– Ma allora questo
Peter Scholze avrebbe vinto la
Medaglia Fields per ricerche nell'ambito dei
numeri p-adici?
– Ma come? Tutti parlano dell'italiano
Alessio Figalli vincitore della
medaglia Fields per i contributi alla teoria del trasporto ottimale e alle sue applicazioni alle equazioni alle derivate parziali e tu ti interessi al campo di ricerca del vincitore tedesco? Sei un po' al di fuori dello spirito del tempo. Non sai che questo è il momento di "prima gli italiani"?!
– Scusa, ma hai visto il mio colore? Pensi che certi slogan possano far presa su di me?
– Beh... effettivamente...
– E poi... quel tipo di matematica, equazioni alle derivate parziali e cose simili, non mi ha mai appassionata molto. È troppo complicata per me.
– Ah! E invece pensi che i numeri p-adici siano semplici?
– Boh… forse no però, da quel poco che ho sentito, una delle conseguenze dell'introduzione di quei inumeri mi ha ricordato la nostra discussione su
Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema di Ippaso.
– Sì, è vero. Sono temi correlati. Con quella tecnica Dedekind definì i numeri
irrazionali, come la radice quadrata di 2, a partire dai numeri interi. Detto in altre parole estese l'aritmetica dei numeri razionali (interi e frazioni) ai numeri irrazionali creando così il
campo dei numeri reali.
– Sì, mi ricordo.
– E con i numeri p-adici, sebbene essi siano nati inizialmente per applicazioni nell'ambito della
teoria dei numeri, si può fare una cosa simile a quella che fece Dedekind. Cioè, si possono estendere i numeri razionali a quelli reali in un modo diverso rispetto a quello di Dedekind. Ma che risulta anche un po' più complicato.
– Ancora più complicato di quel metodo?!
– Eh, sì. Credo che sia molto meno intuitivo. Sostanzialmente, l'estensione è ottenuta attraverso un'interpretazione alternativa del concetto di
distanza.
– E cioè? Come viene definita questa distanza?
– Allora, dato un numero
p fissato, si possono costruire i numeri
p-adici ottenuti a partire da quel numero
p. La vicinanza tra due di questi numeri p-adici, chiamiamoli
a e
b, si misura attraverso la divisibilità della loro differenza,
a - b, per una potenza
pn. Più il
pn che la divide è grande, più i due numeri sono vicini.
Questa proprietà consente ai numeri p-adici di codificare informazioni che generano potenti applicazioni nella teoria dei numeri, inclusa, ad esempio, anche la famosa
dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat di Andrew Wiles.
Inoltre, con l'estensione ai numeri reali di cui parlavamo, si riesce anche a estendere la tradizionale
analisi matematica a un'
analisi p-adica che, in certi ambiti, fornisce una forma alternativa all'analisi matematica tradizionale.
– Interessante. Non credo di aver capito bene il discorso della distanza, però.
– Allora, cerchiamo di definirla in modo un po’ più intuitivo.
– Quando parliamo di un solo numero la distanza coincide con la misura del numero, giusto?
– In qualche modo sì. In quel caso la distanza viene chiamata anche “
norma”. Sui numeri reali tradizionali corrisponde al numero stesso privato del segno. Ad esempio, la norma di
2, indicata con
|2|, è
2 così come la norma di
-2:
|-2|=2
– E sui p-adici?
– Nel caso dei p-adici la cosa è leggermente più complessa. Dobbiamo partire dal fatto che ogni numero razionale
q diverso da zero può essere scritto come
dove
p è un numero primo fissato,
r ed
s due interi non divisibili per
p, e
a è l’unico intero che soddisfi la
(1). E quindi definiamo la
norma p-adica di q come
|
q|
p=pa
– Scusa, ma la (1) è una conseguenza del
Teorema fondamentale dell’aritmetica, vero?
– Sì, certo. Del fatto che Ogni numero naturale maggiore di 1 si può esprimere come prodotto di numeri primi. È più chiaro adesso?
– Un pochino. Però vorrei vedere qualche esempio.
– Allora, prendiamo una frazione non semplicissima:
q = 140/297. Se la fattorizziamo in numeri primi avremo che:
140 = 22·5·7
297 = 33·11
E dunque,
140/297 = 22·3-3·5·7·11-1
– Ah, ho capito! A seconda del numero primo che sceglierò come base p-adica avrò una norma diversa?
– Certo! In questo caso, a seconda della scelta di p = 2, 3, 5, 7 o 11, come norma 2-adica, 3-adica, 5-adica, 7-adica o 11-adica avremo:
|140/297|2
= 2-2 = 1/4
|140/297|3
= 33 = 27
|140/297|5
= 5-1 = 1/5
|140/297|7
= 7-1 = 1/7
|140/297|11
= 11
Ed ecco degli altri esempi di norme 2-adiche e 3-adiche:
p = 2
| 1 = 20 => |1|2 = 2-0 =
1 |
|
2 = 21 => |2|2
= 2-1 = ½
|
1/2 = 2-1 => |1/2|2 = 21 =
2
|
3 = 20·31 => |3|2
= 2-0 = 1
|
1/3 = 2-0·3-1
=> |1/3|2 = 20 =
1
|
4 = 22 => |4|2
= 2-2 = ¼
|
1/4 = 2-2 => |1/4|2 = 22 =
4
|
5 = 20·5 => |5|2
= 2-0 = 1
|
1/5 = 2-0·5-1
=> |5|2 = 20 =
1
|
6 = 21·3 => |6|2
= 2-1 = ½
|
1/6 = 2-1·3-1
=> |6|2 = 21 =
2
|
7 = 20·7 => |7|2
= 2-0 = 1
|
|
8 = 23 => |8|2
= 2-3 = 1/8
|
2/3 = 21·3-1
=> |2/3|2 = 2-1
= 1/2
|
9 = 20·32 => |9|2
= 2-0 = 1
|
|
10 = 21·5 => |10|2 = 2-1 =
½
|
2/3 = 21·3-1
=> |2/3|3 = 31 =
3
|
11 = 20·11 => |11|2 = 2-0 = 1
|
1/8 = 2-3 => |1/8|2 = 23 = 8
|
12 = 22·3 => |12|2 = 2-2 =
1/4
|
1/16 = 2-4
=> |16|2 = 24
= 16
|
13 = 20·13 => |13|2 = 2-0 = 1
|
16 = 24
=> |16|2 = 2-4
= 1/16
|
p=3
1 = 30
=> |1|3 = 3-0 = 1
2 = 2·30
=> |2|3 = 3-0 = 1
3 = 31
=> |3|3 = 3-1 = 1/3
4 = 22·30 => |4|3 = 3-0 =
1
5 = 30·5
=> |5|3 = 3-0 = 1
6 = 2·31
=> |6|3 = 3-1 = 1/3
7 = 30·7
=> |7|3 = 3-0 = 1
8 = 23·30
=> |8|3 = 3-0 = 1
9 = 32
=> |9|3 = 3-2 = 1/9
10 = 2·30·5
=> |10|3 = 3-0 = 1
11 = 30·11
=> |11|3 = 3-0 = 1
12 = 22·31
=> |12|3 = 3-1 = 1/3
13 = 30·13
=> |13|3 = 3-0 = 1
14 = 2·30·7
=> |14|3 = 3-0 = 1
15 = 31·5
=> |15|3 = 3-1 = 1/3
16 = 24·30
=> |16|3 = 3-0 = 1
17 = 30·17
=> |17|3 = 3-0 = 1
18 = 21·32 => |18|3
= 3-2 = 1/9
– Beh, adesso capisco meglio. Però…
– Che cosa?
– Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E poi, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico.
– Te ne mostrerò più di uno, ma non oggi.
...continua...
La storia di Pitagora e Ippaso: i problemi di quest’ultimo con gli altri discepoli della scuola, la scoperta della non esistenza di una frazione che rappresenti la diagonale di un quadrato di lato 1, l’amore per Muia, l’espulsione dalla scuola, l’ira degli Dei contro Pitagora e la loro condanna, fino a Richard Dedekind e alla scoperta del “taglio” con cui si risolve la questione.
