiunse, «oltre a delimitare i confini della diagonale, ci permette anche di conoscerla con precisione sempre maggiore. Ad esempio», proseguì, «grazie alla geometria, siamo riusciti a restringere ulteriormente i confini, racchiudendo la diagonale del quadrato di lato 100 tra 141 e 142. Cioè, nel nostro caso specifico, sappiamo che essa supera i 141 nodi, ma non raggiunge i 142. Ora, se ripetiamo l’esercizio mentale con un quadrato con un lato di 1000 nodi…»
«Mille nodi?!»
«Assurdo!»

«Dicevo, ripetendo lo stesso ragionamento con un quadrato di lato mille, troviamo che la diagonale supera i 1414 nodi, ma resta inferiore ai 1415. Ma ora voglio farvi una domanda. Pensate che, continuando il procedimento con quadrati sempre più grandi, si arriverebbe a un passo in cui la diagonale misura un numero preciso di nodi?»

«Maestro» esclamò Polemarco dopo un istante. «Avete dato voi stesso la risposta poco fa. Se trovassimo un numero preciso di nodi, avremmo trovato il numero che misura la lunghezza precisa di quella diagonale. Ma voi avete detto che Ippaso ha dimostrato il contrario.»
«Bravo, Polemarco! È proprio così! Proseguendo questo procedimento, non otterremo mai una misura precisa, ma, se potessimo continuare senza fermarci, racchiuderemmo la diagonale tra limiti sempre più stretti, conoscendone la lunghezza con precisione sempre maggiore. Eppure… non riusciremo mai ad afferrarla del tutto.»

Quel ragazzino ha un'intelligenza rara, pensò Eudosso mentre tornava a casa. Merita di essere accompagnato verso la ricerca della verità.
La via che costeggiava le acque del mar Propontide era animata da mercanti, marinai e carretti diretti ai moli. Schiamazzi in lingue diverse arrivavano dal porto insieme al cigolio delle carrucole che sollevavano le merci.

Gli tornò in mente la vitalità di Atene: incomparabilmente più accesa. D’altronde Cizico non poteva competere con quell'immensità. Tuttavia Atene lo aveva respinto. Il pensiero andò subito a Platone e alle lezioni dell'Accademia. La ferita si era rimarginata, ma a volte gli bruciava ancora. Ma in quel momento i colori del tramonto sul mare erano come un balsamo. Per un istante fu pervaso da una sensazione di pace e di armonia con l’universo. Lì, in quel margine del mondo greco, un ragazzino con il chitone impolverato aveva appena intravisto l'incommensurabile.

Il linguaggio filosofico tra profondità e incomprensibilità

Le parole di Maurizio Ferraris, ordinario di filosofia teoretica all’Università di Torino, fanno riflettere sul malinteso ruolo della filosofia e sul rapporto, spesso problematico, tra profondità e oscurità del linguaggio.
In questo intervento Ferraris critica una certa tradizione novecentesca che ha trasformato la filosofia in commento di altri autori, appesantendola con terminologie “sacre” e termini greco-tedeschi usati più per stupire che per chiarire. Ferraris auspica un ritorno a una filosofia comprensibile e accessibile, senza rinunciare al rigore e alla complessità ma evitando l’incomprensibilità ammantata di pseudo profondità.

La chiarezza semplifica il pensiero o, al contrario, ne è la sua forma più esigente?

“La filosofia è stata molto oscura soprattutto nel novecento, perché si è spesso ridotta a glossa di altri autori.
Così si è introdotto un livello ulteriore di oscurità, perché per capire lo scritto di tale su tal altro devi già conoscere tal altro. Se non lo conosci già, lo scritto ti risulta oscuro.
Inoltre, spesso tale scrive sotto la soggezione della lingua di tal altro per cui sente la necessità di citare termini tedeschi del tutto inutili ma convocati come parole sacre all’interno del testo.
Si faceva prima con il tedesco, si fa adesso con l’inglese.
Ma è esattamente la stessa cosa: si citano le parole magiche per impressionare i lettori, così come faceva azzeccagarbugli per impressionare Renzo.
Tra l’altro, chi introduce questi termini tedeschi o greci ne è spesso già soggiogato. Cioè crede che queste parole abbiano un valore magico per la comprensione. Credono che portino un plusvalore all’interno del testo ma, in realtà, lo svalorizzano rendendolo incomprensibile.
Allo stesso tempo ci sono molte persone che amano leggere i testi oscuri, perché hanno l’impressione di avere a che fare con qualcosa di profondo. Credono di entrare in una profondità che loro stessi non comprendono, ma che avvolge tutto in un’aura magica.
Da queste considerazioni si evince che si può anche parlare di filosofia in modo chiarissimo, senza aggiungere glosse e senza ricorrere a parole magiche.
Io e altri facciamo così e ci troviamo benissimo.”

La lingua batte | Le parole della filosofia | Rai Radio 3 | RaiPlay Sound

Breve sintesi del pensiero di Reuben Hersh sulla natura umanistica della matematica

Reuben Hersh è stato uno dei pensatori più originali sul significato della matematica. La sua visione si distacca sia dal platonismo tradizionale sia dal formalismo puro.

Hersh sosteneva che la matematica è un fenomeno umano, non un'entità astratta che esiste indipendentemente da noi (come credono i platonisti), né solo un gioco di simboli e regole (come dicono i formalisti).

Questa posizione è conosciuta come umaneismo matematico (Vedi Reuben Hersh di Maurizio Codogno).

Punti chiave del pensiero di Hersh:

1. La matematica è un'attività sociale e culturale
   La matematica non "esiste" nel mondo ideale o nella mente di Dio: è prodotta, condivisa e vefiricata dalla comunità matematica. Vive nei libri, nei dialoghi, nella pratica collettiva.

2. È reale, ma non nel senso metafisico
   Secondo Hersh, la matematica è "reale" allo stesso modo in cui sono reali il denaro, le leggi o le istituzioni: sono costruzioni umane con effetti reali, ma non oggetti fisici.

3. La verità matematica è intersoggettiva
   Una proposizione matematica è "vera" se è accettata come tale dalla comunità dei matematici, tramite dimostrazioni rigorose e consenso. Quindi è oggettiva nel contesto umano, ma non assoluta o trascendente.

4. Contesto storico e culturale
   Hersh sottolineava che la matematica cambia con la storia, i contesti culturali e perfino gli interessi dei matematici. Non è statica.

Opere sul tema

• "The Mathematical Experience" (con Philip J. Davis) - un classico che esplora la matematica come pratica umana.

• "What is Mathematics, Really?" - dove espone in dettaglio la sua visione umanistica.

In sostanza, Reuben Hersh rifiuta l’idea che la matematica sia una verità eterna indipendente dall’essere umano, proponendo invece una visione in cui la matematica è viva, sociale, culturale: umana, appunto.

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - terza parte

 Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   Nota¹ 

«Uhm», annuì Platone.

«Poi, si costruisce il cilindro che passi per il cerchio rosso», disse mostrando il cilindro rosso.

 

 

 

«E, infine, il cerchio giallo viene fatto ruotare in modo da formare questo toro», disse mostrando il toro giallo.



«E ora dovremmo immaginare la presenza contemporanea di questi tre solidi costruiti a partire da quei tre cerchi. I tre solidi si intersecherebbero in quattro punti»². Platone annuì dopo aver riflettuto qualche istante.

«E così il procedimento è finito. Perché prendiamo uno di questi punti d’intersezione, lo proiettiamo sul piano del cerchio rosso, e poi proiettiamo quel nuovo punto sull’asse del cono azzurro.

Ed ecco che il segmento compreso tra il vertice di quel cono e quel secondo nuovo punto sarà proprio il lato del cubo di volume doppio rispetto al cubo iniziale».

Platone lo guardava ammirato ed Eudosso sentiva tutta la gratificazione del momento.

«E la dimostrazione?», chiese Platone.

«La dimostrazione… è un po’ complicata», disse Eudosso dopo un istante di esitazione. «Il maestro ha voluto che ogni allievo la scrivesse. È tutta qui», disse mostrando le tavolette che aveva portato con sé.

Platone ne prese in mano un paio. Erano sette in tutto. Contenevano fitte descrizioni testuali che, a partire dal lato del cubo da raddoppiare, definivano esattamente tutti i passaggi per costruire i tre cerchi, i tre solidi e l’intersezione tra di loro. Nelle altre tavolette seguiva la dimostrazione di come quel punto di intersezione permetteva di costruire il lato del cubo con volume doppio rispetto al cubo costruito sul segmento iniziale.

Eudosso aveva ragione. Quella dimostrazione era tra le più complesse che avesse mai visto.

«È stupefacente!», sussurrò infine Platone. «L’occhio della ragione di Archita è tra i più acuti che io abbia mai conosciuto. Pochi come lui riescono a ricostruire così bene gli oggetti a partire dalle loro ombre». Il giovane lo guardava perplesso.

«Non capisco bene il discorso delle ombre e degli oggetti», disse infine.

«Credi che questo sia un cubo?», chiese Platone indicando la figura di legno che avevano usato poco prima.

«Beh… dire di sì».

«Se fosse un cubo quei dodici spigoli dovrebbero avere tutti esattamente la stessa lunghezza. E tutti quegli angoli dovrebbero essere perfettamente retti», osservò Platone. «Credi che le cose stiano così?» Eudosso lo guardava con le ciglia aggrottate. «Il falegname che lo ha costruito ha usato i suoi strumenti per renderlo il più possibile simile a un cubo», riprese Platone. «Ma se avesse avuto a disposizione strumenti più precisi, non si sarebbe accorto che quei dodici spigoli non hanno tutti esattamente la stessa lunghezza? Non si sarebbe accorto che quegli angoli non sono tutti esattamente retti?». Eudosso annuì dopo qualche istante di riflessione. «Quel pezzo di legno», continuò Platone, «è solo la proiezione dell’ombra del quadrato ideale. È il nostro tentativo di rappresentare qualcosa che non potremo mai produrre materialmente ma che potremo solo contemplare nel mondo delle idee investigandolo attraverso la ragione». Eudosso annuì più convinto. «Tornando, invece, all’aspetto più pratico, relativo al calcolo e alla dimostrazione», proseguì Platone, «una differenza che noto è che nel caso della duplicazione del quadrato si usa solo la figura di partenza più alcuni segmenti tracciati a partire da quella figura. Sono tutte operazioni geometriche che potrebbero essere eseguite usando solo gli strumenti della riga e del compasso. Mentre nel caso del cubo bisogna ricorrere alla costruzione di altre figure piane, di altre figure solide, di intersezioni e proiezioni. Certo, funziona, ma…».

«Ma, cosa?». «Mi chiedo se non esista una dimostrazione così semplice anche per la duplicazione del cubo. Da una parte», cercò d’illustrare meglio all’occhio curioso di Eudosso, «abbiamo tre cerchi, un cono, un cilindro, un toro, intersezioni e proiezioni. Mentre dall’altra», proseguì Platone, «abbiamo solo qualche prolungamento di lato, il tracciamento di quattro diagonali e una semplice dimostrazione. Ecco… mi chiedevo se non esistesse una costruzione più semplice anche per la duplicazione del cubo. Una dimostrazione che si possa produrre usando solo la riga e il compasso». Eudosso continuava a fissarlo assorto. «Beh, comunque grazie per la spiegazione. Questo nostro primo incontro è stato molto fruttuoso. Spero lo siano anche i prossimi», disse infine Platone. Poi si accomiatò.

 

¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

² Con notazione moderna.

 

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

«Beh… è difficile spiegarla senza una copia delle figure geometriche… Ma casa mia è dietro l’angolo», aggiunse subito. «Lì ho le copie che il maestro Archita ci ha fatto usare».

Eudosso tornò, poco dopo, carico di oggetti che a stento riusciva a trasportare. Diverse tavolette erano serrate sotto l’ascella destra, alcuni sottili dischi di legno colorato sotto l’altra ascella e le mani stringevano altre figure di legno, anch’esse colorate. Alcuni passanti li guardarono incuriositi.

«Spostiamoci verso quell’angolo un po’ più in disparte», lo esortò Platone.

Raggiunto il luogo più nascosto il giovane lasciò cadere tutto il materiale a terra. «Immaginiamo che questo sia il cubo che vogliamo duplicare», cominciò dopo aver recuperato la figura. «Il primo passo della costruzione consiste nel formare tre cerchi il cui raggio corrisponda alla lunghezza del lato del cubo», proseguì poggiando il cubo sul disco rosso per mostrare l’equivalenza.

Nota¹ 

«Poi dovremo disporre i tre cerchi sui tre piani individuati da tre delle facce adiacenti del cubo».

Per mostrare la disposizione Eudosso chiese a Platone di tenere il cubo con una mano in modo tale che una faccia fosse parallela al terreno, e il cerchio rosso con l’altra mano, anch’esso orientato parallelamente al terreno. Poi lui dispose gli altri due cerchi, uno azzurro e uno giallo, vicino al primo ma li orientò verticalmente rispetto a quello e in modo che fossero perpendicolari tra di loro.

«Adesso, usando l’immaginazione», riprese Eudosso con fare saccente, «dovremmo raffigurarci che questi tre cerchi si avvicinino l’un l’altro fino a sovrapporsi, in modo che ogni circonferenza abbia solo due punti d’intersezione con ognuna delle altre».



«Ho capito», disse immediatamente Platone un po’ infastidito.

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   

Continua su Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - terza parte

¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

Il giovane fissava il maestro riflettendo sulle sue parole. Aveva già sentito critiche rivolte al sistema democratico, ma mai sostenute da argomentazioni così convincenti.

«Comunque», fece Platone voltandosi verso Eudosso e interrompendo quel flusso di pensieri, «parlavo dell’importanza della matematica. Durante questo soggiorno a Taranto, vivendo a stretto contatto con voi e immergendomi negli insegnamenti della scuola pitagorica di Archita, mi sono convinto che la natura stessa del numero e degli enti geometrici è un faro che illumina la strada della comprensione della realtà. Numeri e figure geometriche esistono nel mondo delle idee, mentre nel mondo reale vediamo solo la proiezione delle loro ombre. Ma, numeri ed enti geometrici non sono meno reali di ciò che vediamo e tocchiamo. Anzi, sono sempre più convinto che la vera realtà risieda proprio nel mondo delle idee, quella che si può vedere solo con l’occhio della ragione, come sostenevano anche Parmenide e Zenone».

Eudosso lo guardava vagamente confuso. Frattanto avevano raggiunto l’avvallamento che precedeva la lieve salita verso la penisoletta dell’acropoli. Alcuni uomini stavano trasportando un’imbarcazione leggera da una sponda all’altra della penisola.

«Tuttavia…», Platone sembrava cercare le parole giuste, «abbiamo appena parlato degli aspetti teorici dei numeri e della geometria, ma per quelli più… pratici. Mi riferisco ai calcoli, ai metodi di manipolazione geometrica, alle tecniche di dimostrazione», Eudosso lo fissava dubbioso.

«Ecco, per quegli aspetti… credo che sarebbe opportuno…», il maestro parlava con frammentata cautela, stentando ad arrivare alla conclusione. Forse era ancora in dubbio. Non sarebbe stato più saggio parlarne con Archita? Ma forse non voleva rivelare così apertamente la sua ignoranza proprio al maestro. «Penso che le tue competenze mi sarebbero molto utili». Gli occhi del giovane s’illuminarono. «Vorrei dunque proporti una serie di incontri per discutere di quei temi».

«Ma sì, certo!». Eudosso faticava a trattenere l’entusiasmo. «Anzi, possiamo cominciare subito. Sono a vostra completa disposizione».

«Beh … Ci sarebbe…», tentennò Platone mentre i suoi occhi fissavano le colonne del tempio di Poseidone. Alcuni fedeli stavano assistendo a una cerimonia davanti all’altare esterno. «Vedi, Eudosso», riprese, «ci sono metodi, come quello per la duplicazione del quadrato, che sono facili da comprendere e da riprodurre. Lo si fa semplicemente tracciando linee aggiuntive a partire dal quadrato che si vuole duplicare. Invece… Per la duplicazione del cubo… So che ci sono vari metodi…».

  
«Ah, conosco bene la duplicazione del cubo», replicò subito il giovane. «Il maestro Archita ha preteso che la studiassimo a fondo. Anche perché… la vera soluzione è sua. Quella di Ippocrate è insufficiente perché semplifica il problema ma non lo risolve», sentenziò sistemandosi il chitone sulle spalle. Era un gesto tipico di Archita che il giovane aveva fatto suo. Lo usava, più o meno inconsapevolmente, quando si atteggiava a maestro. «Allora, il problema della duplicazione del cubo», proseguì, «è nato da una richiesta del dio Apollo. La città di Delo era stata colpita dalla peste e i suoi abitanti si radunarono a pregare intorno all’altare a lui dedicato per chiedere di esserne liberati. Attraverso il suo oracolo il dio disse che avrebbe sconfitto la peste se loro avessero raddoppiato l’altare. E, stupidamente,…»

«…loro raddoppiarono il lato dell’altare esistente, che era di forma cubica, ottenendo un altare otto volte più grande», lo interruppe Platone. «Sì, lo sappiamo».

«Ehm…», fece Eudosso. «Sì, lo si sa», ripeté un po’ frustrato. «Dicevo quindi che la soluzione di Ippocrate è insufficiente perché non fa altro che ridurre un problema di geometria dei cubi a un problema di geometria dei triangoli ma il calcolo rimane insolubile. Invece il mio maestro Archita ha trovato la soluzione concreta e non solo teorica, come quella di Ippocrate», sorrise riprendendosi dalla frustrazione.

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

Continua su Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

Maieutica e duplicazione del quadrato - terza parte

 Continua da Pitagora e dintorni: Maieutica e duplicazione del quadrato - seconda parte

Atene, gennaio 386 a.C.

«Allora», riprese Teeteto, «proviamo a disegnare daccapo questi quattro quadrati», disse mentre tracciava una copia semplificata del precedente schema. «E ora aggiungiamo quattro linee da angolo ad angolo di ognuno dei quattro quadrati piccoli».

«Adesso dimmi: queste quattro linee non tagliano in due ognuna di queste quattro aree?».

«Sì, mi sembra che le tagliano in due».

«E questi quattro lati uguali che figura formano?», chiese Teeteto mentre muoveva il bastoncino circolarmente lungo il perimetro della nuova figura interna.

«Non capisco la domanda, signore».

«Non si chiama quadrato la figura con quattro lati uguali?».

«Certo, signore».

«Quanto è grande, allora, l’area di questo quadrato interno?».

«Non lo so», scosse la testa Menone.

«Rifletti», lo spronò Teeteto. «Non abbiamo detto che ogni linea ha diviso a metà questi quattro quadrati piccoli?».

«Sì».

«Ricordi quanto misurava l’area di quei quadrati piccoli, che poi erano una copia del quadrato iniziale?».

«Quattro piedi, signore».

«Quanto misureranno, dunque, quelle metà?».

«Due piedi».

«E quante di queste metà riempiono l’interno di questo nuovo quadrato obliquo?».

«Quattro, signore».

«L’area di quel quadrato non misurerà allora quattro volte due piedi?».

«Certo… otto piedi… ma allora è questo!», gridò Menone dopo averci pensato un istante. «È questo il quadrato di area doppia che cercavamo!», esultò guardando gioioso Teeteto ed Eudosso.

Come uno specchio deformante, il volto di Teeteto trasformò il sorriso d’entusiasmo in un ghigno di rivalsa e lo proiettò verso Eudosso.

«Sapresti indicarmi qual è il lato di quel quadrato?», intervenne Platone.

«Questo, signore», rispose Menone avvicinando il dito a una delle quattro linee oblique.

«Cioè la linea tesa da angolo ad angolo dell’area di quattro piedi?».

«Sì, quella».

«Sappi che quella linea si chiama diagonale del quadrato. Dunque abbiamo appurato che la diagonale di un quadrato genera un quadrato di area doppia rispetto al quadrato iniziale, giusto?».

«Giusto».

«Ora dimmi se non abbiamo assistito a un prodigio», chiese Platone rivolgendosi a Eudosso. «Trovi che qualche opinione espressa da Menone non fosse sua?».

«No», rispose Eudosso, «ma…».

«Ma?», replicò Teeteto con un tono di sfida.

«Sei stato tu a tracciare le diagonali. Lui, da solo, non ci sarebbe mai arrivato».

«Questa è l'arte della maieutica!», sentenziò Platone. «Prevede la presenza di una guida. O, come preferiva dire Socrate, di una levatrice che agevoli la rinascita delle idee che giacciono dormienti nel profondo dell’anima. L’anima è immortale e rinasce più volte. E nel suo lungo ciclo di reincarnazioni ha già visto tutto, sia nel mondo dei vivi sia nell’Ade. E non c’è niente che essa non abbia già imparato. Non dovremmo dunque meravigliarci se è capace di ricordare ciò che già sapeva». Eudosso contemplava il maestro. Ora la sua barba era quasi totalmente imbiancata dai fiocchi di neve che cadevano più intensi. «Il metodo di Socrate prevede domande e risposte tra maestro e allievo, e procede per eliminazione delle risposte contraddittorie o irragionevoli. E può far anche emergere l’infondatezza di verità che diamo per scontate, declassificandole al loro vero ruolo di opinioni. È così che l'allievo viene indotto ad accorgersi della propria ignoranza e a discernere le verità dalle false presunzioni».

«Sì, ma le diagonali…», ribadì Eudosso con gli occhi che tradivano un barlume di incertezza.

«Il suggerimento di Teeteto sulle diagonali rientra perfettamente nel metodo della maieutica», dichiarò Platone apodittico.

Il giovane tacque. Osservò un nuovo scambio di sguardi tra Platone e Teeteto. Si rese conto che non era più il caso di insistere su quella linea.

«Ho capito», disse infine abbassando la testa.

«Bene», disse il maestro scrollandosi un po’ di neve dalla barba. «Credo che sia arrivato il momento di rientrare a casa».

In quel momento Eudosso non immaginava quanto quella conversazione avrebbe influenzato il suo futuro.

Maieutica e duplicazione del quadrato - seconda parte

Continua da Pitagora e dintorni: Maieutica e duplicazione del quadrato - prima parte

Atene, gennaio 386 a.C.

...«E ora sta’ a vedere come ricorderà le cose che deve ricordare», disse Teeteto in tono di sfida. «Dimmi, Menone», riprese, «tu dici che dal lato doppio si genera l’area doppia, ma avere il lato doppio non significa che raddoppiamo solo uno dei quattro lati, significa che li raddoppiamo tutti e quattro, perché la figura risultante dovrà essere ancora un quadrato. Pensaci bene, a tuo parere, l’area di otto piedi risulterà dal lato di quattro piedi?».

«A me…», rispose Menone dopo qualche istante «sembra così», concluse sempre più intimorito mentre Eudosso reprimeva una risata sotto lo sguardo severo di Platone.

«Allora», fece Teeteto paziente aspirando profondamente, «aggiungiamo una linea della stessa lunghezza del lato a partire da qui», continuò mentre tracciava la linea a partire da un vertice del quadrato.

«Che lunghezza avrà la linea risultante formata dalle due linee?»

«Beh, il doppio»

«Bravo», disse Teeteto. Un lieve sorriso allentò un po’ di tensione dal volto di Menone. «Dunque è dal quadrato che ha questa linea per lato che tu pensi risulterà l’area di otto piedi?», chiese Teeteto muovendo il bastoncino lungo il lato raddoppiato.

«A me… pare così», confermò il ragazzo di nuovo titubante.

L’occhiata preventiva di Platone frenò ogni possibile espressione di Eudosso.

«Tracciamo dunque quattro lati uguali a partire dal lato raddoppiato», disse Teeteto disegnando il quadrato di lato quattro piedi.

«Sarebbe questa l’area che tu dici essere di otto piedi?»

«Credo di sì».

«E vedi che quest’area è composta da questi quattro quadrati, ognuno dei quali è uguale a quello iniziale di area quattro piedi?», chiese Teeteto raddoppiando anche gli altri due lati del quadrato piccolo.

«Sì, lo vedo».

«Dunque l’area totale non è il quadruplo di quella iniziale?».

«Sicuramente!».

«Ma prima avevi detto che quest’area era il suo doppio. Allora il doppio è uguale al quadruplo?».

«No, per Zeus! Mi sbagliavo», si affrettò a dire Menone. «È il quadruplo non il doppio». Il volto di Eudosso si contrasse.

«Quindi abbiamo appurato che dal lato doppio risulta un’area non doppia ma quadrupla», sottolineò Teeteto lanciando uno ghigno verso Eudosso.

«È vero!», ammise il ragazzo rincuorato.

«E quattro volte quattro fa sedici, no?», continuò Teeteto.

«Sì».

«Ma allora, da quale lato risulta, invece, un’area di otto piedi?» Menone lo guardava pensoso. «Non risulterà da un lato maggiore di questo e da un lato minore di quest’altro?», chiese Teeteto passando il bastoncino sul lato di due piedi e poi su quello di quattro.

«Beh… mi sembra di sì».

«E quindi non è vero che l’area di otto piedi dovrà essere compresa tra queste due aree?», incalzò Teeteto muovendo il bastoncino sul primo quadrato piccolo e poi su quello grande.

«Certo che è vero!», rispose convinto il ragazzo.

«Prova, allora, a dire quanto potrebbe essere lungo il lato di quel quadrato», lo sollecitò.

«Uhm», fece Menone. «Forse tre piedi?».

Eudosso scosse la testa. “Non troverà mai la risposta giusta “, pensò. Ma, visto l’atteggiamento del maestro, si guardò bene dall’esprimere quel pensiero.

«Allora», sospirò Teeteto. «Se quel lato fosse di tre piedi, lo costruiremmo aggiungendo un piede al lato di due piedi, giusto?».

«Giusto».

Teeteto tracciò una linea più marcata lunga tre piedi, scrisse un tre e costruì il corrispondente quadrato.

«Ah!» esclamò Menone schiaffeggiandosi la fronte. «Quel lato non può essere lungo tre piedi, perché l’area del quadrato che avete tracciato misura tre volte tre. Quindi nove e non otto».

Teeteto lanciò un nuovo sorrisino in direzione di Eudosso.

«Ma quanto misura allora questo maledetto lato!», starnazzò Eudosso spazientito.

«Non lo so, per Zeus! Non lo so!», fece Menone sconfortato. «Fa freddo! Lasciatemi tornare al lavoro».

«Calma, non scoraggiarti», disse Teeteto mentre Platone rimproverava nuovamente Eudosso.

«Vedi Eudosso», aggiunse poi Platone, «quanto stiamo osservando è un percorso in cui il giovane Menone acquista man mano la consapevolezza di ciò che crede di sapere e ciò che crede di non sapere e, al contempo, si riconnette con i suoi ricordi». La neve ricominciò a scendere rada dal cielo e qualche fiocco si posò sulla barba del maestro amplificandone le striature bianche.

«Uhm», muggì l’allievo.

«Non credi che abbia fatto progressi nel passare tra il pensare di sapere quale sia la lunghezza del lato di un quadrato di otto piedi di area ed essere consapevole di non saperlo?».

«Sì», ammise Eudosso.

«Allora», riprese Teeteto, «proviamo a disegnare daccapo questi quattro quadrati», disse mentre tracciava una copia semplificata del precedente schema. «E ora aggiungiamo quattro linee da angolo ad angolo di ognuno dei quattro quadrati piccoli».

Continua …

Maieutica e duplicazione del quadrato - prima parte

 

Atene, gennaio 386 a.C.

Quel mattino Eudosso si svegliò con una strana sensazione. Era quel freddo intenso che lo inquietava? O forse quel silenzio assoluto? Non sentiva il solito scalpitio che saliva dalla strada. A un tratto percepì grida lontane. Sembravano bambini. Apri la finestra e rimase senza fiato. Tutto era bianco. La strada, le case, gli alberi. Da alcuni tetti pendevano strane formazioni, come coni capovolti di un colore bianco semitrasparente. Deve essere la neve! “Dev'essere la neve!”, pensò. Lui non l’aveva mai vista. Ma gliene aveva parlato sua madre. L’ultima volta era caduta a Cnido prima che lui nascesse. Indossò velocemente chitone e imatio, e scese in strada.

…

Quel giorno, durante la lezione, Platone aveva chiesto a Eudosso di mostrare agli altri come costruire un quadrato di area doppia rispetto a un quadrato dato.

«È semplicissimo», aveva esordito il giovane. E si era immerso nei passi della costruzione mostrando molta destrezza con la matematica ma non altrettanta con la chiarezza dell’esposizione. Alla fine Eudosso parve compiaciuto nel vedere espressioni di smarrimento nella maggior parte degli scolari. Sembrava assaporare con gusto quel momento. Era una rivalsa sulle insolenze subite. Ma osservò anche uno scambio di occhiate tra Platone e Teeteto.

Mentre gli scolari defluivano dall’aula Teeteto lo raggiunse.

«Vogliamo fare un po’ di strada insieme?».

«Volentieri», rispose Eudosso ancora euforico.

«Mi unirò anch’io», disse Platone mentre i due giovani si incamminavano.

La neve aveva smesso di cadere e le nuvole, un po’ diradate, lasciavano filtrare a tratti flebili raggi di sole attraverso il cielo. Infastidito dal gioco mutevole di luce e riflessi, Eudosso volse lo sguardo verso la zona meno abbagliante e notò che il piazzale di fronte alla scuola era ormai quasi completamente sgombro. La maggior parte degli schiavi si stava concedendo una pausa e solo alcuni dei più giovani erano rimasti a lavorare.

«Non credo che molti abbiano capito la mia spiegazione», fece Eudosso con un ghigno.

Di nuovo quello scambio di sguardi.

«Vedi Eudosso…», esordì Teeteto con un’espressione severa, «il compianto maestro Socrate ci ha insegnato che il buon filosofo comunica il proprio pensiero in modo chiaro e comprensibile. Anzi», sottolineò con enfasi, «Socrate si è spinto oltre, affermando che non dovremmo neppure spiegare il nostro pensiero. Lui non si riteneva un sapiente, non pensava di avere una verità da trasmettere agli altri né di essere in grado di insegnare qualcosa. Ma credeva di avere la capacità di aiutare gli allievi a far riemergere la loro sapienza inconsapevole», disse scandendo l’ultima parola. «Il maestro amava usare la metafora della levatrice, visto che sua madre era una di esse. “Così come le levatrici aiutano le donne a dar luce al frutto della loro procreazione, io assisto le anime degli scolari a partorire idee fertili”, diceva. E per onorare quel parallelo chiamò maieutica quel suo metodo per far affiorare la verità dai suoi scolari inconsapevoli»

«Non ho capito. Socrate non si riteneva sapiente?! E se non lo era lui, chi può esserlo?!»

«Eppure lui ne era convinto. E noi dovremmo trarne insegnamento», disse Teeteto con foga.

«Socrate diceva di non essere sapiente e di non essere stato capace di partorire nessuna scoperta», intervenne Platone con tono pacato, forse per stemperare gli animi. «Ma aggiungeva che, chi lo frequentava, anche se incolto, ne traeva giovamenti sorprendenti, scoprendo cose straordinarie che prima non avrebbe neppure immaginato».

«Capisco», fece Eudosso conciliante, «ma non mi è chiaro che significhi far riemergere la sapienza inconsapevole».

«Significa che chiunque, se ben guidato, può arrivare a ricostruire conoscenze anche complesse!», disse Teeteto. «Significa che anche quel giovane servitore, ricevendo l’orientamento necessario, sarebbe in grado di ricostruire la duplicazione del quadrato!», sottolineò con enfasi mentre indicava uno dei giovani intenti a spalare la neve.

«Impossibile!», sbraitò Eudosso diffondendo una piccola nube di fiato condensato innanzi a sé.

«Vogliamo provare?», lo sfidò Teeteto.

«Ma è inutile provare! Non ci riuscirebbe mai!»

«Vedo che hai paura di perdere»

«No, è che non voglio vincere in modo troppo facile… ma se proprio ci tieni…»

Teeteto si precipitò a prelevare il giovane mentre Platone continuava a osservare in silenzio la scena. Sembrava sorpreso e un po’ divertito da tanta passione giovanile. Frattanto le nubi avevano ricominciato a ispessirsi.

«Come ti chiami?», chiese Teeteto.

«Menone, signore».

«Spostiamoci lì dove c’è ancora neve fresca», li invitò Teeteto mentre raccoglieva un bastoncino sufficientemente dritto.

«Ascolta, Menone, sai che un’area quadrata è fatta così?», cominciò mentre tracciava un quadrato sulla neve. «È un’area quadrangolare delimitata da quattro linee uguali».

«Sì, lo so»

«Se dunque questo lato fosse di due piedi e di due piedi questo, quanti piedi misurerebbe l’area?», disse mentre aggiungeva il numero vicino a uno dei lati.

«Quattro, signore».

«E non potrebbe esistere un quadrato con un’area che sia il doppio di questa?»

«Sì, certo».

«Quanti piedi misurerebbe?»

«Otto, signore».

«Bene, ora stai molto attento, prova a dirmi quanto sarebbe la lunghezza del lato di quel quadrato con area di otto piedi. Il lato di questa è di due piedi: quanto sarà il lato di quell’area doppia?»

«Beh, signore, sarà il doppio».

Eudosso scoppiò in una fragorosa risata. «Lato di quattro piedi e area di otto piedi!», disse mentre continuava a ridere dimenandosi e agitando le braccia. Alcuni schiavi in lontananza si voltarono a guardare il gruppetto.

«Non badare a lui», disse Teeteto rassicurante mentre il giovane Menone guardava Eudosso intimorito. «Ma rifletti ancora sulla mia domanda. Quanto sarà la lunghezza di ogni lato di quell’area di otto piedi? Il lato di quest’area di quattro piedi è di due piedi», disse muovendo il bastoncino sul quadrato tracciato nella neve, «quanto sarà il lato di quell’area doppia?»

«Beh», fece Menone esitante, «a me sembra proprio il doppio».

Eudosso riprese a ridere ancor più rumorosamente. Stavolta si voltarono anche alcuni scolari.

«Eudosso», intervenne Platone, «cerca di contenere il tuo sarcasmo». Il giovane a abbassò gli occhi. «Teeteto sta cercando di usare il metodo della maieutica», continuò il maestro. «Si limita a guidare Menone ponendogli domande per far riemergere la sua conoscenza, senza insegnargli nulla direttamente». Eudosso rialzò lo sguardo verso il maestro. «Abbiamo appena visto che Menone pensa di sapere quale sia la lunghezza del lato di un quadrato di otto piedi di area, giusto?».

«Giusto», ammise Eudosso incupito.

«E dunque, se pensa di saperlo credi che lo sappia davvero?».

«Non credo», disse l’allievo un po’ rinvigorito.

«E ora sta’ a vedere come ricorderà le cose che deve ricordare», disse Teeteto in tono di sfida.

Continua su Pitagora e dintorni: Maieutica e duplicazione del quadrato - seconda parte

Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − quarta parte − spazio e tempo sono densi? - Weierstrass e Russell

Segue da Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − terza parte − Bertrand Russell: spazio e tempo sono infinitamente divisibili?

Come già scritto, il libro I paradossi di Zenone di Vincenzo Fano è stato fondamentale nel percorso di ricerca per il mio terzo libro, Il mistero della discesa infinita. Oltre ai già citati Giovanni Cerri e Gustavo E. Romero, l'opera di Fano è stata una risorsa di inestimabile valore, svolgendo un ruolo chiave nell'approfondimento del pensiero di Zenone in relazione al moderno pensiero scientifico, matematico e filosofico.

Qui continuerò la sintesi delle premesse di Fano per affrontare le interpretazioni di Bertrand Russell del paradosso della dicotomia (che si basano sui risultati dei matematici Cantor, Dedekind, Weierstrass e Peano).

Dicevamo che, dopo aver mostrato come Brouwer affronta matematicamente la questione già sottolineata da Aristotele, e cioè che un insieme di elementi discreti non può rappresentare il continuo geometrico o intuitivo, Fano analizza uno dei dilemmi che sono alla base di almeno due dei paradossi di Zenone. Se lo spazio fisico sia o no un insieme denso di punti.

Fano cita un'idea di Grünbaum (Modern Science and Zeno's Paradoxes, p. 44), secondo cui, quando si propone un ipotesi matematicamente esatta sulla natura di un oggetto reale, è opportuno confrontare tale ipotesi con la percezione. Infatti, anche se la percezione è parzialmente illusoria, essa è la prima nostra fonte di conoscenza e quindi va rispettata.
Tuttavia, un continuo spaziale percepito, come ad esempio un tratto di matita nera su un foglio bianco, non viene colto come un insieme denso di punti. Certo possiamo definire in esso dei minimi percepibili, considerando che la percezione visiva spaziale possiede una soglia.
Quindi potremmo anche dire che esso è in potenza formato da un insieme finito e discreto di minimi percepibili. Ma tali minimi non risultano evidenti. Possiamo quindi affermare, con Grünbaum, che la percezione non testimonia contro l'affermazione che lo spazio sia composto da un insieme denso di punti, sebbene non testimoni neanche a favore di questa tesi.

L'argomento più forte a favore del fatto che lo spazio fisico sia composto da un insieme denso di punti, afferma poi Fano, è, invece, il successo delle attuali teorie fisiche: 

meccanica classica, meccanica quantistica, relatività ristretta e generale, elettromagnetismo, elettrodinamica quantistica e modello standard. Tutte queste teorie presuppongono uno spazio fisico denso, per cui, se abbracciamo una forma di realismo scientifico, anche moderato, arriviamo alla conclusione che, per quanto ne sappiamo, lo spazio fisico è denso. Il realismo scientifico moderato, infatti, afferma che le migliori spiegazioni di un dato dominio di oggetti sono almeno in parte vere anche riguardo a ciò che non è osservabile. Dunque è ragionevole supporre che lo spazio fisico sia effettivamente denso.

La densità del tempo 
Ma una tale supposizione può essere valida pure per il tempo? In "I paradossi di Zenone − seconda parte − I contributi di Aristotele al paradosso della dicotomia" abbiamo visto che la soluzione aristotelica del paradosso si basava sull'infinità divisibilità del tempo.

Così come per il caso dello spazio, Fano prende in considerazione un esempio concreto. Per lo spazio aveva considerato un tratto di matita e per il tempo considera una palla che si muove su di un tavolo da biliardo. 
Ora non abbiamo più un oggetto statico come il tratto di matita ma un oggetto in movimento.

Fano considera le due diverse concezioni del movimento: la cosiddetta teoria at-at, solitamente attribuita a Bertrand Russell, per cui essere in movimento significa “essere in luoghi diversi in istanti diversi”. E quella aristotelica, secondo la quale il movimento è "l’atto di ciò che è in potenza in quanto in potenza" (Fisica, 201a: 10-11 e 201b, 4-5).

La prima è una teoria precisa e, di fatto, accettata dalla maggior parte degli studiosi. Tuttavia è non solo poco intuitiva, ma anche problematica, perché implica, come si vedrà, una radicale forma di indeterminismo. La seconda, invece, è oscura, ma rende certamente meglio l'idea del movimento come qualcosa di non rappresentabile in modo completo nello spazio e nel tempo.

Per fare un esempio, la teoria at-at afferma che se Gianna alle 15:20 è in camera sua e alle 15.21 è in cucina, allora si è mossa. Per Bergson (1889, pp. 64 70) questo non è il movimento, ma "il già mosso"; cioè un fatto compiuto. In effetti, se Gianna sparisse dalla sua stanza alle 15:20 e ricomparisse in cucina alle 15:21 non potremmo dire che fra le 15:20 e le 15:21 si stava muovendo, possiamo al massimo dire che si è mossa, cioè che non è più nello stesso luogo.

Per Aristotele, invece, il movimento implica necessariamente un'analisi ontologica in termini di ciò che è attuale e di ciò che è potenziale. In prima approssimazione potremmo dire che il movimento è l’attualità di una potenzialità. Ad esempio, Gianna nella sua camera porrebbe andare in cucina, e fra le 15.20 e le 15.21 realizza questa possibilità. Se questa fosse stata la definizione aristotelica di movimento, di nuovo faremmo confusione con il già mosso, cioè il passaggio dalla potenza all'atto sarebbe solo un modo ontologicamente diverso di descrivere qualcosa di simile a quello che racconta la teoria at-at. È forse per questa ragione che Aristotele aggiunge quella strana postilla: il movimento è l'attualità di una potenzialità in quanto in potenza. Infatti quel "in quanto in potenza" sta a indicare che non stiamo parlando di '"già mosso", ma di movimento, cioè questo passaggio deve contenere in sé ancora potenzialità, ossia deve essere qualcosa di incompleto (Brentano, 1862, pp. 52 ss.; Kostman, 1987; Ross, 1936, p.-dl.).
Tutto ciò è molto interessante, ma irrimediabilmente impreciso.

Fano propone quindi un miglioramento della teoria at-at del movimento dicendo che la palla da biliardo è in moto in un certo istante se, preso un lasso di tempo Δtε piccolo a piacere, che comprenda t, in istanti diversi di Δtε essa si trova in luoghi diversi. In pratica, affinché ci sia movimento, deve esserci continuità del moto. In questo modo, usando una procedura ispirata al metodo rigoroso di Weierstrass, abbiamo reso un po’ più intuitiva la teoria at-at. Infatti per affermare che la palla si muova nel lasso di tempo Δtε è necessario che si muova in tutti gli istanti che appartengono a Δt.
Vedremo che questa definizione lascia dei problemi aperti, però è probabilmente il meglio che siamo riusciti a fare a tutt’oggi, grazie al genio di Weierstrass.

Secondo molti autori (Whitehead e Grünbaum), tuttavia, il tempo percepito, a differenza dello spazio, sarebbe discontinuo.

Ma secondo Fano sembra più naturale affermare che, così come nel caso dello spazio, la continuità o discontinuità della temporalità dipenda dalla struttura percettiva di ciò che stiamo percependo: cioè se percepiamo il movimento della palla da biliardo la sua temporalità sarà continua mentre se stiamo percependo il battito del nostro cuore la temporalità sarà discontinua.
Questa tesi è confermata anche dai più recenti studi di psicologia cognitiva(Fingelkurts 2006). Inoltre, anche in questo caso le migliori teorie fisiche presuppongono che il tempo sia denso; perciò abbiamo buone ragioni per ritenerlo tale.

Fano conclude quindi che, una volta accertata la densità dello spazio, siamo naturalmente portati ad assumere anche quella del tempo.

L'autore si immerge quindi nella problema considerando la spazializzazione e la misurabilità del tempo. Questioni che affronteremo nella prossima puntata.

Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − terza parte − Bertrand Russell: spazio e tempo sono infinitamente divisibili?

Segue da Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − seconda parte − I contributi di Aristotele al paradosso della dicotomia

Come già menzionato, il libro I paradossi di Zenone di Vincenzo Fano è stato fondamentale nel percorso di ricerca per il mio terzo libro, Il mistero della discesa infinita. Oltre ai già citati Giovanni Cerri e Gustavo E. Romero, l'opera di Fano è stata una risorsa inestimabile svolgendo un ruolo chiave nell'approfondimento del pensiero di Zenone in relazione al moderno pensiero scientifico, matematico e filosofico. 

Qui presenterò una sintesi delle premesse di Fano per affrontare le interpretazioni di Bertrand Russell del paradosso della dicotomia (che si basano sui risultati dei matematici Cantor, Dedekind, Weierstrass e Peano).

Premesse alla soluzione di Russell

Prima di tutto bisogna distinguere tra infinita divisione e infinita divisibilità. Abbiamo visto che Aristotele distingue i due concetti attraverso la differenza tra in potenza e in atto. Mentre noi dobbiamo ragionare in modo diverso, date le difficoltà nel tentare di definire il concetto di "in potenza" in modo rigoroso secondo il nostro moderno pensiero razionale.

Infinita divisibilità¹

Da Cantor in poi si interpreta l’infinita divisibilità di un segmento di spazio come l’affermazione che esso è costituito da un insieme infinito e non numerabile di punti. Ma questa interpretazione comporta una rivoluzione completa rispetto alla concezione aristotelica e non solo, secondo la quale l’infinito può esistere solo in potenza, poiché qui si parla di infinito in atto.

Invece, se volessimo restare nello spirito dell'antico dibattito, dovremmo provare a definire con rigore la nozione aristotelica di infinita divisibilità senza avvalerci del moderno concetto di punto matematico. Compito assai arduo che non perseguiremo.

Proseguendo, invece, sulla strada del metodo moderno, va precisato che la locuzione “infinitamente divisibile” che dobbiamo studiare riguarda la fisica e non la matematica, perché nell’argomento della dicotomia è un tratto di spazio fisico a dover essere infinitamente divisibile.
Inoltre, non ci stiamo chiedendo solo se lo spazio sia o meno infinitamente divisibile, ma anche quale sia il senso di questa espressione. Come si può procedere all’infinito nella divisione? Sebbene i fisici di oggi prescindano dalla percezione, sarebbe ragionevole supporre che quando introduciamo dei concetti della fisica ci attenessimo almeno a un principio di percepibilità naturalisticamente inteso. Ovvero nelle nostre teorie fisiche possiamo ammettere solo quelle entità teoriche (non osservabili) per le quali siamo in grado di spiegare perché non le percepiamo o perché le percepiamo con una struttura diversa da come la teoria le delinea.

Possiamo allora procedere nel modo seguente: diciamo che un tratto di spazio è infinitamente divisibile se, presa una parte di esso piccola quanto si vuole, essa è ancora divisibile.

L’espressione “piccolo quanto si vuole” ci porta nell’ambito dell’inosservabile. D’altra parte si potrebbe concepire una tecnologia sempre più avanzata che, in linea di principio, ci porti a scendere sempre di più nel più piccolo.

Dobbiamo adesso definire il concetto di “divisibile “.
Se consideriamo una striscia bianca senza divisioni percettive,

potremmo usare un metodo simile a quello di Dedekind, ma si ha la sensazione che i metodi del taglio presuppongano la divisibilità della striscia, piuttosto che definirla.

Dei diversi tentativi di rendere rigoroso il concetto aristotelico di infinita divisibilità, Fano discute solo quello del matematico Luitzen Brouwer, fondatore della "scuola intuizionistica". 

Brouwer sarebbe stato il primo a mostrare come incorporare nella matematica la questione già sottolineata da Aristotele che un insieme di elementi discreti non può rappresentare il continuo geometrico o intuitivo. Fano dedica alcune pagine per sintetizzare la complessa tecnica sviluppata da Brouwer (1930), e ripresa da Kreisel (1968) e Troelstra (1983).

L'autore analizza quindi uno dei dilemmi che sono alla base di almeno due dei paradossi di Zenone. Se lo spazio fisico sia o no un insieme denso di punti. Ne parleremo nella prossima puntata.

¹ Desidero condividere una breve osservazione che va al di là del contenuto del libro di Fano.

Ho notato una chiara connessione tra la seconda antinomia kantiana e il concetto di infinita divisibilità. Sorprendentemente, non ho ancora trovato alcun articolo che esplori questa correlazione. Se qualcuno ne fosse a conoscenza, gli sarei grato se me lo segnalasse.