Giugno 376 a.C.
Nella scuola di Cizico, tra corde annodate e tavolette di legno, il maestro Eudosso mostra al giovane Polemarco come il ragionamento possa domare ciò che la misura non riesce a stringere.
«Lui è il maestro», sussurrò il ragazzo. «È Eudosso!» aggiunse con un misto di timore e ammirazione.
Gli occhi verdi dell’uomo si fissarono sui due ragazzi che si ricomposero intimoriti. Uno era un volto noto; l’altro, più minuto, era probabilmente un nuovo arrivato.
«E quella non ci manca!» disse il più giovane, mentre l’altro si voltava a guardarlo stupito. Eudosso lo osservò per qualche istante. Il ragazzo sosteneva lo sguardo del maestro, ma senza arroganza. Nei suoi occhi brillavano davvero vitalità e curiosità. C'era qualcosa, in lui, che gli ricordava un tempo passato. Trattenne appena un sorriso.
«Come ti chiami?»
«Sono Polemarco, maestro.»
«Bene, Polemarco. Visto che non ti manca il coraggio, vieni ad aiutarmi», disse Eudosso sorridendo. «Prendi quella corda e quelle due tavole», aggiunse indicando la parete. «Le useremo tra poco.»
Polemarco le sollevò, esagerando lo sforzo e suscitando qualche risata repressa.
«Quale figura rappresenta quella più piccola?», chiese Eudosso indicando la prima tavola.
«Un rettangolo, maestro.»
«E questa?»
«Un quadrato.»
«Come fai a esserne certo?»
Polemarco esitò. «Perché... Si vede: in quella tavola i lati sembrano tutti uguali.»
«Molte cose sembrano evidenti finché non proviamo a verificarle», osservò Eudosso. «Gli occhi giudicano in fretta. La conoscenza, invece, pretende prove. Come potremmo verificare la tua affermazione?»
A Polemarco non sfuggì l’occhiata del suo amico. «Forse misurando i lati con quella corda?» rispose indicando la fune annodata.
Eudosso annuì. Polemarco prese subito la fune con un movimento rapido.
«I lati della tavola grande misurano entrambi 10 nodi. Quindi si tratta effettivamente di un quadrato», disse dopo aver misurato i due lati.
«Sembrano?» rispose Polemarco guardandolo sorpreso.
«La corda ci permette di avvicinarci alla misura, ma non di raggiungere una certezza assoluta. Potremmo dividerla in parti sempre più piccole, infittendo i nodi, ma rimarrebbe sempre la possibilità che una differenza ancora minore sfugga alla nostra misura.»
«Quindi non possiamo mai essere sicuri?»
«Possiamo essere sicuri solo quando ragioniamo sulle figure ideali che immaginiamo nelle nostre menti. Non quando misuriamo gli oggetti del mondo», disse Eudosso indicando le tavole. «La geometria non cerca la perfezione nelle tavole che costruiamo, perché nessuna di esse è perfetta. Le tavole ci aiutano a vedere il problema, ma la certezza non viene dagli occhi. Viene dalle figure perfette che la nostra mente costruisce e dai rapporti che il nostro ragionamento riesce a stabilire.»
Polemarco annuì.
«Ma», aggiunse Eudosso, «per semplificare le cose, noi considereremo le nostre tavole come figure geometriche perfette. Misuriamo dunque i lati dell’altra tavola.»
«Bene. Ora, tu sai che cos’è una diagonale?»
«Certo. È il segmento che unisce questi due vertici», disse Polemarco indicando due vertici opposti del rettangolo.
«E conosci anche il teorema dei pitagorici?»
«Sì, l’ho imparato.»
«E allora saprai applicarlo per trovare la misura di questa diagonale.»
Polemarco osservò la figura per qualche istante. «Ma certo!» esclamò infine. «La diagonale divide il rettangolo in due triangoli. E l’ipotenusa dei triangoli coincide con la diagonale. Le aree dei quadrati costruiti sui lati misurano… 9 e 16 nodi quadrati e la loro somma è… 25. Quindi 25 è l’area del quadrato costruito sulla diagonale. E il lato del quadrato di area 25 misura 5 nodi. Quindi anche la diagonale misura 5 nodi.»
«Perfetto» lo lodò Eudosso. «E, visto che hai usato il teorema, sappiamo che il risultato vale anche per la figura ideale che abbiamo costruito nella nostra mente. Ma prova a verificare il risultato misurando quella diagonale.»
«Effettivamente misura 5 nodi.»
«Dunque abbiamo verificato che possiamo esprimere con un numero la misura di quella diagonale?»
«Certo.»
«E questo accade per ogni figura?» chiese Eudosso.
«Uhm… Credo di sì» disse l’allievo.
«Allora adesso proviamo con la tavola più grande», disse Eudosso indicando il quadrato. «Secondo te sarà più difficile trovare la lunghezza della diagonale?»
Polemarco osservò la figura. «No, maestro. Dunque,» disse, aggrottando le sopracciglia, «le aree dei quadrati costruiti sui lati misurano entrambe… 10 volte 10, cioè 100 nodi quadrati. La loro somma, che poi sarebbe l’area del quadrato costruito sulla diagonale, è 200 e quindi basterà trovare il lato del quadrato di area 200.»
«Hai un’idea di quale possa essere quel numero?»
Polemarco osservava la figura e aguzzava l’orecchio per captare eventuali suggerimenti.
«Forse una misura con la corda potrebbe darti un’idea» lo esortò Eudosso.
Polemarco prese la corda e la tese lungo la diagonale.
«Misura… 14 nodi.»
«Bene. Allora verifichiamo se 14 volte 14 è uguale a 200» disse Eudosso rivolgendosi agli altri scolari.
«No, è uguale a 196», rispose il compagno di Polemarco dopo qualche istante.
«Sei sicuro che misurasse proprio 14 nodi?»
Polemarco tese di nuovo la corda lungo la diagonale. Guardando meglio si accorse che il vertice del quadrato superava di poco quel nodo.
«No. La misura non coincide perfettamente. È poco più di 14 nodi, ma molto meno di 15», rispose.
«Bene. Ma possiamo accontentarci di una misura del genere?»
«No…» disse Polemarco pensieroso. «Forse… dovremmo cercare una misura più precisa.»
«E se dividessimo ogni nodo della corda in dieci parti?» propose Eudosso. «E poi ancora in dieci parti, e così via?»
«Otterremmo una corda… che misura con più precisione.»
«Quindi potremmo trovare la misura precisa della diagonale?»
«Credo di sì» azzardò Polemarco.
«È quanto credevano anche i pitagorici di Crotone fino a più di un secolo fa» osservò Eudosso. «Poi arrivò Ippaso da Metaponto.»
«Chi è Ippaso?», chiese prontamente Polemarco.
«Un allievo di Pitagora» rispose il maestro. «Ma non un allievo qualsiasi. Era il più brillante della comunità dei pitagorici di Crotone», proseguì, guardando negli occhi l’allievo.
«E che cosa fece Ippaso?»
«Si racconta che Ippaso volesse confermare la teoria del suo maestro. “Tutto è numero” asserivano i pitagorici. Tutto nell’universo si può riportare a un numero. Ma poi scoprirono un’eccezione. Un oggetto che sembrava non corrispondere a nessun numero. Ma Ippaso si intestardì. Voleva trovare quel numero per salvare la teoria del suo maestro. Invece si accorse che effettivamente non esisteva. E lo dimostrò.»
«E che successe poi?» chiese Polemarco impaziente.
«Si dice che alcuni pitagorici avrebbero voluto mantenere segreta quella scoperta. Ammettere che esisteva un oggetto a cui non corrispondeva un numero avrebbe messo in discussione il fondamento stesso della loro visione del mondo. Ma Ippaso non volle cedere! Troppo forte era il suo desiderio di non tradire quanto aveva scoperto.»
Polemarco fissava il suo maestro. Era immerso nel racconto. Anche il resto degli scolari ascoltava avidamente.
«Quindi Ippaso preferì contraddire il suo maestro per mantenersi fedele a quanto aveva scoperto?» osservò il giovane.
Eudosso rimase in silenzio per un istante. Sembrava cercare con cura le parole. «Il suo rispetto per la verità», disse infine, «era più forte del desiderio di compiacere chi lo aveva guidato.»
«Ma qual era quindi l’oggetto che non corrisponde a nessun numero?» chiese Polemarco, passando da una curiosità all’altra.
«Quale pensi che possa essere?»
Polemarco alzò lo sguardo verso l’alto. Poi lo abbassò verso la tavola quadrata. Rimase immobile per un istante. Di colpo i suoi occhi si illuminarono.
«Nooo!» gridò. Tutti gli scolari trattennero il fiato. «È quella! È la diagonale del quadrato!»
Eudosso annuì mentre un sorriso gli si allargava sul volto. «È proprio quella» confermò.
«Ma perché non può essere misurata con la corda che usiamo per misurare il lato?»
«Non sappiamo perché la natura delle cose sia fatta così. Ma sappiamo dimostrare che non può esistere una misura comune tra lato e diagonale di un qualsiasi quadrato.»
Per qualche istante nessuno parlò. Alcuni scolari si guardavano increduli. Altri guardavano la tavola, come se quella figura familiare fosse diventata improvvisamente una meraviglia da ammirare. Ora nascondeva qualcosa che nessuno aveva mai visto. Qualcuno la osservava come se, insistendo abbastanza, l'errore potesse infine rivelarsi.
Poi Eudosso ruppe il silenzio. «Però io ho trovato un metodo, se non per misurarla, almeno per imbrigliarla.» Gli scolari si scambiarono rapide occhiate. L'incredulità sembrò lasciar posto allo stupore. «Un metodo che permette di ragionare su grandezze come questa senza doverle misurare», continuò. «Anche ciò che non può essere espresso con un numero può essere conosciuto. Non sempre la conoscenza richiede una misura esatta. A volte possiamo avvicinarci progressivamente alla verità senza pretendere di afferrarla tutta in una volta.»
«E come funziona il metodo?» chiese Polemarco sempre più curioso.
«Se quel numero non è afferrabile in un solo gesto», disse Eudosso chiudendo di scatto la mano, come se volesse davvero afferrarlo, «io ho pensato di racchiuderlo entro limiti sempre più precisi», proseguì, spingendo lentamente le mani in avanti e facendole convergere, «confrontandolo con grandezze che gli si avvicinano sempre di più e restringendo progressivamente il campo delle possibilità, in un processo che, almeno in teoria, si può ripetere senza fine.»
«E come si fa?»
«Di solito mostro questo metodo solo dopo qualche altra lezione», rispose il maestro.
Polemarco abbassò appena il capo, incapace di nascondere la delusione.
«Ma la curiosità merita qualche eccezione», riprese sorridendo mentre gli occhi del ragazzo si illuminavano. «Quindi vi anticiperò l’idea essenziale.»
«Visto che abbiamo usato questo quadrato», continuò Eudosso avvicinandosi alla tavola, «o meglio, la nostra immagine ideale di questo quadrato», precisò indicandosi la testa, «vi mostrerò il procedimento partendo da qui. Ma questa volta, anziché usare misure sempre più piccole, faremo il contrario: considereremo quadrati sempre più grandi.»
«A che servono quadrati più grandi?»
«Ve lo mostrerò tra un po’. Però dovrete fare uno sforzo di immaginazione, perché costruire tavole così grandi sarebbe piuttosto complicato.»
«Ci proviamo», disse Polemarco voltandosi verso i compagni che annuirono quasi all’unisono.
«Bene. Allora immaginate una corda molto più lunga con i nodi sempre separati dalla stessa distanza.» Gli scolari annuirono. «Adesso immaginate un quadrato con un lato lungo cento nodi, cioè dieci volte quello del quadrato attuale.»
Un vociare si diffuse tra gli scolari.
«Cento nodi!»
«Enorme!»
«Ora, se andiamo a misurare la diagonale di quel quadrato, quanto misurerà secondo voi?», chiese Eudosso gettando uno sguardo su tutti i presenti.
«Poco più di 140 nodi, ma molto meno di 150», rispose Polemarco dopo qualche istante.
«Siete d’accordo?» chiese Eudosso rivolgendosi a tutti gli scolari.
Molti annuirono subito. Pochi altri, più incerti, seguirono il loro esempio subito dopo.
«E questo metodo», aggiunse, «oltre a delimitare i confini della diagonale, ci permette anche di conoscerla con precisione sempre maggiore. Ad esempio», proseguì, «grazie alla geometria, siamo riusciti a restringere ulteriormente i confini, racchiudendo la diagonale del quadrato di lato 100 tra 141 e 142. Cioè, nel nostro caso specifico, sappiamo che essa supera i 141 nodi, ma non raggiunge i 142. Ora, se ripetiamo l’esercizio mentale con un quadrato con un lato di 1000 nodi…»
«Mille nodi?!»
«Assurdo!»
«Dicevo, ripetendo lo stesso ragionamento con un quadrato di lato mille, troviamo che la diagonale supera i 1414 nodi, ma resta inferiore ai 1415. Ma ora voglio farvi una domanda. Pensate che, continuando il procedimento con quadrati sempre più grandi, si arriverebbe a un passo in cui la diagonale misura un numero preciso di nodi?»
«Maestro» esclamò Polemarco dopo un istante. «Avete dato voi stesso la risposta poco fa. Se trovassimo un numero preciso di nodi, avremmo trovato il numero che misura la lunghezza precisa di quella diagonale. Ma voi avete detto che Ippaso ha dimostrato il contrario.»
«Bravo, Polemarco! È proprio così! Proseguendo questo procedimento, non otterremo mai una misura precisa, ma, se potessimo continuare senza fermarci, racchiuderemmo la diagonale tra limiti sempre più stretti, conoscendone la lunghezza con precisione sempre maggiore. Eppure… non riusciremo mai ad afferrarla del tutto.»
Quel ragazzino ha un'intelligenza rara, pensò Eudosso mentre tornava a casa. Merita di essere accompagnato verso la ricerca della verità.
La via che costeggiava le acque del mar Propontide era animata da mercanti, marinai e carretti diretti ai moli. Schiamazzi in lingue diverse arrivavano dal porto insieme al cigolio delle carrucole che sollevavano le merci.
Gli tornò in mente la vitalità di Atene: incomparabilmente più accesa. D’altronde Cizico non poteva competere con quell'immensità. Tuttavia Atene lo aveva respinto. Il pensiero andò subito a Platone e alle lezioni dell'Accademia. La ferita si era rimarginata, ma a volte gli bruciava ancora. Ma in quel momento i colori del tramonto sul mare erano come un balsamo. Per un istante fu pervaso da una sensazione di pace e di armonia con l’universo. Lì, in quel margine del mondo greco, un ragazzino con il chitone impolverato aveva appena intravisto l'incommensurabile.
