sabato 12 marzo 2011

Il rinascimento: Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese - Terza parte

Nella puntata precedente abbiamo lasciato Tartaglia di fronte al dilemma se resistere nonostante il giuramento di Cardano, oppure cedere rivelando la formula.
Cardano nel suo giuramento aveva abilmente tirato in ballo la fede cristiana. Tartaglia non se la sentì di infliggere un tale affronto a Cardano e cedette così a malincuore la formula.
Dopo aver decifrato l'enigma in versi, dietro il quale Tartaglia in un ultimo disperato tentativo aveva celato la formula, Cardano cominciò ad impegnarsi in ulteriori ricerche personali.
Il frutto di tali ricerche non tardò ad arrivare. Cardano scopre il celebre casus irriducibilis. Quel caso cioè in cui l'equazione di terzo grado ha tutte e tre le radici reali, ma nonostante ciò, per calcolare tali radici reali è necessario passare attraverso radici quadrate di numeri negativi. Sappiamo tutti però che un numero reale elevato al quadrato dà sempre come risultato un numero positivo (meno per meno fa più, no?). Ma allora che cosa erano questi numeri che elevati al quadrato davano come risultato un numero negativo? Che senso potevano avere a quei tempi in cui c'era molta riluttanza persino ad accettare i numeri negativi stessi? Figuriamoci le radici quadrate dei numeri negativi!
Ma Cardano fu molto pragmatico. Funzionano? Sì! E allora li usiamo. Sono ... un artificio algebrico utile per il calcolo.
Numeri "sofistici" li denominò. Con il tempo però tali numeri si rivelarono molto utili. Anche se inizialmente sembravano veramente degli artifici algebrici "che non dovrebbero esistere". Così vennero dapprima denominati "numeri immaginari" e poi numeri complessi. Cardano quindi, oltre che delle soluzioni dell'equazione di terzo grado, è anche considerato uno dei padri dei numeri complessi. Vedremo in seguito che molti altri matematici contribuirono allo sviluppo di tali numeri. Uno di questi fu Raffaele Bombelli. Ma ce ne occuperemo nelle prossime puntate.

Oltre alla scoperta del casus irriducibilis, Cardano fu anche il primo a produrre una dimostrazione rigorosa della formula risolutiva. Quindi, nonostante i raggiri, il contributo di Cardano allo sviluppo complessivo della formula non è affatto trascurabile.

Nei cinque anni successivi Cardano continua il suo lavoro di medico portando contemporaneamente avanti la stesura della sua Ars Magna, che vedrà la luce nel 1545. Con quest'opera la reputazione di Cardano assurgerà in breve tempo a quella di algebrista più celebre ed esperto d'Europa.
Tartaglia se ne procura prontamente una copia, e si accorge subito che l'Ars Magna contiene sia la soluzione dell'equazione di terzo grado, per cui viene esplicitamente citato il suo nome, che quella dell'equazione di quarto grado, la cui paternità viene attribuita a Lodovico Ferrari: "creato" e creatura di Cardano. 
La rottura del giuramento fa ovviamente infuriare Tartaglia. Il quale, da come lo riporta Lodovico Ferrari, taccia Cardano di essere "ignorante nelle matematiche, poverello, uomo che tien poco sugo e poco discorso, e altre parole ingiuriose le quali per tedio lascio da parte".

Tuttavia Cardano, nella citazione dei contributi per la scoperta delle formule, non si era limitato a citare Tartaglia e Ferrari. Egli aveva citato anche Scipione del Ferro. Ed è proprio questa citazione a fornirci degli indizi sul motivo che poteva aver indotto Cardano a rompere il giuramento. Il fatto cioè di aver scoperto che Tartaglia non poteva vantare il primato sulla paternità delle formule. Primato che Tartaglia doveva condividere con Scipione del Ferro. Ma forse a spingere Cardano alla rottura del giuramento aveva contribuito anche il fatto che la soluzione dell'equazione di quarto grado era stata ottenuta a partire dalla soluzione dell'equazione di terzo grado. E quindi la pubblicazione della prima non poteva prescindere dalla pubblicazione della seconda.

Volendo trarre delle conclusioni, citando Dario Bressanini, si può affermare che quelle che ancora oggi vengono denominate formule di Cardano forse dovrebbero più correttamente essere chiamate formule di Del Ferro-Tartaglia-Cardano"tre autori per un'equazione di grado tre".
Comunque la si voglia interpretare non si può sicuramente negare che queste soluzioni siano un puro prodotto di quel grande movimento intellettuale, artistico, scientifico e culturale che è stato il Rinascimento italiano.
Il problema della soluzione dell'equazione cubica, che tanto aveva infruttuosamente impegnato le menti di molti grandi matematici greci, cinesi, indiani ed islamici, era stato finalmente risolto. Quello di Del Ferro-Tartaglia-Cardano è probabilmente il maggiore contributo dato all'algebra da quando i babilonesi avevano capito come risolvere le equazioni di secondo grado quattromila anni prima.

Arrivati a questo punto ci si potrebbe chiedere: ma una volta arrivati al quarto grado, non ci si potrebbe spingere a cercare le soluzioni per il quinto e poi per il sesto, fino magari ad arrivare ad una formula generalizzata per il grado n? Effettivamente ci provarono in molti. Ma vedremo che dal quinto grado in poi la situazione si fa un po' più ingarbugliata. E la risposta definitiva arriverà solo più di due secoli dopo con Ruffini e Abel.

Dopo l'Ars Magna Cardano riuscì a produrre un altro importante contributo alla matematica contenuto in un libro scritto intorno al 1560: il Liber de ludo aleae. Libro che tratta di probabilità nel gioco e di metodi per barare. Nonostante gli scopi non propriamente edificanti, il Liber de ludo aleae contiene la prima trattazione sistematica della probabilità. La pubblicazione avverrà però postuma solo nel 1663.

Per chi volesse approfondire la storia delle formule risolutive dell'equazione di terzo grado segnalo il bellissimo articolo: Requiem per una formula. Dramma in sei atti con sei personaggi di Dario Bressanini. Da cui ho anche rubato le citazioni dei testi originali.

Concludo con la citazione completa delle conclusioni dell'articolo di Bressanini:

Cosa rimane dopo centinaia d'anni di queste vicende? Nulla. Nei libri di testo trovate le “formule di Cardano”. Quasi nessuno cita Tartaglia, e Scipione dal Ferro è un perfetto sconosciuto. Forse sarebbe bene iniziare a chiamare le formule dal Ferro-Tartaglia-Cardano: tre autori per un'equazione di grado tre.

Nella prossima puntata parleremo dell'introduzione di altri simboli matematici e di Raffaele Bombelli, che come abbiamo già detto, contribuì allo sviluppo dei numeri complessi.

Puntate precedenti...

Indice della serie

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