Dialogo su una bottiglia di Klein

- Fläche! Fläche! Das habe ich tausendmal gesagt! Eine Fläche ist keine Flasche!
- Bè, sicuramente una superficie non è una bottiglia, professor Klein. Ma... una bottiglia ha una superficie. E una superficie... può anche avere la forma di una bottiglia.
- Nein! Nein! Io l'ho chiamata Fläche, superficie. E ora tutti la chiamano Flasche, bottiglia. Warum!? Perché!? Wir müssen wissen! Wir werden wissen!
- Uhm, mi pare di aver già sentito quelle parole... Comunque deve ammettere, professor Klein, che c'è un po' di somiglianza tra "Fläche" e "Flasche". Se avesse usato il latino, come si faceva un centinaio di anni prima della sua pubblicazione, nessuno avrebbe confuso "superficies" con "ampulla".
- Voi Italiener! Sempre a tirare acqua al vostro mulino linguistico!
- Ma se siamo uno dei popoli più anglofili al mondo. Ad ogni modo, veda anche l'aspetto positivo, professor Klein. Senza quel malinteso non ci sarebbero stati tanti bei giochini.
- Che giochini!?

- Bè, ad esempio in California c'è qualcuno che produce delle bottiglie di Klein. Forse senza quell'equivoco tra "bottiglia" e "superficie" a nessuno sarebbe venuta in mente un'idea del genere.
- Ma quelle non sono delle vere superfici mie! Cioè di Klein! Insomma quelle. La mia superficie ha bisogno di quattro dimensioni! E, non avendo un interno e un esterno, non potrebbe contenere liquidi.
- Infatti quelle sono delle immersioni nello spazio tridimensionale. E pensi che quelle bottiglie arrivano dotate di istruzioni in cui è scritto che, siccome la bottiglia ha volume zero, la scatola sarebbe stata superflua, ma che al cliente viene comunque fornita gratuitamente una scatola tridimensionale in cui la bottiglia è stata inserita. Non lo trova divertente?
- Divertente! Sempre a pensare al divertimento voi. Chi vuole che compri una bottiglia difficile da riempire e ancora più difficile da svuotare?!

- Ehm... Io una l'ho comprata.
- Oh Gott!

- E le dirò di più. L'idea è nata chiacchierando con altri matematico-carnascialisti che si erano divertiti a preparare antipasti in stile Möbius. E in quella discussione io ho proposto l'involtino di Klein.
- Die Kleinsche Rouladen! Ach du meine Güte!
- Sì! E Popinga ha proposto l'oliera di Klein, seppur con qualche problemino di fluidodinamica.

E così è nata l'idea del Ristorante Superficiale con ricette euclidee e non, camerieri vestiti da gesuiti, tavoli di Möbius (proposti da Annalisa Santi) e musica di Battiato.
- Wahnsinn!

- Professor Klein, ma non pensa che in questo modo lei e la sua bottiglia... pardon, superficie ne guadagniate in popolarità?

- Me ne infischio io della sua popolarità. Anzi, per non sentire altre corbellerie simili me ne vado!
- Ma Professor Klein... Rimanga... Bè, dato che il professore se n'è andato e che non possiamo completare l'intervista non ci resta che ricordare qualche proprietà della bottiglia del professore... E forse come premessa potremmo cominciare dal Nastro di Möbius. Allora, il cosiddetto nastro di...

- Ma come si permette!? Partire dalla superficie di Möbius per introdurre la mia! Il nastro di Möbius è roba da dilettanti.
- Professor Klein! Ma non era andato via?
- Sì, ma ho sentito quello che diceva e sono tornato indietro! Il nastro di Möbius è una superficie semplicissima. Basta prendere una striscia rettangolare e unire i lati corti dopo una torsione di 180°! Non può usarla per introdurre la mia!
- Però credo che il nastro sia stata la prima superficie tra quelle studiate ad avere una sola faccia e a non avere interno ed esterno. La sfera, il toro, il cilindro hanno tutti due facce non comunicanti e un interno e un esterno. Se una formica cammina su una sfera rimarrà sempre fuori o sempre dentro. Nel nastro di Möbius, invece, la formica, dopo aver percorso un giro, si ritroverà dalla parte opposta. E dopo due giri si ritroverà nel punto iniziale. Questo significa che il nastro è anche una superficie non orientabile.

- E allora? Non succede la stessa cosa pure per la mia superficie? E inoltre la mia superficie ha qualcosa che manca al nastro.
- E cioè?
- La chiusura! Provi a versare dell'olio dentro a una superficie di Möbius e vedrà che succede!
- Beh, sì, ma...
- E vogliamo parlare della costruzione?! Guardi qua sotto...

...non è così banale come quella trovata da Möbius per il suo nastro, no?
- Ammetto che è un po' più complicata, ma ribaltando un po' l'ordine delle sue immagini si potrebbe partire da una sorta di bottiglia bucata sul fondo, estenderne poi il collo, curvarlo su se stesso fino a inserirlo lateralmente all'interno della bottiglia e saldare infine il collo al buco sul fondo.
- E le sembra banale!? In ogni caso quella descritta da lei è solo una riduzione nello spazio tridimensionale. Il vero spazio della mia superficie è quello euclideo quadridimensionale, . Lì non è necessario che il collo perfori la parete della bottiglia.

Lo so che è difficile immaginarlo ma si può usare l'analogia di una lemniscata che, in due dimensioni, deve necessariamente auto-intersecarsi ma una volta proiettata nella terza dimensione l'auto-intersezione può essere eliminata.
Poi, diversamente dalla superficie di Möbius, la mia superficie non ha bordi dove la superficie termina bruscamente. E, diversamente da una sfera, una mosca può andare dall'interno all'esterno senza dover attraversare la superficie. Quindi per la mia superficie non esiste realmente un "dentro" e un "fuori".

- Vero! E se paragoniamo la bottiglia di Klein a una ciambella fritta potremo dire che, dal fatto di avere un'unica faccia si avrà, bisogno del doppio di zucchero rispetto a una ciambella mentre, dal fatto di non avere volume, la ciambella di Klein non avrà impasto all'interno... Visto che non ha neppure un interno...
- Ma che fa!? Stavo appena dicendo che trovo molto fastidiosa la comparazione della mia superficie a una bottiglia e lei adesso me la paragona a una ciambella!?
- Professor Klein, ma mi tolga una curiosità. Da qualche parte ho letto che lei per costruire la sua superficie sia partito dal nastro di Möbius con l'idea di rendere chiusa quella superficie.
- Guardi, queste sue affermazioni insolenti mi hanno proprio stancato. Direi che possiamo proprio chiudere qui l'intervista. E stavolta definitivamente!

Letture consigliate:
Imaging maths - Inside the Klein bottle - da cui ho preso diverse immagini
http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein

La matematica è bella o brutta? (Ovvero la scala di tredici semitoni di Bohlen-Pierce)

- Signore e signori. Oggi discuteremo un tema molto dibattuto. C'è chi la ama e chi la odia. E quelli che la amano gioiscono nel poter elencare tutte le sue beltà quando qualcuno chiede loro: ma che c'è di bello nella matematica? Pur tuttavia torme di studenti sarebbero pronti a contestare aspramente tali beltà. Indi per cui, come ci suggerisce martopix per il Carnevale della Matematica n°73, perché non parliamo di Bruttezza Matematica? Visto che di bellezza matematica si parla sempre? Se non altro per pari opportunità! Bene. Allora sentiamo che cosa ne pensa l'illustre Pitagora!
- Di nuovo? Per Zeus! Ma sempre me deve venire a scomodare?! Non poteva chiederlo a Umberto Eco? Lui ci ha scritto un libro sulla bruttezza!
- Sì, ma non credo che il libro parli di matematica. E poi ormai ho una certa familiarità con voi e so dove trovarvi. Umberto Eco mica lo trovo qui ai Campi Elisi.
- Ho capito. Ma per la prossima volta veda di procurarsi qualche nuovo contatto. Allora, la bruttezza matematica... Be', la prima cosa che mi viene in mente è la bruttezza che si può produrre da una sua applicazione alla musica.

- Nella musica? Ma come? Non siete stato voi il primo a scoprire quella bellissima relazione tra rapporti di numeri interi e intervalli consonanti? Quella mirabile corrispondenza tra la quarta e la quinta giuste e i rapporti 4:3 e 3:2?
- Certo! Ma poi, non soddisfatti, gli uomini crearono quel dannato temperamento equabile.
- Be', comunque lì si divide l'ottava in parti uguali. C'è simmetria.
- Simmetria, sì. Ma che cosa mi dice del rapporto che ivi sussiste tra i semitoni?

È la radice dodicesima di 2!
 ! Un ir... Un irra...
- Un irrazionale vuole dire?
- Sì quello. Non riesco mai a pronunciare quel nome. Non è un esempio di bruttezza generato dalla matematica quello?
- Mah, non saprei...
- Ah, non è convito? Be' allora le mostrerò un altro esempio, a confronto del quale il primo ha la bellezza dell'identità di Eulero.
- Addirittura!
- Sì! Perché gli uomini non si sono accontentati del temperamento equabile; che, se non altro, rimaneva molto vicino alla bellezza primigenia da me scoperta. No! Hanno voluto strafare! E hanno inventato la trittava.
- La trittava!? E che cos'è?
- Un'oscenità. Ecco cos'è. Un abominio inventato da tre ingegneri del suono o sedicenti tali: Heinz Bohlen, Kees van Prooijen e John R. Pierce. Pensi, hanno voluto creare una scala basata solo sugli armonici dispari...
- Ah! Questo mi riporta alla mente una discussione di qualche tempo fa.
- ... E in questo modo hanno prodotto una scala diatonica composta da quattro toni e cinque semitoni. E hanno dovuto inventarsi persino i nomi di due nuove note: H e J nel sistema anglosassone. 

- Due nuove note!? E nel nostro sistema di Guido D'Arezzo come si chiamano queste nuove note?

- Non credo sia ancora stato inventato un nome. Nel sistema anglosassone si trovano tra G e A. Tra sol e la, quindi.
- Uhm. Do, re, mi, fa sol, la, si... Si potrebbe proporre... fi e li! Do, re, mi, fa sol, fi, li, la, si. Suona bene, no?
- Ma che bene e bene! E poi non è finita qui. La scala cromatica corrispondente è di tredici semitoni. Si rende conto? Ma, non ancora soddisfatto di tale oscenità, qualcuno ha voluto persino peggiorarla introducendo un temperamento. Che sostituisce i rapporti tra numeri interi, che comunque caratterizzavano la scala, con la radice tredicesima di tre.
 Un altro ir... irra...
- Irrazionale.
- Sì, quello.
- Ma quindi questa trittava che cosa sarebbe?
- Sarebbe l'equivalente dell'ottava in questa cosiddetta scala. Nella scala tradizionale l'intervallo di ottava raddoppia la frequenza del primo suono. Qui invece la frequenza viene tri-pli-ca-ta! Senta qui. Questa è un'ottava e questa (si copra le orecchie) è una trittava.
- Mhh... Mbe'... Interessante... Forse potrebbe essere solo una questione di educazione dell'orecchio...
- Educazione dell'orecchio dice?

- Be', però... armonici dispari... radice tredicesima di tre... io vi scorgo una certa simmetria. E simmetria non è quai sempre bellezza?
- Ancora non è convinto eh? Senta questo "canone" allora. Non sembra un accolita di clarinettisti ubriachi a cui qualcuno si è divertito a manomettere gli accordatori? E poi c'è pure chi ci fa ballare i gatti con questa scala di Bohlen-Pierce. E anche chi ci scrive "canzoni d'amore".

Guardi, le dirò di più. Secondo me tutte le applicazioni della matematica alla musica che sono venute dopo di me hanno prodotto bruttezza! Vogliamo parlare della dodecafonia?

- Ma quella non è propriamente un'applicazione della matematica alla musica.

- E che cos'è la dodecafonia se non l'applicazione di un algoritmo matematico in musica? Ha prodotto bellezza?

- Sicuramente ha prodotto innovazione.

- Innovazione, innovazione. Senta qua. Me la chiama bellezza questa?
- Ma Bach e i suoi canoni? Anche quelli hanno forse qualcosa a che fare con la matematica.
- Be', lì sono disposto a parlare di eccezione. Ma come la mettiamo anche con tutti questi cervellotici riferimenti alla sezione aurea che si trovano disseminati in musica? Quando Béla Bartók mi suddivide le sezioni del suo pezzo con una numerazione che ricalca i rapporti della sezione aurea che cosa sta producendo?
- Io non direi che stia producendo bruttezza.

- Forse no, ma nemmeno bellezza. Quale ascoltatore vuoi che si accorga di una tale strutturazione del pezzo? Per accorgersene è necessaria un'attenta analisi della partitura.
- Però anche quello, una volta scoperto, può provocare godimento intellettivo e quindi bellezza.
Ad un tratto squilla il cellulare di Pitagora.
- Ma Maestro! Quello non era Kontakte di Karlheinz Stockhausen. Maestro! Maestro! Ma dove andate?
- Mi scusi. Devo scappare. Era Cromo. Mi richiama all'ordine. Ne riparliamo un'altra volta.

La matematicità della scienza - può la somma di tutti i numeri interi tendere a un numero negativo?

- Senta, volevo tornare sull'argomento di quanto matematica sia la scienza.
- Illustre Pitagora! Con tutto il rispetto. Ma venite a disturbare il mio sogno per questo? Mi trovavo in una situazione... Beh, lasciamo perdere. Non potremmo risentirci domani?
- No, domani c'è la festa di compleanno di Crono. Mi stia a sentire. Se sommo 1+2 che cosa ottengo?
- Ma mi rovinate l'attività onirica per chiedermi tali banalità!?
- Risponda! È a partire dalle banalità che si scoprono le grandi verità.
- Scusate maestro. Otteniamo 3.
- E se sommo 1+2+3 che cosa ottengo?
- Otteniamo 6.
- E se sommo 1+2+3+4?
- Ma dovremo andare avanti per molto? ... Ah, ho capito dove volete arrivare: 1, 3, 6, 10... I numeri triangolari! Una vecchia gloria della scuola pitagorica.
- Ma no, no. Non è di quello che volevo parlare. Quello che volevo chiederle è: se andiamo avanti che succederà a quella somma?
- Beh, il risultato sarà via via più grande.
- E quindi se si va avanti indefinitamente?
- Credo che
  ^{= ∞}
- Meno male qualcuno con un po' di sale in zucca. E se uno le venisse a dire che quella somma di infiniti addendi è un numero finito e addirittura negativo? E precisamente
   ^{= -1/12 ,}
lei che cosa direbbe.
- Beh, che forse alle feste di Crono si beve troppo Ciceone.
- Sì, ma Crono non c'entra nulla. Guardi qua:


- Allora. È matematica la scienza quando mi dimostra che   ^{= -1/12 ?}

- Però non avevamo detto che la scienza non poteva prescindere dalla matematica e invece il viceversa sì?
- Sì, la scienza non può prescindere dalla matematica ma non per questo si può attribuire alla scienza una rigorosa matematicità. E infatti quando gli scienziati giocano con la matematica riescono anche a produrre tali bestialità.

- Io non ne sarei così sicuro - fa una voce severa in lontananza. Man mano che si avvicina, da dietro la tunica di quella figura snella e slanciata, si scopre lentamente un'altra figura più tozza e massiccia.
- Non è per niente una bestialità - rincara la dose il secondo uomo mentre si liscia i baffi.
- E voi chi sareste?
- Luigi Guido Grandi per servirla- risponde il frate.

- Ernesto Cesaro. Con l'accento sulla a - dice il secondo.
- Se applichiamo la sua definizione di somma della serie - riprende il frate indicando Cesaro - otterremo che la mia serie sarebbe uguale a un mezzo. Quindi quel risultato non è poi così assurdo.
- Ah, davvero!? - fa Pitagora. - Non sarebbe così assurdo? Allora applichiamo la definizione di Cesaro anche alla serie iniziale . Quello che otterremmo è la successione: 1, 4/2, 10/3, 20/4, 35/5, 56/6, = 1, 2, 3 + 1/3, 5, 7, 9 + 1/3, ... Le pare che questa converga a -1/12? Quindi due percorsi logici ci portano ad eguagliare lo stesso oggetto matematico a due numeri diversi. Questo non può che significare la fallacia di uno dei due. E quale dei due percorsi logici vi pare essere più fallace? Quello che assegna alla somma di tutti i numeri interi un numero indefinitamente grande o quello che le assegna una frazione negativa? - mi chiede il maestro.
- Beh, direi quello che assegna un numero indef ... - Il frate e Cesaro mi fissano con fare poco rassicurante. - O forse quello che assegna una fraz... - I tre si avvicinano minacciosamente.
tititititì tititititì tititititì tititititì

Per un approfondimento

È più scientifica la matematica o è più matematica la scienza?

- Signore e signori. Filosofi e psicologi. Matematici e fisici. Sono lieto di aprire questa tavola rotonda sull'enigmatico quesito che ci è stato posto da i rudimathematici. Vorrei cominciare dall'ospite con la più lunga esperienza in materia. Più di due millenni e mezzo, pensate. L'illustre Pitagora! Maestro, chi meglio di voi può darci una risposta illuminante all'enigmatico quesito?

- Non mi parli di enigmatici quesiti per favore. I Campi Elisi sono affollati di gente che viene a pormi enigmatici quesiti. "Avete un enigmatico quesito? E che ci vuole! Abbiamo tra di noi il grande Pitagora!" E allora rispondi ai quesiti di Crono, rispondi ai quesiti di Achille, rispondi ai quesiti della tartaruga...
- Capisco il fastidio Maestro. Ma qui siamo di fronte a un tema al quale voi non saprete resistere.
- Ah sì? E sentiamo un po' quale sarebbe questo tema al quale non saprei resistere!
- Allora, il questo è.... (rullo di tamburi e arpeggi di lira) ... : "È più scientifica la matematica o è più matematica la scienza?"
- Per tutti gli dei dell'Olimpo! Ma che quesito è questo! Avrebbe potuto chiedermi della matematica delle corde. Avrebbe potuto indagare i misteri dei triangoli rettangoli e del pentagramma. Avrebbe potuto scoprire gli enigmi dei numeri triangolari e quadrati. E invece lei che cosa viene a chiedermi? Un'ovvietà!
- Scusatemi Maestro, ma per molti di noi non è un'ovvietà.
- Ma a una domanda del genere saprebbe rispondere anche Crono. Senta qua! Oh Crono signore del Campi Elisi. Rispondete voi al quesito di questo sfrontato: "È più scientifica la matematica o è più matematica la scienza?"
Le nuvole si squarciano, si ode un boato come di tuono e poi una voce stridula e roca allo stesso tempo:  - Che cosa!? Se è più salvifica la tematica o più tematica la lonza? Ma la lonza intesa come animale o come salume?
- Beh, lasciamo perdere. Tornate pure al vostro divino riposo oh Crono! - urla Pitagora verso il cielo. Poi, voltandosi: - Ma, tornando invece a noi, è ovvio! Allora mettiamola così. Se le chiedessi: potrebbe esistere la scienza senza la matematica, lei che risponderebbe?
- Beh... Non saprei.... Forse…
- Pensi alla fisica. Potrebbero esistere le leggi del moto di Newton senza la matematica?
- Ehm… Effe uguale emme per a… No, penso di no.
- Vediamo di esserne più certi allora. Potrebbe esistere la teoria della relatività senza la matematica?

- Dunque…   ... No, direi di no. Non vedo come si potrebbero formulare leggi così complesse...
- Dunque, quale conclusione ne possiamo trarre?
- Forse si può dire che... Ma scusi un momento illustre Pitagora. Vedo che il professor Freud si sta inquietando. Vuole controbattere professore?
- La psicoanalisi! - esclama Freud fissando Pitagora. - Dove vogliamo mettere la psicoanalisi? - continua sbuffando una nuvoletta di fumo denso dopo aver aspirato dal suo sigaro.
- Ma ecco che anche il professor Popper chiede la parola.
- Una tale obiezione falsificherebbe la tesi del collega Pitagora - dice Karl Popper. - Ma solo a patto che la psicoanalisi si possa considerare una scienza.
- Che cosa vorrebbe insinuare!? - replica Freud spegnendo violentemente il suo sigaro. - Che la psicoanalisi non è una scienza!?
- Nein, sie ist keine Wissenschaft!
- Calmiamoci, calmiamoci esimi professori. Sembra che anche il professor Galilei voglia aggiungere qualcosa.
- Serenissimi colleghi volevo solo dire - fa Galileo Galilei lisciandosi la barba bianca - che parmi la cosa dipendere da quel che s'intenda per scienza. Scienza come conoscenza dotata di costrutto, oppure come quella cosa costruita usando il mio metodo?
- Adesso non impantaniamoci in cavilli epistemologici - riprende Pitagora. - Abbiamo trovato la risposta alla mia prima domanda... A meno di trascurabili e discutibili eccezioni - continua guardando i due austriaci. - E ora consideri il viceversa - aggiunge tornando a guardarmi. - Potrebbe esistere la matematica senza la scienza?
- Beh, penso di sì. Molta matematica è stata creata senza alcun corrispettivo nella realtà.
- Quindi la risposta all'«enigmatico quesito»" mi pare a questo punto triviale. La scienza è inestricabilmente intrisa di matematica, ma la matematica prescinde dalla scienza. È il numero! - continua Pitagora in crescendo. - È il numero che cela in se le leggi per interpretare la realtà che ci circonda. È il numero che tutto ha generato. È il numero il principio primo. Πάντα αριθμός εστι. - conclude il samio con voce potente carica di misticismo.

- Mi permetto di dissentire - interviene il più giovane del gruppo, George Lakos, distruggendo l'incanto del momento. - Potremmo ribaltare la prospettiva e affermare che la matematica è stata sviluppata dalle nostre menti proprio per interpretare la realtà che osserviamo. Quindi essa può essere vista come la chiave di lettura creata ad hoc. Una sorta di guaina deformabile e strutturata che avvolge progressivamente la nostra percezione dell'universo sensibile e che si spinge oltre i confini del sensibile. Una mirabile creazione delle menti umane. La creazione che ci rende più simili alla divinità. Ma pur sempre una creazione.
- Quindi lei sosterrebbe che i numeri e tutta la matematica siano un prodotto della mente umana!?
- Sì. Il numero è una creazione della nostra mente generata dalla subitizzazione. E tutto il resto della matematica è generato attraverso speculazioni della nostra mente. Di conseguenza il numero non possiede una sua esistenza al di fuori del cervello umano. E la matematica funziona per la descrizione dell'universo in quanto l'universo stesso ha guidato l'evoluzione del cervello a costituire uno strumento di investigazione efficace. Quindi possiamo concludere che...
- Ma la smetta!
- Senta, io non l'ho interrotta quando lei stava parlando e ora lei faccia parlare me.
- Ma lei dice stupidaggini...
- Io direi stupidaggini! E allora vogliamo parlare della sua teoria sulla musica delle sfere? Che cos'è che dicevate? Che i pianeti emettono suoni ma noi non li sentiamo perché il nostro orecchio si è abituato a quei suoni costantemente presenti?
- Se lei possedesse un po' d'intelligenza le potrei rispondere che fu proprio a partire dalla nostra teoria sulla musica delle sfere che Keplero sviluppò le sue leggi. Ma la sua sfrontatezza è intollerabile e non la tollererò. Oh Crono signore del Campi Elisi fulminatelo e riportatemi tra di voi.

Le nuvole si squarciano, si ode un boato come di tuono e poi un raggio di sole illumina George Lakos e una voce stridula e roca intona:

Su di noi nemmeno una nuvola 
su di noi l'amore è una favola

- Divino Crono, ma che succede!?
- Come che succede. Non mi ha appena detto: illuminatelo e ricordatemi "Su di noi"? 

Le lezioni di Eratocle: la sacra Tetraktys

Segue da: Le lezioni di Eratocle: numeri quadrati

- Triangoli equilateri?
- Sì, noi matematici chiamiamo equilateri quei triangoli che hanno i lati di lunghezza uguale.

 Eurito annuì e costruì il primo triangolo con diligenza.

E poi il secondo.
Quindi scrisse sulla tavoletta.

1 2 3 1 3 6

- Fermati qui! - gl'intimò il maestro quando stava per aggiungere altri ciottoli alla figura. L'allievo lasciò cadere il sassolino che aveva in mano. - Presta molta attenzione a quello che stai per fare - declamò Eratocle. - Con questo passo trasformerai quella che è una semplice figura geometrica ottenuta con dei ciottoli in una rappresentazione della sacra Tetraktys: il triangolo magico che compendia in se tutta la verità del numero e conseguentemente tutta la sostanza delle cose. Eurito raccolse il ciottolo che gli era caduto e con molta cautela si accinse a completare la figura.

Non appena Eurito ebbe disposto l'ultimo sassolino Eratocle chinò il capo: - To Pan einai Arithmos - salmodiò. - Ripeti con me Eurito: To Pan einai Arithmos.
Dopo un attimo di riluttanza l'allievo si unì alla litania del maestro.
- To Pan einai Arithmos - ripeté un'ultima volta il maestro scandendo bene le sillabe. - Tutto è numero. È questo il nostro motto. Il motto dei pitagorici. Quello che il sommo maestro ha coniato dopo le recenti scoperte.
Il ragazzo lo guardava smarrito.
- Ed è con questo canto che dovremo sempre magnificare ogni manifestazione della sacra Tetraktys - continuò Eratocle. - Osservala Eurito. Osservala! E dimmi che cosa ti dice la sacra Tetraktys.
Eurito sgranò gli occhi.
- Da che cosa è composta? - lo incalzò il maestro.
- Da dieci ciottoli - rispose Eurito timoroso.
- E poi? Che figura geometrica rappresenta?
- Un triangolo… equilatero - azzardò l’allievo.
- Giusto! - confermò il maestro. - I tre lati, formati da quattro ciottoli identici, vanno a costituire un triangolo equilatero: il simbolo della perfetta eguaglianza. - Lo sguardo di Eurito cominciò a rasserenarsi. - E ora dimmi Eurito. Quanti ciottoli hai aggiunto ad ogni passo?
- Due, tre e quattro - rispose prontamente il ragazzo.
- Un numero pari, un numero dispari e di nuovo un numero pari: il simbolo dell’illimitato che si alterna al simbolo del limitato: i due princìpi basilari dell'universo. E il tutto generato dall’uno: l’unicità che può rendere dispari un pari e pari un dispari. - Eurito annuì. - Ma la proprietà più interessante della divina Tetraktys la scoprirai se riuscirai a vedere la connessione con l'armonia dei suoni. Lo sguardo del giovane vagava confuso. - Pensa al racconto di poco fa - lo esortò Eratocle. - Quali erano i numeri della consonanza? Quelli che abbiamo scoperto possedere un ruolo privilegiato rispetto a tutti gli altri numeri?
- Uno, due, tre e quattro! - esclamò Eurito. - Gli stessi numeri della divina Tetraktys!
- Precisamente. Combinando le loro somme potrai inoltre trovare i primi dieci numeri, così come aveva mostrato Pitagora alla fine dell'esperimento con corde e dischi. E con questi dieci numeri potrai generare tutti gli altri numeri che formano l'universo. Ma c'è dell'altro. - Il corpo del giovane allievo si protese verso il maestro. - Prova a scrivere i rapporti tra numeri di ciottoli contenuti nelle righe della Tetraktys partendo da quello tra la seconda e la prima riga.
Eurito scrisse.

2/1
3/2
4/3

- Ma sono proprio i rapporti tra i suoni consonanti dell'esperimento - concluse il giovane ammirato.
- Sì, proprio quelli. E per finire, la somma di tutti i punti della sacra Tetraktys dà come risultato dieci: il numero perfetto! - concluse Eratocle con ispirato fervore. - Pensaci Eurito! Rifletti sulla prodigiosità di questa figura. Non vedi in essa una formidabile sintesi dell’ordine numerico-musicale del cosmo? Non vi scorgi un meraviglioso compendio dei princìpi matematici che regolano l’ordine dell'universo? Di quei princìpi che dell’universo sono causa, precetto e cagione di armonia?
Eurito annuì di nuovo.
- Non ti sarà quindi difficile capire il motivo per cui tutti i giuramenti di noi pitagorici vengono formulati sulla sacra Tetraktys.
Il ragazzo scosse la testa in un riflesso ormai quasi condizionato.
- Bene - continuò il maestro - con le nozioni che hai appreso oggi sui numeri quadrati possiamo tornare ad affrontare il discorso delle lunghezze dei lati dei triangoli e cercare finalmente quel criterio per la determinazione delle terne di numeri che danno luogo ai triangoli rettangoli.
Il volto di Eurito s'illuminò con un sorriso.
- Riprendi la tavoletta - lo esortò il maestro - e leggimi l'altro criterio che hai scritto.
- Se indico le lunghezza dei bastoncini corti con a e b - cominciò a leggere Eurito - e quella del bastoncino lungo con c, allora, affinché si possa costruire un triangolo, è necessario che:

a più b sia maggiore di c

- Giusto - disse Eratocle. - E qual era quell'altra categoria di terne di numeri?
- Quella dei numeri che, come 3, 4 e 5, generano un triangolo rettangolo? - rispose titubante Eurito.
- Sì, quella - confermò Eratocle. - Ciò che vorrei tu trovassi adesso è la relazione che deve sussistere tra le lunghezze dei lati a, b e c affinché il triangolo sia rettangolo. Gli strumenti ce l'hai. Se troverai quella relazione vedrai come in essa sussiste una triplice gioco di rimandi: figure geometriche che esprimono numeri che a loro volta tornano ad esprimere nuove figure geometriche. Ma penso sia meglio continuare domani. Così avrai il tempo per rielaborare quanto appreso oggi e per cercare quella relazione. Prenditi le tavolette a forma di triangolo e i bastoncini, ti saranno utili.
Eurito uscì dall'aula riuscendo a malapena a biascicare un saluto.

Le lezioni di Eratocle: il teorema di Pitagora (prima parte)

Purtroppo l'intervista che avevo programmato per questo nuovo racconto è saltata. Per quale motivo? Il  motivo è che l'ultimo sistema operativo rilasciato da Mῆλον conteneva un baco che ha fatto bloccare tutti gli adePhone 5. Tutti i centralini di Mῆλον sono intasati e circola già qualche voce di possibile bancarotta e di sostituzione del consiglio di amministrazione con un consiglio tecnico. Ma questa è un'altra storia.

Tornando all'intervista, alla fine ho pensato che l'unica possibilità per salvare il pezzo sarebbe stata quella di impegnarmi in una catàbasi: la leggendaria discesa (non in campo ma bensì) nell'Ade. E così, come fece il mio collega Orfeo molti anni or sono, mi sono recato a Cuma, sono disceso nell'Ade ed ho convinto Cerbero a cedermi una copia della biografia di Pitagora; quella che il giovane pitagorico Fulivao scrisse basandosi sulle memorie narrategli dal maestro pochi giorni prima della sua dipartita verso i Campi Elisi.
Convincere Cerbero non è stato facile. Il guardiano/centralinista ha ceduto solo dopo una serie di acquisti che mi ha ridotto quasi sul lastrico. Mi ha inoltre fatto firmare la postilla secondo cui avrei dovuto mantenere il libro dietro alle spalle per tutto il percorso di ritorno al mondo dei vivi: senza mai voltarmi a guardarlo; pena la pietrificazione istantanea. Non contento, il perfido cane tricefalo ha anche immediatamente mobilitato i suoi fratelli Idra, Ortro e Chimera disseminando il percorso di insidie e trabocchetti per farmi infrangere il patto. Ma io ho resistito, anche se le agghiaccianti urla di Idra a pochi metri dietro le mie spalle stavano per farmi voltare; e ora sono qui a leggervi la storia delle lezioni di Eratocle. L'unico problema è che da quando sono tornato dall'Ade sento una strana pesantezza su tutto il corpo. Per cui mi risulta poco agevole sfogliare le pagine. Quindi tra la lettura di una pagina e l'altra potrebbe trascorrere qualche giorno. Cominciamo con la prima pagina.


Quella mattina Eratocle si era svegliato molto presto, aveva mangiato e quindi si era messo a girovagare per le stanze senza uno scopo preciso. Poi aveva deciso di avviarsi lentamente verso la scuola. Quando giunse sulla porta d'ingresso vide che il cortile era semideserto. Diede uno sguardo all'ombra che lo gnomone proiettava sulla superficie sferica dell'orologio solare e si accorse che era ancora presto. La cosa non gli dispiacque: avrebbe avuto più tempo per controllare che tutto fosse predisposto per la lezione. Come si aspettava, l'aula era vuota. Cominciò a disporre stili, tavolette cerate e figure geometriche di legno. Quello era tutto il materiale che gli sarebbe servito per la prima lezione. La lezione in cui venivano fornite le basi aritmetiche e geometriche dei pitagorici. Le lezioni successive le avrebbero usate per esplorare le molteplici manifestazioni dei numeri: nella musica, nel moto degli astri, nell'universo. Era la prima volta che ad Eratocle veniva affidato il compito di impartire un ciclo di lezioni a un giovane matematico. Eurito era stato appena giudicato idoneo per il passaggio dal ruolo di acusmatico a quello di matematico e quel ciclo gli sarebbe servito per apprendere la versione più recondita delle conoscenze dei pitagorici: quella a cui si accede solo dopo essere stati iniziati ed aver compreso la profondità del concetto di dimostrazione; quella necessaria per poter accedere alle lezioni del maestro e comprenderle.
Le lezioni erano individuali e segrete in quanto in esse veniva esplorato e disvelato tutto il sapere dai pitagorici. Anche quello potenzialmente pericoloso che veniva custodito con la massima cautela. Eratocle era cosciente dell'importanza del suo ruolo. Ne sentiva la responsabilità e subiva la pesantezza di quel gravoso fardello. Proprio per questo voleva dare il meglio di sé e aveva speso giorni per prepararsi nel modo che riteneva più appropriato.
Eurito bussò alla porta ed entrò.
 - Accomodati pure - gli disse Eratocle. Dopo aver simulato per qualche istante un'impegnata lettura, il samio continuò: - Eurito, penso che tu sia consapevole dell'importanza di queste lezioni e di quanto esse siano fondamentali per acquisire le basi necessarie al tuo nuovo ruolo di matematico. Solo attraverso esse potrai arrivare ad incarnare tale ruolo in tutta la sua appagante interezza.
- Sì maestro, ne comprendo appieno l'importanza - rispose il giovane annuendo.
Sentirsi chiamare maestro lo metteva sempre di buon umore. Soprattutto quando a farlo era un matematico. - Per cominciare dovremo affrontare gli aspetti fondamentali del nostro pensiero - riprese Eratocle. - Partiremo dalla geometria e dall'aritmetica. E in particolare dalla prima importante nozione geometrica acquisita dal maestro: il teorema di Pitagora.
- Sì, la formula che il maestro apprese dai sacerdoti di Tebe - rispose Eurito.
- Ecco, finora quella per te è stata una formula - replicò Eratocle con un sorriso di commiserazione - ma da oggi essa diventerà un teorema. E vedendo come da semplice formula la trasformeremo in teorema comincerai anche ad appropriarti del concetto di dimostrazione. Quel concetto che Pitagora imparò a Mileto dal grande Talete e che applicò a quella formula elevandola così, primo tra tutti gli uomini, al rango di teorema. Quello che tutti avevano usato in precedenza per scopi pratici egli lo dimostrò. Svelando in tal modo l'intima natura di una così profonda correlazione universale che sussisteva sia tra le figure geometriche sia tra i numeri.
- Sarà un onore e una gioia per me apprendere cotanta sapienza - rispose Eurito con un'intonazione altisonante. Il giovane non mentiva. Nei sui occhi ampli e illuminati Eratocle lesse l'impazienza e l'entusiasmo del giovane assetato di sapere; ma ciò che lo gratificò ancora di più fu l'ammirazione per il maestro che traspariva dallo sguardo del giovane.



...continua...

Dove Pitagora, Ippaso e Teano approfondiscono la relazione tra musica e numeri (prima parte)

In una delle nostre interviste Cerbero ci ha raccontato della scoperta di Pitagora nella bottega del fabbro. Secondo Giamblico, quella scoperta condusse i pitagorici ad immaginare una generalizzazione per cui partendo a ritroso dalla matematica si sarebbero potuti interpretare tutti i fenomeni fisici dell’Universo. L’idea era molto affascinante: attraverso la decifrazione delle proprietà dei numeri si sarebbe giunti a decifrare l’universo. 


La matematica è quindi l'espressione della razionalità dell'universo? E il suo senso è iscritto nelle leggi stesse che regolano la realtà in cui viviamo?

Questo Giamblico non ce lo dice. Però forse il racconto di come i pitagorici passarono da quella semplice osservazione nella bottega di un fabbro all'elaborazione della teoria del “Tutto è Numero” potrebbe aiutarci a capire. Vogliamo farcelo raccontare direttamente a Pitagora? 
Alcuni dei lettori conoscono già: l'adePhone 5, ma quello che nessuno ancora sa è che dopo giorni di trattative in cui ho dovuto acquistare diverse offerte di Cerbero sono riuscito finalmente ad ottenere il numero diretto di Pitagora, così non saremo più costretti a passare per quei fastidiosi centralini.


Allora, componiamo il numero: 101 010 10.
- Το Παν είναι Αριθμός!
- Maestro, che piacere risentirvi!
- Andiamo al dunque, mi dica che le serve stavolta.
- Vi ricordate che vi avevo chiesto di raccontarmi di come si svilupparono le ricerche dopo la scoperta nella bottega del fabbro, ma voi preferiste rispondere alla seconda domanda sulla scoperta dell'irrazionale?
- Certo che mi ricordo.
- Ecco, ora gradirei avere una risposta alla prima domanda.
- Oggi mi sento magnanimo e gliela concedo. Le leggerò il capitolo corrispondente sul libro del giovane Fulivao, quello basato sulle mie memorie che ormai lei dovrebbe conoscere bene. Vado a cominciar...


- Uno, due, tre... - Era la voce del maestro quella che proveniva dall'officina della scuola. - ... quattro, cinque, sei... - Quella era invece chiaramente la voce di Teano. Incuriosito Ippaso entrò.
- Ippaso, siediti pure - disse Teano mentre passava l'ultima corda a Trasibulo. Lo schiavo appese quel filamento di intestino di capra vicino agli altre sei. Sette corde ora pendevano dalla trave di una singolare struttura di legno.
- Vedo che l'esperimento con le corde si sta finalmente concretizzando - osservò Ippaso.
- Sì, solo che Pitagora non ha voluto darmi ascolto. Lui sostiene che per riprodurre le consonanze delle incudini si devono usare diverse corde di uguale lunghezza e spessore ed appendere un peso diverso ad ognuna di esse.
- Mi sembra chiaro Teano - intervenne il maestro. - Non capisco perché ti ostini a contraddirmi. Nella bottega di Gerone abbiamo visto che quando un'incudine era il doppio di una e due terzi dell'altra si producevano consonanze. Da cui abbiamo dedotto che i rapporti con i numeri 1, 2 e 3 danno luogo a consonanze. Mentre se i numeri in gioco erano più grandi, come nove e dieci, allora avevamo delle dissonanze. Con questi esperimenti sulle corde vorrei verificare che cosa succede quando si aggiungono altri rapporti con numeri più piccoli di nove, come ad esempio 4/3, 5/4 e 6/5.
 - Vedo le corde già disposte, ma non vedo i pesi - osservò Ippaso. - Li avete già fatti forgiare da Gerone?
- No, li ho fatti forgiare da Filippo l'orafo. Serviva un lavoro di precisione non una cosa da fabbri.
- Se ho ben capito il secondo peso dovrebbe essere il doppio del primo, il terzo 3/2 del primo e così via.
- Non esattamente. Il secondo è il doppio del primo ma il terzo è 3/2 del secondo, il quarto è 4/3 del terzo e così via.
- Mi sembra che il risultato non dovrebbe essere molto diverso rispetto a quello che si otterrebbe con i rapporti che dicevo io.
- No, si tratterebbe solo di far vibrare le corde nella sequenza giusta. Con i tuoi rapporti bisognerebbe fra vibrare la prima con la seconda, la prima con la terza, la prima con la quarta e così via. Con i miei rapporti invece si fa vibrare la prima con la seconda, la seconda con la terza, la terza con la quarta e così via. Ho scelto questa sequenza per facilitare il lavoro all'orafo.
Ippaso ci pensò un attimo. - Mi sembra ragionevole - disse. - Così le differenze tra i pesi saranno più grandi. - Poi si volse verso Teano e continuò: - Come mai tu non sei d'accordo?
- Non so, l'intuito mi dice che non funzionerà. Secondo me i pesi dovrebbero essere identici mentre a variare con quei rapporti dovrebbero essere le corde a cui li appendiamo.
- Ma no! - ribatté Pitagora. - Se per le incudini la consonanza dipendeva dalle dimensioni, allora nel nostro esperimento essa dovrebbe dipendere dai rapporti tra i pesi. In ogni caso tra qualche istante saremo in grado di verificarlo. Trasibulo, portami i pesi.
Lo schiavo si avvicinò con un vassoio di legno su cui erano disposti sette cilindri d'argento ordinati dal più piccolo al più grande. La sommità di ogni cilindro era modellata ad occhiello. Il maestro legò ogni cilindro all'estremità inferiore della reciproca corda, facendo attenzione a usare la stessa porzione di corda per ogni nodo; e poi cominciò a far vibrare le corde con un plettro di corno. Pizzicò la prima e poi la seconda corda. C'era qualcosa di strano. Pitagora corrugò la fronte. Fermò la vibrazione della prima corda con un dito e pizzicò la seconda e la terza. Poi ripeté l’operazione con la terza e la quarta, la quarta e la quinta, la quinta e la sesta. Il maestro si fermò. Scosse la testa. No, c'era qualcosa di strano. Il risultato era chiaramente diverso da quello ascoltato nella bottega di Gerone.  In quel momento si accorse che sua moglie lo stava guardando con un sorriso beffardo. 


…continua…

Muia

Tutti abbiamo sentito parlare del teorema di Pitagora e tutti sappiamo che Pitagora fu un grande filosofo e un grande matematico, ma molto raramente si sente parlare della sua vita privata.
Aveva una famiglia? Era sposato? Aveva dei figli?
Giamblico, Porfirio e Diogene Laerzio forniscono varie versioni della composizione famigliare del grande samio con diverse mogli e diversi numeri e nomi di figli.
Ma noi, grazie al nostro ormai celebre φιχιfonino oltretombale di Mηλον, l’adePhone 5, siamo venuti a conoscenza della vera composizione della famiglia pitagorica. È stato Crono stesso, signore dei Campi Elisi, in uno dei suoi rarissimi momenti buoni, a rivelarci che il maestro sposò una donna di stirpe cretese: la bella Teano figlia di Pitonatte. Pitagora e Teano ebbero tre figli: una figlia di nome Muia che guidò il coro femminile crotonese; e due figli di nome Mnesarco e Arignota. Sia Teano che sua figlia Muia divennero importanti membri della scuola e furono anche citate nell'elenco di Aristosseno delle diciassette “illustrissime donne pitagoriche”. Il buon umore di Crono era a livelli talmente alti che il signore dei Campi Elisi è arrivato a fornirci un frammento del libro del giovane Fulivao. Pitagora stesso ci ha già parlato di questo libro che il giovane pitagorico scrisse basandosi sulle memorie che il maestro gli narrò pochi giorni prima della sua dipartita verso i Campi Elisi. Sappiamo che l'unica copia del libro bruciò nel primo rogo della biblioteca di Alessandria, ai tempi di Giulio Cesare. Il frammento che Crono ci ha fornito è quello che riguarda una giornata speciale nella vita di Muia, la figlia di Pitagora e di Teano. Eccola ....

Eratocle si era conquistato la prima fila e dall'inizio alla fine della cerimonia i suoi occhi erano rimasti puntati su di lei.
A quindici anni il suo corpo era già quello di una donna. Un'incantevole giovane donna. Somigliava a sua madre ma la sua bellezza era più prorompente. I lunghi e folti capelli corvini le scendevano fino ai larghi fianchi. A volte qualche ciocca di quei lucidi fili di seta andava ad intrecciarsi con le sue lunghe ciglia: splendide cornici di grandi occhi neri come una notte di tempesta. Le ciocche più ribelli arrivavano talvolta a sfiorarle il generoso seno. Le labbra rosse e carnose si stagliavano sulla pelle nivea e profumata come un papavero in un campo di gigli. Ogni parte del suo corpo era in armonia con tutto il resto. Persino quella lieve peluria sul labbro superiore.
Per la cerimonia che le avrebbe assegnato il titolo di matematica, Muia aveva voluto indossare il peplo turchese, quello che esaltava al meglio i suoi colori e le sue forme giunoniche. Due belle spille d'argento a doppia spirale fermavano l'abito sulle spalle e una cintura color zafferano, visibile solo sul lato aperto, lo fissava alla vita producendo eleganti drappeggi. Ad adornare le orecchie della ragazza due piccoli dischi d'oro cesellati con motivi floreali erano fissati ai perni che trafiggevano i suoi lobi e da ognuno dei due dischi pendeva un delicato cono, anch'esso d'oro, con superficie modellata a spiraloide. Sandali nuovi di pelle nera fasciavano i suoi graziosissimi piedi. Eratocle avrebbe saputo descrivere ogni minuscola porzione di quelle splendide candide dita.
A presiedere la cerimonia c'era Ippaso. Pitagora aveva preferito farsi sostituire visto che tra i divenendi matematici c'era anche sua figlia.
- Scordatela! - Il commento sussurrato da quella voce, che riusciva a mantenere una profonda sonorità anche se mormorata, lo fece trasalire. Eratocle, torvo in viso, si voltò. Dietro di lui vide l'enorme figura di Milone che lo sovrastava.
- Non vedi come guarda Ippaso? - continuò Milone.
- Di chi stai parlando!?
- Come di chi sto parlando? Di Muia. Non è lei che hai continuato a fissare per tutto il tempo?
- Ti sbagli! - Ora anche il bisbiglio di Eratocle andava facendosi più sonoro. - E poi è ovvio che Muia guardi Ippaso. Visto che lui sta per nominarla matematica.
- Si vede che con le donne hai poca esperienza, Eratocle.
Troppo presi dal loro bisticcio, Milone ed Eratocle non si erano accorti che Ippaso aveva smesso di parlare e li stava fissando.
- Eratocle e Milone! Avete qualcosa d'importante da discutere? Qualcosa d'interessare da condividere con noi? - ed allargò teatralmente le braccia ad indicare il vasto pubblico.
- Nulla d'importante Ippaso - tagliò corto Milone.
- Bene, allora possiamo continuare - disse Ippaso mentre il rimbombo della voce di Milone andava spegnendosi.

Indice della serie "Numeri e Geometria attraverso le interviste"

In futuro pubblicheremo ulteriori notizie sulla famiglia di Pitagora ma non di prima mano come questa. Si tratterà di interpretazioni degli storici su documenti di ennesima mano.

Interviste impossibili: Pitagora, Ippaso e la scoperta dell'irrazionale (prima parte)

Nell'ultima intervista abbiamo sentito Cerbero riportare il racconto di Pitagora relativo alla scoperta nella bottega del fabbro. Secondo Giamblico, quella scoperta condusse i pitagorici ad immaginare una generalizzazione per cui partendo a ritroso dalla matematica si sarebbero potuti interpretare tutti i fenomeni fisici dell’Universo. L’idea era molto affascinante: attraverso la decifrazione delle proprietà dei numeri si sarebbe giunti a decifrare l’Universo. Fu ovvio quindi giungere alla conclusione che “Tutto è Numero”. E proprio su questo motto i pitagorici costruirono buona parte della loro dottrina.
Finché un giorno, dice Giamblico, un membro della scuola si accorse della presenza di un grosso problema. E questo problema si celava proprio dietro il teorema del Maestro. Dietro il teorema di Pitagora!
Che cosa scoprì esattamente questo membro della scuola? Ed è vero che che fu severamente punito - qualcuno dice addirittura assassinato - per la divulgazione di tale scoperta?

Penso che ormai sappiate che con il nostro φιχιfonino oltretombale di Mηλον, l’adePhone 5, possiamo effettuare collegamenti iperspazio-temporali retrogradi. Sapete anche che nell'ultima intervista Cerbero ci ha svelato che Pitagora di Samo, l'inventore del termine "matematico" nonché filosofo, mistico e teorico musicale, invece che nell'Ade dimora nei Campi Elisi: il regno di Crono; dove dimorano tutti quelli che furono amati dagli Dei. Quello che non sapete è che dopo l'ultima intervista sono anche riuscito a convincere Cerbero a darmi il numero dei Campi Elisi.
Allora, chiamiamo un po' quest'Eliseo e vediamo se finalmente sentiremo la voce di Pitagora: 000 111 001
- Dlin, dlin, dlin, dlin, dlon. Dlin, dlin, dlin, dlin, dlon 
Sono Crono figlio di Urano e signore dell'Eliseo. Chi disturba il mio sonno?
- (tra se e se) Oh, no! Mi ha dato proprio il numero di Crono! Sordo e bisbetico. Quel Cerbero ha sempre voglia di scherzare. Dovrò urlare ed usare molto tatto.
- Scusate divino Crono non intendevo disturbarvi. Volevo solo parlare con Pitagora di Samo figlio di Mnemarco.
- Mi chiedete una cosa impossibile! I Campi Elisi non consentono chiamate da adePhone.
- Ah, scusate. Non lo sapevo. Ma non sarebbe possibile fare un'eccezione?
- Un'eccezione!? Ma come vi permettete!? E poi io non ho tempo di occuparmi di queste cose. Vi passo il mio segretario Menelao e me ne torno al mio sacro riposo.
- Pronto, sono Menelao figlio di Atreo e di Erope e fratello di Agamennone.
- Ma allora siete proprio quel Menelao! Il marito di Elena. L'eroe della Guerra di Troia!
- Non mi ricordi quelle piaghe per favore. Proprio a causa di quelle storie sono finito in questo posto noioso. Mi dica che cosa desidera piuttosto.
- Vorrei parlare con Pitagora, ma Crono mi ha detto della restrizione per l'adePhone.
- Sì, quella restrizione c'è, ma Crono non è molto aggiornato sulle nostre offerte. Lui è un po' all'antica, ma io qui sto cercando di svecchiare un po' le cose per cominciare a fare un po' di concorrenza all'Ade e rendere questo posto un po' più interessante. Nel suo caso specifico potremmo offrirle l’offerta "Campi Elisi con un lising". L’offerta prevede che con sole trenta dracme...
- Va benissimo, non mi interessa il resto. La prendo! Ora posso parlare con Pitagora?
- Sì, attivo subito il servizio e inoltro la chiamata.
- Dlin, dlin, dlin, dlin, dlon. Dlin, dlin, dlin, dlin, dlon
Pronto, sono Pitagora di Samo figlio di Mnemarco.
- Maestro, che emozione riuscire a parlare finalmente con voi.
- Per favore, non si dilunghi nei convenevoli. Sono già sufficientemente tediato dall'immutabile tranquillità dei Campi Elisi. Andiamo subito al dunque. Perché mi ha chiamato?
- Sì Maestro, certo. La chiamo per farle un'intervista.
- Ah, bene. Mi sembra una proposta interessante. Ma forse qualsiasi proposta sarebbe stata preferibile a questa inedia. E che domande mi vorrebbe porre?
- Be', fondamentalmente due domande. Cerbero mi ha narrato il vostro racconto della scoperta nella bottega del fabbro. Vorrei sapere come le cose si svilupparono in seguito.
- E l'altra domanda?
- L'altra sarebbe sulla storia della scoperta dell'irrazionale.
- Preferisco di gran lunga la seconda domanda. Proprio oggi stavo rileggendo il capitolo della scoperta dell'irrazionale sul libro che il giovane Fulivao scrisse basandosi sulle memorie che gli narrai pochi giorni prima della mia dipartita verso i Campi Elisi.
- Fulivao? Non ho mai letto questo nome su nessun libro di storia.
- Infatti l'autore ebbe poca fortuna e fu presto dimenticato. Inoltre l'unica copia del libro bruciò nel primo rogo della biblioteca di Alessandria, ai tempi di Giulio Cesare. Quindi lei sarà il primo a poter accedere al contenuto di quelle pagine. E potrà godere addirittura del privilegio, più unico che raro, di ascoltare la lettura dalla voce del protagonista stesso del libro. Allora, vediamo dov'era il segno. Eccolo ....

Interviste impossibili: Pitagora nella bottega del fabbro (seconda parte)

... segue da Interviste impossibili: Pitagora nella bottega del fabbro (prima parte)

- Allora, le cose andarono così...

Baaam, baaam, boom, biiiim, bääämmm ...
Basta, baasta, baaasta! Smettetela di martellare quelle incudini! Non sopporto questo frastuonooo!!
Aprì gli occhi. Era sudato. Quell’inizio di ecatombeone era più caldo del solito. E da qualche giorno si svegliava con il suono metallico di quei colpi che rimbombavano nelle sue orecchie. Da quando avevano cambiato il loro percorso mattutino per raggiungere la scuola continuava a sognare la scena in cui lui e i suoi allievi preferiti, Eratocle e Filolao, passavano davanti alla bottega di fronte al tempietto di Eracle e le loro voci venivano sopraffatte dal fragore delle martellate di Gerone il fabbro e dei suoi apprendisti.
Si alzò dal letto, si preparò la sua solita maza con miele e riempì la sua coppa di ciceone. Mangiò e bevve con lentezza. Mentre indossava il chitone sentì risuonare nell’aria le voci familiari di Eratocle e Filolao. Indossò anche il pileo e li fece entrare.
- Buongiorno maestro, spero che abbiate trascorso una buona nottata.
- Non esattamente caro Eratocle, non esattamente. E a te Filolao come va la gamba?
- Mi duole ancora maestro. Spero non vi dispiaccia se anche stamani vi chiedo di prendere il percorso lungo.
Pitagora lo guardò con un misto di comprensione e fastidio: - Non mi dispiace - rispose secco.
Uscirono. La giornata era serena ed il solstizio era alle porte. Il sole era già abbastanza alto sull’orizzonte. Una piacevole brezza rendeva il caldo più sopportabile ed increspava la superficie dello Ionio. Si incamminarono verso la scuola. Filolao zoppicava vistosamente. Pur con tutta la buona volontà non ce l’avrebbe proprio fatta ad affrontare la scorciatoia con quella ripida salita e quella scomoda discesa. L’infortunio alla gamba che si era procurato durante l’allenamento con Milone era ancora troppo fresco. Forse avrebbe compromesso la sua partecipazione alla prossima olimpiade.
Nel frattempo avevano svoltato l’angolo e si stavano lentamente avvicinando al tempietto di Eracle.
Mah, alla fine non sarà poi così male rimanere a Crotone con Eratocle e gli altri - tentò di consolarsi Filolao.
Si cominciava ad intravedere in lontananza la tozza figura di Gerone intento a forgiare una spada nella sua bottega. Gerone era il miglior fabbro della città e la sua officina era la più grande di Crotone nonché la più frequentata ed ambita dagli apprendisti.
Man mano che i tre si avvicinavano alla bottega del fabbro il clangore delle martellate si faceva più forte.
Baaam, boom, baaam, boom, biiiim, bääämmm
Eratocle si accorse che il volto del maestro si stava contraendo in una strana smorfia. - Avrà bevuto troppo ciceone? - pensò.
Oramai si trovavano quasi tra il tempietto e la bottega.
Baaam, boom, biiim, baaam, booom, bääämmm
Il maestro si mostrava sempre più inquieto. Inquieto ma concentrato. E tutta la sua attenzione pareva essere rivolta al lavoro di Gerone. Pitagora sembrava letteralmente magnetizzato. Improvvisamente deviò infilandosi nella bottega. Eratocle e Filolao si scambiarono uno sguardo perplesso e lo seguirono disorientati.
Gerone parve molto sorpreso nel vedere il grande Pitagora entrare nella sua bottega. Il fabbro estrasse la spada dal contenitore pieno d’acqua in cui la teneva immersa per temprarla. Ad un osservatore distratto quell'atto sarebbe potuto apparire minaccioso. Ma ad uno sguardo più attento non sarebbe sfuggita l'espressione ammirata di Gerone. Un paio di apprendisti che avevano notato la scena cessarono l'attività, mentre gli altri continuavano a forgiare il metallo a suon di martellate.
- Benvenuto maestro. La mia officina è a vostra disposizione - declamò dignitosamente, ma con una nota di riverenza, Gerone.
Pitagora non vi badò. Il suo volto si era contratto ancora di più. Muoveva in continuazione la testa passando gli occhi da un martellatore all’altro.
Baaam, boom, baaam, booom, biiim, baaam, bääämmm
- Maestro volevate chiedere qualcosa a mastro Gerone? - tentò di esortarlo Eratocle. Pitagora ignorò anche lui.
Ora Eratocle si era accorto che lo sguardo del maestro si era fissato su un gruppetto di tre apprendisti che stavano lavorando con martelli e incudini di dimensioni diverse. La smorfia del maestro stava mutando. Il volto si distendeva e gli occhi si allargavano. D’improvviso Pitagora inarcò le sopracciglia, aprì la bocca e inspirò profondamente: - oh Zeus! - esclamò.
Si avvicinò quindi al più nerboruto dei tre. Tutti gli occhi erano oramai puntati sul maestro. Il giovane apprendista smise di martellare e fu presto imitato da tutti gli altri. La figura del giovane sovrastava quella di Pitagora. Nonostante ciò l'apprendista sembrava a disagio e sorrideva imbarazzato.
- Come vi chiamate ragazzo.
- Cilone, maestro - rispose l'apprendista con voce profonda.
- E voi due? Come vi chiamate?
- Basileios, per servirvi.
- Io sono Corebo, maestro.
- Se non sbaglio, Cilone, la tua incudine e il tuo martello sono più grandi di quelli di Corebo e Basileios.
- Sì maestro, quelli che sto usando sono gli strumenti per forgiare le armature delle ruote dei carri. - rispose Cilone. - A parte quelli di mastro Gerone, sono i più grandi tra quelli che usiamo.
- E quelli di Corebo e Basileios invece per che cosa vengono usati?
- Con l’incudine e il martello di Basileios, che sono poco più piccoli di quelli di Cilone, vengono forgiate le spade - intervenne Gerone - mentre Corebo si sta occupando dei ferri di cavallo. - L’incudine di Corebo è circa la metà di quella di Cilone - aggiunse poi Gerone.
- Cilone, potresti colpire la tua incudine per favore - disse Pitagora.
Cilone guardò il fabbro. Gerone annuì. Cilone sferrò quindi una martellata sulla sua incudine.
baaammm
- Ed ora tu Corebo potresti colpire la tua? - Corebo imitò Cilone.
biiimmmm
- Ed ora insieme!
baaammm
biiimmmm
Pitagora si girò verso i suoi allievi con un sorriso serafico. - Sentite che armonia? - disse con voce calma. - Sentite come si fondono questi suoni? - e poi voltandosi di nuovo verso le incudini: - Sentite che consonanza?
- Sì maestro. Ma perché la cosa vi entusiasma così tanto? - disse Filolao.
Pitagora lo guardò, roteò un po' lo sguardo, si toccò il mento e inspirò.
- Cilone e Basileios! Potreste colpire le vostre incudini contemporaneamente?
Cilone e Basileios colpirono le rispettive incudini.
baaammm
bääämmm
Pitagora si coprì la orecchie con le mani mentre il suo volto si modellava su una smorfia di disgusto.
- Sentite ora invece che fastidioso frastuono!? Sentite che dissonanza!!??
- È vero - osservò Filolao. - Ma da che cosa può dipendere questa differenza? - Rimase pensieroso per un attimo e poi riprese: - Le incudini e i martelli sono dello stesso materiale....
- Forse dalla dimensione dei martelli? - suggerì Eratocle.
- Possiamo fare una prova - disse Pitagora. - Corebo potresti colpire l'incudine di Cilone con il tuo martelletto mentre Basileios complisce la sua incudine con il suo martello?
Corebo raggiunse l'incudine di Cilone.
baaammm
bääämmm
- No! Non dipende dalla dimensione dei martelli - sottolineò Filolao guardando Eratocle. - C’è una differenza nel suono ma il risultato è ugualmente sgradevole.
Pitagora si mosse in direzione del fabbro e disse: - Mastro Gerone, avete un'incudine di dimensione diversa? Cilone ha detto che la vostra è la più grande.
- Sì, la mia è tre volte quella di Corebo.
- Bene! - rispose Pitagora. - Se non vi dispiace, mastro Gerone, potreste colpire la vostra incudine mentre Cilone colpisce la sua? Mastro Gerone e il suo apprendista si scambiarono uno sguardo dubbioso. Assecondarono comunque Pitagora.
booommm
baaammm
- Mmhh… sono di nuovo gradevoli all’orecchio. - commentò tra se e se Filolao. Poi rivolgendosi al maestro: - Quindi che cosa state cercando di dirci che questa cosiddetta consonanza non dipende dai martelli bensì dalle dimensioni delle incudini?
- È una possibile interpretazione, caro Filolao. Ma ora vorrei pregare Corebo di unirsi all'esperimento e colpire la sua incudine insieme a Cilone e mastro Gerone.
I tre esaudirono di nuovo la richiesta di Pitagora.
booommm
baaammm
biiimmm
- Ancora una bella consonanza! - esclamò Eratocle. - Sì, un accordo - ribatté Pitagora.
- Quindi ...
- Allora ...
- ... che conclusioni ...
- ... che cosa se ne può ...
Dissero con enfasi Eratocle e Filolao sovrapponendosi.
- Mi spiace interromper i lor signori - s'inserì Gerone. - Ma entro stasera dovremmo portare a termine una commessa di cento spade. E se non lavoriamo sodo potremmo non farcela. Con tutto il dovuto rispetto vorrei chiedervi...
- Ci scusiamo per la nostra brusca irruzione, mastro Gerone - lo interruppe Pitagora. - Vi salutiamo ringraziandovi per la vostra generosa collaborazione.
- È stato un onore maestro, ma purtroppo gli impegni presi ci impongono certi ritmi di lavoro.

…continua…

Interviste impossibili: Pitagora nella bottega del fabbro (seconda parte)

... segue da Interviste impossibili: Pitagora nella bottega del fabbro (prima parte)

- Allora, le cose andarono così...

Baaam, baaam, boom, biiiim, bääämmm ...
Basta, baasta, baaasta! Smettetela di martellare quelle incudini! Non sopporto questo frastuonooo!!
Aprì gli occhi. Era sudato. Quell’inizio di ecatombeone era più caldo del solito. E da qualche giorno si svegliava con il suono metallico di quei colpi che rimbombavano nelle sue orecchie. Da quando avevano cambiato il loro percorso mattutino per raggiungere la scuola continuava a sognare la scena in cui lui e i suoi allievi preferiti, Eratocle e Filolao, passavano davanti alla bottega di fronte al tempietto di Eracle e le loro voci venivano sopraffatte dal fragore delle martellate di Gerone il fabbro e dei suoi apprendisti.
Si alzò dal letto, si preparò la sua solita maza con miele e riempì la sua coppa di ciceone. Mangiò e bevve con lentezza. Mentre indossava il chitone sentì risuonare nell’aria le voci familiari di Eratocle e Filolao. Indossò anche il pileo e li fece entrare.
- Buongiorno maestro, spero che abbiate trascorso una buona nottata.
- Non esattamente caro Eratocle, non esattamente. E a te Filolao come va la gamba?
- Mi duole ancora maestro. Spero non vi dispiaccia se anche stamani vi chiedo di prendere il percorso lungo.
Pitagora lo guardò con un misto di comprensione e fastidio: - Non mi dispiace - rispose secco.
Uscirono. La giornata era serena ed il solstizio era alle porte. Il sole era già abbastanza alto sull’orizzonte. Una piacevole brezza rendeva il caldo più sopportabile ed increspava la superficie dello Ionio. Si incamminarono verso la scuola. Filolao zoppicava vistosamente. Pur con tutta la buona volontà non ce l’avrebbe proprio fatta ad affrontare la scorciatoia con quella ripida salita e quella scomoda discesa. L’infortunio alla gamba che si era procurato durante l’allenamento con Milone era ancora troppo fresco. Forse avrebbe compromesso la sua partecipazione alla prossima olimpiade.
Nel frattempo avevano svoltato l’angolo e si stavano lentamente avvicinando al tempietto di Eracle.
Mah, alla fine non sarà poi così male rimanere a Crotone con Eratocle e gli altri - tentò di consolarsi Filolao.
Si cominciava ad intravedere in lontananza la tozza figura di Gerone intento a forgiare una spada nella sua bottega. Gerone era il miglior fabbro della città e la sua officina era la più grande di Crotone nonché la più frequentata ed ambita dagli apprendisti.
Man mano che i tre si avvicinavano alla bottega del fabbro il clangore delle martellate si faceva più forte.
Baaam, boom, baaam, boom, biiiim, bääämmm
Eratocle si accorse che il volto del maestro si stava contraendo in una strana smorfia. - Avrà bevuto troppo ciceone? - pensò.
Oramai si trovavano quasi tra il tempietto e la bottega.
Baaam, boom, biiim, baaam, booom, bääämmm
Il maestro si mostrava sempre più inquieto. Inquieto ma concentrato. E tutta la sua attenzione pareva essere rivolta al lavoro di Gerone. Pitagora sembrava letteralmente magnetizzato. Improvvisamente deviò infilandosi nella bottega. Eratocle e Filolao si scambiarono uno sguardo perplesso e lo seguirono disorientati.
Gerone parve molto sorpreso nel vedere il grande Pitagora entrare nella sua bottega. Il fabbro estrasse la spada dal contenitore pieno d’acqua in cui la teneva immersa per temprarla. Ad un osservatore distratto quell'atto sarebbe potuto apparire minaccioso. Ma ad uno sguardo più attento non sarebbe sfuggita l'espressione ammirata di Gerone. Un paio di apprendisti che avevano notato la scena cessarono l'attività, mentre gli altri continuavano a forgiare il metallo a suon di martellate.
- Benvenuto maestro. La mia officina è a vostra disposizione - declamò dignitosamente, ma con una nota di riverenza, Gerone.
Pitagora non vi badò. Il suo volto si era contratto ancora di più. Muoveva in continuazione la testa passando gli occhi da un martellatore all’altro.
Baaam, boom, baaam, booom, biiim, baaam, bääämmm
- Maestro volevate chiedere qualcosa a mastro Gerone? - tentò di esortarlo Eratocle. Pitagora ignorò anche lui.
Ora Eratocle si era accorto che lo sguardo del maestro si era fissato su un gruppetto di tre apprendisti che stavano lavorando con martelli e incudini di dimensioni diverse. La smorfia del maestro stava mutando. Il volto si distendeva e gli occhi si allargavano. D’improvviso Pitagora inarcò le sopracciglia, aprì la bocca e inspirò profondamente: - oh Zeus! - esclamò.
Si avvicinò quindi al più nerboruto dei tre. Tutti gli occhi erano oramai puntati sul maestro. Il giovane apprendista smise di martellare e fu presto imitato da tutti gli altri. La figura del giovane sovrastava quella di Pitagora. Nonostante ciò l'apprendista sembrava a disagio e sorrideva imbarazzato.
- Come vi chiamate ragazzo.
- Cilone, maestro - rispose l'apprendista con voce profonda.
- E voi due? Come vi chiamate?
- Basileios, per servirvi.
- Io sono Corebo, maestro.
- Se non sbaglio, Cilone, la tua incudine e il tuo martello sono più grandi di quelli di Corebo e Basileios.
- Sì maestro, quelli che sto usando sono gli strumenti per forgiare le armature delle ruote dei carri. - rispose Cilone. - A parte quelli di mastro Gerone, sono i più grandi tra quelli che usiamo.
- E quelli di Corebo e Basileios invece per che cosa vengono usati?
- Con l’incudine e il martello di Basileios, che sono poco più piccoli di quelli di Cilone, vengono forgiate le spade - intervenne Gerone - mentre Corebo si sta occupando dei ferri di cavallo. - L’incudine di Corebo è circa la metà di quella di Cilone - aggiunse poi Gerone.
- Cilone, potresti colpire la tua incudine per favore - disse Pitagora.
Cilone guardò il fabbro. Gerone annuì. Cilone sferrò quindi una martellata sulla sua incudine.
baaammm
- Ed ora tu Corebo potresti colpire la tua? - Corebo imitò Cilone.
biiimmmm
- Ed ora insieme!
baaammm
biiimmmm
Pitagora si girò verso i suoi allievi con un sorriso serafico. - Sentite che armonia? - disse con voce calma. - Sentite come si fondono questi suoni? - e poi voltandosi di nuovo verso le incudini: - Sentite che consonanza?
- Sì maestro. Ma perché la cosa vi entusiasma così tanto? - disse Filolao.
Pitagora lo guardò, roteò un po' lo sguardo, si toccò il mento e inspirò.
- Cilone e Basileios! Potreste colpire le vostre incudini contemporaneamente?
Cilone e Basileios colpirono le rispettive incudini.
baaammm
bääämmm
Pitagora si coprì la orecchie con le mani mentre il suo volto si modellava su una smorfia di disgusto.
- Sentite ora invece che fastidioso frastuono!? Sentite che dissonanza!!??
- È vero - osservò Filolao. - Ma da che cosa può dipendere questa differenza? - Rimase pensieroso per un attimo e poi riprese: - Le incudini e i martelli sono dello stesso materiale....
- Forse dalla dimensione dei martelli? - suggerì Eratocle.
- Possiamo fare una prova - disse Pitagora. - Corebo potresti colpire l'incudine di Cilone con il tuo martelletto mentre Basileios complisce la sua incudine con il suo martello?
Corebo raggiunse l'incudine di Cilone.
baaammm
bääämmm
- No! Non dipende dalla dimensione dei martelli - sottolineò Filolao guardando Eratocle. - C’è una differenza nel suono ma il risultato è ugualmente sgradevole.
Pitagora si mosse in direzione del fabbro e disse: - Mastro Gerone, avete un'incudine di dimensione diversa? Cilone ha detto che la vostra è la più grande.
- Sì, la mia è tre volte quella di Corebo.
- Bene! - rispose Pitagora. - Se non vi dispiace, mastro Gerone, potreste colpire la vostra incudine mentre Cilone colpisce la sua? Mastro Gerone e il suo apprendista si scambiarono uno sguardo dubbioso. Assecondarono comunque Pitagora.
booommm
baaammm
- Mmhh… sono di nuovo gradevoli all’orecchio. - commentò tra se e se Filolao. Poi rivolgendosi al maestro: - Quindi che cosa state cercando di dirci che questa cosiddetta consonanza non dipende dai martelli bensì dalle dimensioni delle incudini?
- È una possibile interpretazione, caro Filolao. Ma ora vorrei pregare Corebo di unirsi all'esperimento e colpire la sua incudine insieme a Cilone e mastro Gerone.
I tre esaudirono di nuovo la richiesta di Pitagora.
booommm
baaammm
biiimmm
- Ancora una bella consonanza! - esclamò Eratocle. - Sì, un accordo - ribatté Pitagora.
- Quindi ...
- Allora ...
- ... che conclusioni ...
- ... che cosa se ne può ...
Dissero con enfasi Eratocle e Filolao sovrapponendosi.
- Mi spiace interromper i lor signori - s'inserì Gerone. - Ma entro stasera dovremmo portare a termine una commessa di cento spade. E se non lavoriamo sodo potremmo non farcela. Con tutto il dovuto rispetto vorrei chiedervi...
- Ci scusiamo per la nostra brusca irruzione, mastro Gerone - lo interruppe Pitagora. - Vi salutiamo ringraziandovi per la vostra generosa collaborazione.
- È stato un onore maestro, ma purtroppo gli impegni presi ci impongono certi ritmi di lavoro.

…continua…