I primi passi del pensiero matematico: Numeri e Geometria attraverso la storia

Nelle prime grandi civiltà della storia che si svilupparono in Egitto e in Mesopotamia l’uso dei numeri e della geometria consisteva principalmente nell’applicazione a problemi pratici di formule e procedimenti noti.
Queste culture erano venute a conoscenza di metodi, che sembravano valere per numeri e figure geometriche, attraverso l’intuizione, l’esperienza e i tentativi. In tal modo era venuto a costituirsi un bagaglio di conoscenze matematiche che veniva usato come un ricettario da cui estrarre il rimedio giusto per il problema in questione: sia che si trattasse di questioni di vita quotidiana, come problemi relativi ad attività commerciali, agricole o di ripartizioni di eredità; sia che si trattasse di attività collegate alla sfera religiosa. Se i fiumi esondavano si usavano le conoscenze geometriche per ricostruire i confini persi. Se il sovrano voleva costruire un tempio si conoscevano formule e metodi utili. Non era importante capire perché il rimedio funzionasse, l’importante era che funzionasse.
Essendo quindi assente un atteggiamento investigativo volto alla comprensione dei meccanismi di base, mancava anche un’impalcatura teorica e qualsiasi forma di discussione filosofica sui principi.

Come esempi delle più antiche testimonianze scritte di natura matematica a noi pervenute si possono citare il papiro egizio di Ahmes (o di Rhind) (1650 a.C. circa trascritto da un papiro precedente composto probabilmente fra il 2000 e il 1800 a.C.), che contiene problemi aritmetici, e geometrici; il papiro egizio 6619 di Berlino (tra il 2000 e il 1786 a.C.), che contiene un problema che suggerirebbe una possibile conoscenza applicativa di quello che in seguito sarà denominato teorema di Pitagora;

e la tavoletta babilonese chiamata Plimpton 322 (1800 a.C. circa), che contiene una lista di cosiddette terne pitagoriche, cioè terne di numeri, scritti in questo caso in caratteri cuneiformi, che sono soluzioni del teorema di Pitagora.

La discussione filosofica sui principi e sui metodi dell’Aritmetica e della Geometria ebbe inizio nell’ambito della civiltà greca intorno al VI sec. a.C. Fu allora che si cominciò a costruire quell’impalcatura teorica della Matematica che dopo più di due millenni e mezzo di aggiunte, restauri, crolli e ricostruzioni, costituisce ancora il fondamento della materia linguaggio comune di tutte le scienze.

La tradizione occidentale concorda nel ritenere Talete di Mileto (620-550 a.C. ca.) e Pitagora di Samo (580-500 a.C. ca.) come i pionieri, in ambiti un po’ diversi, dell’impostazione logico-deduttiva che diventerà la caratteristica essenziale della Matematica. Gli stessi termini di “matematica” (“ciò che si impara”), “matematico” (“incline ad apprendere”) e “filosofia” (“amore per la saggezza”), sarebbero stati coniati da Pitagora per descrivere la propria attività intellettuale e quella dei suoi allievi.

Nella prossima puntata parleremo di Talete di Mileto.

Indice della serie

Buon solstizio speciale

In questo giorno di solstizio invernale più eclissi lunare auguro a tutti un buon inizio d'inverno.
Queste rare congiunzioni astrali non ci sono state molto favorevoli visto che sia io che Zucchero ci siamo beccati la bronchite.
Per chi gradisse ulteriori informazioni posso aggiungere che l'ultimo evento di solstizio invernale più eclissi lunare avvenne il 21 dicembre 1638 e il prossimo si verificherà il 21 dicembre 2094. 
Purtroppo stavolta l'eclisse me la sono persa. Visto che alle 4 di stamattina ero intento a scaldare il cuscinetto per Zucchero. Però la prossima non me la voglio perdere. 
Chi si unisce all'appuntamento per la notte del 21 dicembre 2094?

Carnevale della Matematica #32

Con qualche giorno di ritardo dovuto a viaggi fuori programma segnalo l'edizione natalizia del Carnevale della Matematica. È la numero #32 e il giorno di pubblicazione è stato il 14 dicembre. Ad ospitarla  è stata Annarita Ruberto sul blog Matem@ticaMente.

Annarita Ruberto, eccezionale insegnate di matematica che molti studenti desidererebbero avere (sicuramente avrei voluto averla io tra i miei insegnanti), ha fatto un lavoro enorme per questa edizione a tema. Si stenta molto a crederlo, ma Annarita Ruberto è stata anche un'alunna matofoba. Qui racconta la sua storia di ex matofoba. Ed il tema di questa edizione è proprio la Matofobia, e cioè, la paura della matematica.

Cito Annarita:
Perché si ha paura della matematica? E’ l’interrogativo al quale hanno provato a rispondere i contributi di diversi insegnanti che hanno raccolto l’invito. Punti di vista condivisibili, cui si aggiungono anche quelli dei diretti interessati: gli studenti. Avrete modo di acquisirli dalla lettura degli articoli proposti.

La mole e la qualità del materiale è impressionante. Quindi, studenti matofobi e non, adulti, bambini e diversamente giovani, che aspettate ad andare a leggere il carnevale di Annarita?!

Purtroppo io non sono riuscito a produrre nulla a tema, vista la mia scarsa esperienza in materia. Nonostante ciò ho inviato due contributi fuori tema che vengono introdotti così:


Dioniso del Blogghetto invia:

"Il rinascimento: Pacioli, i matematici tedeschi, gli irrazionali e le nuove notazioni (+, -, √, x0 = 1)", Parte 22 della rassegna "Numeri e Geometria".

Nell'Arithmetica integra Stifel prende anche in considerazione una questione che tormentò molti matematici che lo avevano preceduto e che ne tormenterà altri che lo seguiranno. E cioè se gli irrazionali possano  essere considerati numeri oppure no. Da una parte Stifel propenderebbe ad accettarli come veri numeri, in quanto, nella geometria, gli irrazionali riescono a risolvere problemi irrisolubili con i soli numeri razionali. D'altra parte, il fatto che la rappresentazione in notazione decimale degli irrazionali richiederebbe un numero infinito di cifre dopo la virgola condusse Stifel alla conclusione che gli irrazionali non possono  essere considerati come dei veri numeri in quanto "l'infinito stesso non più essere considerato come un numero". In realtà poi le cose cambieranno: circa tre secoli dopo con Dedekind.

Potete consultare l'indice della serie e le puntate precedenti.

Se il primo contributo riguarda la matematica e i matematici del Rinascimento, il secondo fa un notevole salto cronologico e tematico, proponendo "World Wide Web, Ragnatela Mondiale o Megaragnatela? - la lingua nella comunicazione scientifica", che affronta il problema dell'uso di anglicismi nella comunicazione scientifica.

Uso riduttivo perché fa emergere in maniera inequivocabile la passività della comunità scientifica italiana che "...non sente la necessità di disporre di parole nella lingua nazionale per esprimere una parte significativa della propria cultura".

La prima edizione del 2011 del Carnevale della Matematica, la numero 33 verrà ospitata Il 14 gennaio da .mau.

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La Nasa, il batterio alieno e le fallacie de "La Stampa"

Su Radio Tre Scienza di oggi si parlava della scoperta del batterio capace di sopravvivere all’arsenico. Una domanda che mi sono posto è: bisognerà aggiornare l'albero della vita adesso?

Per curiosità sono andato a cercare altre informazioni con Google e ho trovato questo articolo de "La Stampa":

La Nasa: scoperto un batterio che dimostra l'esistenza della vita aliena

Se per "alieno" si intende "extraterrestre" già questo titolo di per sé pecca della fallacia del non sequitur. Non è affatto vero che la scoperta dimostri l'esistenza della vita aliena e non è neppure vero che "potrebbe dimostrare l’esistenza degli alieni", come più prudentemente viene scritto nell'articolo. La scoperta può semmai condurci ad un nuovo stato di conoscenze che forse ci porterà ad aumentare la nostra probabilità soggettiva relativa all'evento "esistenza di forme di vita extraterrestri".

Ma la cosa più interessante è che se provate a premere il pulsantino di condivisione per Facebook, il titolo si trasforma in:

Nasa, scoperta una forma di vita extraterrestre - LASTAMPA.it

E questo è un vero e proprio ossimoro! Come si fa a dichiarare extraterrestre una forma di vita che si è sviluppata sulla Terra? Da quanto ho capito il batterio non proviene da meteoriti o materiale extraterrestre.

Il rinascimento: Pacioli, i matematici tedeschi, gli irrazionali e le nuove notazioni (+, -, √, x0 = 1) - Numeri e Geometria attraverso la storia - Parte 22

Nella puntata precedente ho parlato della fine del medioevo e dell'inizio del rinascimento introducendo figure importanti come il cardinale Bessarione e il Regiomontano. Tra le opere del Regiomontano ho parlato del De Triangulis Omnimodus (completata nel 1464 ma stampata nel 1533) che segnò la rinascita della trigonometria e fece assurgere l'Europa occidentale ad una posizione di preminenza in questo campo.

Tuttavia non è lo sviluppo della trigonometria a caratterizzare principalmente la matematica rinascimentale. Il titolo di regina della matematica del tempo spetta sicuramente all'algebra. Questo aspetto diversifica leggermente lo sviluppo rinascimentale della matematica rispetto a quello delle altre scienze ed arti di quel periodo. Se infatti a stimolare il movimento rinascimentale fu per buona parte la riscoperta di opere del mondo greco antico, nel caso specifico della matematica questa riscoperta giocò sì un ruolo importante, ma un ruolo altrettanto importante fu assunto dalla continuazione e dallo sviluppo della tradizione medievale. Tale differenza traspare proprio attraverso il suddetto ruolo dell'algebra. Questa disciplina fu infatti sviluppata soprattutto nel medioevo: prima tra gli arabi e poi tra i cristiani. Lo stesso Regiomontano, ridimensionando l'apoteosi dell'ellenismo, diffusa dagli umanisti del tempo, riconosceva l'importanza dell'algebra medievale araba e latina. 

L'opera più famosa per l'algebra di quel periodo venne pubblicata dal frate Luca Pacioli  (1445, Borgo San Sepolcro – 1514) con il titolo di Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità, scritta in volgare e pubblicata a Venezia nel 1494. La Summa di Luca Pacioli, pur essendo l'opera più influente per l'algebra del tempo, non è in realtà nulla di più di una sintesi di alcune precedenti opere inedite dell'autore di carattere fondamentalmente compilativo. Non fu quindi tanto l'originalità a rendere celebre la Summa quanto piuttosto la sua diffusione ed il suo carattere sinottico. L'opera non si limita in realtà alla sola algebra, ma è una raccolta delle conoscenze dell'epoca relative a quattro campi diversi della matematica: algebra, aritmetica, geometria e metodi aritmetici usati nel commercio. Potrebbe apparire un po' inconsueto che quest'ultimo campo della matematica venga affiancato agli altri tre. Bisogna tuttavia considerare che Luca Pacioli insegnò la matematica presso alcune famiglie di ricchi mercanti veneziani.
La sezione geometrica della Summa è piuttosto elementare mentre quella aritmetica espone principalmente tecniche per il calcolo di moltiplicazioni e radici quadrate. La più corposa parte algebrica riporta i procedimenti per la risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado - per quanto riguarda le equazioni di terzo grado Pacioli, così come Omar Khayyám, pensava che non fosse possibile risolverle con metodi algebrici. In questa sezione l'autore fa ampio uso di forme abbreviate tipiche dell'algebra sincopata. La quarta ed ultima parte include informazioni relative alla registrazione a partita doppia e alle monete e misure dei diversi regni, ducati e stati italiani. Questa quarta sezione conobbe un grande successo ed è grazie ad essa che Luca Pacioli è tuttora generalmente considerato il padre della registrazione a partita doppia.

È piuttosto noto che il paese che più contribuì allo sviluppo del Rinascimento fu l'Italia. Anche altre regioni culturali europee fornirono tuttavia consistenti contributi a questo grande movimento artistico e culturale. Nell'ambito matematico l'apporto dell'area culturale tedesca fu, ad esempio, tutt'altro che trascurabile. Soprattutto sotto l'aspetto dell'introduzione di nuove notazioni.
Un matematico tedesco che si guadagnò un posto nella storia della matematica essenzialmente per essere stato il primo ad usare i simboli + e - per l'addizione e la sottrazione fu Johannes Widmann (Cheb 1460 Lipsia 1489). 
Widmann fu docente presso l'università di Lipsia e nell'anno della sua morte a soli 38 anni pubblicò il suo trattato di Mercantile Arithmetic intitolato Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft che, come potete constatare nell'immagine di sinistra, fa uso dei simboli che divennero in seguito lo standard universale soppiantando la notazione italiana p ed m.

Un altro matematico di area tedesca che va citato solamente per il fatto di aver introdotto nuove notazioni è Christoph Rudolff (Jawor, 1499 – Vienna, 1545). Il simbolo da lui introdotto è quello attualmente in uso per la radice quadrata: √. In seguito Eulero propose la congettura che questo simbolo sia stato ottenuto attraverso deformazioni della lettera "r" (dall'iniziale della parola latina radix). Rudolff introdusse inoltre la notazione e la definizione di x⁰ = 1. Quindi ora sapete con chi prendervela quando vi chiedete: ma perché x⁰ = 1?
Rudolff detiene anche il primato di essere stato il primo ad usare il tedesco  per scrivere un libro di algebra: il suo Die Coss (versione integrale).

Il terzo tra i matematici tedeschi che citerò qui è Michael Stifel (Esslingen 1487 – Jena 1567). Stifel è l'autore della più importante fra le algebre tedesche del XVI secolo: l'Arithmetica integra (1544); in cui, attraverso l'introduzione dei coefficienti negativi, Stifel unificava i vari casi di equazioni di secondo grado.
Nell'Arithmetica integra Stifel prende anche in considerazione una questione che tormentò molti matematici che lo avevano preceduto e che ne tormenterà altri che lo seguiranno. E cioè se gli irrazionali possano  essere considerati numeri oppure no. Da una parte Stifel propenderebbe ad accettarli come veri numeri, in quanto, nella geometria, gli irrazionali riescono a risolvere problemi irrisolubili con i soli numeri razionali. D'altra parte, il fatto che la rappresentazione in notazione decimale degli irrazionali richiederebbe un numero infinito di cifre dopo la virgola condusse Stifel alla conclusione che gli irrazionali non possono  essere considerati come dei veri numeri in quanto "l'infinito stesso non più essere considerato come un numero". In realtà poi le cose cambieranno: circa tre secoli dopo con Dedekind.
Anche Stifel detiene inoltre un primato. E cioè quello di essere stato il primo ad usare la giustapposizione senza simboli tra i termini per la moltiplicazione. Cioè l'uso di X₁X₂X₃ per indicare il prodotto tra X₁, X₂ e X₃.

Concludo questa puntata con un ultimo primato che si ricollega a vicende della nostra attualità (non più molto attuale oramai). E cioè il "greve uso dell'acronimo S.P.Q.R. Sembra che, con grande dispiacere di una parte dei nostri concittadini, il primato spetti al nostro frate Luca Pacioli.

Nella prossima puntata parleremo di altri matematici del rinascimento italiano come Del Ferro, Tartaglia e Cardano e del loro ruolo nella scoperta della formula risolutiva per le equazioni di 3° e 4° grado.

Puntate precedenti...

Indice della serie

Carnevale della Matematica #31

L'edizione numero #31 del Carnevale della Matematica la troverete sul blog Science Backstage di Gianluigi Filippelli. Blog che vi consiglio di frequentare indipendentemente dal Carnevale della Matematica. In questa edizione a coadiuvare Gianluigi c'è un'ospite d'eccezione: il Cappellaio Matto.

Il mio contributo viene introdotto troppo generosamente in questo modo:

Ed eccoci a uno dei contributi più attesi, o almeno io lo attendevo con trepidazione, visto il bel lavoro che, con la matematica (e non solo) fa sul suo blog (ricordo ciò che fece per il Carnevale russelliano). Ovviamente il buon Dioniso prosegue con la sua serie Numeri e Geometria attraverso la storiaLa fine del medioevo e l'inizio del rinascimento: il Regiomontano. L'episodio ruota o parte se preferite dalla caduta di Costantinopoli e dalla sua importanza per la storia della matematica. Spero che siate abbastanza curiosi da voler approfondire l'argomento andando a leggere direttamente l'articolo di Dioniso.


L'edizione natalizia, la numero #32 del 14 dicembre, sarà ospitata da Annarita Ruberto sul blog Matem@ticaMente.

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World Wide Web, Ragnatela Mondiale o Megaragnatela? - la lingua nella comunicazione scientifica

Qualche mese fa ho letto "Le parole di Einstein - Comunicare scienza fra rigore e poesia" di Daniele Gouthier ed Elena Ioli.
Tra gli interessanti temi trattati dagli autori c'è naturalmente anche quello linguistico. Essendo io un neo-crusc semipentito, sono stato particolarmente stimolato dal tema della contaminazione linguistica e dell'attuale passività dell'italiano rispetto all'inglese.
Gli autori introducono l'argomento riportando il frammento di un'immaginaria conversazione tra due scienziati in un laboratorio: "Non va bene! La gaussiana che hai tracciato non fitta quell'insieme di dati che hai plottato. Il range dei valori è troppo piccolo. Ci serve altro input".
Anche nel mio ambiente, quello delle aziende informtatiche, conversazioni analoghe sono all'ordine del giorno. Mi è capitato addirittura di sentir dire "deletiamo (delete) quei file". Per non parlare poi, in ambito più generale, dei famigerati miscion e lochescion. Ed entrando nell'ambito dei termini inglesi usati a sproposito: gadget, trolley, outing e molti altri. Linguaggio che in una mia lettura precedente viene definito "il prestigioso linguaggio manageriale" con cui "ci s'illude d'essere avveniristici, mentre non si fa altro che risuscitare il linguaggio dei vecchi medici ciarlatani che sulle ricette scrivevano aqua fontis invece di acqua e il malato si sentiva subito meglio".

Gouthier e Ioli affermano che "la traduzione pedissequa di parole come to fit, adattare, to plot, costruire un grafico, nei fastidiosi anglicismi non aiuta a fare chiarezza e denota una certa povertà lessicale". Se tra gli specialisti la comprensione si realizza senza intralci, "quando il fruitore del messaggio diventa un pubblico che non condivide la stessa specializzazione, ecco che il ricorso ad una simile terminologia rende un cattivo servizio e alimenta la confusione".

Sarebbe secondo me auspicabile che il comunicatore si ponesse una domanda: quanti italiani capiscono l'inglese? Una stima nasometrica molto ottimistica potrebbe arrivare al 20%. A questo punto il comunicatore dovrà quindi decidere se rivolgersi principalmente ad una minoranza di meno di un quinto della popolazione del proprio paese oppure se cercare di rivolgersi anche a quella parte meno linguisticamente dotata.

Ma il comunicatore potrebbe spingersi oltre e riflettere sulla passività dell'italiano rispetto all'inglese e sulla mancanza di coraggio nel proporre e far circolare novità linguistiche.

"Per arginare il rischio di sottosviluppo e decadenza della lingua nazionale è importante avere il coraggio di proporre e far circolare novità linguistiche, nella consapevolezza che l'ambiente e la pratica ne decreteranno o meno la permanenza" attraverso una selezione naturale. "La passività dell'italiano è tanto più preoccupante poiché è grave che una comunità scientifica non senta la necessità di disporre di parole nella lingua nazionale per esprimere una parte significativa della propria cultura". Pur mantenendo un certo grado di consapevole apertura alle contaminazioni esterne, "dovrebbe essere sentito come un imperativo quello di accogliere il conio di nuovi termini piuttosto che il semplice prestito da altri bacini linguistici".
"La scienza appartiene all'esperienza collettiva e deve entrare a far parte del dibattito intellettuale nella lingua nazionale, pena la riduzione di quest'ultima a reperto semifossile, incapace di divenire strumento di pensiero e di cultura moderni".

Mi sentirei di aggiungere che molti termini irrinunciabili del nostro attuale patrimonio linguistico collettivo sono nati proprio attraverso la  coraggiosa proposta di neologismi. Coraggio che non manca sicuramente nel mondo germanofono dove ad esempio l'uso del calco semantico viene praticato sin dai tempi dei primi contatti tra cultura germanica e cultura classica greco/romana. Ma la maggior parte delle volte non sarebbe neppure necessario lo sforzo di coniare e proporre un neologismo. Spesso sarebbe sufficiente una semplice traduzione.

Un altra considerazione interessante è quella del potere evocativo delle parole. Ad esempio nella mia mente di fruitore italiano dilettante della domenica, il termine passeggiata evoca qualcosa. Mentre il termine walk non evoca nulla. E allora perché usare random walk al posto di passeggiata aleatoria? L'espressione buco nero evoca immediatamente un immagine, l'espressione black hole no.
Concludo con la citazione dell'iniziativa Le magnifiche cinque (traduzioni), di cui sono venuto a conoscenza attraverso l'articolo Il Cogitario Fuffatico di Egolalipazia, come esempio di incoraggiamento alla proposta e alla circolazione di novità linguistiche.

Chi vincerà il mondiale del 2014?

Visto che il povero Paul è morto non vi resta che affidarvi alla Logica intuizionista.

Carnevale della Matematica #30

L'edizione numero 30 del Carnevale della Matematica è ospitata dal blog Popinga.
Oltre che per i contributi l'edizione di Popinga è godibile anche per le immagini del pittore canadese Rob Gonsalves (1959), "esponente del realismo magico che qualcuno ha definito, più o meno coraggiosamente, il nuovo M. C. Escher".
Il mio contributo viene generosamente introdotto in questo modo:

Legato all’ultimo articolo di Zar è l’ulteriore tassello che Flavio Ubaldini (Dioniso) propone nella serie storica che scrive sul suo Blogghetto (e mai nome fu meno azzeccato): Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 20: Oresme, serie numeriche e fine del medioevo, in cui si racconta lo sviluppo dello studio delle serie numeriche nel XIV secolo, con i fondamentali contributi di Richard Swineshead e Nicola di Oresme. Dioniso mi ha inviato anche Mapping the Long Human History - la Matematica contro il razzismo, un suo articolo del 2009 sulla differenza tra alberi genealogici e alberi matematici che vuole proporre agli amici del Carnevale, ma che teme sia inadatto. Glielo diciamo in coro che va benissimo?

Interessanti gli "articoli  finali della bellissima serie sul programma di Erlangen (la prima parte è stata pubblicata nel Carnevale precedente)" di Roberto Zanasi (Zar): Coniche e retta impropria, Intersezioni con la retta, Prospettiva, Esiste una sola conica, Una specie di magia, Dualità e Un modello per il piano. Chi volesse prendere visione dell’intera serie di articoli sul programma di Erlagen può fare clic qui.

Bella anche la serie “completa e definitiva” sui sistemi elettorali dei Rudi Matematici.

Popinga ci saluta annunciandoci che "sarà Gianluigi Filippelli a ospitare il Carnevale n. 31, il prossimo 14 novembre, su Scienze Backstage."

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Pensiero mattutino: siamo solo microrganismi?

G: (svegliandosi) E se fossimo solo l'avanguardia più avanzata degli innumerevoli microrganismi parassitari che infestano e ammorbano l'epidermide di Pangea - l'unica tra le colonie ad aver raggiunto il possesso dell'autoconsapevolezza e degli strumenti per interrogarsi sul senso della propria esistenza - e che il sistema immunitario dell'organismo Pangea cerca di sconfiggere usando quello che noi chiamiamo catastrofi naturali? Terremoti, eruzioni, tornado, inondazioni non sarebbero altro che i leucociti di Pangea.

F: (guardandolo tra il perplesso e l'annoiato) ch'ha magnato ieri sera Gianfra'?

Carnevale della Matematica #29

L'edizione numero 29 del Carnevale della Matematica è ospitata dal blog Rudi Matematici ed è di nuovo un'edizione a tema. Ed il tema è:

Seduto in quel caffè, io non pensavo a te.

E qui qualcuno si chiederà: ma che c'entra questo tema con il Carnevale della Matematica?

Bè, l'edizione settembrina è la numero 29 e il titolo della canzone a cui rimanda il tema è ....
La data della canzone nasconde inoltre un'altra curiosità: "prendete una nazione a caso, e cercate una data resa famosa da una canzone in quella nazione: bene, ipotizzando che in tale paese esista una suddivisione politica grossomodo bipolare, quante sono le probabilità che sia il capo della maggioranza sia quello dell'opposizione siano nati nello stesso giorno"?
Ma se volete sapere tutto e leggere gli interessantissimi contributi non vi resta che andare a leggere l'edizione numero 29.

Per quanto riguarda il mio contributo, a causa della vacanza sono riuscito ad aderire solo al terzo dei temi che, negando il primo e il secondo (“l’essere primo”), consiste nell'essere fuori tema. Il mio contributo è stato generosamente introdotto così:

C’è un dio, tra gli dei dei Greci, che è indubbiamente diverso dagli altri abitatori dell’Olimpo. Con buona pace di Apollo-Febo, se c’è qualcuno che sa come si vive, quello è Dioniso.  E il Dioniso della blogosfera italica è solo lui. Ci scrive dicendoci che, causa vacanze, non ha potuto impegnarsi troppo. Perdinci! Hai idea di quanto ti invidiamo una vacanza dionisiaca, noi?

E poi, vedete? Dice dice, ma qualcosa ci ha inviato lo stesso:

Un percorso storico tra Numeri e Geometria – Parte 19: secolo XIII e XIV – traduzioni, grafici, e serie numeriche
Numeri e Geometria attraverso la storia: indice

Niente male, per uno che se ne sta in vacanza, no?

Riporto di seguito qualche altro contributo.

Dal celebre Mariano Tomatis:
Epidemiologia della scoreggia
Come creare un cerchio nel grano di proporzioni alchemiche
Ahmadinejad incastrato da un trucco matematico?
Tra la Sindone e John Cage

Dal "papà del Carnevale" .mau.":
- I numeri ordinali. Tra i numeri infiniti nella teoria di Cantor non ci sono solo i cardinali, ma anche gli ordinali, che usiamo quando non ci basta sapere quanti elementi ci sono ma anche in quale ordine stanno.
- Aritmetica con gli ordinali. Finché ci si limita a valori finiti, i numeri ordinali non sembrano poi così diversi dai cardinali. Non appena si giunge all’infinito, però, le cose cambiano di colpo, e anzi gli ordinali sono ancora più sconcertanti dei cardinali.

Da Zar:
Un semplice esercizio: dove si dimostra in modo molto semplice che per ogni n maggiore di 2, è irrazionale. Per la dimostrazione si usa un "teoremino" enunciato nel 1637 e dimostrato solo nel 1995 dopo più di 350 anni. Interessanti anche i contributi Che cosa è la geometria?, Trasformazioni e tutti quelli della serie relativa.

Dalla "principessa/regina" del Carnevale Annarita Ruberto:
Paperino Nel Mondo Della Matemagica: " Film, uscito nel 1959, che  ha ricevuto una nomination all’Oscar, nel 1961. Apparentemente semplice, affronta argomenti importanti. Il suo contenuto è da proporre ai giovanissimi che non lo conoscono perché, pur non evidenziando scopi didattici, è di aiuto a far comprendere la bellezza e l’utilità di una disciplina che, pur ritenuta ostica da molti, contiene elementi di straordinario fascino"

Da Gianluigi Filippelli:
L’infinita compagnia dei numeri primi: al cinema esce “La solitudine dei numeri primi”, tratto dall’omonimo romanzo. E allora ecco un articolo sui numeri primi, dove però qualche fatterello mi è sfuggito.

Da Claudio Pasqua:

Ma come porti i capelli bella bionda? alla faccia di Cochi e Renato, il nostro eroe riesce, con alcuni semplici calcoli, ad aumentare la conoscenza delle meraviglie presenti nel corpo umano.

Dagli ospiti: Sistemi Elettorali

Il Carnevale termina dicendo che "il sommo Popinga, ad Ottobre, vi farà vedere come si devono fare sul serio i Carnevali della Matematica.  Intervenite, scrivete, partecipate!"

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Numeri e Geometria attraverso la storia: indice

Se non vi piace l'aspetto dell'indice sottostante oppure se non funziona potete provare ad aprire questo o quest'altro

La fine del medioevo e l'inizio del rinascimento: il Regiomontano - Numeri e Geometria attraverso la storia - Parte 21

Nell’ultima puntata ho parlato di Swineshead, di Oresme, delle serie numeriche e dei progressi rispetto alla matematica greca nell'uso del concetto di infinito. Constatavo inoltre che tali progressi, anche se assommati a tutto il resto dei progressi del periodo medievale, non erano nemmeno lontanamente paragonabili alle conquiste matematiche realizzate dagli antichi greci. Abbiamo anche visto che subito dopo Oresme la matematica nell'Europa occidentale entrò di nuovo in una fase di declino e che la guida nel campo della matematica si spostò nel XV secolo dalle università di Oxford e Parigi alle università italiane, tedesche e polacche.
Boyer, nella sua opera, "Storia della matematica", propone il 1436 d.C. - anno probabile della morte di al-Kashi, ultimo grande matematico islamico - come data di fine del periodo medievale per la storia della Matematica.
Un altro momento di svolta per la matematica occidentale può essere individuato anche nell'anno 1453 (vedi anche Fremat's Last Theorem di Simon Singh). Quello è difatti l'anno in cui la capitolazione di Constantinopoli segnò la caduta definitiva dell'Impero bizantino. Questa conquista interrompeva definitivamente l'ultimo legame diretto con il mondo antico. Ad evidenziare emblematicamente tale rivolgimento ci fu il cambiamento del nome di Costantinopoli in Istanbul.

Ma perché la caduta di Costantinopoli è significativa per la storia della matematica?

Secondo diversi storici questo evento avrebbe indotto molti dotti bizantini a cercare rifugio in Italia. Questi sapienti portavano spesso con sé preziosi manoscritti contenenti antichi trattati greci e addirittura copie di volumi sopravvissuti alle varie distruzioni della Biblioteca di Alessandria. Tra questi volumi c'era probabilmente anche l'Arithmetica di Diofanto, che dopo essere sopravvissuto ad una serie di distruzioni - Cesare, Teofilo, il califfo Omar e ora gli Ottomani - approderà quasi due secoli dopo nello scrittoio di Pierre de Fermat. La lettura della traduzione in latino di Bachet del trattato diofanteo ispirò molto Fermat e tra le varie annotazioni che il matematico scrisse ai margini della sua copia compare anche il celebre enunciato dell'Ultimo teorema di Fermat (o teorema di Fermat-Wiles, come qualcuno lo chiama ora).

Tornando tuttavia al XV secolo incontriamo un importante matematico che nasce in Germania nel 1436 d.C. Proprio nell'anno della morte di al-Kashi. Il suo nome è Johannes Müller (1436 – 1476), ma egli, da tipico uomo rinascimentale, preferiva farsi chiamare il Regiomontano. Pseudonimo derivante dal nome della sua città natale: Königsberg (di Baviera). Latinizzato in Regio Monte.
Dopo tre anni di studio come studente precocissimo all'università di Lipsia, il Regiomontano quattordicenne si spostò in Austria presso l'università di Vienna dove a ventun anni conseguì il titolo di "magister artium" (Maestro delle Scienze) e cominciò a tenere lezioni.

Nel 1461, a venticinque anni, si trasferì a Roma nell'abitazione del cardinale Bessarione (Trebisonda, 1408 - Ravenna, 1472). Bessarione, monaco basiliano e umanista bizantino, era stato nominato arcivescovo (ortodosso) di Nicea nel 1437. Nel 1438 accompagnò l'imperatore e la delegazione bizantina in Italia per discutere l'unione della Chiesa ortodossa con quella Cattolica. Grazie ai suoi sforzi volti a unificare le due chiese, Bessarione fu nominato cardinale (cattolico ovviamente) dal papa e nel 1449 ottenne il titolo di Cardinale-vescovo della Sede suburbicaria di Sabina.

Dopo la caduta di Costantinopoli Bessarione fu molto attivo nel sostegno di quei dotti bizantini che cercavano rifugio in Italia e nella conservazione dell'inestimabile patrimonio librario che essi trasportavano.
Bessarione raccolse molte di queste opere costituendo una corposa biblioteca che donò alla città di Venezia nel 1468. Tale donazione costituì il primo nucleo della Biblioteca marciana.
Con questa attività Bessarione interpretò un ruolo fondamentale nel collegamento tra i residui della cultura classica ancora esistenti a Costantinopoli e il movimento rinascimentale sorto da poco in Italia.

È il 1461 quando il Regiomontano si trasferisce nell'abitazione romana del cardinale Bessarione, dove visse e lavorò fino al 1465.
Dovette essere sicuramente grazie all'influenza di Bessarione che Regiomontano sviluppò l'ambizione di tradurre e pubblicare l'eredità scientifica del mondo antico. Tornato in Germania, dopo i suoi viaggi e i suoi studi in Italia, il Regiomontano fondò una stamperia a Norimberga con l'idea di stampare traduzioni di molte delle opere degli antichi scienziati greci. Purtroppo la sua morte prematura a soli quarant'anni durante un nuovo viaggio a Roma non gli consentì di portare a termine il progetto.

La sua opera più importante, il De Triangulis Omnimodus, il Regiomontano la scrisse proprio durante il suo soggiorno romano. Quest'opera segnò la rinascita della trigonometria, che per la prima volta veniva esposta come una disciplina indipendente, e fece assurgere l'Europa occidentale ad una posizione di preminenza in questo campo.

A differenza di molti contemporanei il Regiomontano mostrò un certo interesse nei confronti della cultura araba e attraverso gli averroisti delle università italiane venne a conoscenza di buona parte del sapere astronomico arabo. Tanto da arrivare a manifestare l'intenzione di riformare l'astronomia. Sfortunatamente, la sua morte pose fine a tali progetti. Qualcuno ipotizza che se fosse vissuto più a lungo avrebbe forse potuto anticipare la riforma di Copernico.

Nella prossima (o forse prossime) puntata parleremo di alcuni matematici del rinascimento italiano come Pacioli, Tartaglia e Cardano.

Indice della serie

Un ferragosto matematico: Carnevale della Matematica #28

Oggi, 14 agosto, nonostante il clima vacanzierissmo pre-ferragostano, il Carnevale della Matematica esce puntuale come ogni mese con la sua edizione numero 28: quella del numero perfetto.
Volete sapere perché è quella del numero perfetto? Non vi resta che visitare Zar sul blog Gli studenti di oggi. Quale lettura migliore per una fine settimana di mezz'agosto?!

Così viene introdotto il mio contributo:

Dioniso, continuando la trattazione già pubblicata nello scorso carnevale, ci propone l'appendice numero 1 e la numero 2 alla sua serie Chi vincerà il mondiale del 2014? Una questione di Logica intuizionista? Infine, un approfondimento alla appendice 2: Tentativo di dimostrazione che nella logica intuizionista (I → ¬¬I), ma non (¬¬I → I). Qui si può leggere o scaricare l'opera completa.

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Chi vincerà il mondiale del 2014? Una questione di Logica intuizionista? - Appendice 2

Nell'appendice numero uno dicevamo che tra le principali differenze della Logica intuizionista rispetto alla Logica classica c'è sia la non validità del principio del terzo escluso che la non validità dell'equivalenza tra affermazione e doppia negazione (I ↔ ¬¬I).

Usando quindi gli strumenti della Logica intuizionista, non sì potrà ad esempio dedurre la profezia Italia '14 (P="o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014").
Inoltre, usando l'intuito, molti di voi probabilmente direbbero che affermare che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 è equivalente a dire che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014.
O detto in termini simbolici:

I ↔ ¬¬I

Invece nella Logica intuizionista, dal fatto che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 si potrà sì dedurre che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 ( I → ¬¬I ), ma non vale il viceversa. Cioè dal fatto che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 non si potrà dedurre che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 (¬¬I → I).

A questo punto risulta sicuramente interessante vedere molto brevemente qualche cenno di semantica per la Logica intuizionista. È infatti grazie ad essa che possono essere verificate le suddette affermazioni.
Il primo a fornire una semantica per la Logica intuizionista fu Heyting, un allievo di Brouwer.
In modo simile alla semantica per la Logica proposizionale classica, in cui l'algebra booleana viene usata per stabilire se una formula sia vera o falsa, Heyting pensò di introdurre un nuovo tipo di algebra, chiamata in seguito algebra di Heyting, per stabilire se una formula sia vera o falsa nell'ambito della Logica intuizionista.

La Logica proposizionale classica, come la maggior parte dei sistemi di Logica matematica, è costituita da una parte sintattica ed una parte semantica.La parte sintattica è quella che si occupa di definire la corretta struttura delle formule; e nella quale si include di solito anche l'apparato deduttivo che definisce gli assiomi e le regole che consentono di dedurre i teoremi a partire dagli assiomi.
Mentre la parte semantica, che risulta di solito più semplice ed intuitiva, è quella che si occupa di definire il significato dei simboli.

Per definire una semantica della Logica proposizionale classica si può partire ad esempio da una funzione di valutazione che va dall'insieme L delle formule all'insieme {V,F} (vero, falso). O detto in termini più semplici, si definisce un meccanismo per determinare in quali casi una formula sia vera o falsa. La funzione la si definisce nel seguente modo:

v : L → {V,F}

tale che per ogni coppia di formule A e B valgano le seguenti condizioni (sse sta per se e solo se):

v(¬A) = V sse v(A) = F  (¬A è vera sse A è falsa)

v(¬A) = F sse v(A) = V  (¬A è falsa sse A è vera)

v(A∧B) = V sse v(A) = V e v(B) = V  (A∧B è vera sse A è vera e B è vera)

v(A∨B) = V sse v(A) = V oppure v(B) = V  (A∨B è vera sse A è vera oppure B è vera)

v(A→B) = V sse v(A) = F oppure v(B) = V  (A→B è vera sse A è falsa oppure B è vera)

Ciò che collega la sintassi con la semantica sono i teoremi di completezza, il cui scopo è dimostrare l'equivalenza tra il concetto di dimostrabilità sintattica ed il concetto di verità semantica. Nel caso particolare della Logica classica (sia proposizionale che predicativa) interviene il Teorema di completezza di Gödel (da non confondere con il Teoremi di incompletezza di Gödel) ad asserire che una formula è dimostrabile sse è vera per ogni funzione di valutazione.

Similmente, anche nel caso della Logica proposizionale intuzionista si può definire una funzione di valutazione, ma di tipo un po' diverso. Invece di essere correlata ad un'algebra booleana la funzione di valutazione della Logica proposizionale intuzionista è correlata ad un'algebra di Heyting.
Ad esempio si può definire la funzione di valutazione che va dall'insieme L delle formule all'insieme dei sottinsiemi aperti della retta reale:

v : L → {int(S) : S ⊆ R} dove int(S) è la parte interna di S

tale che per ogni coppia di formule A e B valgano le seguenti condizioni:

v(A) = int(v(A))

v(¬A) = int(v(A)^C) dove X^C è il complemento di X

v(A∧B) = v(A) ∩ v(B)

v(A∨B) = v(A) ∪ v(B)

v(A→B) = int(v(A)^C ∪ v(B))

Anche in questo caso intervengono teoremi di completezza a dirci che le formule dimostrabili della Logica intuzionista coincidono con quelle valide e che queste ultime sono esattamente quelle per cui v(A) = R per ogni scelta di v. Cioè quelle a cui la funzione di valutazione associa l'insieme più grande: tutta la retta reale.

Grazie a questi teoremi si può facilmente verificare che la formula ¬(A ∧ ¬A) è valida. Il fatto che questa formula risulti valida è un requisito minimale affinché un sistema di Logica matematica possa destare qualche interesse. Se essa risultasse non valida infatti esisterebbero delle A per cui il sistema potrebbe dimostrare sia A che ¬A. Il sistema risulterebbe quindi contraddittorio.
La validità di ¬(A ∧ ¬A) si può dimostrare in quanto ponendo v(A) = X, indipendentemente dall'insieme X che viene scelto come valore della formula A, il valore di ¬(A ∧ ¬A) sarà sempre uguale all'intera retta reale R. Infatti

v(¬(A ∧ ¬A)) =

int((v(A ∧ ¬A))^C) =

int((v(A) ∩ v(¬A))^C) =

int((X ∩ int((v(A))^C))^C) =

int((X ∩ int(X^C))^C) =

(Siccome int(X^C) è un sottinsieme di X^C allora

X ∩ int(X^C) = ∅)

int((∅)^C)=int(R)=R

Invece si può facilmente mostrare che il principio del terzo escluso (A ∨ ¬A) non è valido. A tal scopo è sufficiente trovare una particolare funzione di valutazione v per cui risulti v(A ∨ ¬A) ≠ R.
Basta scegliere v(A) = {x ∈ R : x > 0 }. Si avrà infatti:

v((A ∨ ¬A)) =

v(A) ∪ v(¬A) =

v(A) ∪ int(v(A)^C) =

{x ∈ R : x > 0 } ∪ int({x ∈ R : x ≤ 0 }) =

{x ∈ R : x > 0 } ∪ {x ∈ R : x < 0 }) =

{x ∈ R : x ≠ 0 } ≠ R che è ciò che si voleva dimostrare

Potremo quindi finalmente concludere che usando gli strumenti della Logica intuizionista, non sì può dedurre la profezia Italia '14.

Ho anche provato a dimostrare che nella Logica intuizionista vale (I → ¬¬I), ma non vale il viceversa (¬¬I → I). Per chi fosse interessato può dare uno sguardo a questo mio tentativo di dimostrazione.

Chi vincerà il mondiale del 2014? Una questione di Logica intuizionista? - Appendice 1

Paolo Rossi e Socrates: storica partita
Italia - Brasile 3 -2 (1982)

Nella precedente discussione dicevamo che prendendo una squadra a caso tra quelle che hanno fatto una pessima figura nella fase finale del mondiale di calcio 2010, come l'Italia ad esempio, potremmo formulare la seguente
profezia Italia '14 (che chiameremo P):


P = "o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014"

O detto in termini simbolici, indicando con I la proposizione Italia '14 ("l'Italia vincerà il mondiale del 2014") potremmo scrivere:

P = (I oppure non-I)

che si può anche scrivere come:

P = (I ∨ ¬I)

Quella che abbiamo appena scritto la si può anche vedere come la formula che descrive in termini simbolici il Principio del terzo escluso. La profezia Italia '14 è quindi un esempio di Principio del terzo escluso. Terzo escluso in quanto la ragione ci porterebbe a dire che non esiste una terza alternativa nell'affermazione "o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014".
Ma è proprio così? Sì può asserire che P = (I ∨ ¬I) è sempre vera? Che non esiste una terza alternativa?

Penso che, a differenza della profezia Maya, nessuno dei membri della comunità scientifica, tranne forse qualche vetero-intuizionista, proverebbe a contraddire la profezia Italia '14...
Certo però che se la profezia Maya dovesse rivelarsi nel frattempo valida....
Bè, in tal caso potremmo forse dire che è vera ¬I, anche se in quel caso nessuno sarà in grado di attestare che l'Italia non ha vinto il mondiale del 2014.
Eppure ci sono stati dei logico-matematici che hanno posto dubbi sulla validità del principio del terzo escluso. L'approccio sostenuto da tali logico-matematici fu definito intuizionismo.
Vediamo quindi con un po' più di precisione che cos'è questo intuizionismo.

Ho già citato il fatto che il mio dialogo immaginario della precedente puntata tra Brouwer e Hilbert è ispirato ad una reale controversia tra i due matematici che va inquadrata tra le appassionanti discussioni di fine '800 primi del '900 relative ai fondamenti della matematica  e che tra le posizioni filosofiche ipegnate nella rifondazione dei fondamenti c'era quella costruttivista con Poincaré e Weyl, all'interno della quale si posizionava la corrente radicale degli intuizionisti con Brouwer.
I costruttivisti, contrapponendosi principalmente al pensiero di Hilbert e dei formalisti, affermavano la necessità di trovare o di costruire un oggetto matematico per poterne dimostrare l'esistenza rifiutando le dimostrazioni per assurdo soprattutto nei casi che coinvolgono l'infinito; inoltre la corrente intuizionista dei costruttivisti, capeggiata da Brouwer (mi sembra quasi di stare a descrivere un partito), si spingeva oltre il costruttivismo rifiutando più in generale le dimostrazioni che implicano l'utilizzo di insiemi infiniti e l'applicazione in questi casi dei ragionamenti basati sul principio del terzo escluso.

Oggi si può probabilmente affermare che l'intuizionismo, come prospettiva filosofica volta a rifondare la matematica, ebbe un successo piuttosto limitato; anche se generò utili e prolifiche discussioni. Tuttavia lo stesso non si può dire per il sistema formale della Logica Intuizionista sviluppato da Arend Heyting, un allievo di Brouwer. Tale sistema formale ha dato luogo infatti ad una serie di sviluppi della Logica e ha trovato inoltre diverse applicazioni nell'informatica, sia teorica che applicata.

Tra le principali differenze della Logica intuizionista rispetto alla Logica classica c'è sia la non validità del principio del terzo escluso che la non validità dell'equivalenza tra affermazione e doppia negazione (I ↔ ¬¬I).
Ovvero, tralasciando per un attimo il rigore matimatico, si può dire che usando gli strumenti della Logica intuizionista, non sì potrà ad esempio dedurre la profezia Italia '14.
Inoltre, usando l'intuito, molti di voi probabilmente direbbero che affermare che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 è equivalente a dire che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014.
O detto in termini simbolici:

I ↔ ¬¬I

Invece nella Logica intuizionista, dal fatto che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 si potrà sì dedurre che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 ( I → ¬¬I ), ma non vale il viceversa. Cioè dal fatto che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 non si potrà dedurre che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 ¬(¬¬I → I).

A questo punto risulterebbe sicuramente interessante dare un breve sguardo alla semantica per la Logica intuizionista. È infatti grazie ad essa che possono essere verificate le suddette affermazioni. Ma questo lo vedremo nell'appendice numero due.

Carnevale della Matematica #27

Oggi è il14 luglio e oltre a commemorare la presa della Bastiglia segnaliamo anche la nuova puntata del Carnevale della Matematica, la n. 27, ospitata dal fondatore del Carnevale della Matematica Maurizio Codogno su il Post, il giornale on-line di Luca Sofri.

Il numero degli articoli stavolta è un po' più ridotto, forse a causa del clima e delle vacanze, ma la qualità continua ad essere ottima.
Il mio contributo viene introdotto in questo modo:

Dionisoo nel suo Blogghetto scomoda nientemeno che Brouwer e Hilbert per fare una previsione sul risultato dell’Italia nei prossimi mondiali di calcio del 2014 (profezia dei Maya permettendo), portando il lettore a capire se e come si possono usare le dimostrazioni per assurdo e con insiemi infiniti.

Il 14 agosto, l'edizione ferragostano-vacanzierissima - la numero 28 - del Carnevale della Matematica sarà ospitata da Zar sul blog Gli studenti di oggi.

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Il ciclo delle notizie scientifiche

Immagine copiata dal post Il ciclo delle notizie scientifiche su D I S . A M B . I G . U A N D O

Grigorij Perelman rifiuta 1 milione di dollari!? La risposta è sì!

Ne avevo parlato qui.
La decisione è stata finalmente presa qualche giorno fa. Grigorij Perelman ha rifiutato 1 milione di dollari!

Pare che la motivazione principale sia stata il disaccordo con la comunità dei matematici: "I don’t like their decisions; I consider them unjust".

Chi vincerà il mondiale? Una questione di Logica intuizionista?

Scegliamo una squadra a caso tra quelle che hanno fatto una pessima figura nella fase finale del mondiale di calcio 2010. L'Italia ad esempio.
Potremmo già formulare un pronostico sui risultati dell'Italia ai modiali brasiliani del 2014?
Bè, potrei affermare ad esempio che:

o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014

Penso che pochi proverebbero a contraddirmi. Ma siamo proprio sicuri che non ci sia un'altra possibilità? O come direbbe qualcuno, siamo proprio sicuri che tertium non datur?

Qualche notte fa dopo una cena a base di insalata di farro annaffiata da un paio di bicchieri di Regaleali me ne sono andato a letto con un certa sensazione di completezza e soddisfazione. In piena notte vengo però svegliato dall'impressione di un lamento profondo. In piedi accanto al mio letto scorgo una tenebrosa figura antropomorfa. Mi pietrifico all'istante. Dalla figura proviene una voce: quasi un infrasuono.
B: (rabbioso tormentato) Perché non vuole ammetterlo!! L'intuzione e la costruzione sono alla base di tutto!
Eppure in gioventù lo ammiravo così tanto.... E anche lui mi stimava molto.
D: (ripresosi dal trauma riesce timidamente a profferire parola) Scusi, ma lei chi è?
B: (austero e marziale) Molto lieto! Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Ma lei può chiamarmi semplicemente professor Brouwer.
D: (reverenziale un po' più animato) E di chi sta parlando professor Brouwer?
B: (spazientito) Come di chi!? Ma del professor David Hilbert naturalmente.

Una seconda figura si materializza nella stanza.

H: (con voce tuonante) Ho sentito pronunziare il mio nome!
B: (con enfasi accigliata) Stavo per l'appunto cercando di dire che la nostra aspirazione deve essere la ricerca della verità, non un arido formalismo alieno da essa.
H: (con sufficienza?) Ma con il mio formalismo saremo in grado di svelare e rivelare la verità in modo automatico e univoco. Potremmo anche giungere ad un punto in cui le presenza umana sarà superflua nel processo di disvelamento delle verità ignote.
B: (categorico) Ma voi, caro Hilbert, partite da premesse sbagliate! Per dimostrare l'esistenza di un oggetto io dovrò mostrare quell'oggetto o almeno mostrare di saperlo costruire.
H: (contraddittoriamente) No! Non è affatto vero! La costruzione appesantisce e complica inutilmente le cose. Brevità ed economia di pensiero! Sono queste le ragioni d'essere delle dimostrazioni d'esistenza. L'oggetto o esiste o non esiste. Tertium non datur! E se assumendo la sua non esistenza giungo ad una contraddizione allora vorrà dire che l'oggetto dovrà necessariamente esistere!
B: (quasi con soddisfazione) Ed ecco che abbiamo introdotto anche le più fallaci tra le vostre assunzioni: le dimostrazioni per assurdo e peggio ancora il principio del Terzo escluso. L'accettazione acritica di tali strumenti solo perché riconducibili a Pitagora e Aristotele è inammissibile!
H: (con scoraggiato scherno) Ma proibire ad un matematico l'uso del principio del terzo escluso sarebbe come proibire a un pugile di usare i pugni o proibire ad un astronomo di usare il telescopio. 
B: (in un crescendo di impeto) La matematica non è un giochino enigmistico privo di significato! I suoi oggetti non sono scorrelati dalla realtà!! Le sue regole formali non possono prescindere dall'intuito!!! La scelta dei suoi assiomi deve essere guidata dall'esperienza!!!!

Le figure svaniscono dissolvendosi lentamente.

Ma allora è vero che o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014? O detto in termini simbolici, indicando con I la proposizione "l'Italia vincerà il mondiale del 2014", è vero che (I ∨ ¬I)?

Forse per il caso di questo enunciato la risposta è sì. (A patto che la profezia Maya non non si riveli nel frattempo valida, ma in tal caso potremmo dire che è vera ¬I, anche se probabilmente nessuno sarà in grado di verificarlo.) Nella matematica tuttavia esistono degli enunciati che non possono essere né provati né refutati, e cioè, approssimando un po', non può essere stabilito né che siano veri né che siano falsi, e sono per questo detti indecidibili. Esempi ne sono l'assioma della scelta e l'ipotesi del continuo, che sono entrambi indecidibili nell'assiomatizzazione tradizionale della teoria degli insiemi.

Il mio dialogo immaginario tra Brouwer e Hilbert è ispirato ad una reale controversia tra i due matematici che va inquadrata tra le appassionanti discussioni relative ai fondamenti della matematica avvenute tra la fine dell'800 e i primi decenni del '900. In questo contesto le posizioni filosofiche che si contendevano il primato erano essenzialmente tre: quella logicista con Frege e Russell; quella formalista con Hilbert; e infine quella costruttivista con Poincaré e Weyl, all'interno della quale si posizionava la corrente radicale degli intuizionisti con Brouwer. I logicisti volevano rifondare la matematica a partire dalla Logica, i formalisti volevan formalizzare la matemitica entro un sistema assimoatico capace di dimostrare o refutare un qualsiasi enunciato, mentre i costruttivisti affermavano la necessità di trovare o di costruire un oggetto matematico per poterne dimostrare l'esistenza rifiutando le dimostrazioni per assurdo soprattutto nei casi che coinvolgono l'infinito; infine l'intuizionismo di Brouwer si spingeva oltre il costruttivismo rifiutando più in generale le dimostrazioni che implicano l'utilizzo di insiemi infiniti e l'applicazione in questi casi dei ragionamenti basati sul principio del terzo escluso.

In seguito un allievo di Brouwer, Arend Heyting, sviluppò l'intuizionismo come un vero e proprio sistema formale: la Logica Intuizionista. Ma questo lo vedremo nell'appendice.

Tetralogia logica

La mia tetralogia logica è stata pubblicata su Matem@ticaMente.
L'articolo viene generosamente recensito in questo modo.

Cari lettori,

pubblico un secondo contributo, tratto dal Carnevale della Matematica n.26, tra i pezzi che mi hanno colpito particolarmente. Si tratta di una interessantissima tetralogia sulla logica dal titolo "Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale temporale?".

L'originale contributo quadripartito si giova di una serie di dialoghi immaginari, che si svolgono tra personaggi storici di eccellenza. Nella prima parte i protagonisti sono Aristotele e Diodoro Crono.

Nella seconda parte sono presentate alcune quartine, le "Rubʿayyāt" di ʿOmar Ḫayyām, in cui sono descritti i sogni e i deliri del matematico persiano Avicenna intento a dialogare con Aristotele.

Nella terza parte, mediante il duetto dialogico tra Leibiniz e Voltaire, viene considerata la "previsione" dei Maya sulla fine del mondo secondo le convinzioni della logica occidentale che, tra il 1600 e il 1700, era ai suoi albori.

Nella quarta e ultima parte, la succitata "previsione" è esaminata, tenendo conto del rivoluzionario pensiero di  Frege e Russell.

Ma mi  fermo qui, invitandovi a leggere l'accattivante tetralogia partorita dall'immaginazione di Dioniso. L'ho assemblata in un unico documento, scaricabile in versione pdf e consultabile in modalità fullscreen nel widget di Issuu (cliccare al centro del widget).

Carnevale della Matematica #26: Russell e la logica (quasi una monografia)

"Uomo di sani Principia, tra una moglie e l'altra spedi paradossalmente una tazza di tè nello spazio."

E' questa la biografia essenziale di Bertrand Russell, che Gianluigi Filippelli propone per introdurre il tema non obbligatorio proposto per il Carnevale numero 26: Russell e la logica.
"La motivazione del tema è dovuta al recente compleanno dello zio Bertrand, nato il 18 maggio 1872, quindi in una data compresa tra questo e il Carnevale precedente, ospitato dalla grandissima Annarita Ruberto".

Il mio contributo viene introdotto Gianluigi (che ringrazio per la bella recensione) in questo modo:

Dioniso, per l'occasione del tema, interrompendo il suo classico percorso storico tra i numeri e ci propone una bellissima tetralogia logica scritta attraverso una serie di dialoghi immaginari dal titolo Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale temporale?: nella prima parte protagonisti sono Aristotele e Diodoro Crono; nella seconda parte vengono presentate alcune Rubʿayyāt di ʿOmar Ḫayyām⁽¹⁾, ovvero delle quartine dove vengono descritti i sogni/incubi di Avicenna, logico e matematico persiano, nei quali il nostro dialoga fittamente con Aristotele; nella terza parte protagonisti sono Leibiniz e Voltaire in un testo attribuito a Pierre Beaumarchais dove si esamina l'affermazione Maya sulla fine del mondo alla luce delle novità logiche di quel periodo, fine 1600 inizi 1700, quando la logica occidentale inizia veramente a muovere i primi passi; nella quarta e ultima parte dove, prendendo spunto dalle rivoluzioni introdotte da Frege e Russell⁽²⁾ (e dalla sua scuola) esamina con i metodi e le notazioni della logica della prima metà del XX secolo l'affermazione incriminata (e quelle che poi i soliti folli giornalisti non smettono di disseminare in giro per il mondo).
Nel complesso una tetralogia veramente molto bella, quasi quanto le famose tetralogie di Leonardo Ortolani su RatMan Collection, che ha il pregio, nonostante i dialoghi siano nei fatti frutto dell'immaginazione di Flavio, di sintetizzare al meglio il pensiero logico dei protagonisti. Da non perdere!

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Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale? - quarta parte

Nella puntata precedente abbiamo visto che l'idea leibniziana dei mondi possibili ci è stata utile per la comprensione della questione Maya. Ci chiedevamo inoltre che cosa significa che le assiomatizzazioni della Logica modale vennero inquadrate in ambito più logico matematico?

La Logica matematica come disciplina indipendente dalla Logica tradizionale nasce nella seconda metà del XIX secolo. Si parte in qualche modo ancora una volta dalla Logica aristotelica ponendosi però in una prospettiva molto più formale e inquadrando il linguaggio delle Logica in un contesto molto vicino a quello dell'algebra astratta. Questa nuova disciplina parve presto molto adatta per indagare quelle questioni dei fondamenti della Matematica che da qualche tempo turbavano i sonni di alcuni grandi matematici. Tanto che Gottlob Frege elaborò il progetto di poter costruire tutta la matematica a partire dalla logica, riducendo così la seconda alla prima.

Purtroppo però, dopo anni di studi e pubblicazioni, gli ambiziosi progetti di Frege si infransero contro una lettera di Bertrand Russell in cui il logico matematico inglese demoliva tutto il lavoro di Frege con un solo semplice paradosso mostrando così, con grande dispiacere di tutti, anche di Russel stesso, che la matematica non è riducibile alla logica. Si ripartì con il tentativo di Peano di ridurre tutta la matematica all'aritmetica, e quello di Russell che nei Principia Mathematica risolse i problemi contro i quali si era infranto il sogno di Frege.
La parola definitiva spettò tuttavia al giovanissimo Kurt Gödel, che nel 1931, a soli venticinque anni, pubblicò i suoi celeberrimi teoremi di incompletezza che provavano come nessun sistema logico finitamente assiomatizzabile potesse risolvere dentro di sé tutte le verità della matematica. O detto in altre semplificanti parole, non si possono catturare tutte le verità della matematica a partire da un numero finito di assiomi. Dunque l'idea di Euclide secondo cui a partire da pochi assiomi si possono derivare tutte le verità di un certo sistema risultò non applicabile all'intera matematica. Mentre in seguito si dimostrò (Tarski) che quell'idea continuava ad essere valida per sistemi più deboli, come appunto la Geometria euclidea, ma anche la Logica proposizionale. Invece nel momento in cui si aggiunge l'Aritmetica, così come la intendiamo comunemente, intervengono i teoremi di Gödel a rendere inapplicabile l'idea euclidea.

Ma questo discorso esula un po' dal nostro scopo e meriterebbe sicuramente uno o più capitoli di approfondimento che molto probabilmente saranno presenti tra gli articoli del Carnevale della Matematica numero 26 del 14 giugno 2010.

Per tornare al nostro discorso sulla Logica modale inquadrata nell'ambito logico matematico possiamo partire dalla considerazione che la Logica modale è un'estensione della Logica proposizionale. Qui qualcuno potrebbe chiedersi: e che cos'è la Logica proposizionale?

La Logica proposizionale come la maggior parte dei sistemi di Logica matematica è costituita da una parte sintattica ed una parte semantica.
La parte sintattica è quella che si occupa di definire la corretta struttura delle proposizioni; e nella quale si include di solito anche l'apparato deduttivo che definisce gli assiomi e le regole che consentono di dedurre i teoremi a partire dagli assiomi.
Mentre la parte semantica, che risulta di solito più semplice ed intuitiva, è quella che si occupa di definire il significato dei simboli.
Pertanto, volendo partire da un esempio con la nostra proposizione Maya, indicheremo con:

M la proposizione Maya: "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
B la proposizione del buco nero: "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero"
G la proposizione della guerra nucleare: "Il 20 dicembre 2012 scoppierà una guerra nucleare"

Nella Logica matematica si usa il simbolo "¬" per indicare la negazione di una proposizione. Nel nostro caso pertanto ¬M rappresenterà la proposizione non Maya. I simboli "→" e "∧" rappresentano invece rispettivamente l'implicazione la congiunzione. Ad esempio nel nostro caso:

B → M si tradurrebbe con: se "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero" allora "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
G → M si tradurrebbe con: se "Il 20 dicembre 2012 scoppierà una guerra nucleare" allora "il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
B ∧ G → M si tradurrebbe con: se "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero" e "Il 20 dicembre 2012 scoppierà una guerra nucleare" allora "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"

A questo punto possediamo tre proposizioni composte secondo le regole della sintassi proposizionale:
B → M, G → M e B ∧ G → M. E potremmo trattarle come pure sequenze di simboli prive di significato e manipolarle attraverso le regole di una qualche apparato deduttivo rimanendo così nell'ambito sintattico.
Oppure, come abbiamo fatto qui sopra, potremmo attribuire un significato alle formule e cercare di assegnar loro un valore di verità: cioè capire se esse sono vere o false. E in questo caso ci troveremmo nel dominio della semantica della Logica proposizionale.
Ma come facciamo ad asserire che B → M è vera? Siamo sicuri che l'eventuale buco nero prodotto al CERN inghiottirebbe la Terra? Una domanda simile potremmo porcela per la guerra nucleare (G → M) e per la concomitanza dei due eventi (B ∧ G → M): siamo sicuri che sterminerebbero il genere umano?.

Potremmo considerare ad esempio che a seconda della microscopicità e della instabilità del buco nero o a seconda della violenza e dell'estensione della guerra potrebbero verificarsi esiti diversi. È qui che entra in gioco la Logica modale con la sua semantica, che Saul Kripke definì nel 1959 a soli 19 anni basandosi sul concetto Leibniziano dei mondi possibili.
La semantica di Kripke definisce matematicamente il concetto di mondo possibile e poi definisce una proposizione M come necessariamente vera, in simboli □M, quando essa è vera in tutti i mondi possibili e come possibilmente vera, in simboli ◊M, quando essa è vera in almeno un mondo possibile.
Usando quindi la sintassi e la semantica modali potremmo tornare ad interrogarci sulla verità di

B → M: se "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero" allora "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"

B → M è necessariamente vera?
□(B → M)

Oppure è possibilmente vera?
◊(B → M)

Personalmente propenderei più per la seconda ipotesi, viste le precedenti considerazioni sulla microscopicità e sulla instabilità del buco nero.
In realtà se andiamo poi a leggere la pagina del CERN che parla della sicurezza dell'LHC dovremmo forse concludere che l'evento è impossibile e cioè:
¬◊(B → M)

Che equivale ad affermare la necessita della sua negazione e cioè:
□¬(B → M)

Ho l'impressione che tutto questo discorso potrebbe anche essere stato affrontato sotto una prospettiva probabilistico-bayesiana, ma questo magari lo rimandiamo ad un futuro anniversario di Bayes.

Concludo con:

1. le formule fondamentali per la Logica modale classica:

2. un brevissimo cenno al fatto che esiste anche una Logica modale intuizionista (non classica) che è un'estensione della Logica proposizionale intuizionista, in cui le suddette formule fondamentali non valgono e che alcuni anni fa mi causò diverse notti insonni.

3. la clausola di esonero della responsabilità a scanso di equivoci:

I dialoghi di questi quattro post sono frutto dell'immaginazione dell'autore e sono stati usati solo come espediente narrativo.