Altramatematica a metà prezzo

Lo sapevate che a Milano, da giovedì 13 a domenica 16 novembre, si terrà Bookcity? Una manifestazione libraria con quasi mille eventi sparsi per la città.
Ma la cosa più interessante è che per la durata di questo evento tutti gli ebook di Altramatematica (tranne l'ultimo che uscirà a breve) saranno venduti a metà prezzo. Anzi che dico a metà prezzo. Lo sconto sarà addirittura del 50,25%. O detto in altri termini, un euro in meno a ebook.

E tra questi ovviamente c'è anche il mio.
Ma comprandovi tutta l'offerta dei 12 ebook risparmierete ben 12€: 11,88 invece di 23,88. E allora che aspettate?

La musica dai ritmi irrazionali 1

- Ritmi irrazionali!? Ma che significa? Come fanno a essere irrazionali i ritmi? Io ho sempre visto delle frazioni all'inizio delle partiture. Tipo 2/4, 3/4, 4/4. Non sono quelle che stabiliscono il ritmo del pezzo? Che significa che il ritmo è irrazionale? Che invece di un 4/4 potrò avere un √2/4 o un π/4? Un po' difficile da contare no? Questa cosa mi puzza. Non è che mi stai per raccontare cose simili alla musica spettrale o agli esperimenti con spettri artificiali?
- No, non proprio. Allora, partiamo dalle basi. Nella nostra notazione musicale un ruolo fondamentale nella definizione del ritmo viene giocato dalla battuta.

- Ah sì, l'insieme delle note comprese tra le stanghette.
- Esatto. E, come hai già osservato, la frazione iniziale stabilisce il ritmo della battuta. E, oltre a quello, anche la quantità di valori che la battuta può contenere e gli accenti. Più precisamente il numeratore stabilisce il numero di movimenti nella battuta e il denominatore stabilisce la durata di ciascun movimento. I movimenti li si può pensare semplicemente come movimenti della mano. Ad esempio con l'indicazione 3/4 si vuole specificare che la misura è composta da tre movimenti ognuno dei quali dura un quarto dell'intero (la semibreve). Con 3/8, invece, si hanno sempre tre movimenti ma ognuno di essi dura un ottavo dell'intero.
- Quindi la differenza è che il movimento del 3/8 è la metà di quello del 3/4?

- Beh, a parità di indicazione metronomica, sì. E, di solito, il 3/4 si batte con tre movimenti della mano ognuno dei quali contiene due ottavi. Mentre il 3/8 si batte con un solo movimento della mano che di ottavi ne contiene tre. 3/4 e 3/8 sono i ritmi tipici del Valzer. E, in questo caso la battuta si dice ternaria.
- Immagino quindi che la battuta di 2/4 si chiamerà binaria e quella di 4/4 quaternaria. Ma i numeratori possono anche essere numeri più grandi, vero?
- Certo! Ci sono, ad esempio, le misure composte. Che si ottengono da quelle semplici (2/4, 3/4, 4/4, ...) moltiplicando la frazione per 3/2. Si ottengono quindi 6/8, 9/8 e 12/8. Queste si battono con lo stesso numero di movimenti della misura semplice corrispondente. Ma ogni movimento della mano comprenderà tre ottavi invece di due.
- Ho capito. Quindi nel 2/4 la mano si muove due volte, in basso, in alto; in basso, in alto, a descrivere i quattro ottavi: ta ta ta ta.



E nel 6/8 la mano si muoverà sempre due volte. Ma stavolta con tre "sotto-movimenti", basso, alto, alto; basso, alto, alto, a descrivere i sei ottavi: ta ta ta ta ta ta.



- Esatto!
- Ma quindi i numeratori possono essere solo multipli di due e multipli di tre?
- No. Esistono anche le cosiddette misure miste.
- E cioè?
- Le misure miste sono un unione di misure semplici e composte. La più semplice è il 5/4.
- Ah, cinque movimenti di un quarto. Quindi in questo caso la battuta si dirà... cinquaria? Ehm, no...
- Si chiama quinaria.
- Quindi esisterà anche il 5/8.
- Certo.
- E gli accenti dove cadono?
- Dipende dalla scelta del compositore. Le scelte più frequenti lo fanno cadere o solo sul primo, oppure primo e quarto, oppure primo e terzo. Questi ultimi due casi possono anche essere visti come 3/8 + 2/8 e 2/8 + 3/8.
- Discorso simile per il 7/4 immagino.
- Sì. E a volte i tempi 5/4, 7/4, 11/4 vengono chiamati tempi dispari.
- Tempi dispari? Ma pure 3 è dispari. E allora perché il 3/4 non rientra tra i tempi dispari?

- Beh, la definizione non è rigorosamente matematica.
- Ho capito. E vale sempre il discorso della moltiplicazione per 3/2?
- Certo che vale. Dal 5/4, ad esempio, si ottiene il tempo composto 15/8.
- Immaginavo. Senti, ma finora abbiamo parlato solo del numeratore. E al denominatore? Io ho visto sempre e solo 2, 4, 8, 16... Potenze di due insomma. Possono esserci solo quelle?
- Eccoti arrivata al punto dove ti volevo portare! Poi ditemi che non è maieutica questa.
- Maieutica?
- No, niente, lasciamo perdere. Generalmente sì: al denominatore si trovano solo potenze di due. Ma un po' di anni fa qualcuno si è divertito a creare qualcosa di nuovo e così sono venuti fuori i cosiddetti metri irrazionali. Ma ora si è fatto tardi e devo andare. Quelli te li spiegherò la prossima volta.
- Uffa! Mi lasci sempre le spiegazioni a metà!

Carnevale della Matematica #78 - Disegnate la matematica

Il Carnevale della Matematica di ottombre, il numero 78 (“il merlo canta allegro”), ha come tema: Disegnate la matematica.

Ad ospitarlo è Rosalba.

Il tema è molto interessante e molto ben sviluppato. Io ho contribuito con La matematica degli Hindu: Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra, Bhāskara, numeri negativi e irrazionali. Il contributo è parzialmente in tema visto che Bhāskara fu anche bravo a disegnarla la matematica.

Infatti, come ci ricorda anche .mau. in "Quando una “dimostrazione” è una dimostrazione?" e in "Il teorema di Pitagora", Bhāskara produsse una sorta di dimostrazione grafica del celeberrimo teorema.

Il carnevale si conclude segnalando il prossimo ospite.

non resta che ricordare ai Carnevalisti che la prossima edizione del Carnevale, la 79esima per la precisione, si terrà da Il Coniglio Mannaro.

Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale

Pagina del Carnevale su Facebook

Lo sapevate che quasi tutti i numeri non hanno un nome?

Sapevatelo! Da Maurizio Codogno.

"Cosa significa dare un nome a un numero? Vuol dire poterlo chiamare, cioè associargli una frase, che a sua volta è un insieme finito di lettere in una certa lingua. ... Resta il fatto che quelle frasi contengono un numero finito, anche se grande a piacere, di caratteri di un certo alfabeto, caratteri che sono anch’essi in numero finito. Come ci insegna Cantor, i nomi utilizzabili sono un infinito numerabile: per contarli basta prendere e ordinare tutte le possibili “frasi” con un solo carattere, poi tutte quelle con due, quelle con tre e così via. La quasi totalità dei numeri reali non potrà pertanto avere mai un nome. E no, non vale indicare un punto a caso nella retta dei numeri e dire “questo numero si chiama Pippo”. Per specficare esattamente un punto non basta puntargli sopra una matita ma bisogna definirlo per mezzo di un algoritmo, e l’algoritmo è anch’esso una frase…
La situazione è insomma davvero imbarazzante. Sappiamo che i numeri reali esistono, e anzi se scegliamo un numero a caso siamo quasi certi che quel numero sarà trascendente, cioè reale ma non algebrico; eppure non sappiamo dare loro un nome. ... Abbiamo insomma troppi numeri e troppo pochi nomi: siamo proprio sicuri che limitarsi ai numeri razionali non sia in fin dei conti una buona idea, checché ci abbia fatto vedere Ippaso?"

La matematica degli Hindu: Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra, Bhāskara, numeri negativi e irrazionali

Nella precedente puntata abbiamo abbiamo visto che la matematica hindu sarebbe diventata significativa solo dopo essere stata influenzata dai risultati greci producendo quello che viene indicato come il secondo periodo della matematica hindu, che va dal III al XIII sec. d.C. I matematici più importanti di questo secondo periodo della matematica hindu sono Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra  e Bhāskara. E la maggior parte della loro opera era motivata dall'astronomia e dall'astrologia.
Abbiamo anche visto che intorno al III sec. a.C. cominciano a comparire i simboli numerici brahmanici e che, presumibilmente, intorno al IV sec. d.C. nasce l'uso dello zero posizionale. E tale uso determinò lo sviluppo del sistema numerico posizionale hindu in base 10,

da cui deriva il nostro moderno sistema di numerazione. Ma è solo intorno al 600 che la notazione posizionale in base 10, che era stata usata sporadicamente per circa un secolo, entrò nell'uso comune.¹
 E, in questo contesto, a differenza di quanto era stato fatto fino a quel momento, lo zero cominciò a essere trattato come un qualsiasi altro numero. E, nel sec. IX d.C., Mahāvīra arrivò a definire le quattro operazioni per lo zero. Seppure, nel caso della divisione, egli disse che un numero diviso per 0 rimane inalterato. Ma vedremo che, più tardi, un altro matematico hindu cambierà quella definizione.
Presto gli Hindu cominciarono anche a usare una notazione simile a quella attuale per rappresentare le frazioni. Usavano disporre numeratore e denominatore uno sopra all'altro ma senza la nostra linea. Ed essi furono anche i primi ad introdurre i numeri negativi. Li introdussero per rappresentare i debiti.
Il primo uso noto lo si trova in Brahmagupta (598 d.C. – 668 d.C.) e risale al 628 circa. Nello stesso contesto Brahmagupta enuncia anche le regole per le quattro operazioni con i numeri negativi. Ma non vengono mai date definizioni, assiomi o teoremi. Brahmagupta si pone anche il problema della radice quadrata di un numero negativo. E lo risolve dicendo semplicemente che la radice quadrata non esiste, visto che un numero negativo non può essere un quadrato.

La nuova definizione di un numero diviso per 0 arrivò invece solo nel XII sec d.C. con Bhāskara II (1114 – 1185). Egli affermò infatti che una frazione con denominatore 0 rimane inalterata quale che sia la quantità che le si aggiunga o sottragga. E chiamò tale frazione una quantità infinita.
Ma Bhāskara non fece solo questo. Come ci dice wikipedia, Bhāskara "rappresenta il culmine della conoscenza matematica e astronomica del XII secolo in ambito mondiale." E il lavoro di Bhāskara relativo al calcolo infinitesimale, anticipa Newton e Leibniz di oltre mezzo millennio. Infatti si può affermare, con una discreta certezza, che Bhāskara fu propabilmente il primo a concepire l'idea del calcolo infinitesimale. Inoltre Bhāskara, seppure dopo un paio di secoli ripetto agli Islamici, anche se indipendentememnte da loro, cominciò anche a usare le operazioni con i numeri irrazionali. Ma, così come avevano gia fatto gli Islamici, senza fornire delle basi teoriche. Si abituò semplicemente a trattare le grandezze irrazionali in modo simile a come trattava i numeri interi.
E Bhāskara fu anche bravo a disegnarla la matematica.

Infatti, come ci ricorda anche .mau. in "Quando una “dimostrazione” è una dimostrazione?" e in "Il teorema di Pitagora", Bhāskara produsse una sorta di dimostrazione grafica del celeberrimo teorema.

Ma, tornando al discorso dei matematici Islamici, possiamo aggiugere che, come riportato dallo storico al-Qifti (1172 – 1248), intorno all'VIII sec. d. C. gli Islamici vennero a conoscenza di buona parte della matematica hindu. E quindi anche del sistema numerico posizonale in base dieci e dello zero. In particolare, Al-Khwārizmī (محمد خوارزمی Corasmia o Baghdad, 780 circa – 850 circa) scrisse un libro sul calcolo con i numeri hindu intorno all'825, e Al-Kindi scrisse quattro volumi sull'uso dei numeri hindu (كتاب في استعمال العداد الهندي [kitāb fī isti'māl al-'adād al-hindī]) intorno all'830. Tuttavia, tali opere descrivevano ma non usavano il sistema numerico hindu. Il primo a usarlo fu Al-Uqlidisi nel libro Kitāb al-Fuṣūl fī 'l-ḥisāb al-hindī ("Il Libro delle Parti nel calcolo indiano") scritto intorno al 952.¹

La puntata successiva è sulla Matematica Islamica

Puntate precedenti...

Indice della serie

¹ Morris Kline, Storia del pensiero matematico - Einaudi