venerdì 23 luglio 2010

Chi vincerà il mondiale del 2014? Una questione di Logica intuizionista? - Appendice 1

Paolo Rossi e Socrates: storica partita
Italia - Brasile 3 -2 (1982)
Nella precedente discussione dicevamo che prendendo una squadra a caso tra quelle che hanno fatto una pessima figura nella fase finale del mondiale di calcio 2010, come l'Italia ad esempio, potremmo formulare la seguente
profezia Italia '14 (che chiameremo P):


P = "o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014"

O detto in termini simbolici, indicando con I la proposizione Italia '14 ("l'Italia vincerà il mondiale del 2014") potremmo scrivere:

P = (I oppure non-I)

che si può anche scrivere come:

P = (I ∨ ¬I)

Quella che abbiamo appena scritto la si può anche vedere come la formula che descrive in termini simbolici il Principio del terzo escluso. La profezia Italia '14 è quindi un esempio di Principio del terzo escluso. Terzo escluso in quanto la ragione ci porterebbe a dire che non esiste una terza alternativa nell'affermazione "o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014".
Ma è proprio così? Sì può asserire che P = (I ∨ ¬I) è sempre vera? Che non esiste una terza alternativa?

Penso che, a differenza della profezia Maya, nessuno dei membri della comunità scientifica, tranne forse qualche vetero-intuizionista, proverebbe a contraddire la profezia Italia '14...
Certo però che se la profezia Maya dovesse rivelarsi nel frattempo valida....
Bè, in tal caso potremmo forse dire che è vera ¬I, anche se in quel caso nessuno sarà in grado di attestare che l'Italia non ha vinto il mondiale del 2014.
Eppure ci sono stati dei logico-matematici che hanno posto dubbi sulla validità del principio del terzo escluso. L'approccio sostenuto da tali logico-matematici fu definito intuizionismo.
Vediamo quindi con un po' più di precisione che cos'è questo intuizionismo.

Ho già citato il fatto che il mio dialogo immaginario della precedente puntata tra Brouwer e Hilbert è ispirato ad una reale controversia tra i due matematici che va inquadrata tra le appassionanti discussioni di fine '800 primi del '900 relative ai fondamenti della matematica  e che tra le posizioni filosofiche ipegnate nella rifondazione dei fondamenti c'era quella costruttivista con Poincaré e Weyl, all'interno della quale si posizionava la corrente radicale degli intuizionisti con Brouwer.
costruttivisti, contrapponendosi principalmente al pensiero di Hilbert e dei formalisti, affermavano la necessità di trovare o di costruire un oggetto matematico per poterne dimostrare l'esistenza rifiutando le dimostrazioni per assurdo soprattutto nei casi che coinvolgono l'infinito; inoltre la corrente intuizionista dei costruttivisti, capeggiata da Brouwer (mi sembra quasi di stare a descrivere un partito), si spingeva oltre il costruttivismo rifiutando più in generale le dimostrazioni che implicano l'utilizzo di insiemi infiniti e l'applicazione in questi casi dei ragionamenti basati sul principio del terzo escluso.

Oggi si può probabilmente affermare che l'intuizionismo, come prospettiva filosofica volta a rifondare la matematica, ebbe un successo piuttosto limitato; anche se generò utili e prolifiche discussioni. Tuttavia lo stesso non si può dire per il sistema formale della Logica Intuizionista sviluppato da Arend Heyting, un allievo di Brouwer. Tale sistema formale ha dato luogo infatti ad una serie di sviluppi della Logica e ha trovato inoltre diverse applicazioni nell'informatica, sia teorica che applicata.

Tra le principali differenze della Logica intuizionista rispetto alla Logica classica c'è sia la non validità del principio del terzo escluso che la non validità dell'equivalenza tra affermazione e doppia negazione (I ↔ ¬¬I).
Ovvero, tralasciando per un attimo il rigore matimatico, si può dire che usando gli strumenti della Logica intuizionista, non sì potrà ad esempio dedurre la profezia Italia '14.
Inoltre, usando l'intuito, molti di voi probabilmente direbbero che affermare che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 è equivalente a dire che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014.
O detto in termini simbolici:

I ↔ ¬¬I

Invece nella Logica intuizionista, dal fatto che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 si potrà sì dedurre che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 ( I → ¬¬I ), ma non vale il viceversa. Cioè dal fatto che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 non si potrà dedurre che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 ¬(¬¬I → I).

A questo punto risulterebbe sicuramente interessante dare un breve sguardo alla semantica per la Logica intuizionista. È infatti grazie ad essa che possono essere verificate le suddette affermazioni. Ma questo lo vedremo nell'appendice numero due.

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