Il mio bisnonno scriveva problemi autodefiniti in versi

Solo dopo la lettura di Crisi d’identità di Marco Fulvio Barozzi ho scoperto che il mio bisnonno, a sua insaputa, scriveva problemi autodefiniti in versi. Lui si esprimeva in dialetto sabino e anche per i versi usava quel dialetto. Ecco quindi il suo problema autodefinito in versi sabini la cui soluzione mia madre mi svelò da bambino.

Tre città della Lombardia
Una Milano e una Pavia
Io t'o dico e tu non 'o sa'
Como se chiama vell'ara città¹

In onore e ricordo del mio antenato ho provato a cimentarmi anch'io. Il risultato è ben lungi, in fatto di sintesi, bellezza ed eleganza, da quello quello del mio bisnonno. Ma tant'è.

Tre note della scala inglese
Una è F e una è D
D-F in esadecimale rese
Un nuovo numero che x6 sortì
Un'altra nota della scala inglese
Do a te la risposta così

Su invito di Popinga mando il tutto a identicrisi@gmail.com.


¹ Traduzione dal sabino: "come si chiama quell'altra città"

Carnevale della matematica di luglio

Il 14 luglio la 75-esima edizione del Carnevale della matematica (nome in codice: “il merlo tra i cespugli, tra i cespugli”) sarà ospitata da me su questo blog. Il tema sarà "La matematica della musica o la musica della matematica" sottotema "C’è più matematica nella musica o più musica nella matematica?". E, come sempre, tutti i contributi fuori tema andranno benissimo lo stesso.

Lista dei Carnevali passati e futuri

La matematica degli Hindu: Śulbasūtra, influenze greche e zero posizionale

Lunedì 19 maggio, mentre preparavo l'aula a Mumbai per il corso che avrei dovuto tenere nei giorni successivi, ho notato una cornice appesa alla parete. Dopo una rapida occhiata mi sono accorto che parlava del matematico Bhāskara I esaltandone le qualità di precursore in diversi ambiti della matematica, che solo diversi secoli dopo sarebbero stati ripresi dai matematici europei. Mi è subito venuto in mente che nella mia serie di storia della matematica ho citato la matematica degli Hindu molto marginalmente e solo per introdurre la Matematica islamica. Forse è arrivato il momento di colmare la lacuna, mi son detto. E quindi eccoci qua a fornire un po' più di dettagli su quella matematica e su Aryabhata, Brahmagupta e Bhāskara: i primi grandi matematici del periodo classico indiano. 

Secondo Kline¹ non ci sono pervenute tracce dell'utilizzo della matematica in India antecedenti all'VIII sec. a.C. Il più antico documento che contiene qualche esempio primitivo di matematica degli Hindu sarebbero i Śulbasūtra. Prodotti in un periodo che va dall'VIII sec. a.C. al II sec. d.C., i Śulbasūtra contengono principalmente le istruzioni e la geometria per la costruzione di altari. Nel corso di tali progettazioni gli Hindu vennero a conoscenza di alcuni fatti geometrici come, ad esempio, il teorema di Pitagora, che compare enunciato in questa forma:
"La diagonale di un rettangolo oblungo produce da sola entrambe le aree che i due lati dell'oblungo producono separatamente"
Ma, come già detto anche per le antiche civiltà, essi possedevano una conoscenza applicativa del teorema di Pitagora senza comprenderne appieno la portata teorica. Furono i pitagorici i primi che ne compresero la profondità e che lo dimostrarono.
Per quanto riguarda invece l'aritmetica si conosce ben poco del periodo dei Śulbasūtra. Ad ogni modo, sia la geometria sia l'aritmetica erano prive di dimostrazioni. Quello che si usava erano solo delle regole empiriche.

Intorno al III sec. a.C. cominciano a comparire i simboli numerici brahmanici. Da notare l'uso di simboli diversi per i numeri da 1 a 9 ma senza che lo zero sia incluso nel sistema.
Kline afferma anche che la matematica hindu sarebbe diventata significativa solo dopo essere stata influenzata dai risultati greci. Producendo quello che viene indicato come il secondo periodo della matematica hindu. Che va dal III al XIII sec. d.C. All'inizio di questo periodo, scrive Kline, la geometria alessandrina influenzò in maniera determinante gli hindu, ma essi avevano un dono speciale per l'aritmetica. Anche la loro algebra è possibile sia stata mutuata da Alessandria, e forse anche direttamente da Babilonia, ma anche qui gli hindu produssero molti risultati.
Per quanto riguarda invece la nascita dello zero posizionale, che determinò lo sviluppo del celeberrimo sistema numerico posizionale hindu in base 10, da cui deriva il nostro moderno sistema di numerazione, gli storici la collocano in un periodo che va dal I al IV sec. d.C. Come esempio si può citare il manoscritto di Bakhshali il cui linguaggio implica una stesura non successiva al IV sec. d.C. Sebbene la prima occorrenza che indiscutibilmente mostra il simbolo dello zero compaia in una iscrizione ritrovata nel tempio Chaturbhuja di Gwalior e datata 876 d.C. Altri storici ritengono che uno dei primi esempi di un uso posizionale dello zero lo si possa trovare nella traduzione in Sanscrito di un testo del V sec. d.C. di cosmologia Giainista il cui originale è andato perso: il Lokavibhaga.
Per concludere, l'ipotesi più probabile è che lo zero posizionale sia stato usato sporadicamente per un certo periodo iniziato tra il I al IV sec. d.C. E che a partire dal VII sec. d.C. il suo uso abbia prevalso e sia entrato nell'uso comune.

È abbastanza certo, invece, che intorno al 500 l'astronomo Aryabhata cominciò a usare la parola kha ("vuoto") a significare "zero" in una disposizione tabellare delle cifre. Ma di Aryabhata, insieme a Brahmagupta e Bhāskara, parleremo nella prossima puntata.


Puntate precedenti...

Indice della serie

¹ Morris Kline, Storia del pensiero matematico - Einaudi

Carnevale della Matematica #73: bruttezza matematica

L'edizione maggiolina del Carnevale della Matematica ha come tema "bruttezza matematica". Visto che di bellezza matematica si parla sempre, e i matematici sono esageratamente fieri della loro opinione in merito - dice martopix - insomma, anche i brutti hanno diritto di esistere, discriminare qualcuno sul lavoro solo perché non è di "bella presenza" non è deontologicamente corretto. E quindi ecco il Carnevale della Matematica #73.
Così martopix introduce il mio contributo:

• Segue, da Dioniso Dionisi del blog pitagora e dintorni, La matematica è bella o brutta? Ovvero, la scala di tredici semitoni di Bohlen-Pierce. Una sorta di dialogo platonico (ma con Pitagora) a tema musicale.

Ma, a parte il mio, il carnevale è pieno di contributi interessantissimi. E quindi che aspettate ad andare a leggervelo?

Martopix ci dice anche chi ospiterà il prossimo carnevale:
Appuntamento tra trentun giorni per il prossimo Carnevale, che sarà ospitato da Mau sulle sue Notiziole con tema (bellissimo, attuale e importantissimo) la matematica che vi piacerebbe vedere insegnata.

Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale

Pagina del Carnevale su Facebook

La matematica è bella o brutta? (Ovvero la scala di tredici semitoni di Bohlen-Pierce)

- Signore e signori. Oggi discuteremo un tema molto dibattuto. C'è chi la ama e chi la odia. E quelli che la amano gioiscono nel poter elencare tutte le sue beltà quando qualcuno chiede loro: ma che c'è di bello nella matematica? Pur tuttavia torme di studenti sarebbero pronti a contestare aspramente tali beltà. Indi per cui, come ci suggerisce martopix per il Carnevale della Matematica n°73, perché non parliamo di Bruttezza Matematica? Visto che di bellezza matematica si parla sempre? Se non altro per pari opportunità! Bene. Allora sentiamo che cosa ne pensa l'illustre Pitagora!
- Di nuovo? Per Zeus! Ma sempre me deve venire a scomodare?! Non poteva chiederlo a Umberto Eco? Lui ci ha scritto un libro sulla bruttezza!
- Sì, ma non credo che il libro parli di matematica. E poi ormai ho una certa familiarità con voi e so dove trovarvi. Umberto Eco mica lo trovo qui ai Campi Elisi.
- Ho capito. Ma per la prossima volta veda di procurarsi qualche nuovo contatto. Allora, la bruttezza matematica... Be', la prima cosa che mi viene in mente è la bruttezza che si può produrre da una sua applicazione alla musica.

- Nella musica? Ma come? Non siete stato voi il primo a scoprire quella bellissima relazione tra rapporti di numeri interi e intervalli consonanti? Quella mirabile corrispondenza tra la quarta e la quinta giuste e i rapporti 4:3 e 3:2?
- Certo! Ma poi, non soddisfatti, gli uomini crearono quel dannato temperamento equabile.
- Be', comunque lì si divide l'ottava in parti uguali. C'è simmetria.
- Simmetria, sì. Ma che cosa mi dice del rapporto che ivi sussiste tra i semitoni?

È la radice dodicesima di 2!
 ! Un ir... Un irra...
- Un irrazionale vuole dire?
- Sì quello. Non riesco mai a pronunciare quel nome. Non è un esempio di bruttezza generato dalla matematica quello?
- Mah, non saprei...
- Ah, non è convito? Be' allora le mostrerò un altro esempio, a confronto del quale il primo ha la bellezza dell'identità di Eulero.
- Addirittura!
- Sì! Perché gli uomini non si sono accontentati del temperamento equabile; che, se non altro, rimaneva molto vicino alla bellezza primigenia da me scoperta. No! Hanno voluto strafare! E hanno inventato la trittava.
- La trittava!? E che cos'è?
- Un'oscenità. Ecco cos'è. Un abominio inventato da tre ingegneri del suono o sedicenti tali: Heinz Bohlen, Kees van Prooijen e John R. Pierce. Pensi, hanno voluto creare una scala basata solo sugli armonici dispari...
- Ah! Questo mi riporta alla mente una discussione di qualche tempo fa.
- ... E in questo modo hanno prodotto una scala diatonica composta da quattro toni e cinque semitoni. E hanno dovuto inventarsi persino i nomi di due nuove note: H e J nel sistema anglosassone. 

- Due nuove note!? E nel nostro sistema di Guido D'Arezzo come si chiamano queste nuove note?

- Non credo sia ancora stato inventato un nome. Nel sistema anglosassone si trovano tra G e A. Tra sol e la, quindi.
- Uhm. Do, re, mi, fa sol, la, si... Si potrebbe proporre... fi e li! Do, re, mi, fa sol, fi, li, la, si. Suona bene, no?
- Ma che bene e bene! E poi non è finita qui. La scala cromatica corrispondente è di tredici semitoni. Si rende conto? Ma, non ancora soddisfatto di tale oscenità, qualcuno ha voluto persino peggiorarla introducendo un temperamento. Che sostituisce i rapporti tra numeri interi, che comunque caratterizzavano la scala, con la radice tredicesima di tre.
 Un altro ir... irra...
- Irrazionale.
- Sì, quello.
- Ma quindi questa trittava che cosa sarebbe?
- Sarebbe l'equivalente dell'ottava in questa cosiddetta scala. Nella scala tradizionale l'intervallo di ottava raddoppia la frequenza del primo suono. Qui invece la frequenza viene tri-pli-ca-ta! Senta qui. Questa è un'ottava e questa (si copra le orecchie) è una trittava.
- Mhh... Mbe'... Interessante... Forse potrebbe essere solo una questione di educazione dell'orecchio...
- Educazione dell'orecchio dice?

- Be', però... armonici dispari... radice tredicesima di tre... io vi scorgo una certa simmetria. E simmetria non è quai sempre bellezza?
- Ancora non è convinto eh? Senta questo "canone" allora. Non sembra un accolita di clarinettisti ubriachi a cui qualcuno si è divertito a manomettere gli accordatori? E poi c'è pure chi ci fa ballare i gatti con questa scala di Bohlen-Pierce. E anche chi ci scrive "canzoni d'amore".

Guardi, le dirò di più. Secondo me tutte le applicazioni della matematica alla musica che sono venute dopo di me hanno prodotto bruttezza! Vogliamo parlare della dodecafonia?

- Ma quella non è propriamente un'applicazione della matematica alla musica.

- E che cos'è la dodecafonia se non l'applicazione di un algoritmo matematico in musica? Ha prodotto bellezza?

- Sicuramente ha prodotto innovazione.

- Innovazione, innovazione. Senta qua. Me la chiama bellezza questa?
- Ma Bach e i suoi canoni? Anche quelli hanno forse qualcosa a che fare con la matematica.
- Be', lì sono disposto a parlare di eccezione. Ma come la mettiamo anche con tutti questi cervellotici riferimenti alla sezione aurea che si trovano disseminati in musica? Quando Béla Bartók mi suddivide le sezioni del suo pezzo con una numerazione che ricalca i rapporti della sezione aurea che cosa sta producendo?
- Io non direi che stia producendo bruttezza.

- Forse no, ma nemmeno bellezza. Quale ascoltatore vuoi che si accorga di una tale strutturazione del pezzo? Per accorgersene è necessaria un'attenta analisi della partitura.
- Però anche quello, una volta scoperto, può provocare godimento intellettivo e quindi bellezza.
Ad un tratto squilla il cellulare di Pitagora.
- Ma Maestro! Quello non era Kontakte di Karlheinz Stockhausen. Maestro! Maestro! Ma dove andate?
- Mi scusi. Devo scappare. Era Cromo. Mi richiama all'ordine. Ne riparliamo un'altra volta.