Giornata romana: La musica dei numeri di Odifreddi e Cognazzo

Un altro obiettivo della nostra giornata romana era "La musica dei Numeri" con Piergiorgio Odifreddi e Roberto Cognazzo all'Ambra Jovinelli. Grazie alla Feltrinelli avevamo uno sconto del 50%. È stato uno spettacolo interessante. Anche se ci sarebbe stato ancora molto da dire. Ma si sa, il tema è ricchissimo.
Lo spettacolo è cominciato con Odifreddi e Cognazzo che cantavano Cinque... dieci... venti... trenta... da "Le nozze di Figaro". Per passare poi a varie considerazioni su ritmi e frazioni, e scale possibili con toni e semitoni. Due temi non potevano sicuramente mancare. E cioè quello delle trasformazioni geometrico-contrappuntistiche bachiane e quello di Pitagora e le incudini. Questo ultimo tema mi ha dato uno spunto interessante su una cosa che sto scrivendo. E cioè il fatto che i pitagorici potrebbero essersi accorti che all'operazione di somma di una quarta più una quinta - che dà luogo all'ottava - corrisponde quella di moltiplicazione delle rispettive frazioni: 4/3 x 3/2. Non so però quanto la scoperta di questa associazione da parte dei pitagorici possa essere realistica.

Talete: Numeri e Geometria attraverso la storia

Dicevamo che la tradizione occidentale concorda nel ritenere Talete di Mileto (620-550 a.C. ca.) e Pitagora di Samo (580-500 a.C. ca.) i pionieri, in ambiti un po’ diversi, dell’impostazione logico-deduttiva che diventerà la caratteristica essenziale della Matematica.

Prima di proseguire è opportuno far notare che dal punto di vista storico, le figure di Talete e Pitagora sono abbastanza confuse. Tutte le vicende relative a questi due antichi matematici devono essere ricostruite non tanto sulla base di documenti storici, quanto piuttosto sul fondamento di una tradizione un po’ incerta.
È possibile cogliere alcune parallelismi tra i due filosofi. Sia Talete che Pitagora provenivano da zone periferiche del mondo Greco di allora, ubicate geograficamente in Asia Minore. Si racconta che i due filosofi abbiano viaggiato verso i centri del sapere antico e che abbiano acquisito informazioni di prima mano sull’Astronomia e sulla Matematica sia in Egitto che a Babilonia.

Talete precede Pitagora di alcuni decenni si è soliti quindi considerarlo il primo vero matematico e il fondatore dell’impostazione logico-deduttiva della Geometria. Impostazione che, perfezionata in seguito dai pitagorici ed estesa anche all’aritmetica, portò alla nascita del concetto di dimostrazione matematica: una sequenza di passaggi logici, teoricamente replicabili da ogni mente razionale, che a partire da fatti noti conduce ad una conclusione di valore generale.

Talete è generalmente noto soprattutto per il famoso teorema che porta il suo nome e che fu probabilmente formulato durante le ricerche che il matematico effettuò per calcolare l’altezza di un obelisco egizio. Diogene Laerzio (180 – 240 d.C.) narra (sulla base di una testimonianza scritta, oggi perduta, di un allievo di Aristotele) che Talete riuscì in tale impresa piantando un'asta di lunghezza nota in prossimità dell'ombra proiettata dall’obelisco e sfruttando la similitudine tra il triangolo avente come cateti l’obelisco e la sua ombra e il triangolo avente come cateti l’asta e la sua ombra. Talete dimostrò che il rapporto tra l'altezza dell'asta e quella dell’obelisco è uguale al rapporto tra le rispettive ombre. Ciò implica che nel momento del giorno in cui la lunghezza dell’ombra dell’asta fosse stata il doppio della lunghezza dell’asta, allora similmente la lunghezza dell’ombra dell’obelisco sarebbe stata il doppio della lunghezza dell’obelisco; e nel momento del giorno in cui la lunghezza dell’ombra dell’asta avesse avuto la stessa lunghezza dell’asta, allora similmente la lunghezza dell’ombra dell’obelisco avrebbe avuto la stessa lunghezza dell’obelisco. Questo secondo caso di uguale lunghezza tra oggetti e ombre proiettate occorre nel momento del giorno (e dell'anno) in cui l’inclinazione dei raggi solari è di 45°. Si poteva quindi conoscere l’altezza dell’obelisco misurando semplicemente la lunghezza della sua ombra in quel preciso momento.

È possibile verificare che la tecnica di misurazione che abbiamo appena illustrato è proprio un’applicazione del Teorema di Talete:

un fascio di rette parallele determina su due rette trasversali, coppie di segmenti direttamente proporzionali.

Dove il fascio di rette parallele è costituito dai raggi solari mentre le due trasversali sono la retta individuata dalle altezze del bastone e dell’obelisco e la retta che contiene le ombre.

Nella prossima puntata si parlerà di Pitagora.

Indice della serie

Carnevale della Matematica #36

La prima edizione primaverile di questo 2011, la numero 36, viene ospitata dal celeberrimo blog Rudi Matematici. L'edizione è ricchissima sia di interessanti contributi che di piacevoli immagini (poster celebrativi dell’anno della matematica nella metropolitana di Londra). Il tema dell'edizione è quello della consapevolezza matematica.

Il mio buon conterraneo Piotr introduce così il mio contributo:

La matematica si muove? Diamine, se si muove: dal cuore d’Italia al cuore universitario della Germania (no, non Gottingen, ma quasi). Dioniso del Blogghetto si lancia nel sottile sentiero che unisce filosofia e logica con Un altro dioniso è possibile? Condizioni controfattuali e relativa semantica. La consapevolezza, in questo caso, è quasi solo un effetto collaterale dell’autocoscienza dionisiaca. È consapevolezza pure il riconoscere che si può perdere un treno, se si ha la forza e la voglia di aspettare il successivo: così, visto che per il precedente carnevale aveva preparato tre post su Cardano ma il terzo è arrivato fuori tempo massimo, lo facciamo salire noi: Il rinascimento: Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese – Terza parte. E poi, per favore, godetevi questa consapevolissima critica pitagorica: potrebbe darsi che solo i centroitalici, e solo in primavera, possano apprezzarla appieno, ma se c’è un post spudoratamente in tema col Carnevale, probabilmente è questo qua:  Fave e pecorino come consapevolezza di appartenenza matematica.

La prossima edizione, quella del 14 maggio 2011, sarà ospitata Gianluigi Filippelli su DropSea.

Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale

Pagina fan del Carnevale su Facebook

Fave e pecorino come consapevolezza di appartenenza matematica

Lo so, sono ancora delle primizie. E di solito aspetto la stagione giusta. Ma avevo già resistito nelle due settimane precedenti e quando ieri le ho viste dal mio fruttivendolo pugliese di fiducia non ce l'ho fatta più ed ho ceduto.

In questa fine di settimana ho quindi anticipatamente goduto di uno dei miei pasti preferiti di mezza primavera: fave (pugliesi), pecorino e olio (sabini) con vino rosso (siciliano). E anche il tempo era di mezza primavera.
In verità il legume non era ancora al meglio della sua espressione olfatto-gustativa. Nonostante ciò, oltre ad un certo beneficio interiore, le fave mi hanno anche suscitato una riflessione, catalizzata forse dal Sedàra, che mi ha condotto ad una consapevolezza di appartenenza matematica. Ora ne sono abbastanza certo: non sono un pitagorico! Credo di avere tendenze più cognitiviste.
Per maggiori dettagli sui rapporti tra fave, pitagorismo e cognitivismo vedi: Ma i numeri esistono veramente? O sono solo una nostra invenzione?

Un altro dioniso è possibile? Condizionali controfattuali e relativa semantica

È giusto supporre che ognuno di noi abbia consapevolezza della propria esistenza? Io sono consapevole della mia esistenza? Sono consapevole del me stesso che esiste?
Prima di tutto dovrei definire chi è "me stesso". Sono l'io di questo momento in quanto Dioniso? Oppure in quanto alter-ego di Dioniso?
Ma quando e se qualcuno leggerà ciò che sto scrivendo, io non sarò più l'io di questo momento; così come diceva Battiato relativamente al bagno nel fiume...  o forse lo diceva qualcun altro...?

Vabbè mettiamoci d'accordo e diciamo che il "me stesso" coincide con  Dioniso. Partendo da queste premesse potrei avere anche la consapevolezza della possibile esistenza di un altro me stesso?
Potrei cioè spingermi ad immaginare un altro Dioniso? E se sì, quanto diverso da me?
Io, come Dioniso, nasco martedì 1° agosto 2006. Dopo una gestazione di quasi nove mesi esatti (nove mesi meno una settimana per la precisione) da un evento rifondante, che chiamerò R, della vita del mio alter-ego. E la mia nascita fu fortemente influenzata da quell'evento. È quindi molto probabile che senza quell'evento rifondante io non sarei mai nato. O almeno non sarei stato il Dioniso di adesso. Posso quindi facilmente immaginare una serie di mondi possibili in cui o io non esisto oppure sono diverso dal Dioniso di adesso.
Vediamo qualche esempio. Indicando con M_a il mondo attuale potrei immaginare altri mondi in cui probabilmente non sono mai nato in quanto:

1. R non è mai occorso
2. R non ha prodotto i risultati sperati per il mio alter ego. (Questo però è un mondo estremo, in quanto in quel mondo non esisterebbe più neppure il mio alter ego.)
3. R è occorso ma esiste una sostanza chiamata trombonio inesistente in M_a.
   Ma in questo mondo intermedio potrei anche essere nato in quanto R potrebbe avere avuto esiti molto simili a quelli che ha avuto in M_a. Esiti diversi li avrebbe invece sicuramente avuti se aggiungiamo la seguente ipotesi.
4. Un gruppo di ricercatori usando il trombonio ha sviluppato una tecnica che rende semplicissima la risoluzione di R.

Mondi in cui sono nato ma non esisto più in quanto:

5. il mio alter ego si è scocciato di me.
6. un evento R^C ha annullato gli effetti di R.

Mondi in cui io esisto ma sono diverso:

7. ho un volto diverso in quanto il mio alter ego non ha visitato il museo di Lipari durante il viaggio alle Eolie del 2006.

Potremmo rappresentare i suddetti mondi possibili in questo schemino:

Dove con M₁ - M₇ indico i mondi descritti nei punti 1-7 della precedente lista (M_a potrei anche indicarlo con M₀). A questo punto vi chiederete, ma che cosa rappresentano le linee? Ad esempio, perché il mondo M₃ ed il mondo M₄ sono connessi da una linea? Semplice! Quella linea significa che a partire dalla realtà del  mondo M₃ è possibile concepire la realtà del mondo M₄. Mentre non esiste una linea che congiunga il mondo M_a al mondo M_4. Infatti se in M_a non esiste il trombonio allora da M_a non è concepibile un mondo in cui un gruppo di ricercatori abbia sviluppato una tecnica che usa il trombonio. Sarà necessario allora il mondo intermedio M₃ che è invece concepibile a partire da M_a e da cui è concepibile M₄. Nota a margine: dall'osservazione precedente segue che, in questo specifico caso, la nostra relazione di accessibilità non è transitiva.

Ora, se ci si limita a considerare solo l'accessibilità tra mondi allora si è nel dominio della Logica Modale. E in quel dominio ci si può interrogare solo sulle proprietà della relazione di accessibilità quali appunto la transitività, la simmetria, la riflessività ed altre, e come tali proprietà si riflettano nelle rispettiva sintassi (per una definizione di sintassi e semantica di un sistema di Logica matematica si veda Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale? - quarta parte).

Potremmo però anche spingerci a chiederci quanto questi mondi M_i - con i che può variare da 1 a 7 - siano distanti dal mondo attuale M_a. Ad esempio è più distante il mondo in cui io non esisto? Oppure il mondo in cui il mio alter ego non esiste? Personalmente tenderei a dire altro ma un irrefrenabile forza interiore mi spinge a dire che è più vicino, o detto in altri termini più simile, al mondo attuale il mondo in cui io non esisto. (Detto tra noi, quando percepisco queste irrefrenabili forze interiori mi viene un po' da mettere in discussione il principio del libero arbitrio). Possiamo quindi definire intuitivamente una nozione di distanza tra mondi.

A questo punto che cosa significherebbe valutare la verità di questa affermazione: ND = "Se R non fosse occorso allora Dioniso non esisterebbe"? Significherebbe andare a scegliere, tra gli infiniti mondi concepibili a partire da quello attuale, quel mondo più simile a quello attuale M_a in cui R non è occorso. E lì porsi la domanda: esiste Dioniso in questo mondo? Se la risposta è no, allora l'affermazione ND è vera. Detto in altri termini: tra tutti i mondi possibili in cui R non è occorso ce ne sarà almeno uno in cui Dioniso non esiste. Se questo mondo è più simile al mondo attuale rispetto ad ogni altro mondo in cui R non è occorso eppure Dioniso esiste, allora potrò dire che ND è vera.

Espressa in modo un po' un po' più formale ma molto semplificato, la sintassi per la logica condizionale può essere definita introducendo, a fianco dell'operatore di implicazione classico →, un nuovo operatore di implicazione condizionale >. Date due proposizioni P e Q l'operatore di implicazione classico (o materiale)
P → Q verrà letto come se P è vera allora Q è vera. Mentre l'operatore di implicazione condizionale (o controfattuale)
P > Q verrà letto come se P si fosse verificata allora Q si sarebbe verificata.

Una volta definita la sintassi possiamo definire la semantica per la logica condizionale nel seguente modo. Indicando con M  l'insieme di tutti i mondi possibili e con L l'insieme di tutte le proposizioni, definiamo la funzione f che ad ogni mondo M_i di M e ad ogni proposizione P associa il mondo M_j più vicino ad M_i in cui P è vera. Espresso in termini più formali:

f: M x L → M : f(M_i, P) = M_j

In questa semantica P > Q è vera in M_i sse Q è vera in f(M_i, P) = M_j

Per approfondimenti
Possible world semantics, Notes on conditional semantics, Counterfactual conditional, Indicative conditional, Relevance logic, Implicazione logica, Mondi possibili e supposizioni controfattuali