Eudosso e la diagonale: l'arte di imbrigliare l'incommensurabile

 Giugno 376 a.C.

Nella scuola di Cizico, tra corde annodate e tavolette di legno, il maestro Eudosso mostra al giovane Polemarco come il ragionamento possa domare ciò che la misura non riesce a stringere.

«Lui è il maestro», sussurrò il ragazzo. «È Eudosso!» aggiunse con un misto di timore e ammirazione.
Gli occhi verdi dell’uomo si fissarono sui due ragazzi che si ricomposero intimoriti. Uno era un volto noto; l’altro, più minuto, era probabilmente un nuovo arrivato. 

«Non abbiate paura», li rassicurò Eudosso. «La curiosità è la caratteristica più importante per uno scolaro.»

 
«E quella non ci manca!» disse il più giovane, mentre l’altro si voltava a guardarlo stupito. Eudosso lo osservò per qualche istante. Il ragazzo sosteneva lo sguardo del maestro, ma senza arroganza. Nei suoi occhi brillavano davvero vitalità e curiosità. C'era qualcosa, in lui,
che gli ricordava un tempo passato. Trattenne appena un sorriso.

 
«Come ti chiami?»
«Sono Polemarco, maestro.»

 
«Bene, Polemarco. Visto che non ti manca il coraggio, vieni ad aiutarmi», disse Eudosso sorridendo. «Prendi quella corda e quelle due tavole», aggiunse indicando la parete. «Le useremo tra poco.»
Polemarco le sollevò, esagerando lo sforzo e suscitando qualche risata repressa.

 
«Quale figura rappresenta quella più piccola?», chiese Eudosso indicando la prima tavola.
«Un rettangolo, maestro.»
«E questa?»
«Un quadrato.»
«Come fai a esserne certo?»
Polemarco esitò. «Perché... Si vede: in quella tavola i lati sembrano tutti uguali.»

 
«Molte cose sembrano evidenti finché non proviamo a verificarle», osservò Eudosso. «Gli occhi giudicano in fretta. La conoscenza, invece, pretende prove. Come potremmo verificare la tua affermazione?»
A Polemarco non sfuggì l’occhiata del suo amico. «Forse misurando i lati con quella corda?» rispose indicando la fune annodata.
Eudosso annuì. Polemarco prese subito la fune con un movimento rapido.

«I lati della tavola grande misurano entrambi 10 nodi. Quindi si tratta effettivamente di un quadrato», disse dopo aver misurato i due lati.

«Hai verificato che i lati sembrano avere la stessa lunghezza», precisò Eudosso.
«Sembrano?» rispose Polemarco guardandolo sorpreso.
«La corda ci permette di avvicinarci alla misura, ma non di raggiungere una certezza assoluta. Potremmo dividerla in parti sempre più piccole, infittendo i nodi, ma rimarrebbe sempre la possibilità che una differenza ancora minore sfugga alla nostra misura.»
«Quindi non possiamo mai essere sicuri?»

«Possiamo essere sicuri solo quando ragioniamo sulle figure ideali che immaginiamo nelle nostre menti. Non quando misuriamo gli oggetti del mondo», disse Eudosso indicando le tavole. «La geometria non cerca la perfezione nelle tavole che costruiamo, perché nessuna di esse è perfetta. Le tavole ci aiutano a vedere il problema, ma la certezza non viene dagli occhi. Viene dalle figure perfette che la nostra mente costruisce e dai rapporti che il nostro ragionamento riesce a stabilire.»
Polemarco annuì.
«Ma», aggiunse Eudosso, «per semplificare le cose, noi considereremo le nostre tavole come figure geometriche perfette. Misuriamo dunque i lati dell’altra tavola.»

 

«I lati del rettangolo misurano 4 nodi e 3 nodi.»
«Bene. Ora, tu sai che cos’è una diagonale?»
«Certo. È il segmento che unisce questi due vertici», disse Polemarco indicando due vertici opposti del rettangolo.
«E conosci anche il teorema dei pitagorici?»
«Sì, l’ho imparato.»

«E allora saprai applicarlo per trovare la misura di questa diagonale.»
Polemarco osservò la figura per qualche istante. «Ma certo!» esclamò infine. «La diagonale divide il rettangolo in due triangoli. E l’ipotenusa dei triangoli coincide con la diagonale. Le aree dei quadrati costruiti sui lati misurano… 9 e 16 nodi quadrati e la loro somma è… 25. Quindi 25 è l’area del quadrato costruito sulla diagonale. E il lato del quadrato di area 25 misura 5 nodi. Quindi anche la diagonale misura 5 nodi.»

«Perfetto» lo lodò Eudosso. «E, visto che hai usato il teorema, sappiamo che il risultato vale anche per la figura ideale che abbiamo costruito nella nostra mente. Ma prova a verificare il risultato misurando quella diagonale.»

«Effettivamente misura 5 nodi.»
«Dunque abbiamo verificato che possiamo esprimere con un numero la misura di quella diagonale?»
«Certo.»
«E questo accade per ogni figura?» chiese Eudosso.
«Uhm… Credo di sì» disse l’allievo.

«Allora adesso proviamo con la tavola più grande», disse Eudosso indicando il quadrato. «Secondo te sarà più difficile trovare la lunghezza della diagonale?»

Polemarco osservò la figura. «No, maestro. Dunque,» disse, aggrottando le sopracciglia, «le aree dei quadrati costruiti sui lati misurano entrambe… 10 volte 10, cioè 100 nodi quadrati. La loro somma, che poi sarebbe l’area del quadrato costruito sulla diagonale, è 200 e quindi basterà trovare il lato del quadrato di area 200.»

«Hai un’idea di quale possa essere quel numero?»
Polemarco osservava la figura e aguzzava l’orecchio per captare eventuali suggerimenti.
«Forse una misura con la corda potrebbe darti un’idea» lo esortò Eudosso.
Polemarco prese la corda e la tese lungo la diagonale.

«Misura… 14 nodi.»
«Bene. Allora verifichiamo se 14 volte 14 è uguale a 200» disse Eudosso rivolgendosi agli altri scolari.
«No, è uguale a 196», rispose il compagno di Polemarco dopo qualche istante.
«Sei sicuro che misurasse proprio 14 nodi?»

Polemarco tese di nuovo la corda lungo la diagonale. Guardando meglio si accorse che il vertice del quadrato superava di poco quel nodo.
«No. La misura non coincide perfettamente. È poco più di 14 nodi, ma molto meno di 15», rispose.
«Bene. Ma possiamo accontentarci di una misura del genere?»
«No…» disse Polemarco pensieroso. «Forse… dovremmo cercare una misura più precisa.»
«E se dividessimo ogni nodo della corda in dieci parti?» propose Eudosso. «E poi ancora in dieci parti, e così via?»
«Otterremmo una corda… che misura con più precisione.»
«Quindi potremmo trovare la misura precisa della diagonale?»
«Credo di sì» azzardò Polemarco.

«È quanto credevano anche i pitagorici di Crotone fino a più di un secolo fa» osservò Eudosso. «Poi arrivò Ippaso da Metaponto.»
«Chi è Ippaso?», chiese prontamente Polemarco.
«Un allievo di Pitagora» rispose il maestro. «Ma non un allievo qualsiasi. Era il più brillante della comunità dei pitagorici di Crotone», proseguì, guardando negli occhi l’allievo.
«E che cosa fece Ippaso?»

«Si racconta che Ippaso volesse confermare la teoria del suo maestro. “Tutto è numero” asserivano i pitagorici. Tutto nell’universo si può riportare a un numero. Ma poi scoprirono un’eccezione. Un oggetto che sembrava non corrispondere a nessun numero. Ma Ippaso si intestardì. Voleva trovare quel numero per salvare la teoria del suo maestro. Invece si accorse che effettivamente non esisteva. E lo dimostrò.»
«E che successe poi?» chiese Polemarco impaziente.

«Si dice che alcuni pitagorici avrebbero voluto mantenere segreta quella scoperta. Ammettere che esisteva un oggetto a cui non corrispondeva un numero avrebbe messo in discussione il fondamento stesso della loro visione del mondo. Ma Ippaso non volle cedere! Troppo forte era il suo desiderio di non tradire quanto aveva scoperto.»
Polemarco fissava il suo maestro. Era immerso nel racconto. Anche il resto degli scolari ascoltava avidamente.
«Quindi Ippaso preferì contraddire il suo maestro per mantenersi fedele a quanto aveva scoperto?» osservò il giovane.
Eudosso rimase in silenzio per un istante. Sembrava cercare con cura le parole. «Il suo rispetto per la verità», disse infine, «era più forte del desiderio di compiacere chi lo aveva guidato.»

«Ma qual era quindi l’oggetto che non corrisponde a nessun numero?» chiese Polemarco, passando da una curiosità all’altra.
«Quale pensi che possa essere?»
Polemarco alzò lo sguardo verso l’alto. Poi lo abbassò verso la tavola quadrata. Rimase immobile per un istante. Di colpo i suoi occhi si illuminarono.
«Nooo!» gridò. Tutti gli scolari trattennero il fiato. «È quella! È la diagonale del quadrato!»
Eudosso annuì mentre un sorriso gli si allargava sul volto. «È proprio quella» confermò.

«Ma perché non può essere misurata con la corda che usiamo per misurare il lato?»
«Non sappiamo perché la natura delle cose sia fatta così. Ma sappiamo dimostrare che non può esistere una misura comune tra lato e diagonale di un qualsiasi quadrato.»

Per qualche istante nessuno parlò. Alcuni scolari si guardavano increduli. Altri guardavano la tavola, come se quella figura familiare fosse diventata improvvisamente una meraviglia da ammirare. Ora nascondeva qualcosa che nessuno aveva mai visto. Qualcuno la osservava come se, insistendo abbastanza, l'errore potesse infine rivelarsi.

Poi Eudosso ruppe il silenzio. «Però io ho trovato un metodo, se non per misurarla, almeno per imbrigliarla.» Gli scolari si scambiarono rapide occhiate. L'incredulità sembrò lasciar posto allo stupore. «Un metodo che permette di ragionare su grandezze come questa senza doverle misurare», continuò. «Anche ciò che non può essere espresso con un numero può essere conosciuto. Non sempre la conoscenza richiede una misura esatta. A volte possiamo avvicinarci progressivamente alla verità senza pretendere di afferrarla tutta in una volta.»

«E come funziona il metodo?» chiese Polemarco sempre più curioso.
«Se quel numero non è afferrabile in un solo gesto», disse Eudosso chiudendo di scatto la mano, come se volesse davvero afferrarlo, «io ho pensato di racchiuderlo entro limiti sempre più precisi», proseguì, spingendo lentamente le mani in avanti e facendole convergere, «confrontandolo con grandezze che gli si avvicinano sempre di più e restringendo progressivamente il campo delle possibilità, in un processo che, almeno in teoria, si può ripetere senza fine.»

«E come si fa?»
«Di solito mostro questo metodo solo dopo qualche altra lezione», rispose il maestro.
Polemarco abbassò appena il capo, incapace di nascondere la delusione.
«Ma la curiosità merita qualche eccezione», riprese sorridendo mentre gli occhi del ragazzo si illuminavano. «Quindi vi anticiperò l’idea essenziale.»

«Visto che abbiamo usato questo quadrato», continuò Eudosso avvicinandosi alla tavola, «o meglio, la nostra immagine ideale di questo quadrato», precisò indicandosi la testa, «vi mostrerò il procedimento partendo da qui. Ma questa volta, anziché usare misure sempre più piccole, faremo il contrario: considereremo quadrati sempre più grandi.»
«A che servono quadrati più grandi?»
«Ve lo mostrerò tra un po’. Però dovrete fare uno sforzo di immaginazione, perché costruire tavole così grandi sarebbe piuttosto complicato.»
«Ci proviamo», disse Polemarco voltandosi verso i compagni che annuirono quasi all’unisono.

«Bene. Allora immaginate una corda molto più lunga con i nodi sempre separati dalla stessa distanza.» Gli scolari annuirono. «Adesso immaginate un quadrato con un lato lungo cento nodi, cioè dieci volte quello del quadrato attuale.»
Un vociare si diffuse tra gli scolari.
«Cento nodi!»
«Enorme!»
«Ora, se andiamo a misurare la diagonale di quel quadrato, quanto misurerà secondo voi?», chiese Eudosso gettando uno sguardo su tutti i presenti.
«Poco più di 140 nodi, ma molto meno di 150», rispose Polemarco dopo qualche istante.
«Siete d’accordo?» chiese Eudosso rivolgendosi a tutti gli scolari.
Molti annuirono subito. Pochi altri, più incerti, seguirono il loro esempio subito dopo.

«E questo metodo», aggiunse, «oltre a delimitare i confini della diagonale, ci permette anche di conoscerla con precisione sempre maggiore. Ad esempio», proseguì, «grazie alla geometria, siamo riusciti a restringere ulteriormente i confini, racchiudendo la diagonale del quadrato di lato 100 tra 141 e 142. Cioè, nel nostro caso specifico, sappiamo che essa supera i 141 nodi, ma non raggiunge i 142. Ora, se ripetiamo l’esercizio mentale con un quadrato con un lato di 1000 nodi…»
«Mille nodi?!»
«Assurdo!»

«Dicevo, ripetendo lo stesso ragionamento con un quadrato di lato mille, troviamo che la diagonale supera i 1414 nodi, ma resta inferiore ai 1415. Ma ora voglio farvi una domanda. Pensate che, continuando il procedimento con quadrati sempre più grandi, si arriverebbe a un passo in cui la diagonale misura un numero preciso di nodi?»

«Maestro» esclamò Polemarco dopo un istante. «Avete dato voi stesso la risposta poco fa. Se trovassimo un numero preciso di nodi, avremmo trovato il numero che misura la lunghezza precisa di quella diagonale. Ma voi avete detto che Ippaso ha dimostrato il contrario.»
«Bravo, Polemarco! È proprio così! Proseguendo questo procedimento, non otterremo mai una misura precisa, ma, se potessimo continuare senza fermarci, racchiuderemmo la diagonale tra limiti sempre più stretti, conoscendone la lunghezza con precisione sempre maggiore. Eppure… non riusciremo mai ad afferrarla del tutto.»

Quel ragazzino ha un'intelligenza rara, pensò Eudosso mentre tornava a casa. Merita di essere accompagnato verso la ricerca della verità.
La via che costeggiava le acque del mar Propontide era animata da mercanti, marinai e carretti diretti ai moli. Schiamazzi in lingue diverse arrivavano dal porto insieme al cigolio delle carrucole che sollevavano le merci.

Gli tornò in mente la vitalità di Atene: incomparabilmente più accesa. D’altronde Cizico non poteva competere con quell'immensità. Tuttavia Atene lo aveva respinto. Il pensiero andò subito a Platone e alle lezioni dell'Accademia. La ferita si era rimarginata, ma a volte gli bruciava ancora. Ma in quel momento i colori del tramonto sul mare erano come un balsamo. Per un istante fu pervaso da una sensazione di pace e di armonia con l’universo. Lì, in quel margine del mondo greco, un ragazzino con il chitone impolverato aveva appena intravisto l'incommensurabile.

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - terza parte

 Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   Nota¹ 

«Uhm», annuì Platone.

«Poi, si costruisce il cilindro che passi per il cerchio rosso», disse mostrando il cilindro rosso.

 

 

 

«E, infine, il cerchio giallo viene fatto ruotare in modo da formare questo toro», disse mostrando il toro giallo.



«E ora dovremmo immaginare la presenza contemporanea di questi tre solidi costruiti a partire da quei tre cerchi. I tre solidi si intersecherebbero in quattro punti»². Platone annuì dopo aver riflettuto qualche istante.

«E così il procedimento è finito. Perché prendiamo uno di questi punti d’intersezione, lo proiettiamo sul piano del cerchio rosso, e poi proiettiamo quel nuovo punto sull’asse del cono azzurro.

Ed ecco che il segmento compreso tra il vertice di quel cono e quel secondo nuovo punto sarà proprio il lato del cubo di volume doppio rispetto al cubo iniziale».

Platone lo guardava ammirato ed Eudosso sentiva tutta la gratificazione del momento.

«E la dimostrazione?», chiese Platone.

«La dimostrazione… è un po’ complicata», disse Eudosso dopo un istante di esitazione. «Il maestro ha voluto che ogni allievo la scrivesse. È tutta qui», disse mostrando le tavolette che aveva portato con sé.

Platone ne prese in mano un paio. Erano sette in tutto. Contenevano fitte descrizioni testuali che, a partire dal lato del cubo da raddoppiare, definivano esattamente tutti i passaggi per costruire i tre cerchi, i tre solidi e l’intersezione tra di loro. Nelle altre tavolette seguiva la dimostrazione di come quel punto di intersezione permetteva di costruire il lato del cubo con volume doppio rispetto al cubo costruito sul segmento iniziale.

Eudosso aveva ragione. Quella dimostrazione era tra le più complesse che avesse mai visto.

«È stupefacente!», sussurrò infine Platone. «L’occhio della ragione di Archita è tra i più acuti che io abbia mai conosciuto. Pochi come lui riescono a ricostruire così bene gli oggetti a partire dalle loro ombre». Il giovane lo guardava perplesso.

«Non capisco bene il discorso delle ombre e degli oggetti», disse infine.

«Credi che questo sia un cubo?», chiese Platone indicando la figura di legno che avevano usato poco prima.

«Beh… dire di sì».

«Se fosse un cubo quei dodici spigoli dovrebbero avere tutti esattamente la stessa lunghezza. E tutti quegli angoli dovrebbero essere perfettamente retti», osservò Platone. «Credi che le cose stiano così?» Eudosso lo guardava con le ciglia aggrottate. «Il falegname che lo ha costruito ha usato i suoi strumenti per renderlo il più possibile simile a un cubo», riprese Platone. «Ma se avesse avuto a disposizione strumenti più precisi, non si sarebbe accorto che quei dodici spigoli non hanno tutti esattamente la stessa lunghezza? Non si sarebbe accorto che quegli angoli non sono tutti esattamente retti?». Eudosso annuì dopo qualche istante di riflessione. «Quel pezzo di legno», continuò Platone, «è solo la proiezione dell’ombra del quadrato ideale. È il nostro tentativo di rappresentare qualcosa che non potremo mai produrre materialmente ma che potremo solo contemplare nel mondo delle idee investigandolo attraverso la ragione». Eudosso annuì più convinto. «Tornando, invece, all’aspetto più pratico, relativo al calcolo e alla dimostrazione», proseguì Platone, «una differenza che noto è che nel caso della duplicazione del quadrato si usa solo la figura di partenza più alcuni segmenti tracciati a partire da quella figura. Sono tutte operazioni geometriche che potrebbero essere eseguite usando solo gli strumenti della riga e del compasso. Mentre nel caso del cubo bisogna ricorrere alla costruzione di altre figure piane, di altre figure solide, di intersezioni e proiezioni. Certo, funziona, ma…».

«Ma, cosa?». «Mi chiedo se non esista una dimostrazione così semplice anche per la duplicazione del cubo. Da una parte», cercò d’illustrare meglio all’occhio curioso di Eudosso, «abbiamo tre cerchi, un cono, un cilindro, un toro, intersezioni e proiezioni. Mentre dall’altra», proseguì Platone, «abbiamo solo qualche prolungamento di lato, il tracciamento di quattro diagonali e una semplice dimostrazione. Ecco… mi chiedevo se non esistesse una costruzione più semplice anche per la duplicazione del cubo. Una dimostrazione che si possa produrre usando solo la riga e il compasso». Eudosso continuava a fissarlo assorto. «Beh, comunque grazie per la spiegazione. Questo nostro primo incontro è stato molto fruttuoso. Spero lo siano anche i prossimi», disse infine Platone. Poi si accomiatò.

 

¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

² Con notazione moderna.

 

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

«Beh… è difficile spiegarla senza una copia delle figure geometriche… Ma casa mia è dietro l’angolo», aggiunse subito. «Lì ho le copie che il maestro Archita ci ha fatto usare».

Eudosso tornò, poco dopo, carico di oggetti che a stento riusciva a trasportare. Diverse tavolette erano serrate sotto l’ascella destra, alcuni sottili dischi di legno colorato sotto l’altra ascella e le mani stringevano altre figure di legno, anch’esse colorate. Alcuni passanti li guardarono incuriositi.

«Spostiamoci verso quell’angolo un po’ più in disparte», lo esortò Platone.

Raggiunto il luogo più nascosto il giovane lasciò cadere tutto il materiale a terra. «Immaginiamo che questo sia il cubo che vogliamo duplicare», cominciò dopo aver recuperato la figura. «Il primo passo della costruzione consiste nel formare tre cerchi il cui raggio corrisponda alla lunghezza del lato del cubo», proseguì poggiando il cubo sul disco rosso per mostrare l’equivalenza.

Nota¹ 

«Poi dovremo disporre i tre cerchi sui tre piani individuati da tre delle facce adiacenti del cubo».

Per mostrare la disposizione Eudosso chiese a Platone di tenere il cubo con una mano in modo tale che una faccia fosse parallela al terreno, e il cerchio rosso con l’altra mano, anch’esso orientato parallelamente al terreno. Poi lui dispose gli altri due cerchi, uno azzurro e uno giallo, vicino al primo ma li orientò verticalmente rispetto a quello e in modo che fossero perpendicolari tra di loro.

«Adesso, usando l’immaginazione», riprese Eudosso con fare saccente, «dovremmo raffigurarci che questi tre cerchi si avvicinino l’un l’altro fino a sovrapporsi, in modo che ogni circonferenza abbia solo due punti d’intersezione con ognuna delle altre».



«Ho capito», disse immediatamente Platone un po’ infastidito.

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   

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¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

Il giovane fissava il maestro riflettendo sulle sue parole. Aveva già sentito critiche rivolte al sistema democratico, ma mai sostenute da argomentazioni così convincenti.

«Comunque», fece Platone voltandosi verso Eudosso e interrompendo quel flusso di pensieri, «parlavo dell’importanza della matematica. Durante questo soggiorno a Taranto, vivendo a stretto contatto con voi e immergendomi negli insegnamenti della scuola pitagorica di Archita, mi sono convinto che la natura stessa del numero e degli enti geometrici è un faro che illumina la strada della comprensione della realtà. Numeri e figure geometriche esistono nel mondo delle idee, mentre nel mondo reale vediamo solo la proiezione delle loro ombre. Ma, numeri ed enti geometrici non sono meno reali di ciò che vediamo e tocchiamo. Anzi, sono sempre più convinto che la vera realtà risieda proprio nel mondo delle idee, quella che si può vedere solo con l’occhio della ragione, come sostenevano anche Parmenide e Zenone».

Eudosso lo guardava vagamente confuso. Frattanto avevano raggiunto l’avvallamento che precedeva la lieve salita verso la penisoletta dell’acropoli. Alcuni uomini stavano trasportando un’imbarcazione leggera da una sponda all’altra della penisola.

«Tuttavia…», Platone sembrava cercare le parole giuste, «abbiamo appena parlato degli aspetti teorici dei numeri e della geometria, ma per quelli più… pratici. Mi riferisco ai calcoli, ai metodi di manipolazione geometrica, alle tecniche di dimostrazione», Eudosso lo fissava dubbioso.

«Ecco, per quegli aspetti… credo che sarebbe opportuno…», il maestro parlava con frammentata cautela, stentando ad arrivare alla conclusione. Forse era ancora in dubbio. Non sarebbe stato più saggio parlarne con Archita? Ma forse non voleva rivelare così apertamente la sua ignoranza proprio al maestro. «Penso che le tue competenze mi sarebbero molto utili». Gli occhi del giovane s’illuminarono. «Vorrei dunque proporti una serie di incontri per discutere di quei temi».

«Ma sì, certo!». Eudosso faticava a trattenere l’entusiasmo. «Anzi, possiamo cominciare subito. Sono a vostra completa disposizione».

«Beh … Ci sarebbe…», tentennò Platone mentre i suoi occhi fissavano le colonne del tempio di Poseidone. Alcuni fedeli stavano assistendo a una cerimonia davanti all’altare esterno. «Vedi, Eudosso», riprese, «ci sono metodi, come quello per la duplicazione del quadrato, che sono facili da comprendere e da riprodurre. Lo si fa semplicemente tracciando linee aggiuntive a partire dal quadrato che si vuole duplicare. Invece… Per la duplicazione del cubo… So che ci sono vari metodi…».

  
«Ah, conosco bene la duplicazione del cubo», replicò subito il giovane. «Il maestro Archita ha preteso che la studiassimo a fondo. Anche perché… la vera soluzione è sua. Quella di Ippocrate è insufficiente perché semplifica il problema ma non lo risolve», sentenziò sistemandosi il chitone sulle spalle. Era un gesto tipico di Archita che il giovane aveva fatto suo. Lo usava, più o meno inconsapevolmente, quando si atteggiava a maestro. «Allora, il problema della duplicazione del cubo», proseguì, «è nato da una richiesta del dio Apollo. La città di Delo era stata colpita dalla peste e i suoi abitanti si radunarono a pregare intorno all’altare a lui dedicato per chiedere di esserne liberati. Attraverso il suo oracolo il dio disse che avrebbe sconfitto la peste se loro avessero raddoppiato l’altare. E, stupidamente,…»

«…loro raddoppiarono il lato dell’altare esistente, che era di forma cubica, ottenendo un altare otto volte più grande», lo interruppe Platone. «Sì, lo sappiamo».

«Ehm…», fece Eudosso. «Sì, lo si sa», ripeté un po’ frustrato. «Dicevo quindi che la soluzione di Ippocrate è insufficiente perché non fa altro che ridurre un problema di geometria dei cubi a un problema di geometria dei triangoli ma il calcolo rimane insolubile. Invece il mio maestro Archita ha trovato la soluzione concreta e non solo teorica, come quella di Ippocrate», sorrise riprendendosi dalla frustrazione.

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

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Maieutica e duplicazione del quadrato - terza parte

 Continua da Pitagora e dintorni: Maieutica e duplicazione del quadrato - seconda parte

Atene, gennaio 386 a.C.

«Allora», riprese Teeteto, «proviamo a disegnare daccapo questi quattro quadrati», disse mentre tracciava una copia semplificata del precedente schema. «E ora aggiungiamo quattro linee da angolo ad angolo di ognuno dei quattro quadrati piccoli».

«Adesso dimmi: queste quattro linee non tagliano in due ognuna di queste quattro aree?».

«Sì, mi sembra che le tagliano in due».

«E questi quattro lati uguali che figura formano?», chiese Teeteto mentre muoveva il bastoncino circolarmente lungo il perimetro della nuova figura interna.

«Non capisco la domanda, signore».

«Non si chiama quadrato la figura con quattro lati uguali?».

«Certo, signore».

«Quanto è grande, allora, l’area di questo quadrato interno?».

«Non lo so», scosse la testa Menone.

«Rifletti», lo spronò Teeteto. «Non abbiamo detto che ogni linea ha diviso a metà questi quattro quadrati piccoli?».

«Sì».

«Ricordi quanto misurava l’area di quei quadrati piccoli, che poi erano una copia del quadrato iniziale?».

«Quattro piedi, signore».

«Quanto misureranno, dunque, quelle metà?».

«Due piedi».

«E quante di queste metà riempiono l’interno di questo nuovo quadrato obliquo?».

«Quattro, signore».

«L’area di quel quadrato non misurerà allora quattro volte due piedi?».

«Certo… otto piedi… ma allora è questo!», gridò Menone dopo averci pensato un istante. «È questo il quadrato di area doppia che cercavamo!», esultò guardando gioioso Teeteto ed Eudosso.

Come uno specchio deformante, il volto di Teeteto trasformò il sorriso d’entusiasmo in un ghigno di rivalsa e lo proiettò verso Eudosso.

«Sapresti indicarmi qual è il lato di quel quadrato?», intervenne Platone.

«Questo, signore», rispose Menone avvicinando il dito a una delle quattro linee oblique.

«Cioè la linea tesa da angolo ad angolo dell’area di quattro piedi?».

«Sì, quella».

«Sappi che quella linea si chiama diagonale del quadrato. Dunque abbiamo appurato che la diagonale di un quadrato genera un quadrato di area doppia rispetto al quadrato iniziale, giusto?».

«Giusto».

«Ora dimmi se non abbiamo assistito a un prodigio», chiese Platone rivolgendosi a Eudosso. «Trovi che qualche opinione espressa da Menone non fosse sua?».

«No», rispose Eudosso, «ma…».

«Ma?», replicò Teeteto con un tono di sfida.

«Sei stato tu a tracciare le diagonali. Lui, da solo, non ci sarebbe mai arrivato».

«Questa è l'arte della maieutica!», sentenziò Platone. «Prevede la presenza di una guida. O, come preferiva dire Socrate, di una levatrice che agevoli la rinascita delle idee che giacciono dormienti nel profondo dell’anima. L’anima è immortale e rinasce più volte. E nel suo lungo ciclo di reincarnazioni ha già visto tutto, sia nel mondo dei vivi sia nell’Ade. E non c’è niente che essa non abbia già imparato. Non dovremmo dunque meravigliarci se è capace di ricordare ciò che già sapeva». Eudosso contemplava il maestro. Ora la sua barba era quasi totalmente imbiancata dai fiocchi di neve che cadevano più intensi. «Il metodo di Socrate prevede domande e risposte tra maestro e allievo, e procede per eliminazione delle risposte contraddittorie o irragionevoli. E può far anche emergere l’infondatezza di verità che diamo per scontate, declassificandole al loro vero ruolo di opinioni. È così che l'allievo viene indotto ad accorgersi della propria ignoranza e a discernere le verità dalle false presunzioni».

«Sì, ma le diagonali…», ribadì Eudosso con gli occhi che tradivano un barlume di incertezza.

«Il suggerimento di Teeteto sulle diagonali rientra perfettamente nel metodo della maieutica», dichiarò Platone apodittico.

Il giovane tacque. Osservò un nuovo scambio di sguardi tra Platone e Teeteto. Si rese conto che non era più il caso di insistere su quella linea.

«Ho capito», disse infine abbassando la testa.

«Bene», disse il maestro scrollandosi un po’ di neve dalla barba. «Credo che sia arrivato il momento di rientrare a casa».

In quel momento Eudosso non immaginava quanto quella conversazione avrebbe influenzato il suo futuro.

Maieutica e duplicazione del quadrato - seconda parte

Continua da Pitagora e dintorni: Maieutica e duplicazione del quadrato - prima parte

Atene, gennaio 386 a.C.

...«E ora sta’ a vedere come ricorderà le cose che deve ricordare», disse Teeteto in tono di sfida. «Dimmi, Menone», riprese, «tu dici che dal lato doppio si genera l’area doppia, ma avere il lato doppio non significa che raddoppiamo solo uno dei quattro lati, significa che li raddoppiamo tutti e quattro, perché la figura risultante dovrà essere ancora un quadrato. Pensaci bene, a tuo parere, l’area di otto piedi risulterà dal lato di quattro piedi?».

«A me…», rispose Menone dopo qualche istante «sembra così», concluse sempre più intimorito mentre Eudosso reprimeva una risata sotto lo sguardo severo di Platone.

«Allora», fece Teeteto paziente aspirando profondamente, «aggiungiamo una linea della stessa lunghezza del lato a partire da qui», continuò mentre tracciava la linea a partire da un vertice del quadrato.

«Che lunghezza avrà la linea risultante formata dalle due linee?»

«Beh, il doppio»

«Bravo», disse Teeteto. Un lieve sorriso allentò un po’ di tensione dal volto di Menone. «Dunque è dal quadrato che ha questa linea per lato che tu pensi risulterà l’area di otto piedi?», chiese Teeteto muovendo il bastoncino lungo il lato raddoppiato.

«A me… pare così», confermò il ragazzo di nuovo titubante.

L’occhiata preventiva di Platone frenò ogni possibile espressione di Eudosso.

«Tracciamo dunque quattro lati uguali a partire dal lato raddoppiato», disse Teeteto disegnando il quadrato di lato quattro piedi.

«Sarebbe questa l’area che tu dici essere di otto piedi?»

«Credo di sì».

«E vedi che quest’area è composta da questi quattro quadrati, ognuno dei quali è uguale a quello iniziale di area quattro piedi?», chiese Teeteto raddoppiando anche gli altri due lati del quadrato piccolo.

«Sì, lo vedo».

«Dunque l’area totale non è il quadruplo di quella iniziale?».

«Sicuramente!».

«Ma prima avevi detto che quest’area era il suo doppio. Allora il doppio è uguale al quadruplo?».

«No, per Zeus! Mi sbagliavo», si affrettò a dire Menone. «È il quadruplo non il doppio». Il volto di Eudosso si contrasse.

«Quindi abbiamo appurato che dal lato doppio risulta un’area non doppia ma quadrupla», sottolineò Teeteto lanciando uno ghigno verso Eudosso.

«È vero!», ammise il ragazzo rincuorato.

«E quattro volte quattro fa sedici, no?», continuò Teeteto.

«Sì».

«Ma allora, da quale lato risulta, invece, un’area di otto piedi?» Menone lo guardava pensoso. «Non risulterà da un lato maggiore di questo e da un lato minore di quest’altro?», chiese Teeteto passando il bastoncino sul lato di due piedi e poi su quello di quattro.

«Beh… mi sembra di sì».

«E quindi non è vero che l’area di otto piedi dovrà essere compresa tra queste due aree?», incalzò Teeteto muovendo il bastoncino sul primo quadrato piccolo e poi su quello grande.

«Certo che è vero!», rispose convinto il ragazzo.

«Prova, allora, a dire quanto potrebbe essere lungo il lato di quel quadrato», lo sollecitò.

«Uhm», fece Menone. «Forse tre piedi?».

Eudosso scosse la testa. “Non troverà mai la risposta giusta “, pensò. Ma, visto l’atteggiamento del maestro, si guardò bene dall’esprimere quel pensiero.

«Allora», sospirò Teeteto. «Se quel lato fosse di tre piedi, lo costruiremmo aggiungendo un piede al lato di due piedi, giusto?».

«Giusto».

Teeteto tracciò una linea più marcata lunga tre piedi, scrisse un tre e costruì il corrispondente quadrato.

«Ah!» esclamò Menone schiaffeggiandosi la fronte. «Quel lato non può essere lungo tre piedi, perché l’area del quadrato che avete tracciato misura tre volte tre. Quindi nove e non otto».

Teeteto lanciò un nuovo sorrisino in direzione di Eudosso.

«Ma quanto misura allora questo maledetto lato!», starnazzò Eudosso spazientito.

«Non lo so, per Zeus! Non lo so!», fece Menone sconfortato. «Fa freddo! Lasciatemi tornare al lavoro».

«Calma, non scoraggiarti», disse Teeteto mentre Platone rimproverava nuovamente Eudosso.

«Vedi Eudosso», aggiunse poi Platone, «quanto stiamo osservando è un percorso in cui il giovane Menone acquista man mano la consapevolezza di ciò che crede di sapere e ciò che crede di non sapere e, al contempo, si riconnette con i suoi ricordi». La neve ricominciò a scendere rada dal cielo e qualche fiocco si posò sulla barba del maestro amplificandone le striature bianche.

«Uhm», muggì l’allievo.

«Non credi che abbia fatto progressi nel passare tra il pensare di sapere quale sia la lunghezza del lato di un quadrato di otto piedi di area ed essere consapevole di non saperlo?».

«Sì», ammise Eudosso.

«Allora», riprese Teeteto, «proviamo a disegnare daccapo questi quattro quadrati», disse mentre tracciava una copia semplificata del precedente schema. «E ora aggiungiamo quattro linee da angolo ad angolo di ognuno dei quattro quadrati piccoli».

Continua …

Maieutica e duplicazione del quadrato - prima parte

 

Atene, gennaio 386 a.C.

Quel mattino Eudosso si svegliò con una strana sensazione. Era quel freddo intenso che lo inquietava? O forse quel silenzio assoluto? Non sentiva il solito scalpitio che saliva dalla strada. A un tratto percepì grida lontane. Sembravano bambini. Apri la finestra e rimase senza fiato. Tutto era bianco. La strada, le case, gli alberi. Da alcuni tetti pendevano strane formazioni, come coni capovolti di un colore bianco semitrasparente. Deve essere la neve! “Dev'essere la neve!”, pensò. Lui non l’aveva mai vista. Ma gliene aveva parlato sua madre. L’ultima volta era caduta a Cnido prima che lui nascesse. Indossò velocemente chitone e imatio, e scese in strada.

…

Quel giorno, durante la lezione, Platone aveva chiesto a Eudosso di mostrare agli altri come costruire un quadrato di area doppia rispetto a un quadrato dato.

«È semplicissimo», aveva esordito il giovane. E si era immerso nei passi della costruzione mostrando molta destrezza con la matematica ma non altrettanta con la chiarezza dell’esposizione. Alla fine Eudosso parve compiaciuto nel vedere espressioni di smarrimento nella maggior parte degli scolari. Sembrava assaporare con gusto quel momento. Era una rivalsa sulle insolenze subite. Ma osservò anche uno scambio di occhiate tra Platone e Teeteto.

Mentre gli scolari defluivano dall’aula Teeteto lo raggiunse.

«Vogliamo fare un po’ di strada insieme?».

«Volentieri», rispose Eudosso ancora euforico.

«Mi unirò anch’io», disse Platone mentre i due giovani si incamminavano.

La neve aveva smesso di cadere e le nuvole, un po’ diradate, lasciavano filtrare a tratti flebili raggi di sole attraverso il cielo. Infastidito dal gioco mutevole di luce e riflessi, Eudosso volse lo sguardo verso la zona meno abbagliante e notò che il piazzale di fronte alla scuola era ormai quasi completamente sgombro. La maggior parte degli schiavi si stava concedendo una pausa e solo alcuni dei più giovani erano rimasti a lavorare.

«Non credo che molti abbiano capito la mia spiegazione», fece Eudosso con un ghigno.

Di nuovo quello scambio di sguardi.

«Vedi Eudosso…», esordì Teeteto con un’espressione severa, «il compianto maestro Socrate ci ha insegnato che il buon filosofo comunica il proprio pensiero in modo chiaro e comprensibile. Anzi», sottolineò con enfasi, «Socrate si è spinto oltre, affermando che non dovremmo neppure spiegare il nostro pensiero. Lui non si riteneva un sapiente, non pensava di avere una verità da trasmettere agli altri né di essere in grado di insegnare qualcosa. Ma credeva di avere la capacità di aiutare gli allievi a far riemergere la loro sapienza inconsapevole», disse scandendo l’ultima parola. «Il maestro amava usare la metafora della levatrice, visto che sua madre era una di esse. “Così come le levatrici aiutano le donne a dar luce al frutto della loro procreazione, io assisto le anime degli scolari a partorire idee fertili”, diceva. E per onorare quel parallelo chiamò maieutica quel suo metodo per far affiorare la verità dai suoi scolari inconsapevoli»

«Non ho capito. Socrate non si riteneva sapiente?! E se non lo era lui, chi può esserlo?!»

«Eppure lui ne era convinto. E noi dovremmo trarne insegnamento», disse Teeteto con foga.

«Socrate diceva di non essere sapiente e di non essere stato capace di partorire nessuna scoperta», intervenne Platone con tono pacato, forse per stemperare gli animi. «Ma aggiungeva che, chi lo frequentava, anche se incolto, ne traeva giovamenti sorprendenti, scoprendo cose straordinarie che prima non avrebbe neppure immaginato».

«Capisco», fece Eudosso conciliante, «ma non mi è chiaro che significhi far riemergere la sapienza inconsapevole».

«Significa che chiunque, se ben guidato, può arrivare a ricostruire conoscenze anche complesse!», disse Teeteto. «Significa che anche quel giovane servitore, ricevendo l’orientamento necessario, sarebbe in grado di ricostruire la duplicazione del quadrato!», sottolineò con enfasi mentre indicava uno dei giovani intenti a spalare la neve.

«Impossibile!», sbraitò Eudosso diffondendo una piccola nube di fiato condensato innanzi a sé.

«Vogliamo provare?», lo sfidò Teeteto.

«Ma è inutile provare! Non ci riuscirebbe mai!»

«Vedo che hai paura di perdere»

«No, è che non voglio vincere in modo troppo facile… ma se proprio ci tieni…»

Teeteto si precipitò a prelevare il giovane mentre Platone continuava a osservare in silenzio la scena. Sembrava sorpreso e un po’ divertito da tanta passione giovanile. Frattanto le nubi avevano ricominciato a ispessirsi.

«Come ti chiami?», chiese Teeteto.

«Menone, signore».

«Spostiamoci lì dove c’è ancora neve fresca», li invitò Teeteto mentre raccoglieva un bastoncino sufficientemente dritto.

«Ascolta, Menone, sai che un’area quadrata è fatta così?», cominciò mentre tracciava un quadrato sulla neve. «È un’area quadrangolare delimitata da quattro linee uguali».

«Sì, lo so»

«Se dunque questo lato fosse di due piedi e di due piedi questo, quanti piedi misurerebbe l’area?», disse mentre aggiungeva il numero vicino a uno dei lati.

«Quattro, signore».

«E non potrebbe esistere un quadrato con un’area che sia il doppio di questa?»

«Sì, certo».

«Quanti piedi misurerebbe?»

«Otto, signore».

«Bene, ora stai molto attento, prova a dirmi quanto sarebbe la lunghezza del lato di quel quadrato con area di otto piedi. Il lato di questa è di due piedi: quanto sarà il lato di quell’area doppia?»

«Beh, signore, sarà il doppio».

Eudosso scoppiò in una fragorosa risata. «Lato di quattro piedi e area di otto piedi!», disse mentre continuava a ridere dimenandosi e agitando le braccia. Alcuni schiavi in lontananza si voltarono a guardare il gruppetto.

«Non badare a lui», disse Teeteto rassicurante mentre il giovane Menone guardava Eudosso intimorito. «Ma rifletti ancora sulla mia domanda. Quanto sarà la lunghezza di ogni lato di quell’area di otto piedi? Il lato di quest’area di quattro piedi è di due piedi», disse muovendo il bastoncino sul quadrato tracciato nella neve, «quanto sarà il lato di quell’area doppia?»

«Beh», fece Menone esitante, «a me sembra proprio il doppio».

Eudosso riprese a ridere ancor più rumorosamente. Stavolta si voltarono anche alcuni scolari.

«Eudosso», intervenne Platone, «cerca di contenere il tuo sarcasmo». Il giovane a abbassò gli occhi. «Teeteto sta cercando di usare il metodo della maieutica», continuò il maestro. «Si limita a guidare Menone ponendogli domande per far riemergere la sua conoscenza, senza insegnargli nulla direttamente». Eudosso rialzò lo sguardo verso il maestro. «Abbiamo appena visto che Menone pensa di sapere quale sia la lunghezza del lato di un quadrato di otto piedi di area, giusto?».

«Giusto», ammise Eudosso incupito.

«E dunque, se pensa di saperlo credi che lo sappia davvero?».

«Non credo», disse l’allievo un po’ rinvigorito.

«E ora sta’ a vedere come ricorderà le cose che deve ricordare», disse Teeteto in tono di sfida.

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