Verso la matematica moderna: Viète, Magini, Clavius e l'introduzione di nuovi simboli e concetti - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente abbiamo detto che dopo la morte di Maurolico (1575) la geometria non conobbe grossi sviluppi per più di 50 anni e, fino all'arrivo di Cartesio, la matematica si sviluppò in altre aree.

Nell'ultimo quarto del XVI sec. l'Europa occidentale aveva recuperato la maggior parte delle opere matematiche dell'antichità che ci sono pervenute¹; l'algebra degli arabi era stata assimilata e sviluppata sia attraverso la soluzione generale delle equazioni di terzo grado sia attraverso un impiego parziale del simbolismo (1, 2); e la trigonometria era diventata una disciplina autonoma. Boyer¹ afferma che nel periodo tra la fine del '500 e gli inizi del '600 la matematica aveva quasi raggiunto quel livello di maturità che poteva consentire rapidi progressi ma fu necessario un periodo di transizione e, questo passaggio dal Rinascimento al mondo moderno, si realizzò anche attraverso una serie di figure intermedie.

Tuttavia, la figura centrale di questa fase fu il matematico francese François Viète (1540 – 1603), noto anche con il nome latinizzato di Franciscus Vieta. Nato in una famiglia di giuristi, Viète studiò diritto ed esercitò l'avvocatura. A 24 anni diventò precettore di Catherine de Parthenay, a 31 avvocato al parlamento di Parigi e a 33 consigliere al parlamento della Bretagna. Nel 1576 entrò a far parte del servizio del Re: dapprima di Enrico III e poi, nel 1594, di Enrico IV. E sotto quest'ultimo venne incaricato di decifrare i messaggi che gli spagnoli avevano cifrato con una chiave di oltre 500 caratteri. Attività nella quale Viète dimostrò una tale abilità che gli spagnoli lo accusarono di essere in combutta col diavolo.
Nonostante il tempo limitato che poteva dedicare alla matematica a causa dei suoi impegni politici Viète riuscì ad apportare notevoli contributi all'aritmetica, all'algebra, alla trigonometria e alla geometria. Probabilmente la maggior parte di questi vennero prodotti tra il 1564 e il 1568, quando Viète non aveva ancora impegni politici, e tra il 1584 e il 1589, quando Viète venne allontanato dal potere in quanto ugonotto. (Nel 1594 si convertì al cattolicesimo per poter prestare di nuovo servizio per il Re).
Del primo di questi due periodi è l'Harmonicon Coeleste, un testo in cinque libri mai pubblicato ma ancora disponibile come manoscritto (una copia autografa è nella Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze, e un'altra copia di G. Borelli è nella Biblioteca Nazionale Centrale Vittorio Emanuele II di Roma). Nell'Harmonicon Coeleste Viète presentò la sua visione tolemaica del cosmo in quanto egli credeva che l'ipotesi di Copernico non fosse geometricamente valida. Essendo un trattato di astronomia, l'Harmonicon contiene ovviamente anche molta trigonometria.
Nel 1571 Viète pubblicò un'opera di trigonometria, Canon mathematicus, nella quale presentò varie formule sulle funzioni seno e coseno. Questo lavoro costituisce il primo passo avanti della trigonometria dopo i risultati di Copernico e Rheticus. Il Canon, inoltre, fornì un impulso verso l'uso di frazioni decimali in luogo di quelle sessagesimali.

L'uso della virgola decimale vera e propria si attribuisce invece solitamente o a Giovanni Antonio Magini (1555-1617), un astronomo amico di Keplero e concorrente di Galileo alla cattedra di matematica a Bologna, nel suo De planis triangulis; oppure a Christophorus Clavius, meglio noto in Italia come Cristoforo Clavio (1538 – 1612), un gesuita, matematico e astronomo tedesco, anch'esso amico di Keplero e noto soprattutto per il suo contributo alla definizione del calendario gregoriano, in una tavola di seni del 1593. Tuttavia la virgola entrò davvero nell'uso comune soltanto venti anni più tardi grazie sopratutto a Nepero. Ma di questo ci occuperemo in seguito.
Tornando invece a Viète, si può dire che fu l'algebra il campo nel quale egli fornì i contributi più importanti imprimendo a questa disciplina un forte impulso verso l'approccio moderno. Quello che vede l'algebra come una forma di ragionamento astratto e non, com'era accaduto per il periodo arabo fino all'inizio dell'età moderna, come un insieme di artifici per risolvere problemi. Prima di Viète, l'obiettivo principale di questa disciplina era rimasto la ricerca del valore dell'incognita, a quei tempi denominata "la cosa", in un'equazione con coefficienti numerici specifici senza avere alcuno schema generale per rappresentare un'intera classe di equazioni, come, ad esempio, quello attualmente in uso (ax² + bx + c = 0) per rappresentare una qualsiasi equazione di secondo grado. Nella geometria, invece, per mezzo di una figura e di tre lettere si potevano rappresentare tutti i triangoli. Fu qui che Viète introdusse un principio convenzionale tanto semplice quanto rivoluzionario. Usò una vocale per rappresentare l'incognita e una consonante per rappresentare un numero noto introducendo così per la prima volta nell'algebra una netta distinzione tra il concetto di parametro e quello di incognita. A questo punto, usando tutte le notazioni simboliche allora esistenti, sarebbe stato possibile scrivere tutte le equazioni di secondo grado con l'unica formula BA² + CA + D = 0. Ma né Viète né tanto meno altri matematici del tempo ebbero l'intuizione, o forse la possibilità, di elaborare una tale sintesi. L'algebra di allora rimaneva fondamentalmente un'algebra sincopata; infatti, sebbene Viète adottasse i simboli tedeschi per l'addizione e la sottrazione e usasse simboli diversi per parametri e incognite, per il resto usava ancora espressioni verbali e abbreviazioni.
Con Viète si osserva anche una chiara tendenza verso la correlazione tra la nuova algebra e la vecchia geometria di Apollonio. Il matematico francese arrivò a un passo dalla geometria analitica e, se non avesse evitato lo studio geometrico delle equazioni indeterminate, avrebbe potuto scoprire questa disciplina qualche decennio prima di Cartesio.
Anche la sua trigonometria, così come la sua algebra, fu caratterizzata da una accentuata possibilità di generalizzazione e ampiezza di vedute. Così, oltre a essere considerato il fondatore dell'algebra letterale, Viète potrebbe anche essere considerato il padre di quel metodo analitico generalizzato di trattare la trigonometria che a volte viene chiamato goniometria.

Ma oltre a Viète, in quel periodo, molti altri matematici si interessarono alla trigonometria e produssero manuali e compendi. Il termine stesso "trigonometria" fu coniato in quel periodo da Bartholomaeus Pitiscus  (Grünberg, 1561 – Heidelberg, 1613),che lo usò come titolo di un manuale pubblicato nel 1595.

Anche l'invenzione dei logaritmi avvenne in quegli anni, ma di questo parleremo nella prossima puntata che sarà su Nepero, Harriot, Oughtred e Recorde e l'introduzione di altri nuovi simboli.

Puntate precedenti...

Indice della serie

¹ Carl B. Boyer: Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori

La matematica di Francesco Merlo

Francesco Merlo deve aver avuto insegnanti di matematica un po' difficili oppure deve essere stato uno studente con una capacità d'apprendimento piuttosto selettiva. Quando domenica ho sentito il suo commento relativo alla matematica sulla rassegna stampa di radio 3 (puntata completa) sono saltato sulla sedia. Poi, grazie a Peppe Liberti ho trovato anche l'audio di quella chicca. Sentite qua!

"Tutti parlano della matematica, eccetera. Che certo è importantissima, per carità. «Ah, guardate in matematica gli asiatici, eccetera, gli indiani!», beh, non mi pare che l’India sia il primo paese del mondo. Se davvero la matematica fosse così importante tutti questi geni indiani avrebbero portato... E poi: «perché gli italiani non amano la matematica» e anche questa è una cosa... forse perché ce n'è troppa: il numero di telefono, i numeri, il bancomat, il... persino questa si chiama Radio 3, pensi, ciò devo pensare a un numero per identificarla. E il... quando premi un tasto per cercare un disco in macchina è sempre con un numero. E va bè. Comunque..."

Francesco Merlo, Prima Pagina (Radio3) 27.09.2015

Per fortuna lo sventurato non sa ancora che esiste la numerazione di Gödel (e non solo quella) con la quale sarebbe possibile codificare ogni suo articolo in un numero. Anzi si potrebbero addirittura codificare tutti i numeri di Repubblica. O tutta una biblioteca. O tutto il sapere umano che sia mai stato scritto… Aspetta un attimo! Ma questo non è il progetto di Google?! Ahhhh! Il complotto pluto-aritmetico-massonico!

I primi mesi di scuola superiore e la matematica di Gambadilegno

Giorgio Bellini aveva già assistito più volte alla scena in cui il professor Compagnoni, dopo un attacco di tosse spaccapolmoni, apriva la finestra per espellere il grumo di muco bronchiale intriso di nicotina al di fuori delle pareti scrostate dell'edificio scolastico. Ma quel giorno il quattordicenne non credette ai suoi occhi quando vide il grumo finire sul pavimento dell'aula perché il professore non era riuscito ad aprire quella finestra arrugginita.

In quegli anni poteva capitare che l'insegnante di matematica di un istituto professionale per l'industria e l'artigianato della periferia romana fosse un geometra. Ma non nel senso di specialista della disciplina matematica della geometria. Alvaro Compagnoni era uno dei geometri di riferimento di quella circoscrizione romana. Un amico degli amici per cui vent'anni prima: "un posto nel nuovo istituto professionale non si nega a nessuno". Ma Giorgio dopo i primi due mesi di scuola aveva già capito che non era solo una questione di titoli di studio. Infatti, il professore di elettronica Enzo Faggiani, pur non essendo laureato, era un insegnante formidabile: motivato, colto, preparato, affabile, umano e carismatico. L'unico difetto che aveva era la sua personale scala di voti che andava dal 4 al 7. Ma poi, verso la fine dell'anno, Giorgio si sarebbe accorto che, rarissimamente, quando si rispondeva perfettamente e le domande erano difficili, si poteva ottenere anche un 8.

Giorgio Bellini cercò di trovare anche degli attributi adatti a descrivere il professor Compagnoni ma gliene venne in mente solo uno: la suinitudine. Il professore la esprimeva sia fisicamente, pur ricordando molto Pietro Gambadilegno, sia metaforicamente, nei modi. Alvaro Compagnoni arrivava solitamente in classe con un quotidiano e passava, quando andava bene, almeno tre quarti del tempo a leggerlo. Poi dava uno sguardo al registro e a volte spiegava sommariamente qualcosa. Altre volte, in prossimità della fine del quadrimestre, accorgendosi di aver dato pochi voti, interrogava a casaccio oppure improvvisava un improbabile compito in classe.
Un'interrogazione che rimase negli annali della classe fu quella in cui rispedì al banco Antonio De Pedis, un compagno di classe di Giorgio, tra le urla e le bestemmie. Antonio era tra i più studiosi della classe ma era anche molto ansioso. Il fatto di trovarsi di fronte a un insegnante così aggressivo gli aveva paralizzato le attività intellettive e quello stato di panico aveva fatto imbestialire Compagnoni.
Quell'anno Giorgio, facendosi descrivere i programmi da amici che frequentavano altri istituti scolastici, cercò di integrare autonomamente le carenze dell'insegnamento del professor Compagnoni.

Nel secondo anno di scuola superiore la situazione non migliorò. Anzi, per quanto riguarda l'apprendimento della matematica, per Giorgio quell'anno fu peggio del primo. Visto che il professor Compagnoni fu rimpiazzato da un'insegnante con grossi problemi personali. Ma questo Giorgio lo avrebbe capito bene solo qualche anno dopo. In quel momento si univa a, e a volte capeggiava, gli scherzi che andavano a colpire i punti deboli di quell'insegnante. Così, nella successiva estate, Giorgio passò un po' di tempo a colmare le lacune matematiche.

Al terzo anno la situazione cambiò radicalmente. La nuova professoressa, Gianna Colantoni, era una neolaureata in matematica e, dopo meno di un mese di scuola, Giorgio se n'era già letteralmente innamorato. Non che la professoressa fosse dotata di chissà quali bellezze fisiche. Non era come con Graziella Pace, durante le cui lezioni quasi tutta la classe, tranne Giorgio, De Pedis e forse un altro compagno, sceglieva posizioni strategiche per poterle guardare le gambe. No, la Colantoni piaceva solo a Giorgio. Il modo in cui parlava, il modo in cui spiegava, il modo in cui gli sorrideva: tutto gli provocava batticuori e ondate di emozioni. E l'amore per la professoressa si confuse con l'amore per la materia che la Colantoni insegnava con bravura e passione. Giorgio la subissava di domande e alla professoressa la cosa non sembrava dispiacere. Presto le domande cominciarono a sconfinare verso temi che andavano oltre il programma di quell'anno. E quando Giorgio scoprì l'analisi matematica, con quegli affascinanti concetti di limite e di infinito, le domande si moltiplicarono. Tanto che un giorno la Colantoni si presentò in aula con due libri.
- Questi sono i libri di testo su cui ho studiato per il mio primo esame di analisi. Te li regalo - gli disse la professoressa.
Giorgio fu invaso da una gioia incontrollabile che subito cercò di contenere per evitare imbarazzanti prese in giro da parte dei compagni di classe. Quei due libri diventarono subito una specie di feticcio per Giorgio. Li conservava, li sfogliava e li studiava quasi come fossero una parte della mente e del corpo della professoressa.
Anche il professor Baroni, che gli insegnò la geometria analitica e l'analisi matematica durante il quarto e il quinto anno, era molto bravo. Ma quando Giorgio prese la decisione di iscriversi a matematica non fu solo grazie a lui. E quando, sedici anni dopo, vinse un'importante premio per matematici, tra i vari maestri che aveva avuto, quella che ricordò con più affetto fu proprio la professoressa Gianna Colantoni.

Orologi con terne di singole cifre (n-ternologi): il 2, il 3, il 4 e il 9

Nello spirito dell'attuale clima vacanziero, negli ultimi giorni ho avuto una discussione socialmediatica, innescata dall'amico Roberto, sul famoso orologio basato sulla sola cifra del 9. Alla fine la discussione ha prodotto interessanti e divertenti osservazioni che riporto di seguito.

La prima osservazione è stata quella sull'inesattezza del fattoriale dentro la radice invece che fuori per l'ora quinta.
Qualcuno poi ha creduto di aver trovato un'altra inesattezza in quanto "0,999... non sarà mai 1". Invece, dovrebbe essere assodato che 1 e 0,9 periodico siano due diverse rappresentazioni dello stesso numero. Chi non è convinto provi a guardare 0,999...
Gianni Amati ha quindi commentato: Esistono un paio di imprecisioni se così possiamo definirle per un gioco. A parte il fattoriale fuori radice, la regola seguita non scritta è che si vogliono rappresentare i numeri tra 1 e 12 utilizzando esattamente tre volte una sola cifra tra 1 e 9 (in questo caso specifico la cifra 9), e qualsiasi simbolo matematico come operatore o come simbolo di rappresentazione numerica. Questo spiega 3 rappresentato come radice di 9 -9+9 e non come più semplicemente radice di 9 o radice nona della potenza nona di 9 per rappresentare 9. Purtroppo per rappresentare 1 non si è utilizzato tre volte il 9 ma solo due volte, cioè 9/9. Qui avrebbe dovuto rappresentarlo come 1-1+1, usando 1 come .9 periodico. Domanda: se invece del 9 avessimo usato un'altra cifra, ad esempio 4, saremmo stati in grado di ottenere lo stesso orologio seguendo la stessa regola?
A questo punto mi sono messo a cercare le relazioni e, con l'aiuto di Gianni per il 7, il 9 e l'11 ho prodotto il 4-ternologio.

Mi sono quindi posto le seguenti domanda: Ma il gioco riuscirà anche con cifre che non siano rappresentazioni decimali di quadrati? E si potrà trovare una regola generale?
E, in seguito a questa domanda, Gianni ha prodotto le seguenti regole generali: 1 2 5 10 e 11 sono sempre rappresentabili nella stessa forma per qualunque cifra x nel seguente modo.

1 = √x×√x/x
2 = (x+ x)/ x
5 = x/(.x+.x)
10 = √x×√x/.x
11=xx/x
La prima perché 1 elemento neutro rispetto al prodotto. La seconda per la proprietà associativa della somma. La terza anche e per la rappresentazione decimale. La quarta per la proprietà associativa del prodotto e per la rappresentazione decimale. La quinta per i criteri di divisibilità di un intero per 11.
E allora ho ridisegnato il 4-ternologio sostituendo le cifre delle regole generali.

Poi Gianni è riuscito anche a rispondere alla domanda se ci si può riuscire anche con cifre che non siano rappresentazioni decimali di quadrati producendo le formule per il 3-ternologio.

Ci si è cimentati anche con il 2-ternologio arrivando alla conclusione che mancano il 7 e 9. Possiamo quindi formulare la congettura che sia impossibile creare un 2-ternologio. E per gli altri?
Se qualcuno si cimenterà nella produzione di altri n-ternologi o di qualche altra regola ternologica, ci faccia sapere.

Nota post-pubblicazione: Gianni ci fa sapere che anche il 9 si può scrivere con una qualsiasi cifra x come (x-.x)/.x, quindi anche il 3 come sua radice  e quindi anche il 6 come 3!
Ecco quindi la nuova lista da cui mancano ancora 4, 7, 8 e 12:

1 = √x×√x/x
2 = (x+ x)/ x
3 = √((x-.x)/.x)
4 = ?
5 = x/(.x+.x)
6 = (√((x-.x)/.x))!
7 = ?
8 = ?
9 = (x-.x)/.x
10 = √x×√x/.x
11=xx/x
12 = ?

Per il 2-ternologio manca quindi solo il 7. E alla fine una formula per il 7 sono riuscito a trovarla ma solo con l'utilizzo della parte intera: [cot 2]/(2x2)

Con la parte intera però si bara un po' perché tutto diventa molto più semplice. Qualcuno riesce a trovare una 2-ternoformula per il 7 senza usare la parte intera? Se non la si trova, visto che i casi sono finiti, ci si potrebbe cimentare nella dimostrazione dell'impossibilità di trovare il 7 per il 2-ternologio.

Quando i teologi si cimentano con la Logica Matematica

Ho appena letto Sandro Magister arruola Kurt Gödel di .mau. e lo volevo segnalare agli appassionati di logica e/o religione.
Per i curiosi non appassionati riporto questa citazione.

... penso converrete tutti che la moltiplicazione dei pani e dei pesci e il dogma della Trinità non valgono come “proprietà aritmetica di base”, il che significa che il teorema non può semplicemente essere applicato. Quanto al resto, mi sta anche bene che l’intelletto umano possa, voglia e debba uscire dalla natura per trovare le ragioni ultime che cerca nella soprannatura: ma di nuovo tutto questo non vuol dire che Gödel dovette uscire da un sistema logico coerente per dimostrare almeno una proposizione elaborata in quello stesso sistema logico. Gödel non è uscito da nessuna parte né ha “dimostrato” nulla, al più affermava che occorreva aggiungere la proposizione come assioma.