Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - terza parte

 Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   Nota¹ 

«Uhm», annuì Platone.

«Poi, si costruisce il cilindro che passi per il cerchio rosso», disse mostrando il cilindro rosso.

 

 

 

«E, infine, il cerchio giallo viene fatto ruotare in modo da formare questo toro», disse mostrando il toro giallo.



«E ora dovremmo immaginare la presenza contemporanea di questi tre solidi costruiti a partire da quei tre cerchi. I tre solidi si intersecherebbero in quattro punti»². Platone annuì dopo aver riflettuto qualche istante.

«E così il procedimento è finito. Perché prendiamo uno di questi punti d’intersezione, lo proiettiamo sul piano del cerchio rosso, e poi proiettiamo quel nuovo punto sull’asse del cono azzurro.

Ed ecco che il segmento compreso tra il vertice di quel cono e quel secondo nuovo punto sarà proprio il lato del cubo di volume doppio rispetto al cubo iniziale».

Platone lo guardava ammirato ed Eudosso sentiva tutta la gratificazione del momento.

«E la dimostrazione?», chiese Platone.

«La dimostrazione… è un po’ complicata», disse Eudosso dopo un istante di esitazione. «Il maestro ha voluto che ogni allievo la scrivesse. È tutta qui», disse mostrando le tavolette che aveva portato con sé.

Platone ne prese in mano un paio. Erano sette in tutto. Contenevano fitte descrizioni testuali che, a partire dal lato del cubo da raddoppiare, definivano esattamente tutti i passaggi per costruire i tre cerchi, i tre solidi e l’intersezione tra di loro. Nelle altre tavolette seguiva la dimostrazione di come quel punto di intersezione permetteva di costruire il lato del cubo con volume doppio rispetto al cubo costruito sul segmento iniziale.

Eudosso aveva ragione. Quella dimostrazione era tra le più complesse che avesse mai visto.

«È stupefacente!», sussurrò infine Platone. «L’occhio della ragione di Archita è tra i più acuti che io abbia mai conosciuto. Pochi come lui riescono a ricostruire così bene gli oggetti a partire dalle loro ombre». Il giovane lo guardava perplesso.

«Non capisco bene il discorso delle ombre e degli oggetti», disse infine.

«Credi che questo sia un cubo?», chiese Platone indicando la figura di legno che avevano usato poco prima.

«Beh… dire di sì».

«Se fosse un cubo quei dodici spigoli dovrebbero avere tutti esattamente la stessa lunghezza. E tutti quegli angoli dovrebbero essere perfettamente retti», osservò Platone. «Credi che le cose stiano così?» Eudosso lo guardava con le ciglia aggrottate. «Il falegname che lo ha costruito ha usato i suoi strumenti per renderlo il più possibile simile a un cubo», riprese Platone. «Ma se avesse avuto a disposizione strumenti più precisi, non si sarebbe accorto che quei dodici spigoli non hanno tutti esattamente la stessa lunghezza? Non si sarebbe accorto che quegli angoli non sono tutti esattamente retti?». Eudosso annuì dopo qualche istante di riflessione. «Quel pezzo di legno», continuò Platone, «è solo la proiezione dell’ombra del quadrato ideale. È il nostro tentativo di rappresentare qualcosa che non potremo mai produrre materialmente ma che potremo solo contemplare nel mondo delle idee investigandolo attraverso la ragione». Eudosso annuì più convinto. «Tornando, invece, all’aspetto più pratico, relativo al calcolo e alla dimostrazione», proseguì Platone, «una differenza che noto è che nel caso della duplicazione del quadrato si usa solo la figura di partenza più alcuni segmenti tracciati a partire da quella figura. Sono tutte operazioni geometriche che potrebbero essere eseguite usando solo gli strumenti della riga e del compasso. Mentre nel caso del cubo bisogna ricorrere alla costruzione di altre figure piane, di altre figure solide, di intersezioni e proiezioni. Certo, funziona, ma…».

«Ma, cosa?». «Mi chiedo se non esista una dimostrazione così semplice anche per la duplicazione del cubo. Da una parte», cercò d’illustrare meglio all’occhio curioso di Eudosso, «abbiamo tre cerchi, un cono, un cilindro, un toro, intersezioni e proiezioni. Mentre dall’altra», proseguì Platone, «abbiamo solo qualche prolungamento di lato, il tracciamento di quattro diagonali e una semplice dimostrazione. Ecco… mi chiedevo se non esistesse una costruzione più semplice anche per la duplicazione del cubo. Una dimostrazione che si possa produrre usando solo la riga e il compasso». Eudosso continuava a fissarlo assorto. «Beh, comunque grazie per la spiegazione. Questo nostro primo incontro è stato molto fruttuoso. Spero lo siano anche i prossimi», disse infine Platone. Poi si accomiatò.

 

¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

² Con notazione moderna.

 

Recensione de "Il mistero della discesa infinita" su Il Club del Libro

Mi sono appena accorto di una recensione a "Il mistero della discesa infinita" comparsa su Il Club del Libro: 

 Il mistero della discesa infinita - Il Club del Libro 

La riporto anche qui.

In questo libro, presentato come il sequel di Il mistero del suono senza numero, l'autore romanza il pensiero di Zenone di Elea e la sua vita. Da osservare è l'evoluzione, filosofica e personale, dei personaggi all'interno di questo "racconto divulgativo". Lo stile è incalzante, il mistero e la parte teorica si intrecciano al punto da non far notare al lettore la differenza tra filosofia e pratica. Uno dei personaggi più influenti del libro è Apollonia, amica intima di Zenone, che riesce ad aprire una finestra sul femminismo nell'Antica Grecia, rappresentato dalla libertà femminile all'interno della Crotone greca. Inoltre, si possono incontrare anche le critiche che Zenone riceve da parte del giovane Socrate, facendo ragionare il lettore. Dovendo descrivere con una frase il libro, direi che conduce alle conclusioni filosofiche di Zenone con un processo graduale, facendo diventare filosofo anche colui che legge il libro.

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - seconda parte

Continua da Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

«Beh… è difficile spiegarla senza una copia delle figure geometriche… Ma casa mia è dietro l’angolo», aggiunse subito. «Lì ho le copie che il maestro Archita ci ha fatto usare».

Eudosso tornò, poco dopo, carico di oggetti che a stento riusciva a trasportare. Diverse tavolette erano serrate sotto l’ascella destra, alcuni sottili dischi di legno colorato sotto l’altra ascella e le mani stringevano altre figure di legno, anch’esse colorate. Alcuni passanti li guardarono incuriositi.

«Spostiamoci verso quell’angolo un po’ più in disparte», lo esortò Platone.

Raggiunto il luogo più nascosto il giovane lasciò cadere tutto il materiale a terra. «Immaginiamo che questo sia il cubo che vogliamo duplicare», cominciò dopo aver recuperato la figura. «Il primo passo della costruzione consiste nel formare tre cerchi il cui raggio corrisponda alla lunghezza del lato del cubo», proseguì poggiando il cubo sul disco rosso per mostrare l’equivalenza.

Nota¹ 

«Poi dovremo disporre i tre cerchi sui tre piani individuati da tre delle facce adiacenti del cubo».

Per mostrare la disposizione Eudosso chiese a Platone di tenere il cubo con una mano in modo tale che una faccia fosse parallela al terreno, e il cerchio rosso con l’altra mano, anch’esso orientato parallelamente al terreno. Poi lui dispose gli altri due cerchi, uno azzurro e uno giallo, vicino al primo ma li orientò verticalmente rispetto a quello e in modo che fossero perpendicolari tra di loro.

«Adesso, usando l’immaginazione», riprese Eudosso con fare saccente, «dovremmo raffigurarci che questi tre cerchi si avvicinino l’un l’altro fino a sovrapporsi, in modo che ogni circonferenza abbia solo due punti d’intersezione con ognuna delle altre».



«Ho capito», disse immediatamente Platone un po’ infastidito.

«Adesso entrano in gioco questi altri solidi», continuò il giovane indicando le tre figure rimanenti. «Dovremmo immaginare che questo cono circolare», proseguì prendendo la corrispondente figura di legno colorata d’azzurro, «sia quello avente vertice nel punto di intersezione tra la circonferenza rossa e quella gialla e passante per il cerchio azzurro».

   

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¹ Grazie di cuore all'amico Sebastian Abbott per aver prodotto le ottime immagini. 

L’influenza del bel canto operistico sugli inizi della musica pop americana

“Il punto di partenza di Sinatra, come di molti altri cantanti di quella prima generazione a cui dobbiamo riferire l’invenzione della musica pop, sono i grandi tenori operistici come Caruso. Il mondo del canto americano era pervaso da questa tradizione belcantistica. E Sinatra, e un po’ prima Bing Crosby, si inseriscono proprio in quest’area: attuando una mediazione apparentemente impossibile ma invece molto ben riuscita riescono a fondere lo stile tradizionale del bel canto operistico con la vocalità della musica afro americana – blues e  jazz. Coniugando questi due generi, apparentemente molto diversi, attraverso l’innovazione tecnologica del microfono riescono a creare il nuovo stile degli inizi della musica pop“.

https://www.raiplaysound.it/audio/2024/06/Momus-Il-caffe-dellOpera-del-08062024-a014c229-7ac7-47fb-aeea-61f5bf1016f3.html

Archita, Platone, Eudosso e la duplicazione del cubo - prima parte

Il giovane fissava il maestro riflettendo sulle sue parole. Aveva già sentito critiche rivolte al sistema democratico, ma mai sostenute da argomentazioni così convincenti.

«Comunque», fece Platone voltandosi verso Eudosso e interrompendo quel flusso di pensieri, «parlavo dell’importanza della matematica. Durante questo soggiorno a Taranto, vivendo a stretto contatto con voi e immergendomi negli insegnamenti della scuola pitagorica di Archita, mi sono convinto che la natura stessa del numero e degli enti geometrici è un faro che illumina la strada della comprensione della realtà. Numeri e figure geometriche esistono nel mondo delle idee, mentre nel mondo reale vediamo solo la proiezione delle loro ombre. Ma, numeri ed enti geometrici non sono meno reali di ciò che vediamo e tocchiamo. Anzi, sono sempre più convinto che la vera realtà risieda proprio nel mondo delle idee, quella che si può vedere solo con l’occhio della ragione, come sostenevano anche Parmenide e Zenone».

Eudosso lo guardava vagamente confuso. Frattanto avevano raggiunto l’avvallamento che precedeva la lieve salita verso la penisoletta dell’acropoli. Alcuni uomini stavano trasportando un’imbarcazione leggera da una sponda all’altra della penisola.

«Tuttavia…», Platone sembrava cercare le parole giuste, «abbiamo appena parlato degli aspetti teorici dei numeri e della geometria, ma per quelli più… pratici. Mi riferisco ai calcoli, ai metodi di manipolazione geometrica, alle tecniche di dimostrazione», Eudosso lo fissava dubbioso.

«Ecco, per quegli aspetti… credo che sarebbe opportuno…», il maestro parlava con frammentata cautela, stentando ad arrivare alla conclusione. Forse era ancora in dubbio. Non sarebbe stato più saggio parlarne con Archita? Ma forse non voleva rivelare così apertamente la sua ignoranza proprio al maestro. «Penso che le tue competenze mi sarebbero molto utili». Gli occhi del giovane s’illuminarono. «Vorrei dunque proporti una serie di incontri per discutere di quei temi».

«Ma sì, certo!». Eudosso faticava a trattenere l’entusiasmo. «Anzi, possiamo cominciare subito. Sono a vostra completa disposizione».

«Beh … Ci sarebbe…», tentennò Platone mentre i suoi occhi fissavano le colonne del tempio di Poseidone. Alcuni fedeli stavano assistendo a una cerimonia davanti all’altare esterno. «Vedi, Eudosso», riprese, «ci sono metodi, come quello per la duplicazione del quadrato, che sono facili da comprendere e da riprodurre. Lo si fa semplicemente tracciando linee aggiuntive a partire dal quadrato che si vuole duplicare. Invece… Per la duplicazione del cubo… So che ci sono vari metodi…».

  
«Ah, conosco bene la duplicazione del cubo», replicò subito il giovane. «Il maestro Archita ha preteso che la studiassimo a fondo. Anche perché… la vera soluzione è sua. Quella di Ippocrate è insufficiente perché semplifica il problema ma non lo risolve», sentenziò sistemandosi il chitone sulle spalle. Era un gesto tipico di Archita che il giovane aveva fatto suo. Lo usava, più o meno inconsapevolmente, quando si atteggiava a maestro. «Allora, il problema della duplicazione del cubo», proseguì, «è nato da una richiesta del dio Apollo. La città di Delo era stata colpita dalla peste e i suoi abitanti si radunarono a pregare intorno all’altare a lui dedicato per chiedere di esserne liberati. Attraverso il suo oracolo il dio disse che avrebbe sconfitto la peste se loro avessero raddoppiato l’altare. E, stupidamente,…»

«…loro raddoppiarono il lato dell’altare esistente, che era di forma cubica, ottenendo un altare otto volte più grande», lo interruppe Platone. «Sì, lo sappiamo».

«Ehm…», fece Eudosso. «Sì, lo si sa», ripeté un po’ frustrato. «Dicevo quindi che la soluzione di Ippocrate è insufficiente perché non fa altro che ridurre un problema di geometria dei cubi a un problema di geometria dei triangoli ma il calcolo rimane insolubile. Invece il mio maestro Archita ha trovato la soluzione concreta e non solo teorica, come quella di Ippocrate», sorrise riprendendosi dalla frustrazione.

«E… quale sarebbe questa soluzione concreta?», chiese Platone con circospezione.

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Maieutica e duplicazione del quadrato - terza parte

 Continua da Pitagora e dintorni: Maieutica e duplicazione del quadrato - seconda parte

Atene, gennaio 386 a.C.

«Allora», riprese Teeteto, «proviamo a disegnare daccapo questi quattro quadrati», disse mentre tracciava una copia semplificata del precedente schema. «E ora aggiungiamo quattro linee da angolo ad angolo di ognuno dei quattro quadrati piccoli».

«Adesso dimmi: queste quattro linee non tagliano in due ognuna di queste quattro aree?».

«Sì, mi sembra che le tagliano in due».

«E questi quattro lati uguali che figura formano?», chiese Teeteto mentre muoveva il bastoncino circolarmente lungo il perimetro della nuova figura interna.

«Non capisco la domanda, signore».

«Non si chiama quadrato la figura con quattro lati uguali?».

«Certo, signore».

«Quanto è grande, allora, l’area di questo quadrato interno?».

«Non lo so», scosse la testa Menone.

«Rifletti», lo spronò Teeteto. «Non abbiamo detto che ogni linea ha diviso a metà questi quattro quadrati piccoli?».

«Sì».

«Ricordi quanto misurava l’area di quei quadrati piccoli, che poi erano una copia del quadrato iniziale?».

«Quattro piedi, signore».

«Quanto misureranno, dunque, quelle metà?».

«Due piedi».

«E quante di queste metà riempiono l’interno di questo nuovo quadrato obliquo?».

«Quattro, signore».

«L’area di quel quadrato non misurerà allora quattro volte due piedi?».

«Certo… otto piedi… ma allora è questo!», gridò Menone dopo averci pensato un istante. «È questo il quadrato di area doppia che cercavamo!», esultò guardando gioioso Teeteto ed Eudosso.

Come uno specchio deformante, il volto di Teeteto trasformò il sorriso d’entusiasmo in un ghigno di rivalsa e lo proiettò verso Eudosso.

«Sapresti indicarmi qual è il lato di quel quadrato?», intervenne Platone.

«Questo, signore», rispose Menone avvicinando il dito a una delle quattro linee oblique.

«Cioè la linea tesa da angolo ad angolo dell’area di quattro piedi?».

«Sì, quella».

«Sappi che quella linea si chiama diagonale del quadrato. Dunque abbiamo appurato che la diagonale di un quadrato genera un quadrato di area doppia rispetto al quadrato iniziale, giusto?».

«Giusto».

«Ora dimmi se non abbiamo assistito a un prodigio», chiese Platone rivolgendosi a Eudosso. «Trovi che qualche opinione espressa da Menone non fosse sua?».

«No», rispose Eudosso, «ma…».

«Ma?», replicò Teeteto con un tono di sfida.

«Sei stato tu a tracciare le diagonali. Lui, da solo, non ci sarebbe mai arrivato».

«Questa è l'arte della maieutica!», sentenziò Platone. «Prevede la presenza di una guida. O, come preferiva dire Socrate, di una levatrice che agevoli la rinascita delle idee che giacciono dormienti nel profondo dell’anima. L’anima è immortale e rinasce più volte. E nel suo lungo ciclo di reincarnazioni ha già visto tutto, sia nel mondo dei vivi sia nell’Ade. E non c’è niente che essa non abbia già imparato. Non dovremmo dunque meravigliarci se è capace di ricordare ciò che già sapeva». Eudosso contemplava il maestro. Ora la sua barba era quasi totalmente imbiancata dai fiocchi di neve che cadevano più intensi. «Il metodo di Socrate prevede domande e risposte tra maestro e allievo, e procede per eliminazione delle risposte contraddittorie o irragionevoli. E può far anche emergere l’infondatezza di verità che diamo per scontate, declassificandole al loro vero ruolo di opinioni. È così che l'allievo viene indotto ad accorgersi della propria ignoranza e a discernere le verità dalle false presunzioni».

«Sì, ma le diagonali…», ribadì Eudosso con gli occhi che tradivano un barlume di incertezza.

«Il suggerimento di Teeteto sulle diagonali rientra perfettamente nel metodo della maieutica», dichiarò Platone apodittico.

Il giovane tacque. Osservò un nuovo scambio di sguardi tra Platone e Teeteto. Si rese conto che non era più il caso di insistere su quella linea.

«Ho capito», disse infine abbassando la testa.

«Bene», disse il maestro scrollandosi un po’ di neve dalla barba. «Credo che sia arrivato il momento di rientrare a casa».

In quel momento Eudosso non immaginava quanto quella conversazione avrebbe influenzato il suo futuro.

Maieutica e duplicazione del quadrato - seconda parte

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Atene, gennaio 386 a.C.

...«E ora sta’ a vedere come ricorderà le cose che deve ricordare», disse Teeteto in tono di sfida. «Dimmi, Menone», riprese, «tu dici che dal lato doppio si genera l’area doppia, ma avere il lato doppio non significa che raddoppiamo solo uno dei quattro lati, significa che li raddoppiamo tutti e quattro, perché la figura risultante dovrà essere ancora un quadrato. Pensaci bene, a tuo parere, l’area di otto piedi risulterà dal lato di quattro piedi?».

«A me…», rispose Menone dopo qualche istante «sembra così», concluse sempre più intimorito mentre Eudosso reprimeva una risata sotto lo sguardo severo di Platone.

«Allora», fece Teeteto paziente aspirando profondamente, «aggiungiamo una linea della stessa lunghezza del lato a partire da qui», continuò mentre tracciava la linea a partire da un vertice del quadrato.

«Che lunghezza avrà la linea risultante formata dalle due linee?»

«Beh, il doppio»

«Bravo», disse Teeteto. Un lieve sorriso allentò un po’ di tensione dal volto di Menone. «Dunque è dal quadrato che ha questa linea per lato che tu pensi risulterà l’area di otto piedi?», chiese Teeteto muovendo il bastoncino lungo il lato raddoppiato.

«A me… pare così», confermò il ragazzo di nuovo titubante.

L’occhiata preventiva di Platone frenò ogni possibile espressione di Eudosso.

«Tracciamo dunque quattro lati uguali a partire dal lato raddoppiato», disse Teeteto disegnando il quadrato di lato quattro piedi.

«Sarebbe questa l’area che tu dici essere di otto piedi?»

«Credo di sì».

«E vedi che quest’area è composta da questi quattro quadrati, ognuno dei quali è uguale a quello iniziale di area quattro piedi?», chiese Teeteto raddoppiando anche gli altri due lati del quadrato piccolo.

«Sì, lo vedo».

«Dunque l’area totale non è il quadruplo di quella iniziale?».

«Sicuramente!».

«Ma prima avevi detto che quest’area era il suo doppio. Allora il doppio è uguale al quadruplo?».

«No, per Zeus! Mi sbagliavo», si affrettò a dire Menone. «È il quadruplo non il doppio». Il volto di Eudosso si contrasse.

«Quindi abbiamo appurato che dal lato doppio risulta un’area non doppia ma quadrupla», sottolineò Teeteto lanciando uno ghigno verso Eudosso.

«È vero!», ammise il ragazzo rincuorato.

«E quattro volte quattro fa sedici, no?», continuò Teeteto.

«Sì».

«Ma allora, da quale lato risulta, invece, un’area di otto piedi?» Menone lo guardava pensoso. «Non risulterà da un lato maggiore di questo e da un lato minore di quest’altro?», chiese Teeteto passando il bastoncino sul lato di due piedi e poi su quello di quattro.

«Beh… mi sembra di sì».

«E quindi non è vero che l’area di otto piedi dovrà essere compresa tra queste due aree?», incalzò Teeteto muovendo il bastoncino sul primo quadrato piccolo e poi su quello grande.

«Certo che è vero!», rispose convinto il ragazzo.

«Prova, allora, a dire quanto potrebbe essere lungo il lato di quel quadrato», lo sollecitò.

«Uhm», fece Menone. «Forse tre piedi?».

Eudosso scosse la testa. “Non troverà mai la risposta giusta “, pensò. Ma, visto l’atteggiamento del maestro, si guardò bene dall’esprimere quel pensiero.

«Allora», sospirò Teeteto. «Se quel lato fosse di tre piedi, lo costruiremmo aggiungendo un piede al lato di due piedi, giusto?».

«Giusto».

Teeteto tracciò una linea più marcata lunga tre piedi, scrisse un tre e costruì il corrispondente quadrato.

«Ah!» esclamò Menone schiaffeggiandosi la fronte. «Quel lato non può essere lungo tre piedi, perché l’area del quadrato che avete tracciato misura tre volte tre. Quindi nove e non otto».

Teeteto lanciò un nuovo sorrisino in direzione di Eudosso.

«Ma quanto misura allora questo maledetto lato!», starnazzò Eudosso spazientito.

«Non lo so, per Zeus! Non lo so!», fece Menone sconfortato. «Fa freddo! Lasciatemi tornare al lavoro».

«Calma, non scoraggiarti», disse Teeteto mentre Platone rimproverava nuovamente Eudosso.

«Vedi Eudosso», aggiunse poi Platone, «quanto stiamo osservando è un percorso in cui il giovane Menone acquista man mano la consapevolezza di ciò che crede di sapere e ciò che crede di non sapere e, al contempo, si riconnette con i suoi ricordi». La neve ricominciò a scendere rada dal cielo e qualche fiocco si posò sulla barba del maestro amplificandone le striature bianche.

«Uhm», muggì l’allievo.

«Non credi che abbia fatto progressi nel passare tra il pensare di sapere quale sia la lunghezza del lato di un quadrato di otto piedi di area ed essere consapevole di non saperlo?».

«Sì», ammise Eudosso.

«Allora», riprese Teeteto, «proviamo a disegnare daccapo questi quattro quadrati», disse mentre tracciava una copia semplificata del precedente schema. «E ora aggiungiamo quattro linee da angolo ad angolo di ognuno dei quattro quadrati piccoli».

Continua …

Il mistero della discesa infinita a Palermo

Pubblico qualche foto della presentazione palermitana de Il mistero della discesa infinita in collaborazione con Luigi Menna nell'ambito della manifestazione Esperienza inSegna - manifestazione scientifica organizzata da Palermo Scienza.

 

Coinvolgere e incoraggiare studenti è una delle esperienze più gratificanti.

E quella con gli studenti del liceo musicale di Palermo è stata tra le più gratificanti. Grazie a Luigi Menna e  Palermo Scienza.

Maieutica e duplicazione del quadrato - prima parte

 

Atene, gennaio 386 a.C.

Quel mattino Eudosso si svegliò con una strana sensazione. Era quel freddo intenso che lo inquietava? O forse quel silenzio assoluto? Non sentiva il solito scalpitio che saliva dalla strada. A un tratto percepì grida lontane. Sembravano bambini. Apri la finestra e rimase senza fiato. Tutto era bianco. La strada, le case, gli alberi. Da alcuni tetti pendevano strane formazioni, come coni capovolti di un colore bianco semitrasparente. Deve essere la neve! “Dev'essere la neve!”, pensò. Lui non l’aveva mai vista. Ma gliene aveva parlato sua madre. L’ultima volta era caduta a Cnido prima che lui nascesse. Indossò velocemente chitone e imatio, e scese in strada.

…

Quel giorno, durante la lezione, Platone aveva chiesto a Eudosso di mostrare agli altri come costruire un quadrato di area doppia rispetto a un quadrato dato.

«È semplicissimo», aveva esordito il giovane. E si era immerso nei passi della costruzione mostrando molta destrezza con la matematica ma non altrettanta con la chiarezza dell’esposizione. Alla fine Eudosso parve compiaciuto nel vedere espressioni di smarrimento nella maggior parte degli scolari. Sembrava assaporare con gusto quel momento. Era una rivalsa sulle insolenze subite. Ma osservò anche uno scambio di occhiate tra Platone e Teeteto.

Mentre gli scolari defluivano dall’aula Teeteto lo raggiunse.

«Vogliamo fare un po’ di strada insieme?».

«Volentieri», rispose Eudosso ancora euforico.

«Mi unirò anch’io», disse Platone mentre i due giovani si incamminavano.

La neve aveva smesso di cadere e le nuvole, un po’ diradate, lasciavano filtrare a tratti flebili raggi di sole attraverso il cielo. Infastidito dal gioco mutevole di luce e riflessi, Eudosso volse lo sguardo verso la zona meno abbagliante e notò che il piazzale di fronte alla scuola era ormai quasi completamente sgombro. La maggior parte degli schiavi si stava concedendo una pausa e solo alcuni dei più giovani erano rimasti a lavorare.

«Non credo che molti abbiano capito la mia spiegazione», fece Eudosso con un ghigno.

Di nuovo quello scambio di sguardi.

«Vedi Eudosso…», esordì Teeteto con un’espressione severa, «il compianto maestro Socrate ci ha insegnato che il buon filosofo comunica il proprio pensiero in modo chiaro e comprensibile. Anzi», sottolineò con enfasi, «Socrate si è spinto oltre, affermando che non dovremmo neppure spiegare il nostro pensiero. Lui non si riteneva un sapiente, non pensava di avere una verità da trasmettere agli altri né di essere in grado di insegnare qualcosa. Ma credeva di avere la capacità di aiutare gli allievi a far riemergere la loro sapienza inconsapevole», disse scandendo l’ultima parola. «Il maestro amava usare la metafora della levatrice, visto che sua madre era una di esse. “Così come le levatrici aiutano le donne a dar luce al frutto della loro procreazione, io assisto le anime degli scolari a partorire idee fertili”, diceva. E per onorare quel parallelo chiamò maieutica quel suo metodo per far affiorare la verità dai suoi scolari inconsapevoli»

«Non ho capito. Socrate non si riteneva sapiente?! E se non lo era lui, chi può esserlo?!»

«Eppure lui ne era convinto. E noi dovremmo trarne insegnamento», disse Teeteto con foga.

«Socrate diceva di non essere sapiente e di non essere stato capace di partorire nessuna scoperta», intervenne Platone con tono pacato, forse per stemperare gli animi. «Ma aggiungeva che, chi lo frequentava, anche se incolto, ne traeva giovamenti sorprendenti, scoprendo cose straordinarie che prima non avrebbe neppure immaginato».

«Capisco», fece Eudosso conciliante, «ma non mi è chiaro che significhi far riemergere la sapienza inconsapevole».

«Significa che chiunque, se ben guidato, può arrivare a ricostruire conoscenze anche complesse!», disse Teeteto. «Significa che anche quel giovane servitore, ricevendo l’orientamento necessario, sarebbe in grado di ricostruire la duplicazione del quadrato!», sottolineò con enfasi mentre indicava uno dei giovani intenti a spalare la neve.

«Impossibile!», sbraitò Eudosso diffondendo una piccola nube di fiato condensato innanzi a sé.

«Vogliamo provare?», lo sfidò Teeteto.

«Ma è inutile provare! Non ci riuscirebbe mai!»

«Vedo che hai paura di perdere»

«No, è che non voglio vincere in modo troppo facile… ma se proprio ci tieni…»

Teeteto si precipitò a prelevare il giovane mentre Platone continuava a osservare in silenzio la scena. Sembrava sorpreso e un po’ divertito da tanta passione giovanile. Frattanto le nubi avevano ricominciato a ispessirsi.

«Come ti chiami?», chiese Teeteto.

«Menone, signore».

«Spostiamoci lì dove c’è ancora neve fresca», li invitò Teeteto mentre raccoglieva un bastoncino sufficientemente dritto.

«Ascolta, Menone, sai che un’area quadrata è fatta così?», cominciò mentre tracciava un quadrato sulla neve. «È un’area quadrangolare delimitata da quattro linee uguali».

«Sì, lo so»

«Se dunque questo lato fosse di due piedi e di due piedi questo, quanti piedi misurerebbe l’area?», disse mentre aggiungeva il numero vicino a uno dei lati.

«Quattro, signore».

«E non potrebbe esistere un quadrato con un’area che sia il doppio di questa?»

«Sì, certo».

«Quanti piedi misurerebbe?»

«Otto, signore».

«Bene, ora stai molto attento, prova a dirmi quanto sarebbe la lunghezza del lato di quel quadrato con area di otto piedi. Il lato di questa è di due piedi: quanto sarà il lato di quell’area doppia?»

«Beh, signore, sarà il doppio».

Eudosso scoppiò in una fragorosa risata. «Lato di quattro piedi e area di otto piedi!», disse mentre continuava a ridere dimenandosi e agitando le braccia. Alcuni schiavi in lontananza si voltarono a guardare il gruppetto.

«Non badare a lui», disse Teeteto rassicurante mentre il giovane Menone guardava Eudosso intimorito. «Ma rifletti ancora sulla mia domanda. Quanto sarà la lunghezza di ogni lato di quell’area di otto piedi? Il lato di quest’area di quattro piedi è di due piedi», disse muovendo il bastoncino sul quadrato tracciato nella neve, «quanto sarà il lato di quell’area doppia?»

«Beh», fece Menone esitante, «a me sembra proprio il doppio».

Eudosso riprese a ridere ancor più rumorosamente. Stavolta si voltarono anche alcuni scolari.

«Eudosso», intervenne Platone, «cerca di contenere il tuo sarcasmo». Il giovane a abbassò gli occhi. «Teeteto sta cercando di usare il metodo della maieutica», continuò il maestro. «Si limita a guidare Menone ponendogli domande per far riemergere la sua conoscenza, senza insegnargli nulla direttamente». Eudosso rialzò lo sguardo verso il maestro. «Abbiamo appena visto che Menone pensa di sapere quale sia la lunghezza del lato di un quadrato di otto piedi di area, giusto?».

«Giusto», ammise Eudosso incupito.

«E dunque, se pensa di saperlo credi che lo sappia davvero?».

«Non credo», disse l’allievo un po’ rinvigorito.

«E ora sta’ a vedere come ricorderà le cose che deve ricordare», disse Teeteto in tono di sfida.

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Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − quarta parte − spazio e tempo sono densi? - Weierstrass e Russell

Segue da Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − terza parte − Bertrand Russell: spazio e tempo sono infinitamente divisibili?

Come già scritto, il libro I paradossi di Zenone di Vincenzo Fano è stato fondamentale nel percorso di ricerca per il mio terzo libro, Il mistero della discesa infinita. Oltre ai già citati Giovanni Cerri e Gustavo E. Romero, l'opera di Fano è stata una risorsa di inestimabile valore, svolgendo un ruolo chiave nell'approfondimento del pensiero di Zenone in relazione al moderno pensiero scientifico, matematico e filosofico.

Qui continuerò la sintesi delle premesse di Fano per affrontare le interpretazioni di Bertrand Russell del paradosso della dicotomia (che si basano sui risultati dei matematici Cantor, Dedekind, Weierstrass e Peano).

Dicevamo che, dopo aver mostrato come Brouwer affronta matematicamente la questione già sottolineata da Aristotele, e cioè che un insieme di elementi discreti non può rappresentare il continuo geometrico o intuitivo, Fano analizza uno dei dilemmi che sono alla base di almeno due dei paradossi di Zenone. Se lo spazio fisico sia o no un insieme denso di punti.

Fano cita un'idea di Grünbaum (Modern Science and Zeno's Paradoxes, p. 44), secondo cui, quando si propone un ipotesi matematicamente esatta sulla natura di un oggetto reale, è opportuno confrontare tale ipotesi con la percezione. Infatti, anche se la percezione è parzialmente illusoria, essa è la prima nostra fonte di conoscenza e quindi va rispettata.
Tuttavia, un continuo spaziale percepito, come ad esempio un tratto di matita nera su un foglio bianco, non viene colto come un insieme denso di punti. Certo possiamo definire in esso dei minimi percepibili, considerando che la percezione visiva spaziale possiede una soglia.
Quindi potremmo anche dire che esso è in potenza formato da un insieme finito e discreto di minimi percepibili. Ma tali minimi non risultano evidenti. Possiamo quindi affermare, con Grünbaum, che la percezione non testimonia contro l'affermazione che lo spazio sia composto da un insieme denso di punti, sebbene non testimoni neanche a favore di questa tesi.

L'argomento più forte a favore del fatto che lo spazio fisico sia composto da un insieme denso di punti, afferma poi Fano, è, invece, il successo delle attuali teorie fisiche: 

meccanica classica, meccanica quantistica, relatività ristretta e generale, elettromagnetismo, elettrodinamica quantistica e modello standard. Tutte queste teorie presuppongono uno spazio fisico denso, per cui, se abbracciamo una forma di realismo scientifico, anche moderato, arriviamo alla conclusione che, per quanto ne sappiamo, lo spazio fisico è denso. Il realismo scientifico moderato, infatti, afferma che le migliori spiegazioni di un dato dominio di oggetti sono almeno in parte vere anche riguardo a ciò che non è osservabile. Dunque è ragionevole supporre che lo spazio fisico sia effettivamente denso.

La densità del tempo 
Ma una tale supposizione può essere valida pure per il tempo? In "I paradossi di Zenone − seconda parte − I contributi di Aristotele al paradosso della dicotomia" abbiamo visto che la soluzione aristotelica del paradosso si basava sull'infinità divisibilità del tempo.

Così come per il caso dello spazio, Fano prende in considerazione un esempio concreto. Per lo spazio aveva considerato un tratto di matita e per il tempo considera una palla che si muove su di un tavolo da biliardo. 
Ora non abbiamo più un oggetto statico come il tratto di matita ma un oggetto in movimento.

Fano considera le due diverse concezioni del movimento: la cosiddetta teoria at-at, solitamente attribuita a Bertrand Russell, per cui essere in movimento significa “essere in luoghi diversi in istanti diversi”. E quella aristotelica, secondo la quale il movimento è "l’atto di ciò che è in potenza in quanto in potenza" (Fisica, 201a: 10-11 e 201b, 4-5).

La prima è una teoria precisa e, di fatto, accettata dalla maggior parte degli studiosi. Tuttavia è non solo poco intuitiva, ma anche problematica, perché implica, come si vedrà, una radicale forma di indeterminismo. La seconda, invece, è oscura, ma rende certamente meglio l'idea del movimento come qualcosa di non rappresentabile in modo completo nello spazio e nel tempo.

Per fare un esempio, la teoria at-at afferma che se Gianna alle 15:20 è in camera sua e alle 15.21 è in cucina, allora si è mossa. Per Bergson (1889, pp. 64 70) questo non è il movimento, ma "il già mosso"; cioè un fatto compiuto. In effetti, se Gianna sparisse dalla sua stanza alle 15:20 e ricomparisse in cucina alle 15:21 non potremmo dire che fra le 15:20 e le 15:21 si stava muovendo, possiamo al massimo dire che si è mossa, cioè che non è più nello stesso luogo.

Per Aristotele, invece, il movimento implica necessariamente un'analisi ontologica in termini di ciò che è attuale e di ciò che è potenziale. In prima approssimazione potremmo dire che il movimento è l’attualità di una potenzialità. Ad esempio, Gianna nella sua camera porrebbe andare in cucina, e fra le 15.20 e le 15.21 realizza questa possibilità. Se questa fosse stata la definizione aristotelica di movimento, di nuovo faremmo confusione con il già mosso, cioè il passaggio dalla potenza all'atto sarebbe solo un modo ontologicamente diverso di descrivere qualcosa di simile a quello che racconta la teoria at-at. È forse per questa ragione che Aristotele aggiunge quella strana postilla: il movimento è l'attualità di una potenzialità in quanto in potenza. Infatti quel "in quanto in potenza" sta a indicare che non stiamo parlando di '"già mosso", ma di movimento, cioè questo passaggio deve contenere in sé ancora potenzialità, ossia deve essere qualcosa di incompleto (Brentano, 1862, pp. 52 ss.; Kostman, 1987; Ross, 1936, p.-dl.).
Tutto ciò è molto interessante, ma irrimediabilmente impreciso.

Fano propone quindi un miglioramento della teoria at-at del movimento dicendo che la palla da biliardo è in moto in un certo istante se, preso un lasso di tempo Δtε piccolo a piacere, che comprenda t, in istanti diversi di Δtε essa si trova in luoghi diversi. In pratica, affinché ci sia movimento, deve esserci continuità del moto. In questo modo, usando una procedura ispirata al metodo rigoroso di Weierstrass, abbiamo reso un po’ più intuitiva la teoria at-at. Infatti per affermare che la palla si muova nel lasso di tempo Δtε è necessario che si muova in tutti gli istanti che appartengono a Δt.
Vedremo che questa definizione lascia dei problemi aperti, però è probabilmente il meglio che siamo riusciti a fare a tutt’oggi, grazie al genio di Weierstrass.

Secondo molti autori (Whitehead e Grünbaum), tuttavia, il tempo percepito, a differenza dello spazio, sarebbe discontinuo.

Ma secondo Fano sembra più naturale affermare che, così come nel caso dello spazio, la continuità o discontinuità della temporalità dipenda dalla struttura percettiva di ciò che stiamo percependo: cioè se percepiamo il movimento della palla da biliardo la sua temporalità sarà continua mentre se stiamo percependo il battito del nostro cuore la temporalità sarà discontinua.
Questa tesi è confermata anche dai più recenti studi di psicologia cognitiva(Fingelkurts 2006). Inoltre, anche in questo caso le migliori teorie fisiche presuppongono che il tempo sia denso; perciò abbiamo buone ragioni per ritenerlo tale.

Fano conclude quindi che, una volta accertata la densità dello spazio, siamo naturalmente portati ad assumere anche quella del tempo.

L'autore si immerge quindi nella problema considerando la spazializzazione e la misurabilità del tempo. Questioni che affronteremo nella prossima puntata.

Recensione de "Il mistero della discesa infinita" sul sito di divulgazione matematica Maddmaths!

Il sito di divulgazione matematica Maddmaths! ha pubblicato una recensione de "Il mistero della discesa infinita": Letture Matematiche: Il mistero della discesa infinita, Flavio Ubaldini - Maddmaths! (simai.eu)

La riporto anche qui.

Brevi consigli per letture matematiche. “Il mistero della discesa infinita – Zenone e gli atomi della discordia” di Flavio Ubaldini, consigliato da Marco Menale.

Il paradosso di Achille e la tartaruga è uno dei più noti paradossi proposti da Zenone di Elea, filosofo della Magna Grecia del V secolo a.C., discepolo di un altro filosofo eleata, Parmenide. Achille, pur essendo partito dopo la tartaruga, riuscirà a raggiungerla? Intorno a questa domanda, e il più profondo tentativo di dimostrare l’illusione del movimento, si sviluppa il romanzo di Flavio Ubaldini “ll mistero della discesa infinita – Zenone e gli atomi della discordia”, edito da Scienza Express.

Flavio Ubaldini è un matematico e divulgatore italiano. Noto sul web come Dioniso Dionisi, cura il blog Pitagora e dintorni. È autore di “il mistero del suono senza numero” e “Il volo delle chimere”. Tra i suoi interessi c’è anche la musica.

“Il mistero della discesa infinita” è ambientato a Elea (l’attuale Ascea, in provincia di Salerno) e ruota intorno alle vicende della vita di Zenone. Il racconto si apre con il giovane filosofo in procinto di sostenere l’esame di accesso alla scuola del maestro Parmenide. Dopo questa tappa, Zenone resta affascinato dalla filosofia e della teoria del maestro sull’essere statico e immutabile. Così comincia a ricercare una possibile soluzione logica al noto paradosso di Achille e la tartaruga.

Nella prima parte del romanzo uno dei protagonisti è il nonno di Zenone. Non solo invita il nipote a proseguire gli studi di Parmenide, ma gli rivela un segreto che cambierà la sua vita, circa un prezioso oggetto. Da questo momento le vicende rendono il racconto un piccolo giallo, dove la filosofia fa da ambientazione. Entrano in scena altri noti filosofi, tra cui Leucippo, Socrate e Democrito. Così, nelle trame di questo mistero, Flavio Ubaldini ritorna su alcune delle principali dottrine filosofiche.

L’altro personaggio rilevante di questo romanzo-giallo, soprattutto per la seconda parte del libro, è Apollonia. Amica di Zenone fin dalla gioventù, è costretta a lasciare Elea sia per necessità familiari, sia perché nella scuola di Parmenide è vietato l’accesso alle donne. Per questo motivo studia e si forma nella Scuola Pitagorica di Crotone, una delle poche aperta anche alle donne. Il tema di genere, diremmo oggi, torna più volte nel libro. Inoltre, con Apollonia, e la sua formazione, si parla anche di questioni matematiche, come l’irrazionalità di 2–√. E la matematica diventa un chiave di lettura per la risoluzione o presunta risoluzione del paradosso.

Le vicende si sviluppano tra trame e intrighi. Con divinità e una certa dose di fantasia, il finale è rocambolesco, con un salto nel tempo di oltre duemila anni.

In definitiva, il libro può essere un’occasione di riscoperta di tematiche di filosofia e matematica, che in molti affrontano solo nei primi anni del liceo, ed è adatto anche per i più giovani, sia per il genere giallo, che per la leggerezza con cui sono affrontati gli argomenti

Carnevale della Matematica #174: matematica bisestile

Benvenuti alla centosettantaquattresima edizione del Carnevale della Matematica!

Carnevale il cui tema opzionale è matematica bisestile (in tutti i sensi) e il cui necessario verso gaussiano, "canta il merlo... e becchetta", è caratterizzato da un inconsueto intervallo di quarta diminuita che, enarmonicamente, (ma non ditelo a Pitagora) coincide con una terza maggiore.

Vi preannuncio che si tratta di un carnevale ricchissimo, data la pausa di dicembre.

Come da tradizione, partiamo con le proprietà del numero del carnevale. 

In quanto minore della somma dei suoi divisori, 174 è un numero abbondante.

Ma, essendo uguale a di 29 + 58 + 87, che sono suoi divisori, è anche un numero semiperfetto.

E poi è un numero nontotiente, sfenico, congruente, intero privo di quadrati, odioso ed è parte delle terne pitagoriche (120, 126, 174), (174, 232, 290), (174, 832, 850), (174, 2520, 2526), (174, 7568, 7570).

E ora la parte più importante: i  contributi in odine di arrivo.

Partiamo dall'esordiente Luigi Menna (benvenuto Luigi!) che, dal taccuino matematico, ci manda Keplero e l’armonia dell’Universo.

La grandezza e le evoluzioni del cielo stellato hanno affascinato certamente ogni occhio umano dall’inizio dei tempi. La disposizione delle stelle ha acceso la fantasia degli uomini che, cercando di dare un ordine al caos, ne hanno codificato i movimenti prima con racconti, poi con leggi matematiche sempre più precise. Ed effettivamente, ci si accorse, la strategia di usare algoritmi per descrivere il cielo funzionava molto bene. Il cielo cioè rispettava le leggi degli uomini e gli uomini erano in grado di decodificare i movimenti del cielo e anticipare le mosse degli astri. ...

Maurizio Codogno, contribuisce con una lunga lista di articoli.

Recensioni matematiche:
- Perché studiare matematica (non) è impossibile, di Piergiorgio Odifreddi: piccolo ebook dove zio Piergiorgio prova a raccontare perché la matematica è bella.
- The Element in the Room, di Helen Arney e Steve Mould: esperimenti scientifici raccontati da due standup comedian (che però sono scienziati)
- Matematici in prima linea, di Simonetta Di Sieno e Angelo Guerraggio: dieci personaggi importanti per la storia d'Italia che incidentalmente erano matematici (o viceversa?)
- Il segreto del nucleo, di Giorgio Chinnici: racconto di come i fisici siano riusciti a capire come è formato un atomo e di cosa è costituito il suo nucleo.
- The Mathematics of the Heavens and the Earth di Glen Van Brummelen: tutto, ma proprio tutto, su come si è arrivati alla trigonometria classica.

Quizzini matematici:
- Stella (non troppo) rossa, geometrico 
- Ancora una vela, geometrico 
- Esagono rinsecchito, geometrico
- Alhambra, geometrico
- Date moltiplicative, numerico sul 2024 
- Arrivare a 100, numerico sul 2024 
- Perimetro uguale area, geometrico sul 2024
- Peggio la toppa del buco, dissezione 

Il Mercoledì matematico:

- Il paradosso di Sierpinski-Mazurkiewicz : possiamo trovare un insieme di numeri complessi che può essere diviso in due parti, ciascuna delle quali può essere ruotata e traslata per ottenere di nuovo l'insieme originale.
- Media quadratica ed eroniana: per non restare sempre con le medie aritmetica, geometrica e armonica.
- I numeri di Keith: si ottengono da una successione simil-Fibonacci e non servono a nulla.
- La base fattoradicale (I): basi di numerazione fantastiche e dove trovarle.
- La base fattoradicale (II): altre proprietà ancora di queste basi.
- Un LLM più bravo degli umani nei problemi matematici?: Non credete ai comunicati stampa con paroloni!

- Il principio dei cassetti: una proprietà matematica ovvia ma che a volte è utile.

- Il principio dei cassetti - risposte ai problemi: pe non lasciare nessuno in sospeso.
- Meglio perdere che vincere?: Un esempio di una classifica dinamica che sembra valida ma è irrimediabilmente bacata.

Infine per la Povera Matematica
Assiomi buttati a caso parte dal libro di testo di mia figlia alle superiori e si chiede perché usare gli assiomi di Hilbert male anziché restare con quelli di Euclide che non sono perfetti ma almeno sono più chiari.

Roberto Zanasi partecipa con Gli studenti di oggi: Inferno, canto XXII (proooof.blogspot.com)

Si tratta di delfini e dell'esperimento più lungo del mondo nel canto xxii dell'Inferno.

Annalisa Santi invia 2024 e la matematica bisestile. Poteva un articolo essere più in  tema con la matematica bisestile?

Così lo descrive Annalisa:
"Matematica bisestile", il tema del Carnevale della Matematica di gennaio 2024, mi da l'occasione per parlare "matematicamente" del perché esistono gli anni bisestili e di altre curiosità legate ai calendari giuliano e gregoriano.
La durata di un anno si basa sul tempo impiegato da un pianeta per ruotare attorno al Sole e la Terra impiega leggermente di più di 365 giorni, bensì 365 giorni, 5 ore, 48 minuti e 46 secondi, per compiere una rivoluzione attorno al Sole.
Se non fossero stati calcolati gli anni bisestili le date degli eventi annuali, come gli equinozi e i solstizi, si sarebbero spostate lentamente verso la fine dell’anno, cambiando le date di ogni stagione e non solo...

E passiamo a Piotr che, spiegando il creiterio di selezione degli articoli, così introduce gli articoli di Rudi Matematici:

Di solito selezioniamo i post usciti tra il quindicesimo giorno del mese n-1 al quattordicesimo giorno del mese n, ma in questa occasione come dobbiamo comportarci? Partiamo dal quindicesimo giorno del mese n-2 o no?
Tra l’altro, i nostri post sono solitamente suddivisibili in categorie: una di queste si chiama “Quick&Dirty”, e il nome sta a indicare che i quesiti proposti sono veloci e un po’ ingannevoli. 

Beh, per questa sezione a novembre abbiamo postato Un ragazzo e una ragazza , che è davvero solo una domandina rapida e sporca. 

A dicembre, invece, abbiamo pubblicato “Ruote che ruotano”, con uno dei problemini che ogni volta riescono a stupire abbastanza chi ancora non li conosce.

Un’altra sezione – certamente la più importante di tutte – è quella che raccoglie i post fondamentali del blog, ovvero i post per i quali il blog stesso è nato: i riepiloghi delle soluzioni ricevute ai quesiti pubblicati sulla rivista cartacea di Le Scienze, genitrice del nostro blog. In questo caso, i titoli dei post non fanno altro che richiamare i titoli degli articoli apparsi in edicola. A novembre c’era pertanto “Centesimi come se piovessero”, mentre a dicembre – anche se poi, con il nostro abituale ritardo, lo abbiamo postato a Gennaio – è comparso sul blog “Quasi tutto come al solito”.

Anche i “Paraphernalia Mathematica” sono una categoria: quella che raccoglie gli articoli di fondo (nel vero senso spaziale della parola: sono quelli che chiudono tradizionalmente la nostra e-zine) di carattere un po’ tecnico. Sono sempre scritti dal Gran Capo, Rudy D’Alembert, che ha la passione di titoli doppi: così, a Dicembre ci ha propinato “Miele e cannoni – Che palle!”, mentre ad inaugurare il 2024 ha messo “Miele e Cannoni - Bagnoschiuma”. In realtà, la duplicazione della prima parte del titolo dipende dal fatto che il nostro eroe spesso suddivide un argomento in diverse puntate, per non sotterrare i lettori con quaranta pagine di equazioni.

Anche i “Compleanni” sono una categoria, ma tu sei straordinariamente fortunato: anche se escono una volta al mese (ma in giorni variabilissimi, in sintonia con i giorni di nascita dei protagonisti) e nonostante tu stia coprendo i post di due mesi, hai la gran fortuna di avere un solo post di questo tipo, ovvero “Buon compleanno, Carl!”, che celebra il grande Jacobi con un articolo che, quando è uscito sulla nostra e-zine, nel 2019, si intitolava “Maestro e discepoli”.

Abbiamo citato più volte la nostra e-zine: a novembre è uscito il numero RM298 e a dicembre il numero RM299. Il trecentesimo numero della serie uscirà a gennaio, ma chissà in quale giorno.

Passiamo adesso a Mauro Merlotti, che "per cercare di stare in tema" propone 2 articoli:

il primo, Zibaldone Scientifico: 261. Doomsday (zibalsc.blogspot.com), parla del noto Doomsday e accenna a quanti anni con lo stesso calendario bisestile 2024 ci saranno in questo secolo.

il secondo, Zibaldone Scientifico: 260. Mezzo chiuso e mezzo aperto, usando le parole di Lucio Lombardo Radice, mostra come “il calcolo letterale” e la matematica “qualche volta può scoppiare in mano a chi la maneggia con poca attenzione”

Da Maddmaths! Roberto Natalini contribuisce con:

ARTICOLI E PODCAST
Come è stato il 2023 di MaddMaths! ?
Ecco il nostro tradizionale post di fine anno con le statistiche del sito e la top 10 dei post più visti tra quelli usciti nel 2023.
PAM - PodcAst di Matematica
È disponibile sulle principali piattaforme PAM - PodcAst di Matematica, una serie podcast per parlare di matematica e matematica applicata.
Dal cervello ai detriti spaziali, dal designa e i beni culturali, fino al progresso scientifico. Ciascun episodio affronta un argomento con l'esperto aiuto di una matematica o un matematico.
PAM è un podcast realizzato da Marco Menale con il contributo dell'INDAM - Istituto Nazionale di Alta Matematica ""F. Severi"" e pubblicato da MaddMaths!.
Episodio 12 – 28,2 Episodio 12 – 28,2 – Le maschere del Carnevale Matematico
Anche su Instagram si trovano divulgatori di matematica. In questa puntata parliamo con Rocco Dedda di Un quarto d’ora col prof, che da Instagram è arrivato fino in libreria, e con Lucia Montanari l’autrice della pagina Math Attak.
Lo strano caso di Olanda-Irlanda: quando per qualificarsi bisogna perdere
Nel Gruppo B si gioca Olanda-Irlanda e a entrambe le squadre serve la vittoria dell'Olanda. Perché? Ce lo spiega Alberto Saracco.
Metriche allo specchio
I mondi paralleli non possono essere troppo diversi gli uni dagli altri: Alessandro Vannini, recentemente dottorato all'Università dell'Aquila, ci racconta come, secondo un recente articolo apparso nell'Asian Journal of Mathematics.

DIDATTICA
Archimede 4/2023: Angelica Almagià, numeri e frattali
È finalmente in stampa il numero 4/2023 della rivista Archimede. Vi proponiamo il sommario del direttore Roberto Natalini e una sostanziosa anticipazione con l’indice completo dell’annata 2023
Qualche commento dalla CIIM sui risultati dell'indagine PISA 2022
Lo scorso 5 dicembre sono stati presentati i risultati dell’Indagine internazionale PISA 2022 (Programme for International Student Assessment) condotta dall’OCSE. Alcune considerazioni della CIIM (a cura di Roberto Capone e Ketty Savioli).
Cosa ci dicono e cosa non ci dicono i dati dell’indagine PISA 2022
Sono usciti i dati dell’edizione 2022 della rilevazione PISA – Programme for International Student Assessment è un’indagine internazionale promossa dall’OCSE. Un commento di Federica Ferretti.
È online il numero 14 di “Didattica della Matematica
È uscito il quattordicesimo numero della rivista Open Access Didattica della matematica. Dalla ricerca alle pratiche d’aula curata dal Centro competenze didattica della matematica del Dipartimento formazione e apprendimento / Alta scuola pedagogica della SUPSI.
La Matematica nelle mani – parte 2
In questo nuovo appuntamento della rubrica Esperienze transdisciplinari di Matematica, Gianluigi Boccalon riprende il discorso iniziato qualche tempo fa sull’importanza del realizzare con le proprie mani all’interno dei processi di apprendimento.
Matematica (e non solo) all'aperto: l'Outdoor Education
Ritorna, con una nuova puntata, la rubrica Esperienze Transdisciplinari di Matematica curata da Gianluigi Boccalon. Questa volta Gianluigi ci accompagna attraverso una serie di proposte didattiche di matematica e non solo che si svolgono su campo, all'aperto, dando vita a esperienze di Outdoor Education.

LETTURE MATEMATICHE
Il mistero della discesa infinita, Flavio Ubaldini
Riuscirà Achille a raggiungere la tartaruga, pur essendo partito dopo? È la domanda intorno a cui muove il paradosso di Zenone, con la sua millenaria storia, che ancora continua. Flavio Ubaldini lo racconta nel libro ""Il mistero della discesa infinita"". Un romanzo, a tratti giallo, sulla vita di Zenone di Elea, tra amicizia, amore, filosofia, matematica, misteri e colpi di scena. Ne parla Marco Menale per Letture Matematiche.
Rivoluzioni matematiche: Il teorema di Bayes di Roberto Natalini
Con il numero di Gennaio de Le Scienze troverete in allegato il sedicesimo dei venti volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al teorema di Bayes ed è a cura di Roberto Natalini.
Quanti? Tanti! E anche belli!
È uscito nelle scorse settimane presso le Edizioni Dedalo il nuovo libro di Sandra Lucente "Quanti? Tanti! Le potenze di dieci e la potenza delle domande", corredato dalle illustrazioni di Fabio Magnasciutti. Lo ha letto Roberto Natalini.
Rivoluzioni matematiche: Il teorema di Lagrange o del valor medio
Con il numero di Dicembre de Le Scienze troverete in allegato il quindicesimo dei venti volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al teorema di Lagrange o del valor medio ed è a cura di Guido Trombetti e Giuseppe Zollo.
Archimede 3/2023: Cornelia Fabri e Italo Calvino
È uscito il numero 3/2023 della rivista Archimede dedicato a Cornelia Fabri, prima donna a laurearsi in matematica in Italia. E si parla anche dei cento anni di Italo Calvino. Vi proponiamo il sommario del direttore Roberto Natalini

PERSONE
Di comportamenti quantistici e divulgazione: intervista a Serena Cenatiempo
Serena Cenatiempo è ricercatrice in Fisica Matematica al GSSI de L'Aquila. Ha dicente vinto un ERC Starting-Grant come Principal Investigator, con il progetto "MaTCh - Macroscopic Properties of Interacting Bosons: the Thermodynamic Challenge".
Marco Menale l'ha intervistata per MaddMaths! per parlare di ricerca, fenomeni quantistici su scala macroscopica e...divulgazione.
Nuove generazioni di metodi numerici: il progetto NEMESIS
Paola Antonietti, professoressa di Analisi Numerica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano, è Principal Investigatore del progetto NEMESIS, di recente finanziato nell'ambito degli ERC Sinergy Grant.

EVENTI
Orientamento universitario – Settimana Matematica UniPi: aperte le pre-iscrizioni per l’edizione 2024
Sono aperte le pre-iscrizioni alla ventesima edizione della Settimana Matematica, la storica manifestazione di orientamento organizzata dal Dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, inserita nel Piano Nazionale Lauree Scientifiche. La manifestazione è aperta a tutti gli studenti delle classi quarte e quinte secondarie di secondo grado, di qualsiasi istituto. Scadenza per le iscrizioni il 20 gennaio 2024.

LENTE MATEMATICA
Il bias del presente "Meglio l'uovo oggi o la gallina domani?
Capita di prendere una decisione tendendoci l'uovo e senza spingere in avanti lo guardo, fino a vedere la gallina che potrebbe esserci.
È il bias del tempo presente, che ritroviamo in svariati ambiti e situazioni. Ce ne parla Marco Menale per La Lente Matematica.
Paradosso di San Pietroburgo con casinò a risorse finite
Sono passati più di trecento dalla nascita del Paradosso di San Pietroburgo. Un gioco in apparenza semplice che ancora tiene impegnata la comunità matematica. Tra le possibili soluzioni c'è quella del casinò a risorse finite. Ce ne parla Marco Menale per La Lente Matematica.
Matematica, interazioni sociali e opinioni
La maggior parte delle interazioni sociali avviene ormai in rete. I social sono il luogo dello scambio d'opinioni; opinioni che possono influenzare anche i comportamenti, la cui dinamica è studiata dalla matematica. Ce ne parla Marco Menale per La Lente Matematica.

NEWS
Una teoria di Turing degli anni ’50 spiega il movimento dello spermatozoo
James Cass e Hermes Bloomfield-Gadêlha della University of Bristol hanno pubblicato su Nature Communications uno studio da cui emerge che la coda dello spermatozoo, il "flagello", mentre si muove, genera schemi previsti da una teoria elaborata da Alan Turing negli anni Cinquanta.
Matematica senza barriere
È partita la campagna di crowdfunding del Laboratorio Polin “Matematica senza barriere” per aiutare chi non può usare le mani, oppure ha disabilità motorie temporanee o permanenti degli arti superiori, a scrivere e fare esercizi di matematica tramite un sistema per la dettatura e la manipolazione di formule. Vediamo di cosa si tratta e come si può contribuire.
Il pensiero matematico forma cittadini migliori
Usare la matematica in modo critico ci consente di valutare meglio complesse questioni personali e socio-politiche, come la salute, l'economia e l'ambiente

Daniela Molinari di Amolamatematica si chiede se abbia davvero centrato il tema con Saltando da un pensiero all'altro. Io direi di sì! Ma giudichino i lettori.

"Un flusso di coscienza generato dal tema proposto, matematica bisestile: la mia riflessione è chiusa tra due parentesi, fatte di modi di dire, dal classico "Anno bisesto, anno funesto" fino ad una classica (per i bergamaschi!) ma incomprensibile frase dialettale. In mezzo, un'analisi del termine bisestile in latino e la sua traduzione in inglese, un salto in libreria dove ho trovato la geometria e le proporzioni, un dodicenne che non si rassegna al fatto che la bolla papale cancelli il suo compleanno e il video di Numberphile del 2012, con l'astronoma Meghan Gray. In tutto questo fa capolino la Nasa, con il calcolo dettagliato di questa danza dei bisestili: aggiungo un giorno, tolgo un giorno..."

E, infine, Davide da Math is in the Air contribuisce con una ... "(che ve lo dico a fare IMPERDIBILE!!) intervista a Roberto Natalini sul libro “Teorema di Bayes” intervista a Roberto Natalini in cui Roberto ci parla del suo libro "Teorema di Bayes" recentemente pubblicato nella collana Rivoluzioni Matematiche della rivista le Science in allegato con il numero del mese di gennaio.

Lo avete già comprato vero? Se non lo avete ancora fatto vedrete che lintervista con Roberto vi convincerà a farlo.
L'intervista a Roberto, in realtà, è molto più ampia e spazia dal racconto della sua attività di ricercatore in matematica, fino alla sua attività divulgativa passando per il suo ruolo di direttore dell'IAC del CNR.
Proseguiamo con Quanti? Tanti!: intervista a Sandra Lucente, un altro "suggerimento di lettura matematica divulgativa" con l'intervista a Sandra Lucente che ha pubblicato il libro "Quanti? Tanti!":

Concludo ricordando che la prossima edizione sarà la numero 175 del 14 febbraio 2024, sarà ospitata da Rudi Matematici e come verso gaussiano avrà “tra i cespugli, tra i cespugli melodioso”. 

Ma quale sarà la sua cellula melodica gaussiana? Lo scopriremo tra un mese. A presto!

Calendario con le date delle prossime edizioni passate, presenti e future del Carnevale