Chi vincerà il mondiale? Una questione di Logica intuizionista?

Scegliamo una squadra a caso tra quelle che hanno fatto una pessima figura nella fase finale del mondiale di calcio 2010. L'Italia ad esempio.
Potremmo già formulare un pronostico sui risultati dell'Italia ai modiali brasiliani del 2014?
Bè, potrei affermare ad esempio che:

o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014

Penso che pochi proverebbero a contraddirmi. Ma siamo proprio sicuri che non ci sia un'altra possibilità? O come direbbe qualcuno, siamo proprio sicuri che tertium non datur?

Qualche notte fa dopo una cena a base di insalata di farro annaffiata da un paio di bicchieri di Regaleali me ne sono andato a letto con un certa sensazione di completezza e soddisfazione. In piena notte vengo però svegliato dall'impressione di un lamento profondo. In piedi accanto al mio letto scorgo una tenebrosa figura antropomorfa. Mi pietrifico all'istante. Dalla figura proviene una voce: quasi un infrasuono.
B: (rabbioso tormentato) Perché non vuole ammetterlo!! L'intuzione e la costruzione sono alla base di tutto!
Eppure in gioventù lo ammiravo così tanto.... E anche lui mi stimava molto.
D: (ripresosi dal trauma riesce timidamente a profferire parola) Scusi, ma lei chi è?
B: (austero e marziale) Molto lieto! Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Ma lei può chiamarmi semplicemente professor Brouwer.
D: (reverenziale un po' più animato) E di chi sta parlando professor Brouwer?
B: (spazientito) Come di chi!? Ma del professor David Hilbert naturalmente.

Una seconda figura si materializza nella stanza.

H: (con voce tuonante) Ho sentito pronunziare il mio nome!
B: (con enfasi accigliata) Stavo per l'appunto cercando di dire che la nostra aspirazione deve essere la ricerca della verità, non un arido formalismo alieno da essa.
H: (con sufficienza?) Ma con il mio formalismo saremo in grado di svelare e rivelare la verità in modo automatico e univoco. Potremmo anche giungere ad un punto in cui le presenza umana sarà superflua nel processo di disvelamento delle verità ignote.
B: (categorico) Ma voi, caro Hilbert, partite da premesse sbagliate! Per dimostrare l'esistenza di un oggetto io dovrò mostrare quell'oggetto o almeno mostrare di saperlo costruire.
H: (contraddittoriamente) No! Non è affatto vero! La costruzione appesantisce e complica inutilmente le cose. Brevità ed economia di pensiero! Sono queste le ragioni d'essere delle dimostrazioni d'esistenza. L'oggetto o esiste o non esiste. Tertium non datur! E se assumendo la sua non esistenza giungo ad una contraddizione allora vorrà dire che l'oggetto dovrà necessariamente esistere!
B: (quasi con soddisfazione) Ed ecco che abbiamo introdotto anche le più fallaci tra le vostre assunzioni: le dimostrazioni per assurdo e peggio ancora il principio del Terzo escluso. L'accettazione acritica di tali strumenti solo perché riconducibili a Pitagora e Aristotele è inammissibile!
H: (con scoraggiato scherno) Ma proibire ad un matematico l'uso del principio del terzo escluso sarebbe come proibire a un pugile di usare i pugni o proibire ad un astronomo di usare il telescopio. 
B: (in un crescendo di impeto) La matematica non è un giochino enigmistico privo di significato! I suoi oggetti non sono scorrelati dalla realtà!! Le sue regole formali non possono prescindere dall'intuito!!! La scelta dei suoi assiomi deve essere guidata dall'esperienza!!!!

Le figure svaniscono dissolvendosi lentamente.

Ma allora è vero che o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014? O detto in termini simbolici, indicando con I la proposizione "l'Italia vincerà il mondiale del 2014", è vero che (I ∨ ¬I)?

Forse per il caso di questo enunciato la risposta è sì. (A patto che la profezia Maya non non si riveli nel frattempo valida, ma in tal caso potremmo dire che è vera ¬I, anche se probabilmente nessuno sarà in grado di verificarlo.) Nella matematica tuttavia esistono degli enunciati che non possono essere né provati né refutati, e cioè, approssimando un po', non può essere stabilito né che siano veri né che siano falsi, e sono per questo detti indecidibili. Esempi ne sono l'assioma della scelta e l'ipotesi del continuo, che sono entrambi indecidibili nell'assiomatizzazione tradizionale della teoria degli insiemi.

Il mio dialogo immaginario tra Brouwer e Hilbert è ispirato ad una reale controversia tra i due matematici che va inquadrata tra le appassionanti discussioni relative ai fondamenti della matematica avvenute tra la fine dell'800 e i primi decenni del '900. In questo contesto le posizioni filosofiche che si contendevano il primato erano essenzialmente tre: quella logicista con Frege e Russell; quella formalista con Hilbert; e infine quella costruttivista con Poincaré e Weyl, all'interno della quale si posizionava la corrente radicale degli intuizionisti con Brouwer. I logicisti volevano rifondare la matematica a partire dalla Logica, i formalisti volevan formalizzare la matemitica entro un sistema assimoatico capace di dimostrare o refutare un qualsiasi enunciato, mentre i costruttivisti affermavano la necessità di trovare o di costruire un oggetto matematico per poterne dimostrare l'esistenza rifiutando le dimostrazioni per assurdo soprattutto nei casi che coinvolgono l'infinito; infine l'intuizionismo di Brouwer si spingeva oltre il costruttivismo rifiutando più in generale le dimostrazioni che implicano l'utilizzo di insiemi infiniti e l'applicazione in questi casi dei ragionamenti basati sul principio del terzo escluso.

In seguito un allievo di Brouwer, Arend Heyting, sviluppò l'intuizionismo come un vero e proprio sistema formale: la Logica Intuizionista. Ma questo lo vedremo nell'appendice.