Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale? - quarta parte

Nella puntata precedente abbiamo visto che l'idea leibniziana dei mondi possibili ci è stata utile per la comprensione della questione Maya. Ci chiedevamo inoltre che cosa significa che le assiomatizzazioni della Logica modale vennero inquadrate in ambito più logico matematico?

La Logica matematica come disciplina indipendente dalla Logica tradizionale nasce nella seconda metà del XIX secolo. Si parte in qualche modo ancora una volta dalla Logica aristotelica ponendosi però in una prospettiva molto più formale e inquadrando il linguaggio delle Logica in un contesto molto vicino a quello dell'algebra astratta. Questa nuova disciplina parve presto molto adatta per indagare quelle questioni dei fondamenti della Matematica che da qualche tempo turbavano i sonni di alcuni grandi matematici. Tanto che Gottlob Frege elaborò il progetto di poter costruire tutta la matematica a partire dalla logica, riducendo così la seconda alla prima.

Purtroppo però, dopo anni di studi e pubblicazioni, gli ambiziosi progetti di Frege si infransero contro una lettera di Bertrand Russell in cui il logico matematico inglese demoliva tutto il lavoro di Frege con un solo semplice paradosso mostrando così, con grande dispiacere di tutti, anche di Russel stesso, che la matematica non è riducibile alla logica. Si ripartì con il tentativo di Peano di ridurre tutta la matematica all'aritmetica, e quello di Russell che nei Principia Mathematica risolse i problemi contro i quali si era infranto il sogno di Frege.
La parola definitiva spettò tuttavia al giovanissimo Kurt Gödel, che nel 1931, a soli venticinque anni, pubblicò i suoi celeberrimi teoremi di incompletezza che provavano come nessun sistema logico finitamente assiomatizzabile potesse risolvere dentro di sé tutte le verità della matematica. O detto in altre semplificanti parole, non si possono catturare tutte le verità della matematica a partire da un numero finito di assiomi. Dunque l'idea di Euclide secondo cui a partire da pochi assiomi si possono derivare tutte le verità di un certo sistema risultò non applicabile all'intera matematica. Mentre in seguito si dimostrò (Tarski) che quell'idea continuava ad essere valida per sistemi più deboli, come appunto la Geometria euclidea, ma anche la Logica proposizionale. Invece nel momento in cui si aggiunge l'Aritmetica, così come la intendiamo comunemente, intervengono i teoremi di Gödel a rendere inapplicabile l'idea euclidea.

Ma questo discorso esula un po' dal nostro scopo e meriterebbe sicuramente uno o più capitoli di approfondimento che molto probabilmente saranno presenti tra gli articoli del Carnevale della Matematica numero 26 del 14 giugno 2010.

Per tornare al nostro discorso sulla Logica modale inquadrata nell'ambito logico matematico possiamo partire dalla considerazione che la Logica modale è un'estensione della Logica proposizionale. Qui qualcuno potrebbe chiedersi: e che cos'è la Logica proposizionale?

La Logica proposizionale come la maggior parte dei sistemi di Logica matematica è costituita da una parte sintattica ed una parte semantica.
La parte sintattica è quella che si occupa di definire la corretta struttura delle proposizioni; e nella quale si include di solito anche l'apparato deduttivo che definisce gli assiomi e le regole che consentono di dedurre i teoremi a partire dagli assiomi.
Mentre la parte semantica, che risulta di solito più semplice ed intuitiva, è quella che si occupa di definire il significato dei simboli.
Pertanto, volendo partire da un esempio con la nostra proposizione Maya, indicheremo con:

M la proposizione Maya: "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
B la proposizione del buco nero: "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero"
G la proposizione della guerra nucleare: "Il 20 dicembre 2012 scoppierà una guerra nucleare"

Nella Logica matematica si usa il simbolo "¬" per indicare la negazione di una proposizione. Nel nostro caso pertanto ¬M rappresenterà la proposizione non Maya. I simboli "→" e "∧" rappresentano invece rispettivamente l'implicazione la congiunzione. Ad esempio nel nostro caso:

B → M si tradurrebbe con: se "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero" allora "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
G → M si tradurrebbe con: se "Il 20 dicembre 2012 scoppierà una guerra nucleare" allora "il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
B ∧ G → M si tradurrebbe con: se "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero" e "Il 20 dicembre 2012 scoppierà una guerra nucleare" allora "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"

A questo punto possediamo tre proposizioni composte secondo le regole della sintassi proposizionale:
B → M, G → M e B ∧ G → M. E potremmo trattarle come pure sequenze di simboli prive di significato e manipolarle attraverso le regole di una qualche apparato deduttivo rimanendo così nell'ambito sintattico.
Oppure, come abbiamo fatto qui sopra, potremmo attribuire un significato alle formule e cercare di assegnar loro un valore di verità: cioè capire se esse sono vere o false. E in questo caso ci troveremmo nel dominio della semantica della Logica proposizionale.
Ma come facciamo ad asserire che B → M è vera? Siamo sicuri che l'eventuale buco nero prodotto al CERN inghiottirebbe la Terra? Una domanda simile potremmo porcela per la guerra nucleare (G → M) e per la concomitanza dei due eventi (B ∧ G → M): siamo sicuri che sterminerebbero il genere umano?.

Potremmo considerare ad esempio che a seconda della microscopicità e della instabilità del buco nero o a seconda della violenza e dell'estensione della guerra potrebbero verificarsi esiti diversi. È qui che entra in gioco la Logica modale con la sua semantica, che Saul Kripke definì nel 1959 a soli 19 anni basandosi sul concetto Leibniziano dei mondi possibili.
La semantica di Kripke definisce matematicamente il concetto di mondo possibile e poi definisce una proposizione M come necessariamente vera, in simboli □M, quando essa è vera in tutti i mondi possibili e come possibilmente vera, in simboli ◊M, quando essa è vera in almeno un mondo possibile.
Usando quindi la sintassi e la semantica modali potremmo tornare ad interrogarci sulla verità di

B → M: se "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero" allora "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"

B → M è necessariamente vera?
□(B → M)

Oppure è possibilmente vera?
◊(B → M)

Personalmente propenderei più per la seconda ipotesi, viste le precedenti considerazioni sulla microscopicità e sulla instabilità del buco nero.
In realtà se andiamo poi a leggere la pagina del CERN che parla della sicurezza dell'LHC dovremmo forse concludere che l'evento è impossibile e cioè:
¬◊(B → M)

Che equivale ad affermare la necessita della sua negazione e cioè:
□¬(B → M)

Ho l'impressione che tutto questo discorso potrebbe anche essere stato affrontato sotto una prospettiva probabilistico-bayesiana, ma questo magari lo rimandiamo ad un futuro anniversario di Bayes.

Concludo con:

1. le formule fondamentali per la Logica modale classica:

2. un brevissimo cenno al fatto che esiste anche una Logica modale intuizionista (non classica) che è un'estensione della Logica proposizionale intuizionista, in cui le suddette formule fondamentali non valgono e che alcuni anni fa mi causò diverse notti insonni.

3. la clausola di esonero della responsabilità a scanso di equivoci:

I dialoghi di questi quattro post sono frutto dell'immaginazione dell'autore e sono stati usati solo come espediente narrativo.