Verso la matematica moderna: Viète, Magini, Clavius e l'introduzione di nuovi simboli e concetti - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente abbiamo detto che dopo la morte di Maurolico (1575) la geometria non conobbe grossi sviluppi per più di 50 anni e, fino all'arrivo di Cartesio, la matematica si sviluppò in altre aree.

Nell'ultimo quarto del XVI sec. l'Europa occidentale aveva recuperato la maggior parte delle opere matematiche dell'antichità che ci sono pervenute¹; l'algebra degli arabi era stata assimilata e sviluppata sia attraverso la soluzione generale delle equazioni di terzo grado sia attraverso un impiego parziale del simbolismo (1, 2); e la trigonometria era diventata una disciplina autonoma. Boyer¹ afferma che nel periodo tra la fine del '500 e gli inizi del '600 la matematica aveva quasi raggiunto quel livello di maturità che poteva consentire rapidi progressi ma fu necessario un periodo di transizione e, questo passaggio dal Rinascimento al mondo moderno, si realizzò anche attraverso una serie di figure intermedie.

Tuttavia, la figura centrale di questa fase fu il matematico francese François Viète (1540 – 1603), noto anche con il nome latinizzato di Franciscus Vieta. Nato in una famiglia di giuristi, Viète studiò diritto ed esercitò l'avvocatura. A 24 anni diventò precettore di Catherine de Parthenay, a 31 avvocato al parlamento di Parigi e a 33 consigliere al parlamento della Bretagna. Nel 1576 entrò a far parte del servizio del Re: dapprima di Enrico III e poi, nel 1594, di Enrico IV. E sotto quest'ultimo venne incaricato di decifrare i messaggi che gli spagnoli avevano cifrato con una chiave di oltre 500 caratteri. Attività nella quale Viète dimostrò una tale abilità che gli spagnoli lo accusarono di essere in combutta col diavolo.
Nonostante il tempo limitato che poteva dedicare alla matematica a causa dei suoi impegni politici Viète riuscì ad apportare notevoli contributi all'aritmetica, all'algebra, alla trigonometria e alla geometria. Probabilmente la maggior parte di questi vennero prodotti tra il 1564 e il 1568, quando Viète non aveva ancora impegni politici, e tra il 1584 e il 1589, quando Viète venne allontanato dal potere in quanto ugonotto. (Nel 1594 si convertì al cattolicesimo per poter prestare di nuovo servizio per il Re).
Del primo di questi due periodi è l'Harmonicon Coeleste, un testo in cinque libri mai pubblicato ma ancora disponibile come manoscritto (una copia autografa è nella Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze, e un'altra copia di G. Borelli è nella Biblioteca Nazionale Centrale Vittorio Emanuele II di Roma). Nell'Harmonicon Coeleste Viète presentò la sua visione tolemaica del cosmo in quanto egli credeva che l'ipotesi di Copernico non fosse geometricamente valida. Essendo un trattato di astronomia, l'Harmonicon contiene ovviamente anche molta trigonometria.
Nel 1571 Viète pubblicò un'opera di trigonometria, Canon mathematicus, nella quale presentò varie formule sulle funzioni seno e coseno. Questo lavoro costituisce il primo passo avanti della trigonometria dopo i risultati di Copernico e Rheticus. Il Canon, inoltre, fornì un impulso verso l'uso di frazioni decimali in luogo di quelle sessagesimali.

L'uso della virgola decimale vera e propria si attribuisce invece solitamente o a Giovanni Antonio Magini (1555-1617), un astronomo amico di Keplero e concorrente di Galileo alla cattedra di matematica a Bologna, nel suo De planis triangulis; oppure a Christophorus Clavius, meglio noto in Italia come Cristoforo Clavio (1538 – 1612), un gesuita, matematico e astronomo tedesco, anch'esso amico di Keplero e noto soprattutto per il suo contributo alla definizione del calendario gregoriano, in una tavola di seni del 1593. Tuttavia la virgola entrò davvero nell'uso comune soltanto venti anni più tardi grazie sopratutto a Nepero. Ma di questo ci occuperemo in seguito.
Tornando invece a Viète, si può dire che fu l'algebra il campo nel quale egli fornì i contributi più importanti imprimendo a questa disciplina un forte impulso verso l'approccio moderno. Quello che vede l'algebra come una forma di ragionamento astratto e non, com'era accaduto per il periodo arabo fino all'inizio dell'età moderna, come un insieme di artifici per risolvere problemi. Prima di Viète, l'obiettivo principale di questa disciplina era rimasto la ricerca del valore dell'incognita, a quei tempi denominata "la cosa", in un'equazione con coefficienti numerici specifici senza avere alcuno schema generale per rappresentare un'intera classe di equazioni, come, ad esempio, quello attualmente in uso (ax² + bx + c = 0) per rappresentare una qualsiasi equazione di secondo grado. Nella geometria, invece, per mezzo di una figura e di tre lettere si potevano rappresentare tutti i triangoli. Fu qui che Viète introdusse un principio convenzionale tanto semplice quanto rivoluzionario. Usò una vocale per rappresentare l'incognita e una consonante per rappresentare un numero noto introducendo così per la prima volta nell'algebra una netta distinzione tra il concetto di parametro e quello di incognita. A questo punto, usando tutte le notazioni simboliche allora esistenti, sarebbe stato possibile scrivere tutte le equazioni di secondo grado con l'unica formula BA² + CA + D = 0. Ma né Viète né tanto meno altri matematici del tempo ebbero l'intuizione, o forse la possibilità, di elaborare una tale sintesi. L'algebra di allora rimaneva fondamentalmente un'algebra sincopata; infatti, sebbene Viète adottasse i simboli tedeschi per l'addizione e la sottrazione e usasse simboli diversi per parametri e incognite, per il resto usava ancora espressioni verbali e abbreviazioni.
Con Viète si osserva anche una chiara tendenza verso la correlazione tra la nuova algebra e la vecchia geometria di Apollonio. Il matematico francese arrivò a un passo dalla geometria analitica e, se non avesse evitato lo studio geometrico delle equazioni indeterminate, avrebbe potuto scoprire questa disciplina qualche decennio prima di Cartesio.
Anche la sua trigonometria, così come la sua algebra, fu caratterizzata da una accentuata possibilità di generalizzazione e ampiezza di vedute. Così, oltre a essere considerato il fondatore dell'algebra letterale, Viète potrebbe anche essere considerato il padre di quel metodo analitico generalizzato di trattare la trigonometria che a volte viene chiamato goniometria.

Ma oltre a Viète, in quel periodo, molti altri matematici si interessarono alla trigonometria e produssero manuali e compendi. Il termine stesso "trigonometria" fu coniato in quel periodo da Bartholomaeus Pitiscus  (Grünberg, 1561 – Heidelberg, 1613),che lo usò come titolo di un manuale pubblicato nel 1595.

Anche l'invenzione dei logaritmi avvenne in quegli anni, ma di questo parleremo nella prossima puntata che sarà su Nepero, Harriot, Oughtred e Recorde e l'introduzione di altri nuovi simboli.

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¹ Carl B. Boyer: Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori

I progressi della geometria nel XVI sec. - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente si è parlato dei nuovi rapporti sviluppatisi durante il Rinascimento (sec. XIV-XV) tra la geometria e le arti figurative. Ma, oltre che nelle arti figurative, la matematica durante il Rinascimento trovò applicazione in molte altre aree: dalla cartografia all'agrimensura, dai libri di conto all'ottica, fino alla meccanica.¹ Inoltre, coerentemente con lo spirito del tempo, l'interesse per le opere classiche dell'antichità continuò a essere molto forte.

In particolare, Maurolico (1494 – 1575), un prete messinese di origine greca, matematico e geometra molto dotto, contribuì notevolmente a ravvivare l'interesse per le opere avanzate dell'antichità. Tra l'altro Maurolico fu probabilmente il primo a usare il principio d'induzione (per dimostrare che la somma dei primi n numeri dispari è eguale al quadrato di n) circa tre secoli prima di Robert Grassmann e di Peano; e "collaborò con lo scultore Giovanni Angelo Montorsoli nella realizzazione di due delle più belle fontane monumentali del Cinquecento (quella di Orione e quella del Nettuno)".
Maurolico tentò addirittura di ricostruire il Libro V delle Coniche di Apollonio, allora perduto, basandosi su indicazioni contenute nel lavoro di Pappo. In tal modo egli inaugurò quello che negli anni diventerà una moda: la ricostruzione sia delle opere perdute in generale sia, in particolare, degli ultimi quattro libri delle Coniche di Apollonio.
Avendo inoltre studiato metodi per la misurazione della Terra Maurolico "fornì le carte geografiche alla flotta cristiana in partenza dal porto di Messina per la Battaglia di Lepanto".
Per quanto riguarda invece la geometria si può dire che fino alla prima metà del XVI secolo essa fece riferimento quasi esclusivamente alle proprietà elementari descritte da Euclide poiché ben pochi matematici avevano familiarità con la geometria di Archimede, Apollonio, e Pappo. Le traduzioni latine di queste opere divennero infatti disponibili solo a partire dalla metà del secolo e, prevalentemente, grazie proprio a Maurolico. Ma anche altri contribuirono al lavoro di traduzione.

Ad esempio, l'urbinate Federico Commandino (1509 – 1575), che, oltre a essere in corrispondenza con Maurolico, tradusse opere di Archimede, di Aristarco da Samo, di Pappo di Alessandria (in particolare la "Collectiones mathematicae" che era rimasta sconosciuta persino ai matematici islamici), di Euclide (tradotto anche in italiano) e i primi quattro libri delle Coniche di Apollonio (ebbene sì, li tradusse anche lui). E Tartaglia che, come avevamo già detto in Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese, nel 1543 fece stampare una traduzione archimedea altrui spacciandola per propria.
Dopo la morte di Maurolico (1575) la geometria non conobbe grossi sviluppi per più di 50 anni e, fino all'arrivo di Cartesio, la matematica si sviluppò in diverse altre aree. Di questo cominceremo a parlare nella prossima puntata partendo dall'introduzione di nuovi simboli.

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¹ Carl B. Boyer: Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori

Il rinascimento: la nascita della prospettiva e i suoi aspetti geometrici - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente abbiamo parlato dei progressi che  Niccolò Copernico e Georg Joachim Rheticus apportarono alla trigonometria. In particolare, Rheticus, con l'Opus palatinum de triangulis, pubblicato dopo la sua morte, fece raggiungere alla trigonometria un livello di maturità molto avanzato.

Ma, tornando indietro di qualche anno e cambiando settore della matematica, possiamo osservare che in Italia cominciarono a svilupparsi nuovi rapporti tra la geometria e le arti figurative. È noto che i pittori medioevali, soprattutto fino al XIII sec., non riuscivano a rappresentare molto bene la dimensione della profondità spaziale. Ma, a partire dal XIV secolo, la Prospettiva cominciò a imporsi. Dapprima, con Giotto (1267 – 1337) e Ambrogio Lorenzetti  (1290 – 1348) (Annunciazione - 1344), in modo piuttosto intuitivo, e in seguito, durante il Rinascimento, attraverso approcci più scientifici.

http://carnevalenrico.altervista.org/

Il primo a ideare un metodo per rappresentare gli edifici in prospettiva fu l'architetto fiorentino Filippo Brunelleschi (1377 - 1446)¹. A lui si deve l'invenzione della prospettiva a punto unico di fuga. Attraverso studi ed esperienze condotte con l'aiuto di strumenti ottici, Brunelleschi elaborò un procedimento per rappresentare gli edifici in prospettiva. Grazie a Leon Battista Alberti (1404 - 1472) sappiamo che due tavolette di Brunelleschi andate perdute raffiguravano il battistero visto dalla porta di Santa Maria del fiore, la piazza della Signoria e palazzo Vecchio. Alberti, inoltre, produsse la prima trattazione scritta sulla prospettiva a noi pervenuta: il De Pictura (1434-1436).

http://www.istitutomaserati.it/ 

Tra le altre cose il trattato descrive un metodo ideato dallo stesso Alberti per rappresentare, nel piano del dipinto verticale, una serie di quadrati disposti nel piano del pavimento orizzontale.
Sia V il punto della veduta in cui è situato l'occhio, h la distanza dal pavimento e k la distanza dal piano del dipinto. L'intersezione del piano del pavimento con il piano del dipinto viene chiamato "la linea giacente", il piede C della perpendicolare tirata da V al piano del dipinto viene chiamato "centro della visione" o punto di fuga principale, la linea passante per C e parallela alla line giacente è nota come "linea di fuga", e i punti situati su questa linea alla distanza k da C sono chiamati "punti di distanza". Se prendiamo dei punti equidistanti tra loro lungo la linea giacente, e se tracciamo delle linee che uniscano questi punti con C, allora la proiezione di queste linee sul piano del pavimento formerà un insieme di linee parallele ed equidistanti. Se da V tracciamo linee di connessione con tali punti, in modo da formare un altro insieme di linee che intersecano il piano del dipinto in altri punti, e se per questi ultimi punti tracciamo delle parallele alla linea giacente, allora l'insieme di trapezi nel piano del dipinto corrisponderà a un insieme di quadrati nel piano del pavimento.

Un ulteriore progresso nello sviluppo della prospettiva venne effettuato da Piero della Francesca (1416/1417 circa - 1492) nel suo secondo trattato De prospectiva pingendi. Piero della Francesca affrontò un problema più complesso rispetto a quello affrontato dall'Alberti. E cioè quello di dipingere nel piano del dipinto oggetti tridimensionali così come essi vengono visti da un dato punto di veduta. Il suo primo trattato, Trattato d'abaco, scritto trent'anni prima, era invece dedicato alla matematica applicata al calcolo commerciale. E il suo terzo e ultimo trattato, Libellus de quinque corporibus regularibus, è dedicato alla geometria e riprende temi antichi di tradizione platonico-pitagorica, come, ad esempio, il riferimento alla "divina proporzione" secondo la quale si intersecano le diagonali di un pentagono regolare. Nel trattato Piero della Francesca trova inoltre il volume comune a due cilindri circolari uguali i cui assi si intersecano ad angoli retti. E arriva a questo risultato senza conoscere il lavoro di Archimede Della sfera e del cilindro, ancora da riscoprire a quei tempi. Quindi, il Piero della Francesca che si studia solitamente nella storia dell'arte può essere considerato a tutti gli effetti anche un matematico.

Nella prossima puntata parleremo dei progressi della geometria dopo la riscoperta di alcuni degli antichi trattati geometrici che avvenne intorno alla metà del XVI secolo e dell'introduzione di nuovi simboli.

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¹ Carl B. Boyer: Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori

Il rinascimento: Copernico, Rheticus e la trigonometria - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente abbiamo parlato di Robert Recorde (1510 - 1558) e della sua introduzione del simbolo = per l'uguaglianza. Poi abbiamo visto come Raffaele Bombelli (1526 - 1573) contribuì a rendere sia i numeri complessi sia i numeri irrazionali più accettabili come veri e propri numeri attraverso la definizione di regole per l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione per entrambe le classi di numeri e attraverso la corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e le lunghezze su una retta.
Quanto scritto nella puntata precedente ci fa anche intuire che i maggiori progressi della matematica nel XVI secolo riguardavano soprattutto l'algebra. Tuttavia anche la trigonometria ebbe un'importante sviluppo in questo secolo.

Solitamente Niccolò Copernico (Mikolaj Kopernik 1473 – 1543) viene ricordato solo come uno dei più grandi astronomi della storia per aver dato un forte impulso all'affermazione della teoria eliocentrica. Ma un astronomo dell'epoca era inevitabilmente anche un trigonometrista.
Copernico cominciò a studiare nella prestigiosa università di Cracovia e poi anche a Bologna, Padova e Ferrara. Dopo un breve periodo di insegnamento a Roma tornò infine in Polonia.
Il suo celeberrimo trattato De Revolutionibus orbium coelestium (pubblicato nell'anno della sua morte) sul sistema eliocentrico contiene ampie parti sulla trigonometria.

Le grandi capacità trigonometriche di Copernico si intuiscono sia dai teoremi inclusi nel versione definitiva di De revolutionibus sia dal teorema incluso in una precedente versione manoscritta del libro. Con tale teorema Copernico generalizza la proposizione del matematico persiano Nasir al-Din al-Tusi (1201 – 1274):

se un cerchio minore rotola all'interno di un cerchio maggiore con diametro doppio, allora il luogo geometrico di un punto che non giace sulla circonferenza del cerchio minore, ma che è fisso rispetto a questo cerchio minore, costituisce un'ellisse.
Secondo Boyer¹ è probabile che la forma definitiva della trigonometria del De revolutionibus derivasse da quella del Regiomontano.

Infatti nel 1539 Copernico accolse tra i propri studenti l'austriaco (figlio dell'italiana Tommasina de Porris ) Georg Joachim Rheticus (1514 – 1574) che aveva avuto contatti col Regiomontano.
Rheticus ebbe un ruolo determinante nella convincere Copernico a pubblicare la sua opera. Sembra, infatti, che il maestro non fosse del tutto convinto perché temeva che le sue teorie sarebbero state osteggiate. Rheticus ebbe un ruolo importante anche nel divulgare il trattato del maestro che non era, e non è tuttora, di facile lettura e comprensione. In realtà l'introduzione divulgativa di Rheticus, Narratio Prima, al De revolutionibus orbium coelestium uscì nel 1540: addirittura tredici anni prima dell'opera stessa.
In seguito Rheticus compose il più elaborato trattato che fosse mai stato scritto fino a quel tempo: l'Opus palatinum de triangulis. Opera completata e pubblicata nel 1596 dal suo allievo Valentinus Otho dopo la morte del maestro.



Con questo trattato la trigonometria raggiungeva un livello di maturità senza precedenti. Abbandonando la tradizionale considerazione delle funzioni trigonometriche rispetto all'arco di un cerchio Rheticus privilegiò l'uso dei lati di un triangolo rettangolo e calcolò tavole molto elaborate per tutte e sei le funzioni.

Nella prossima puntata parleremo della nascita della prospettiva nel disegno e nella pittura e dei suoi aspetti geometrici.

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¹ Carl B. Boyer: Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori

La matematica degli Hindu: Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra, Bhāskara, numeri negativi e irrazionali

Nella precedente puntata abbiamo abbiamo visto che la matematica hindu sarebbe diventata significativa solo dopo essere stata influenzata dai risultati greci producendo quello che viene indicato come il secondo periodo della matematica hindu, che va dal III al XIII sec. d.C. I matematici più importanti di questo secondo periodo della matematica hindu sono Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra  e Bhāskara. E la maggior parte della loro opera era motivata dall'astronomia e dall'astrologia.
Abbiamo anche visto che intorno al III sec. a.C. cominciano a comparire i simboli numerici brahmanici e che, presumibilmente, intorno al IV sec. d.C. nasce l'uso dello zero posizionale. E tale uso determinò lo sviluppo del sistema numerico posizionale hindu in base 10,

da cui deriva il nostro moderno sistema di numerazione. Ma è solo intorno al 600 che la notazione posizionale in base 10, che era stata usata sporadicamente per circa un secolo, entrò nell'uso comune.¹
 E, in questo contesto, a differenza di quanto era stato fatto fino a quel momento, lo zero cominciò a essere trattato come un qualsiasi altro numero. E, nel sec. IX d.C., Mahāvīra arrivò a definire le quattro operazioni per lo zero. Seppure, nel caso della divisione, egli disse che un numero diviso per 0 rimane inalterato. Ma vedremo che, più tardi, un altro matematico hindu cambierà quella definizione.
Presto gli Hindu cominciarono anche a usare una notazione simile a quella attuale per rappresentare le frazioni. Usavano disporre numeratore e denominatore uno sopra all'altro ma senza la nostra linea. Ed essi furono anche i primi ad introdurre i numeri negativi. Li introdussero per rappresentare i debiti.
Il primo uso noto lo si trova in Brahmagupta (598 d.C. – 668 d.C.) e risale al 628 circa. Nello stesso contesto Brahmagupta enuncia anche le regole per le quattro operazioni con i numeri negativi. Ma non vengono mai date definizioni, assiomi o teoremi. Brahmagupta si pone anche il problema della radice quadrata di un numero negativo. E lo risolve dicendo semplicemente che la radice quadrata non esiste, visto che un numero negativo non può essere un quadrato.

La nuova definizione di un numero diviso per 0 arrivò invece solo nel XII sec d.C. con Bhāskara II (1114 – 1185). Egli affermò infatti che una frazione con denominatore 0 rimane inalterata quale che sia la quantità che le si aggiunga o sottragga. E chiamò tale frazione una quantità infinita.
Ma Bhāskara non fece solo questo. Come ci dice wikipedia, Bhāskara "rappresenta il culmine della conoscenza matematica e astronomica del XII secolo in ambito mondiale." E il lavoro di Bhāskara relativo al calcolo infinitesimale, anticipa Newton e Leibniz di oltre mezzo millennio. Infatti si può affermare, con una discreta certezza, che Bhāskara fu propabilmente il primo a concepire l'idea del calcolo infinitesimale. Inoltre Bhāskara, seppure dopo un paio di secoli ripetto agli Islamici, anche se indipendentememnte da loro, cominciò anche a usare le operazioni con i numeri irrazionali. Ma, così come avevano gia fatto gli Islamici, senza fornire delle basi teoriche. Si abituò semplicemente a trattare le grandezze irrazionali in modo simile a come trattava i numeri interi.
E Bhāskara fu anche bravo a disegnarla la matematica.

Infatti, come ci ricorda anche .mau. in "Quando una “dimostrazione” è una dimostrazione?" e in "Il teorema di Pitagora", Bhāskara produsse una sorta di dimostrazione grafica del celeberrimo teorema.

Ma, tornando al discorso dei matematici Islamici, possiamo aggiugere che, come riportato dallo storico al-Qifti (1172 – 1248), intorno all'VIII sec. d. C. gli Islamici vennero a conoscenza di buona parte della matematica hindu. E quindi anche del sistema numerico posizonale in base dieci e dello zero. In particolare, Al-Khwārizmī (محمد خوارزمی Corasmia o Baghdad, 780 circa – 850 circa) scrisse un libro sul calcolo con i numeri hindu intorno all'825, e Al-Kindi scrisse quattro volumi sull'uso dei numeri hindu (كتاب في استعمال العداد الهندي [kitāb fī isti'māl al-'adād al-hindī]) intorno all'830. Tuttavia, tali opere descrivevano ma non usavano il sistema numerico hindu. Il primo a usarlo fu Al-Uqlidisi nel libro Kitāb al-Fuṣūl fī 'l-ḥisāb al-hindī ("Il Libro delle Parti nel calcolo indiano") scritto intorno al 952.¹

La puntata successiva è sulla Matematica Islamica

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¹ Morris Kline, Storia del pensiero matematico - Einaudi

La matematica degli Hindu: Śulbasūtra, influenze greche e zero posizionale

Lunedì 19 maggio, mentre preparavo l'aula a Mumbai per il corso che avrei dovuto tenere nei giorni successivi, ho notato una cornice appesa alla parete. Dopo una rapida occhiata mi sono accorto che parlava del matematico Bhāskara I esaltandone le qualità di precursore in diversi ambiti della matematica, che solo diversi secoli dopo sarebbero stati ripresi dai matematici europei. Mi è subito venuto in mente che nella mia serie di storia della matematica ho citato la matematica degli Hindu molto marginalmente e solo per introdurre la Matematica islamica. Forse è arrivato il momento di colmare la lacuna, mi son detto. E quindi eccoci qua a fornire un po' più di dettagli su quella matematica e su Aryabhata, Brahmagupta e Bhāskara: i primi grandi matematici del periodo classico indiano. 

Secondo Kline¹ non ci sono pervenute tracce dell'utilizzo della matematica in India antecedenti all'VIII sec. a.C. Il più antico documento che contiene qualche esempio primitivo di matematica degli Hindu sarebbero i Śulbasūtra. Prodotti in un periodo che va dall'VIII sec. a.C. al II sec. d.C., i Śulbasūtra contengono principalmente le istruzioni e la geometria per la costruzione di altari. Nel corso di tali progettazioni gli Hindu vennero a conoscenza di alcuni fatti geometrici come, ad esempio, il teorema di Pitagora, che compare enunciato in questa forma:
"La diagonale di un rettangolo oblungo produce da sola entrambe le aree che i due lati dell'oblungo producono separatamente"
Ma, come già detto anche per le antiche civiltà, essi possedevano una conoscenza applicativa del teorema di Pitagora senza comprenderne appieno la portata teorica. Furono i pitagorici i primi che ne compresero la profondità e che lo dimostrarono.
Per quanto riguarda invece l'aritmetica si conosce ben poco del periodo dei Śulbasūtra. Ad ogni modo, sia la geometria sia l'aritmetica erano prive di dimostrazioni. Quello che si usava erano solo delle regole empiriche.

Intorno al III sec. a.C. cominciano a comparire i simboli numerici brahmanici. Da notare l'uso di simboli diversi per i numeri da 1 a 9 ma senza che lo zero sia incluso nel sistema.
Kline afferma anche che la matematica hindu sarebbe diventata significativa solo dopo essere stata influenzata dai risultati greci. Producendo quello che viene indicato come il secondo periodo della matematica hindu. Che va dal III al XIII sec. d.C. All'inizio di questo periodo, scrive Kline, la geometria alessandrina influenzò in maniera determinante gli hindu, ma essi avevano un dono speciale per l'aritmetica. Anche la loro algebra è possibile sia stata mutuata da Alessandria, e forse anche direttamente da Babilonia, ma anche qui gli hindu produssero molti risultati.
Per quanto riguarda invece la nascita dello zero posizionale, che determinò lo sviluppo del celeberrimo sistema numerico posizionale hindu in base 10, da cui deriva il nostro moderno sistema di numerazione, gli storici la collocano in un periodo che va dal I al IV sec. d.C. Come esempio si può citare il manoscritto di Bakhshali il cui linguaggio implica una stesura non successiva al IV sec. d.C. Sebbene la prima occorrenza che indiscutibilmente mostra il simbolo dello zero compaia in una iscrizione ritrovata nel tempio Chaturbhuja di Gwalior e datata 876 d.C. Altri storici ritengono che uno dei primi esempi di un uso posizionale dello zero lo si possa trovare nella traduzione in Sanscrito di un testo del V sec. d.C. di cosmologia Giainista il cui originale è andato perso: il Lokavibhaga.
Per concludere, l'ipotesi più probabile è che lo zero posizionale sia stato usato sporadicamente per un certo periodo iniziato tra il I al IV sec. d.C. E che a partire dal VII sec. d.C. il suo uso abbia prevalso e sia entrato nell'uso comune.

È abbastanza certo, invece, che intorno al 500 l'astronomo Aryabhata cominciò a usare la parola kha ("vuoto") a significare "zero" in una disposizione tabellare delle cifre. Ma di Aryabhata, insieme a Brahmagupta e Bhāskara, parleremo nella prossima puntata.


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¹ Morris Kline, Storia del pensiero matematico - Einaudi

Il rinascimento: Recorde e il simbolo =; Bombelli, gli irrazionali e i complessi coniugati - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente abbiamo parlato dell'ingarbugliata questione della soluzione dell'equazione cubica. Il problema che tanto aveva infruttuosamente impegnato le menti di molti grandi matematici greci, cinesi, indiani e islamici, era stato finalmente risolto da Del Ferro, Tartaglia e Cardano.
A vedere i nomi affiancati qualcuno potrebbe pensare che si trattò di un lavoro di gruppo. Tutt'altro! Quello che fu probabilmente il maggiore contributo dato all'algebra da quando i babilonesi avevano capito come risolvere le equazioni di secondo grado quattromila anni prima, fu il risultato di inganni e battaglie tra i tre matematici. E l'ingiustizia si propaga fino a oggi attraverso la denominazione delle risultanti formule di risoluzione. Chiamate ancora formule di Cardano ignorando così i contributi di Del Ferro e Tartaglia.

Due puntate fa si era parlato invece di Luca Pacioli, dei matematici tedeschi, dei nuovi simboli (+, - e √) e delle nuove notazioni.

Volendo estendere il tema dell'introduzione di nuovi simboli possiamo citare Robert Recorde (1510 – 1558) che fu l'unico matematico degno di nota nell'Inghilterra del XVI secolo. Recorde studiò e insegnò matematica a Oxford e a Cambridge, ottenne il titolo di dottore in medicina a Cambridge e arrivò ad essere il medico personale di Edoardo VI e Maria Stuarda.

Un anno prima della sua morte, nel 1557, Recorde pubblicò The Whetstone of Witte. In questo libro compare per la prima volta il simbolo = per l'uguaglianza. Passò tuttavia più di un secolo prima che tale simbolo si affermasse sugli simboli altri preesistenti.

A questo punto possiamo tornare in Italia e citare un altro importante algebrista: Raffaele Bombelli (Bologna, 1526 – Roma, 1573). Essendo nato venticinque anni dopo Cardano, Bombelli si formò anche sui lavori del grande algebrista che lo aveva preceduto e probabilmente seguì pure la questione della contesa soluzione dell'equazione cubica.
Sebbene già introdotti nelle formule risolutive di Del Ferro-Tartaglia-Cardano, i numeri complessi non possedevano ancora una vera dignità di numeri. Fu proprio Bombelli a imprimere un forte impulso in quella direzione attraverso la definizione di regole per l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione dei numeri complessi.
Bombelli ebbe anche un'importante intuizione che anticipò il ruolo importante che i complessi coniugati avrebbero ricoperto in futuro¹.
Un altro contributo del matematico bolognese fu quello relativo alla notazione algebrica usata nella sua grande opera: L'Algebra. Notazione che impresse una forte spinta all'algebra sincopata del tempo nel suo cammino verso l'algebra simbolica moderna.

Per mostrare la notazione di Bombelli ho rubato l'immagine di destra al blog Fermat's Last Theorem³. Bombelli però, nel suo lavoro, non usò il simbolo = per l'uguaglianza. Seppure già introdotto da Recorde, infatti, quel simbolo si trovava ancora a distanze troppo grandi dalla penisola.
Due puntate fa avevamo anche visto come Stifel  prese in considerazione una questione che tormentò molti matematici che lo avevano preceduto e che ne tormenterà altri che lo seguiranno. E cioè se gli irrazionali possano essere considerati numeri oppure no. Stifel era combattuto tra l'accettarli come veri numeri e il rifiutarli in quanto la loro rappresentazione avrebbe richiesto un numero infinito di cifre dopo la virgola. Bè, Bombelli apportò un contributo anche qui attraverso un'ipotesi che conoscerà un grande successo. E cioè che ci sia una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e le lunghezze su una retta. Bombelli definì quindi le quattro operazioni su tali lunghezze e usò quelle per definire le quattro operazioni sui numeri reali.² In tal modo egli fornì una nuova tecnica per risolvere il millenario problema dei numeri irrazionali. Tuttavia, così come i precedenti tentativi di risolvere le difficoltà relative all'inclusione degli irrazionali tra i numeri, anche questo tentativo non risolveva del tutto il problema in quanto rendeva i numeri reali un'entità dipendente dalla geometria.

Nella prossima puntata parleremo dell'introduzione di altri simboli e di Copernico.

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Indice della serie

¹ Carl B. Boyer: Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori

² Morris Kline, Mathematics - the loss of certainty, Oxford Paperbacks

³ Fermat's Last Theorem (blog), Rafael Bombelli.

Pitagora (settima parte) - la morte di Pitagora e il grande contributo dei pitagorici

Nella puntata precedente abbiamo visto i tre modi possibili con cui probabilmente Ippaso individuò un oggetto la cui misura non si può esprimere come un rapporto tra numeri interi e che tale oggetto mise in crisi il modello cosmologico dei pitagorici. Nella quinta puntata avevamo già detto che, secondo Giamblico¹, dopo la scoperta dell'oggetto incommensurabile e dopo il suo rifiuto di mantenere la segretezza di tale scoperta, Ippaso venne condannato a morte per annegamento.

Ma che successe alla scuola dopo il crollo delle fondamenta teoriche?
Sembra che la scuola continuò a funzionare e che addirittura il suo potere crebbe. Forse una tal scoperta non ebbe così tanta risonanza al di fuori della confraternita.

Contemporaneamente crebbero però anche i contrasti tra Crotone e Sibari e a guidare le forze di Crotone nella guerra contro la vicina colonia fu proprio il più forte, potente e ricco tra i pitagorici: Milone di Crotone. Ed è probabile che molti dei membri della scuola combatterono con lui. Dopo la vittoria su Sibari, nella decisione sulla spartizione dei territori e sul nuovo tipo di governo per la città di Crotone, i pitagorici esercitarono quindi una forte influenza che portò alla sconfitta dei sostenitori del sistema democratico. Secondo i pitagorici a governare doveva essere un'aristocrazia illuminata. E chi poteva essere più illuminato dei pitagorici stessi? Essi assunsero così il governo della città.
Ma la cosa non durò molto.

Giamblico narra che mentre Pitagora era in viaggio a Metaponto i democratici, capeggiati da Cilone di Crotone, in passato escluso dalla scuola dallo stesso Pitagora, approfittarono di una riunione dei pitagorici in casa di Milone e appiccarono il fuoco alla casa bruciando vivi tutti i pitagorici tranne Archippo e Liside: i più giovani della scuola.

E che cosa fece Pitagora dopo l'annientamento della scuola?

Giamblico riporta due diverse versioni. Una delle quali afferma che il maestro trascorse i suoi ultimi anni di vita a Metaponto. E tale versione coincide con ciò che Kitty Ferguson² asserisce essere la memoria popolare di Metaponto secondo cui, qualche anno prima di morire, Pitagora avrebbe stabilito una nuova scuola nella città.
Quindi i Pitagorici non scomparvero dopo l'incendio della casa di Milone?

No, non scomparvero. La memoria popolare di Metaponto sarebbe coerente infatti anche con le testimonianze successive che narrano della presenza di pitagorici in varie città della Magna Grecia e addirittura nei loro governi. Polibo, lo storico greco del II sec. a.C., riporta infatti una descrizione trovata in fonti precedenti che parla di una rivoluzione, intorno alla metà del V sec. a.C., che disarcionò i pitagorici dai governi autocratici che avevano istituito.
Poi c'è l'altra versione riportata da Giamblico. In cui la scuola sarebbe invece sopravvissuta a Crotone anche dopo la morte di Pitagora. E il successore di Pitagora sarebbe stato Aristeo di Crotone che sposò Teano, la vedova del suo maestro. Aristeo sarebbe poi stato rimpiazzato da Mnesarco, il figlio di Pitagora.

Se qualcuno poi si chiedesse: ma qual è l'eredità che ci hanno lasciato Pitagora e i pitagorici? Beh, concludo queste puntate su Pitagora citando di nuovo Kitty Ferguson². 

'Pitagora e i suoi primi seguaci non erano neppure in grado di concepire quale immenso paesaggio si aprisse dinanzi alla porta da loro dischiusa. Da guizzi di indeterminazione inimmaginabilmente piccoli alle innumerevoli galassie, a dimensioni multiple, e forse fino a un'infinità di altri universi. Eppure numeri e relazioni numeriche sembrano aver guidato il cammino in questo labirinto dell'universo fisico con un'efficacia quale lo stesso Pitagora non avrebbe mai osato sperare.
Oggi molti scienziati e matematici aderiscono alla fede pitagorica secondo cui la verità dell'universo sarebbe intrinsecamente matematica e sarebbe quindi possibile cogliere frammenti di tale verità usando il nostro livello umano di matematica. Alcuni sottolineano che la matematica è l'unica disciplina in cui alcune cose sono indiscutibilmente vere, e non soggette all'opinione, mentre altri non lo concedono. Altri ancora ridefiniscono la "completa verità" come "verità" che gli esseri umani possono scoprire attraverso la matematica.'
Ma la Ferguson si pone pure una domanda in qualche modo correlata con l'approccio cognitivista alla matematica.
Oppure..., forse i pitagorici hanno avuto una falsa intuizione, e noi abbiamo vissuto soltanto un sogno? Forse il mondo non è mai andato oltre un illimitato informe, e noi stiamo solo immaginando quella regolarità matematica, o la creiamo noi stessi? Forse la maggior parte di noi è troppo inebriata dalla musica di Pitagora per soffrire una crisi di fede? 

A voi la risposta.

Indice della serie

La prossima puntata è su Platone e le forme geometriche.

¹ Giamblico, Summa pitagorica, Bompiani 2006

² Kitty Ferguson, La musica di Pitagora, Longanesi

Pitagora (sesta parte) - L'incommensurabilità della natura: triangolo, pentagono o corde vibranti?

Nella puntata precedente abbiamo detto che Ippaso di Metaponto, uno dei più brillanti allievi della scuola di Pitagora, trovò un oggetto non misurabile attraverso un numero; e che con esso l'allievo scardinò la dottrina dei pitagorici sintetizzata dal motto della scuola: Tutto è Numero; e che addirittura, dopo il suo rifiuto di mantenere la segretezza di tale scoperta, egli venne condannato a morte per annegamento.

Quello che non abbiamo ancora detto è qual fosse l'oggetto non misurabile attraverso un numero (incommensurabile) che Ippaso scovò.
Dicevamo però che anche questa è una domanda ancora aperta. Attualmente, per quanto ne sappia, esistono tre diverse ipotesi in merito. E in tutti e tre i casi il destino dovette apparire piuttosto beffardo ai pitagorici.

La prima ipotesi è quella proposta da Giamblico: "Di Ippaso si dice che era un Pitagorico, e che sarebbe perito in mare come empio per aver divulgato la sfera che egli per primo aveva costruita geometricamente a partire da dodici figure pentagonali"¹. Ipotesi  rivalutata successivamente da Kurt von Fritz². E la figura costruita con dodici figure pentagonali non è altro che il dodecaedro regolare. Che per definizione è costituito da dodici pentagoni regolari.

E il pentagono regolare è proprio il poligono dal prolungamento dei cui lati si costruisce il pentagramma regolare. Cioè, il simbolo dei pitagorici.  Il baco che minava le fondamenta della dottrina pitagorica si sarebbe celato quindi proprio nel simbolo della scuola. Ma in quale punto preciso del simbolo fu scovato quest'oggetto? Beh, esso dimorava non in un solo luogo, ma in molti dei rapporti tra i vari segmenti del simbolo. In seguito si scoprirà che in questo caso ci si trovava di fronte ad un irrazionale molto particolare, e cioè la celeberrima sezione aurea. Che si ritrova sorprendentemente anche in molte altre aree dello scibile umano: dalla Pittura all'Architettura, fino alla Musica e alla Letteratura.

La seconda ipotesi, di cui ci parla Aristotele³, vuole invece che l'oggetto sia affiorato durante lo studio del rapporto tra lato e diagonale di un quadrato. E cioè in un caso specifico del Teorema di Pitagora. Quindi, in questo caso, l'oggetto mostruoso si sarebbe annidato nel celebre teorema del maestro!
Il caso particolare più semplice del teorema, che porta alla grandezza incommensurabile è il seguente. Se consideriamo il triangolo rettangolo di cateto 1 e chiamiamo x la lunghezza incognita dell'ipotenusa, la nota filastrocca del teorema ci dice che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Quindi nel nostro caso
1² + 1² = x²
Da cui, sommando
1² + 1² = 2 = x²
Il problema di cui si accorse Ippaso è che questo numero x, che elevato al quadrato è uguale a 2, numero che oggi chiamiamo radice di 2 e rappresentiamo con √2, non si può esprimere come un rapporto di numeri interi, cioè detto in termini più tecnici, non può esistere alcuna coppia di interi m ed n tali che m/n = √2⁴. Il che equivale a dire che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di lato del quadrato. In altre parole, se assumiamo il lato del quadrato come nostra unità di misura, non riusciremo mai ad esprimere un rapporto di numeri interi che possa rappresentare la lunghezza della diagonale.

Infine nella terza ipotesi⁵ "si ritiene che la scoperta del concetto di incommensurabilità sia legata al tentativo di risolvere un problema della teoria musicale⁶. Nelle consonanze le lunghezze delle corde sono in certi ben precisi rapporti (cfr.), per esempio nel caso dell’ottava nel rapporto 12 : 6. I pitagorici si sarebbero posti il problema di determinare la lunghezza di una corda, diciamola L, di misura intermedia tra 12 e 6 unità e tale che potesse generare due consonanze uguali, una facendo vibrare la corda maggiore e l’intermedia L e l’altra facendo vibrare quest’ultima e la minore. E questo significa che il rapporto tra la lunghezza della maggiore e l’intermedia 12 : L doveva essere uguale a quello tra la lunghezza dell’intermedia e della minore L : 6." 

Quindi 12/L = L/6
Cioè L² = 2
Vi ricorda qualcosa?
"Se la congettura di Szabò è vera, allora i pitagorici avrebbero trovato una coppia di corde di importanza nella musica, di cui sapevano per via aritmetica che non erano esprimibili con due numeri naturali e dunque erano prive di logos."

Il fatto comune alle suddette tre ipotesi è l'individuazione di un oggetto la cui misura non si può esprimere come un rapporto di numeri interi.⁷ Ad ogni modo, questo oggetto non riconducibile ai numeri interi rappresentò per i pitagorici il diabolus in matematica, la bestia nera che faceva crollare il loro modello cosmologico. È facile immaginare che la scoperta creò molta preoccupazione all'interno della scuola. Non si sarebbe più potuto asserire che la natura è completamente misurabile e rappresentabile attraverso i numeri e neppure quindi che attraverso la scoperta delle proprietà dei numeri si potessero specularmente scoprire i misteri dell'Universo. Era il controesempio che falsificava la teoria. Così il modello pitagorico implose inesorabilmente.

E che successe alla scuola dopo il crollo delle fondamenta teoriche?

Questo lo vedremo nelle prossime puntate ...

Per chi invece volesse sapere come andarono le cose direttamente dalla voce di Pitagora può leggere Pitagora, Ippaso e la scoperta dell'irrazionale

Indice della serie

¹ Giamblico, Summa pitagorica, Bompiani 2006
² The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum - Annals of Mathematics - Second Series, Vol. 46, No. 2, Apr., 1945, pp. 242-264
³ Analitici primi, I.23.41a23-7
⁴ Di dimostrazioni se ne trovano molte. Alcune vengono riportate su wikipedia e la prima che trovate lì è quella classica.
⁵ Giacomo Michelacci / L’evoluzione del metodo nella matematica greca - Esercizi Filosofici, Vol. 6, anno 2002
⁶ Szabò, The beginnings of Greek mathematics, Dordrecht, Reidel, 1978
⁷ Da questa negazione deriva anche il termine “irrazionale”, dal latino ratio, che significava originariamente “rapporto” o “calcolo”, evolutosi in seguito anche nel significato di “ragione”. Irrazionale quindi in quanto non esprimibile come un rapporto di numeri interi. Questo è il termine che usiamo oggi per denotare tali grandezze.

Pitagora (quinta parte) - Ippaso, l'incommensurabile e il crollo della scuola

Nella puntata precedente dicevamo che i pitagorici erano giunti alla conclusione di poter decifrare le leggi che regolano l’Universo attraverso la decifrazione delle proprietà dei numeri e che questa conclusione spinse loro ad impegnarsi in una ricerca ossessiva di tali proprietà. La scuola così si trasformò lentamente in una sorta di setta di numerologi e questo assetto funzionò senza grosse variazioni fino al giorno in cui un adepto della scuola si accorse della presenza di un grosso problema. E del fatto che quel problema si annidava proprio dentro il teorema del Maestro. Dentro il teorema di Pitagora!

Ma chi era questo adepto? E che cosa trovò di tanto sconvolgente da far vacillare le fondamenta della scuola?

Forse per capirlo meglio dovremmo partire da una storia raccontata da Aristosseno di Taranto (IV secolo a.C.). La storia di Aristosseno si riferisce anch'essa alla più grande scoperta dei pitagorici. Quella narrata nella puntata precedente. In cui i pitagorici si accorsero che fenomeni acustici percepiti dal nostro orecchio sono correlati al rapporto tra grandezze fisiche dei corpi che producono i suoni; e che tali suoni sono a loro volta descritti attraverso rapporti matematici tra numeri. Abbiamo visto che la tradizione tramandata da Giamblico (245 – 325 d.C.) ambienta tale scoperta nella bottega di un fabbro di Crotone. E vuole che Pitagora si sia accorto di questa relazione tra suoni e numeri ascoltando le martellate che provenivano dalla bottega. Solo che, come abbiamo visto, per quanto narrativamente efficace, la storia di Giamblico contiene errori oggettivi. La stessa cosa non si può dire invece per la storia di Aristosseno: essa non contiene errori e fornisce una narrazione alternativa in cui il protagonista della scoperta non sarebbe Pitagora, bensì Ippaso di Metaponto.

Secondo questa storia Ippaso, uno dei migliori allievi della scuola pitagorica, avrebbe costruito uno strumento usando quattro dischi di bronzo di uguale diametro e spessore diverso. E provate a indovinare in che modo fossero correlate le differenze di spessore? Ebbene sì, sempre attraverso loro: i rapporti tra i primi quattro numeri. Lo spessore del primo disco era quindi 4/3 di quello del secondo, 3/2 di quello del terzo e due volte quello del quarto. Ippaso avrebbe quindi appeso i quattro dischi a quattro corde e avrebbe verificato che, se percossi, essi emettevano suoni consonanti. Come dicevamo, questo esperimento è corretto e ripetibile da un punto di vista fisico. Infatti la frequenza di oscillazione di un disco è direttamente proporzionale al suo spessore.
Ma allora chi fu a scoprire che i fenomeni acustici sono descrivibili attraverso rapporti matematici tra numeri? Pitagora nella bottega del fabbro, come riporta Giamblico? Oppure Ippaso con i suoi dischi di bronzo, come racconta Aristosseno?
A voi l'ardua sentenza.
Quello che possiamo dire oggi è che quella correlazione tra dimensioni fisiche e suoni era probabilmente già nota da tempo. Ai costruttori e agli accordatori di lire ad esempio. Essi dovevano avere, se non altro, una conoscenza applicativa di tale correlazione. Altrimenti come avrebbero costruito e accordato quegli strumenti? Ma ciò che probabilmente mancava loro era la consapevolezza della profondità e della vastità di tale correlazione. Un po' come le antiche civiltà che possedevano una conoscenza applicativa del teorema di Pitagora e di altri risultati senza comprenderne appieno la portata teorica. E così come nel caso del teorema di Pitagora anche per questa correlazione furono i pitagorici che per primi cominciarono a intravedere la profondità e l'ampiezza di tale scoperta.

Ma tornando alla domanda su Ippaso e l'altra scoperta, quella del grande problema che citavamo all'inizio: che cosa scoprì esattamente questo giovane adepto? Ecco, parrebbe che Ippaso sia stato il primo ad accorgersi dell'esistenza di un oggetto non misurabile attraverso un numero.
E allora? - direte.
Be', alla base della dottrina e del motto dei pitagorici, Tutto è Numero, c'era proprio l'idea che qualsiasi oggetto esistente in natura potesse essere misurato e quindi espresso attraverso un numero. Ma se un giorno qualcuno ti mostra un oggetto non misurabile attraverso un numero allora tutta la tua teoria crolla. Perché non è più vero che qualsiasi oggetto esistente in natura può essere misurato.

E allora che fai? Chiudi scuola, baracca e burattini e dici: scusate, tutta la nostra teoria era sbagliata? (Un po' come fece Gottlob Frege più di due millenni dopo cestinando anni e anni di lavoro quando il giovane Bertrand Russell gli mostrò un semplice paradosso che evidenziava un buco nella sua teoria). Certo, ci vuole un bel coraggio e tanta onestà intellettuale  E sembra che i pitagorici non ne ebbero abbastanza di coraggio e onestà. La tradizione ci racconta infatti che essi decisero di mantenere segreta la scoperta.
Be', non è una sorpresa - direte. Visto che tutte le attività e gli insegnamenti che occorrevano all'interno della scuola erano mantenuti strettamente segreti e chi infrangeva la regola veniva dichiarato addirittura morto. Ma pare che in questo caso i pitagorici si spinsero un po' oltre facendo sconfinare dall'ambito virtuale quella dichiarazione di morte. Sempre il solito Giamblico infatti ci racconta che Ippaso, dopo la scoperta dell'oggetto incommensurabile e dopo il suo rifiuto di mantenere la segretezza di tale scoperta, venne condannato a morte per annegamento.
Prendendo per vera questa versione se ne può concludere che i pitagorici reagirono in modo poco scientifico - almeno secondo l'accezione moderna del termine - in quanto imposero il silenzio di fronte a una scoperta che avrebbe falsificato la loro teoria, ma allo stesso tempo la loro reazione non sconfinò troppo nella "ascientificità", in quanto essi non si misero ad inventare una spiegazione ad hoc per risolvere il problema come spesso succede in ambiti non scientifici. Ad ogni modo, visto il rifiuto di Ippaso nel mantenere la segretezza, la teoria del Tutto è Numero, che era poi un vero e proprio culto, ne uscì fuori totalmente demolita. Probabilmente questo è il prezzo che si paga quando, forse unico caso nella storia dell'umanità, si fonda una mistica solo su elementi razionali.

Ma ora vi chiederete sicuramente qual era l'oggetto non misurabile attraverso un numero che Ippaso scovò.

Diciamo che anche questa è una domanda ancora aperta. Ho scritto che quel problema si annidava proprio dentro il teorema del Maestro. E questo è vero. Ma in realtà quello che non sappiamo è se Ippaso trovò quell'oggetto proprio lì tra i triangoli rettangoli o da qualche altra parte. Esistono infatti diverse narrazioni e ipotesi in merito. Ma questo lo vedremo nella seconda parte.

... continua ...

Se poi qualcuno volesse leggere l'episodio, tratto da un frammento del libro che il giovane pitagorico Fulivao scrisse basandosi sulle memorie narrategli dal maestro pochi giorni prima della sua dipartita verso i Campi Elisi, in cui Ippaso con i suoi dischi di bronzo e Teano con delle corde approfondiscono la relazione tra musica e numeri non ha che da cliccare qui.

Indice della serie

Pitagora (quarta parte) - Tutto è Numero

Dopo aver gettato uno sguardo nella vita privata di Pitagora andiamo ad esplorare le sue scoperte e il suo pensiero.
Se qualcuno vi chiedesse: qual è la scoperta più importante del grande Pitagora? Che cosa rispondereste? Il teorema di Pitagora? In tal caso la risposta sarebbe sbagliata. Prima di tutto per una questione oggettiva che citavamo già qui: esistono documenti che precedono Pitagora di più di un millennio da cui si evince una conoscenza applicativa di quel teorema. Inoltre, pur volendo attribuire a Pitagora la paternità del teorema, o almeno della sua dimostrazione, la maggior parte degli storici della matematica probabilmente concorderebbe nell'assegnare il titolo di scoperta più importante di Pitagora a qualcos'altro. Andiamo allora a vedere che cosa sarebbe questo "qualcos'altro".

La  tradizione tramandata da Giamblico (245 – 325 d.C.) ci dice che Pitagora si accorse di un'inimmaginabile relazione tra suoni e numeri durante le sue passeggiate per le strade di Crotone. Il filosofo era solito passare nei pressi della bottega di un fabbro. E fu proprio lì che un bel giorno il suo sensibile orecchio fu particolarmente disturbato dalle differenze tra i suoni delle martellate che provenivano dall’interno della bottega: alcune combinazioni tra suoni risultavano gradevoli al suo sensibile timpano, erano cioè consonanti, mentre altre combinazioni lo infastidivano, erano cioè dissonanti. Da buon filosofo Pitagora si interrogò sulla causa di quella differenza e volle andare a verificare di persona. Entrato quindi nella bottega egli si mise ad osservare il lavoro dei fabbri e dopo un po' si accorse che l’altezza dei suoni dipendeva dai pesi dei martelli...
O almeno questo è quanto ci racconta la tradizione tramandata da Giamblico. Ma non sempre la tradizione riporta i fatti nel modo corretto. Sarà vero che la scoperta avvenne nella bottega di un fabbro? Non lo sappiamo con certezza, ma è bello pensarlo. Tuttavia, l'unica cosa del racconto di Giamblico che forse andrebbe corretta sono gli errori oggettivi. E allora riprendiamo la storiella aggiungendo solo una piccola correzione.
...Entrato quindi nella bottega egli si mise ad osservare il lavoro dei fabbri e si accorse che l’altezza dei suoni dipendeva dai pesi delle incudini. Incudini uguali producevano lo stesso suono. Quando invece un'incudine pesava il doppio dell’altra, cioè quando i rapporti fra i pesi erano 2 a 1, i suoni prodotti si trovavano a un’ottava di distanza (ad esempio come due do separati da sei tasti bianchi sul pianoforte). Il fatto dovette sembrare molto strano a Pitagora. Perché un fenomeno musicale percepito dal nostro orecchio dovrebbe essere correlato al rapporto fisico tra il peso delle incudini? E perché quest'ultimo dovrebbe essere a sua volta descritto attraverso un rapporto matematico tra i numeri 2 e 1? Perché una percezione puramente umana come quella della consonanza tra due suoni dovrebbe essere interconnessa con un determinato fatto fisico e con un preciso rapporto numerico? Si trattava di una coincidenza? Pitagora, ancora più incuriosito, proseguì le sue ricerche e si accorse che se le incudini erano in rapporto 3 a 2, cioè se il peso di  un'incudine era solo una volta e mezza il peso dell’altra, i suoni risultavano ancora consonanti, però stavolta l’intervallo musicale era quello di quinta, do-sol ad esempio. Pitagora si spinse oltre e provò il rapporto successivo: 4 e 3. E scoprì una nuova consonanza: la quarta; do-fa ad esempio. La sorpresa fu grande! Esisteva chiaramente un rapporto tra musica, fisica e matematica.

Inoltre questo rapporto lo si trovava anche altrove. Come nei movimenti e nelle orbite dei pianeti. Quest'ultima scoperta in particolare spinse i pitagorici a formulare l'ipotesi, che in questo caso però si rivelerà in seguito fallace, della produzione di una musica non udibile da parte dei corpi celesti. Ma questa è un'altra storia.
Ad ogni modo, la scoperta di queste connessioni fisico-numeriche condusse i pitagorici ad immaginare una generalizzazione per cui partendo a ritroso dalla matematica si sarebbero potuti interpretare tutti i fenomeni fisici dell’Universo. L’idea era molto affascinante. Attraverso la decifrazione delle proprietà dei numeri si sarebbe giunti a decifrare l’Universo. Fu ovvio quindi giungere alla conclusione che “Tutto è Numero”. Ed è proprio questa la grande scoperta dei pitagorici!
Così ne parla Kitty Ferguson nel suo bel libro "La Musica Di Pitagora".
Pitagora e i suoi primi seguaci non erano neppure in grado di concepire quale immenso paesaggio si aprisse dinanzi alla porta da loro dischiusa. Da guizzi di indeterminazione inimmaginabilmente piccoli alle innumerevoli galassie, a dimensioni multiple, e forse fino a un'infinità di altri universi. Eppure numeri e relazioni numeriche sembrano aver guidato il cammino in questo labirinto dell'universo fisico con un'efficacia quale lo stesso Pitagora non avrebbe mai osato sperare.
Oggi molti scienziati e matematici aderiscono alla fede pitagorica secondo cui la verità dell'universo sarebbe intrinsecamente matematica e sarebbe quindi possibile cogliere frammenti di tale verità usando il nostro livello umano di matematica. Alcuni sottolineano che la matematica è l'unica disciplina in cui alcune cose sono indiscutibilmente vere, e non soggette all'opinione, mentre altri non lo concedono. Altri ancora ridefiniscono la "completa verità" come "verità" che gli esseri umani possono scoprire attraverso la matematica.
Ma la Ferguson si pone pure una domanda in qualche modo correlata con l'approccio cognitivista alla matematica.
Oppure..., forse i pitagorici hanno avuto una falsa intuizione, e noi abbiamo vissuto soltanto un sogno. Forse il mondo non è mai andato oltre un illimitato informe, e noi stiamo solo immaginando quella regolarità matematica, o la creiamo noi stessi. Forse la maggior parte di noi è troppo inebriata dalla musica di Pitagora per soffrire una crisi di fede.

Ma tornando alla nostra storia, la conclusione che attraverso la decifrazione delle proprietà dei numeri si sarebbe giunti a decifrare l’Universo, spinse i pitagorici ad impegnarsi in una ricerca ossessiva di queste proprietà. La scuola si trasformò quindi lentamente in una sorta di setta di numerologi e il risvolto positivo di questa trasformazione fu la scoperta di molte proprietà dei numeri che quella ricerca ossessiva produsse.
Questo assetto della scuola funzionò senza grosse variazioni fino al giorno in cui un adepto della scuola si accorse della presenza di un grosso problema. E del fatto che quel problema si annidava proprio dentro il teorema del Maestro.  Dentro il teorema di Pitagora!

Ma questo lo vedremo nelle prossime puntate ...

Per chi invece volesse sapere come andarono le cose direttamente dalla voce di Pitagora può leggere Interviste impossibili: Pitagora nella bottega del fabbro.

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