Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 8: la Biblioteca di Alessandria: Eratostene, Diofanto e Pappo

Quando frequentavate la scuola elementare la maestra vi diceva che prima di Colombo si pensava che la terra fosse piatta? A me sì.
Bè, è un'affermazione totalmente falsa. Ne parlerò in questa puntata.

Nella puntata precedente dicevamo che un nuovo polo del sapere matematico si ricostituì ad Alessandria ed in particolare nella Biblioteca di Alessandria.
Dicevo inoltre che tra i vari nomi di spicco che vorrei ricordare, oltre al già ricordato Archimede, ci sono Eratostene, Diofanto e Pappo.

Di Eratostene di Cirene (Cirene, 276 a.C. – Alessandria d'Egitto, 194 a.C.) vanno citati assolutamente due grandi risultati: il primo relativo alla Matematica ed in particolare alla Teoria dei Numeri, e il secondo relativo alla Geografia.

Il primo grande risultato è un algoritmo e cioè un metodo per la soluzione di un problema. In particolare quello di Eratostene, in seguito denominato il crivello di Eratostene, è un algoritmo per il calcolo di tutti i numeri primi fino ad un certo numero numero prefissato. Se volete vedere una simpatica animazione del metodo cliccate qui.

Il secondo grande risultato è quello che smentisce la vostra maestra delle scuole elementari.
Eratostene, nel III sec a.C., più di un millennio e mezzo prima della nascita di Colombo, misurò con una certa precisione il meridiano terrestre. Misurò cioè la circonferenza massima della sfera (vabbè, non è proprio una sfera, ma allora questo effettivamente non lo sapevano) terrestre. Questo fatto dimostra quindi che già allora la consapevolezza che la terra non fosse piatta era piuttosto diffusa, almeno tra gli intellettuali.

Eratostene stimò una lunghezza del meridiano terrestre di 252.000 stadi.
Si stima che uno stadio fosse compreso tra i 155 e i 160 metri. L'errore di Eratostene è quindi al massimo di solo il -2,4% rispetto al valore corretto.

Eratostene si accorse che a mezzogiorno del giorno del solstizio d’estate l'ombra proiettata da un'asta verticale nella città di Siene, l'odierna Assuan, (che si trova sul Tropico del Cancro) scompariva totalmente, mentre ad Alessandria l'ombra non scompariva. Ergo la superficie della terra non poteva essere piatta. Eratostene assunse che la forma della terra fosse una sfera e usando la misura di un angolo (tra cateto maggiore e ipotenusa) del triangolo rettangolo con asta e ombra come cateti; e cioè l'angolo di incidenza dei raggi solari, misurò lunghezza del meridiano terrestre pari a 252.000 stadi egizi e quindi, secondo le stime, circa 39.375 km (contro i circa 40.000 reali).

Eratostene si cimentò anche nella creazione di mappe. Trovo molto affascinante questa sua mappa (da premettere che io sono un appassionato di mappe, soprattutto se antiche) dell'intero mondo conosciuto allora: dalle isole britanniche fino a Ceylon e dal Mar Caspio fino all'Etiopia.

Anche se non fu un matematico alessandrino, non posso esimermi dal citare molto brevemente anche Apollonio di Perga (Perga, 262 a.C. – Murtina, 190 a.C.) passato alla storia per i suoi importantissimi lavori sulle sezioni coniche (e cioè ellisse (circonferenza), parabola e iperbole).

Diofanto (200 d.C. 284 d.C.) viene denominato a volte "il padre dell'algebra", anche se più spesso come padre dell'algebra si cita il matematico persiano al-Khwārizmī, nato circa mezzo millennio dopo Diofanto.
Pare che effettivamente Diofanto fu il primo ad ideare l'uso di un simbolismo matematico. Prima di Diofanto si usava esclusivamente il linguaggio naturale. Ad esempio, "l’espressione 3x + 7 = 4x veniva enunciata (e scritta) press'a poco in questo modo: tre volte una quantità incognita addizionate a sette unità sono eguali a quattro volte la stessa quantità incognita".
Per snellire tali lunghe parafrasi Diofanto introdusse alcuni simboli per rappresentare gli operatori aritmetici più comuni prendendoli a prestito dall’alfabeto greco.

Alla notorietà di Diofanto contribuì molto un fatto che avvenne quasi due millenni dopo la morte del matematico alessandrino; e precisamente nel 1637, quando Pierre de Fermat, leggendo la traduzione in latino di Bachet del 1621 dell'"Arithmetica" di Diofanto (la prima traduzione in latino dell'"Arithmetica" fu di un italiano, Raffaele Bombelli, nel 1570, ma non venne mai pubblicata) scrisse ai margini della sua copia il seguente celebre enunciato accompagnato dalla non meno celebre frase:

Non esistono quattro numeri interi positivi a, b, c ed n>2 tali che:

aⁿ + bⁿ = cⁿ

"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto di questa pagina".

In realtà questa non era né l'unico enunciato che Fermat scrisse ai margini della sua copia dell'Arithmetica né l'unico enunciato di cui non fornì la dimostrazione. Il suddetto enunciato divenne però celeberrimo in quanto tutti gli altri vennero dimostrati negli anni successivi alla morte di Fermat, mentre questo rimase indimostrato per più di 350 anni. Generazioni di illustri matematici tentarono inutilmente di dimostrarlo. Per questo, da un certo punto in poi venne chiamato l'ultimo (o grande) teorema di Fermat.
Questa storia la vedremo però con maggiori dettagli in diverse delle puntate seguenti.

L'ultimo matematico alessandrino che vorrei ricordare è Pappo di Alessandria (290 d.C. – 350 d.C.)

Pappo di Alessandria visse in un periodo di decadenza degli studi geometrici. Di tutte le sue opere l'unica pervenutaci è quella intitolata Synagoge, nota anche come Collectiones mathematicae.

È in questa opera che Pappo dimostra il teorema dell'esagono che ricopre un ruolo fondamentale nella moderna geometria proiettiva e con cui ho avuto a che fare durante i miei studi nell'esame di Geometria I.

Nella prossima puntata vedremo il declino della Biblioteca di Alessandria ....

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