Viaggio pitagorico: Crotone, Capo Lacinio e musei

Nella mappa sottostante ho inserito tutte le tappe automobilistiche del nostro viaggio battesimal-pitagorico. In realtà a Potenza non c'è stata una tappa, ma ho dovuto inserirla per ottenere il percorso effettuato.

Visualizzazione ingrandita della mappa

Domenica 3 giugno

Dopo aver espletato la parte battesimale a Tropea ed aver scattato l'immancabile foto a Stromboli siamo partiti per la prima tappa pitagorica: Crotone.

Poco prima di arrivare in città, a circa 62 stadi (11 km per i non stadiofili) di distanza dalla città, incontriamo Capo Lacinio, oggi Capo Colonna, una delle tappe più importanti di questo mio viaggio pitagorico. Già luogo sacro per gli Enotri, fu eletto a sede del santuario di Hera dai coloni achei fondatori di Crotone.

Apprendo che gli archeologi hanno classificato gli edifici ritrovati nel complesso del santuario. Il tempio a cui apparteneva la colonna superstite è l'Edificio A, datato V sec. a.C. Ai tempi di Pitagora invece (VI sec a.C.) risalgono l'Edificio B, tempio arcaico di Hera e primo luogo di culto del santuario, e gli edifici H e K, rispettivamente mensa e ristoro di sacerdoti e pellegrini (Hestiatorion ) e foresteria per i visitatori importanti (Katagogion).

Ed è proprio nel tempio arcaico di Hera che viene ritrovata la superba corona d'oro della dea oggi conservata nel Museo archeologico nazionale di Crotone. Nel tempio arcaico viene ritrovato anche altro materiale votivo in bronzo e argento come la barchetta, la sfinge, la gorgone e la sirena.

Nel museo c'è anche un'interessante ricostruzione del tetto del tempio arcaico di Hera, quello del tempo di Pitagora.

Dopo la visita di Capo Lacinio, del rispettivo museo e del museo di Crotone ci concediamo una passeggiata lungo le spiagge rosse della città con Capo Lacinio in lontananza illuminato da una luna quasi piena.
Da questa passeggiata traggo l'impressione che Crotone sia una città molto vivace.

Seguendo il consiglio della barista del bar del porto, andiamo a mangiare il pesce la ristorante La bussola (viale Gramsci 16 - Crotone). Gli antipasti sono buoni, creativi e abbondanti, ma il tonno alla griglia che prendiamo come secondo è una vera e propria poesia gastronomica. Pescato oggi, ci dice il ragazzo. Non so se sia vero, ma il trancio è tenerissimo, grasso al punto giusto e con cottura perfetta. Tanto che ho chiesto al ragazzo: ma perché a me viene sempre duro e stopposo nonostante i mille accorgimenti? Il ragazzo, forse anche per gentilezza, mi dice che dipende molto anche dalla qualità del tonno e pare che questo tonno rosso del mediterraneo sia il migliore in assoluto. Non a caso a Heidelberg trovo solo il tonno del pacifico mentre i giapponesi vengono con flotte di enormi pescherecci dotati di elicotteri a pescare il tonno rosso nel mediterraneo.
Comunque non dimenticate: ristorante La bussola (viale Gramsci 16 - Crotone). Tonno indimenticabile, servizio cortese e simpatico e prezzi onestissimi. Se vi dovesse capitare di passare dalle parti di Crotone non perdetevelo.

Esperimenti (armonici) con spettri artificiali - terza parte

- Oggi me lo dirai che cosa sono gli spettri artificiali? Oppure t'inventerai un'altra scusa come la volta scorsa?
- No, oggi te lo dirò. Allora, la prima idea in proposito venne ad un certo John R. Pierce nel 1966. Egli si chiese: se la consonanza tra due suoni dipende dalla coincidenza di una parte dei loro armonici, che cosa succederebbe se costruissi artificialmente dei suoni i cui armonici non siano multipli interi della fondamentale? Potrei riuscire a far percepire come consonanti anche due suoni il cui rapporto tra le frequenze non è espresso da numeri piccoli?
- Ah! Quindi è questo il famigerato spettro artificiale! Una serie di armonici costruita ad arte che non coincide con quella naturale. Allora il trucco sarebbe quello di spostare artificialmente gli armonici dei due suoni in modo tale da farli coincidere?
- Precisamente!
- Ma che significa che gli armonici non sono multipli interi della fondamentale?

- Vedi quel sintetizzatore? Con esso ho costruito un La modificato, la cui fondamentale è di 225 Hz invece dei 220 Hz dello standard, ma i cui armonici non sono multipli interi della fondamentale.
- E cioè?
- Cioè, invece di aggiungere ogni volta 225, ho aggiunto ogni volta  225x(43/45), che poi sarebbe 215, ottenendo così questo nuovo spettro
225 Hz, 440 Hz, 655 Hz, 870 Hz, 1085 Hz, 1300 Hz, 1515 Hz, 1730 Hz...
- Ho capito. Hai contratto lo spettro! Si vede subito se confronto i numeri con quelli degli appunti che ho preso la volta scorsa:
225 Hz, 450 Hz, 675 Hz, 900 Hz, 1125 Hz, 1350 Hz.
- Proprio così! E posso compiere un'azione analoga sul La 440 sommando ogni volta 440x(43/44) invece di 440 in modo da ottenere 440 Hz, 870 Hz,  1300 Hz,  1730 Hz...
- Ah! Così coincidono con gli armonici del La 225 modificato!!
 - Ebbene sì! Ora andiamo a suonare questi due La modificati al sintetizzatore.
Leeeeeeee 
Laaaaaaa
 - Allora?!
- Be', suona un po' strano ma non è fastidioso. Non lo definirei dissonante. Solo che ....
- Che cosa?
- Be', non penso che a Pitagora sarebbe piaciuto molto vedere dei rapporti di 43/45 e 43/44.
- Penso proprio di no. Sicuramente avrebbe preferito l'1+1=2 all'1+43/45 =88/45. Ma la cosa pare comunque funzionare... Anche se non così bene come nel caso dei rapporti pitagorici... E poi in realtà in questo caso si tratta solo di un esperimento. C'è invece un aspetto fondamentale della moderna intonazione che avrebbe fatto proprio infuriare Pitagora.
- E cioè?
- Be', la scala che tutti gli strumenti ad intonazione fissa come il pianoforte usano da qualche secolo si chiama scala temperata.
- Scala temperata? Mi sembra di averne sentito parlare. Ha a che fare con Il clavicembalo ben temperato?

- Direi proprio di sì. Secondo alcuni quel pezzo fu scritto da Bach proprio per mostrare che era possibile usare la scala temperata per suonare in tutte le tonalità; visto che costruire e suonare strumenti a tastiera con intonazione Pitagorica risultava troppo complicato. Guarda questa foto dell'armonium di Colin Brown!
- Be' effettivamente....
Si decise così di adottare il compromesso delle scale temperate. E in particolare negli ultimi due secoli il temperamento equabile è andato affermandosi sempre di più tra i vari tipi di temperamento. Nel temperamento equabile l'ottava è suddivisa in dodici parti uguali. E per passare dalla frequenza di un suono a quella del suono immediatamente successivo si moltiplica per la radice dodicesima di 2.

- Per la radice dodicesima di 2!!?? Per un numero irrazionale!!??
- Sì, è proprio per questo che le ossa di Pitagora si staranno ancora rigirando nella tomba.

- Sono sconvolta.
- Ma non è finita qui. Sugli spettri artificiali sono stati effettuati molti altri esperimenti. E uno dei più interessanti è proprio quello in cui la scala temperata viene espansa insieme agli armonici di ogni singolo suono della scala.
- E cioè?
- Cioè, invece della radice dodicesima di 2 si usa la radice dodicesima di 2,1 (cioè di 21/10).
- Oh, mio dio! Sempre più complicato!
-  Mah, solo un pochino. Comunque, dopo questa sostituzione si prova ad eseguire un corale di Bach a quattro voci in quattro versioni diverse.

1. Nel modo classico. Cioè, con la scala temperata tradizionale dove gli armonici di ogni suono sono quelli naturali.
2. Con la scala  temperata tradizionale ma con gli armonici espansi in modo tale che il secondo armonico è 2,1 volte la frequenza della fondamentale, il quarto è 4,41 volte e così via.
3. Con la scala espansa attraverso la radice dodicesima di 2,1 ma con gli armonici naturali.
4. Con l'espansione di entrambi: scala e armonici. 

- Interessante! A intuito direi che... Be', chiaramente la prima versione suonerà normale al nostro orecchio. E forse la quarta potrebbe essere consonante. Ma la seconda e la terza?
- Non hai che da ascoltarle! Su questa pagina troverai l'esecuzione del corale di Bach eseguita nelle suddette quattro versioni nell'ordine 1, 4, 2 e 3.
....
- Eh sì, mi pare proprio che la quarta sia consonante... Anche se suona un po' strana.
- Sì, è chiaro. L'orecchio percepisce lo stiramento. Ma il fatto sorprendente è che non appaia dissonante nonostante gli strani rapporti tra le frequenze.
- Però la seconda e la terza sono veramente terribili. Non so dire quale sia più dissonante. Forse la terza.
- Be', sì, c'è un limite a tutto. Il pitagorismo alla fine un suo senso ce l'ha. Anche se non è esattamente quello che immaginavano i pitagorici. Ad ogni modo, se vuoi saperne di più ti consiglio la lettura del capitolo 4.6 del libro Music: a Mathematical Offering.

Esperimenti (armonici) con spettri artificiali - seconda parte

- Passata la stanchezza?
- ?
- No, per il discorso degli spettri artificiali. Dicevi che eri troppo stanco per spiegarmeli.
- Ah,sì.
- La volta scorsa mi hai spiegato che ogni suono può essere scomposto in una somma di suoni puri. Cioè in una somma di note di altezza maggiore a volume progressivamente più basso. E che l'insieme di questi suoni puri si chiama lo spettro del suono di partenza.
- Buona memoria eh!?
- Sì, quando le cose m'interessano le ricordo facilmente. Ora che so che cos'è lo spettro vorrei capire che sono questi spettri artificiali.
- Bene. Allora ripartiamo da quel La caratterizzato da 440 oscillazioni al secondo (440 Hz)
- Avevamo detto che a quella vibrazione di base, detta fondamentale, si sovrappone una serie di vibrazioni più acute ma d'intensità via via più bassa. Quindi sopra a quel La 440 si troverà anche il La all'ottava sopra (440x2=880), poi il Mi successivo (440x3=1320), il La successivo (440x4=1760) e così via.
- In altre parole, ogni armonico ha una frequenza che è un multiplo della fondamentale, no?
- Esattamente. E sembra che sia proprio questa la causa per cui il nostro orecchio percepisce alcuni intervalli come consonanti e altri come dissonanti.
 - Consonanti? Dissonanti? Ma che significa?
- Facciamo così: te lo faccio sentire! Allora, quello strumento che vedi sul pianoforte è un accordatore digitale. Prova a suonare questo La.
Laaaaaaaa
- Ah! L'accordatore mostra proprio 440, cioè la frequenza della nota.
- E certo! Con quello che mi è costata l'accordatura di ieri ci mancherebbe solo che mostrasse qualcos'altro. Vabbè, lasciamo perdere.

Ma ora tu suona di nuovo quel La mentre io suonerò al trombone il La 220. Cioè quello che si trova qui: a sette tasti bianchi a sinistra del tuo. Quella che si chiama l'ottava inferiore. Dopo aver intonato quel La comincerò ad accorciare molto lentamente la pompa del trombone in modo da far crescere a poco a poco la frequenza della nota. In realtà inizierò. con una frequenza poco più bassa. Diciamo 215. Fino ad arrivare a 230. Mettiamo l'accordatore vicino alla campana del trombone, così vedrai quello che succede alle diverse frequenze. Vai!
Laaaaaaaa 
Lauauaaaaaaaaaaauaaaauaaauaauauauaua 
- Allora?! - Be', all'inizio eri stonato e il suono ondeggiava fastidiosamente, poi quando sei arrivato ai 220 Hz eri perfettamente intonato e infine il suono ha cominciato a ondeggiare di nuovo in modo sempre più rapido.
- Bene! Vedo che hai anche un ottimo orecchio. Ecco, quando mi trovavo a 220 Hz il tuo La e il mio La erano in perfetta consonanza. Dopodiché siamo andati in dissonanza.

E quegli ondeggiamenti che hai sentito si chiamano battimenti. Eccoli schematizzati in questo grafico. Si producono quando due suoni non sono perfettamente intonati tra di loro. Capito ora che significa che un intervallo è consonante o dissonante?
- Credo di sì. Sono consonanti quelle note che suonate insieme risultano gradevoli all'orecchio e dissonanti quelle che producono una sensazione più aspra.
- Sì. Più o meno. E l'intervallo che abbiamo suonato si chiama di ottava perché La Si Do Re Mi Fa Sol La sono otto.
- Quindi se avessimo suonato Re e La sarebbe stato un intervallo di quinta? Per il fatto che Re Mi Fa Sol La sono cinque?
- Brava, hai afferrato subito.
- Quindi mi dicevi che il nostro orecchio percepisce alcuni intervalli come consonanti e altri come dissonanti proprio perché ogni armonico ha una frequenza che è un multiplo della fondamentale?

- Sì è proprio così. Considera infatti che le frequenze degli armonici del tuo La erano 440 Hz, 880 Hz, 1320 Hz e 1760 Hz, mentre quelle del mio La erano 220 Hz, 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, 1100 Hz, 1320 Hz....
- Ah! Ho capito! In qualche modo gli armonici del mio La erano contenuti in quelli del tuo La!
- Sì, hai capito perfettamente. Quando invece ho suonato a 230 Hz la serie che ho prodotto era: 230 Hz, 460 Hz, 690 Hz, 920 Hz, 1150 Hz, 1380 Hz...
- Quindi gli armonici erano tutti diversi....
- Sì, e questo affollamento di frequenze provoca quella sensazione di asprezza nel nostro orecchio che ci porta a classificare quegli intervalli come dissonanti.
- Ma allora è questa la spiegazione della scoperta di Pitagora!!! Quando il rapporto tra le frequenze è espresso da numeri piccoli i suoni sono consonanti perché molti dei loro armonici coincidono!
- Sei un'allieva eccezionale! È proprio così. Anche se questa spiegazione Pitagora non la conosceva. E a partire da questo fatto e da altre osservazioni arrivò a formulare proprietà cosmogoniche per i numeri stessi. Ma questa è un'altra storia.
- Ho capito. Quindi, ricapitolando. Ora so che cosa sono gli spettri e so anche che cos'è la consonanza e la dissonanza. Quello che mi manca ancora è: che cosa sono questi diavolo di spettri artificiali?
- Scusa, mi squilla il telefono. Devo andare.

Esperimenti (armonici) con spettri artificiali - prima parte

- Uhm, suona un po' inquietante! Che cosa sono questi esperimenti con spettri artificiali? Stai per caso cercando, come novello Doktor Frankenstein del XXI secolo, di ripetere l'esperimento corporeo ad un livello puramente spirituale? Stai cercando di produrre artificialmente torme di spiriti da poter poi impiegare nell'industria cinematorrorgrafica?
- Veramente no. Gli spettri di cui parlo nel titolo non sono quelli che popolano i castelli dell'umida e tenebrosa brughiera scozzese, ma bensì quelli che caratterizzano il colore dei suoni degli strumenti musicali.
- Il colore dei suoni? Non starai mica parlando di sinestesia?
- No, in realtà si tratta più di una metafora. Ogni suono di ogni strumento musicale può essere infatti scomposto in una somma di suoni puri di altezze maggiori e intensità minori che decrescono gradatamente.
- Cioè, ogni nota è una somma di note più alte ma a volume più basso?
- Più o meno. Alle quali va aggiunta ovviamente la nota stessa. Ed è proprio quest'insieme di componenti sonore pure ad essere denominato lo spettro del suono di partenza.
- Che significa suoni "puri"?
- Sono quei suoni la cui forma d'onda è puramente sinusoidale. Il diapason è lo strumento che più si avvicina a una tale purezza di suono.
- Ho capito, ma che c'entra questo "spettro" con il colore dei suoni?
- Aspetta, ti faccio un esempio. Se io con il mio trombone suono un La. Diciamo il La sopra al Do che occupa il posto centrale della tastiera del pianoforte. E se dopo di me quello stesso La viene intonato da un clarinetto e poi dal pianoforte stesso, tu ti accorgerai che quello stesso suono, caratterizzato da 440 oscillazioni al secondo (440 Hz come suono puro), è stato suonato da tre strumenti diversi.
- Be', sì, se ne accorgerebbe anche un bambino.
- Bene. Che cosa consente quindi al nostro orecchio di accorgersi che ci troviamo di fronte a tre strumenti diversi?
- Che cos'è? Boh! Lo spettro?
- Brava è proprio lui! Lo spettro! I tre strumenti hanno spettri diversi e questo conferisce ai tre suoni tre colori (o timbri) diversi.
- Sì, ma che significa che gli spettri sono diversi?
- Allora, quando le mie labbra vibrano dentro il bocchino del trombone con una frequenza di 440 vibrazioni al secondo, a quella vibrazione di base, detta fondamentale, si sovrappone una serie di vibrazioni più acute ma d'intensità via via più bassa. Quindi sopra a quel La 440 si troverà anche il La all'ottava sopra (440x2=880), poi il Mi successivo (440x3=1320), il La successivo (440x4=1760) e così via.
- Interessante! Una specie di accordo i cui suoni più alti scivolano progressivamente dal forte verso il pianissimo?
- Esattamente!
- E vedo anche che per ottenere la vibrazione successiva ad ogni passo si somma il numero di  vibrazioni della fondamentale (440+440=880, 880+440=1320,  1320+440=1760).

- Bravissima! Vedo che stai afferrando bene il discorso. Questi suoni che si sovrappongono al suono fondamentale vengono denominati suoni armonici. Ecco. In quest'immagine è rappresentata la serie degli armonici di una corda in vibrazione.
- Scusa eh! Ma allora, se gli armonici si trovano sia sugli strumenti a corda sia sul trombone, perché percepisco un colore diverso quando il La viene suonato al pianoforte invece che al trombone?
- Ottima domanda! Il fatto è dovuto alla maggiore o minore intensità di alcuni suoni armonici rispetto ad altri.

- No, non capisco.
- Un caso estremo, che aiuta molto bene a comprendere, è quello del clarinetto. In questo strumento infatti gli armonici pari sono quasi assenti ed è proprio la predominanza di armonici dispari a conferire al clarinetto il suo particolare timbro un po' nasale. Guarda l'immagine.
- Ah, ho capito! Quindi nel La del clarinetto c'è il 440 e il 1320, ma le vibrazioni a 880 e 1760 sono quasi assenti?
- Sì, è proprio così! Che c'è? Ti vedo perplessa.
- No, è che mi chiedevo che cosa determina la maggiore o minore intensità di alcuni suoni armonici rispetto ad altri?
- Be' sono le caratteristiche fisiche dello strumento a determinarla. Se vuoi, in rete si possono trovare spiegazioni sufficientemente approfondite. Come questa qui ad esempio.
- Più tardi andrò a dare uno sguardo. Ma, ...
- Che cosa?
- No, ho letto le cose che hai scritto su Pitagora ... e mi è venuto da pensare... Chissà come sarebbe stato contento Pitagora se avesse potuto sapere, non solo che i numeri compaiono nei rapporti tra suoni consonanti, ma che essi sono addirittura i mattoni dell'intima struttura di ogni singolo suono.
- Be', qualcuno potrebbe avere qualcosa da ridire su questa tua affermazione.
- C'è sempre qualcuno che ha qualcosa da ridire: su tutto. Ma per tornare al discorso iniziale. Mi hai spiegato che cosa sono gli spettri. Ma gli spettri artificiali che cosa sarebbero?
- Be', adesso sono stanco. Te lo spiegherò la prossima volta.

Le lezioni di Eratocle: la sacra Tetraktys

Segue da: Le lezioni di Eratocle: numeri quadrati

- Triangoli equilateri?
- Sì, noi matematici chiamiamo equilateri quei triangoli che hanno i lati di lunghezza uguale.

 Eurito annuì e costruì il primo triangolo con diligenza.

E poi il secondo.
Quindi scrisse sulla tavoletta.

1 2 3 1 3 6

- Fermati qui! - gl'intimò il maestro quando stava per aggiungere altri ciottoli alla figura. L'allievo lasciò cadere il sassolino che aveva in mano. - Presta molta attenzione a quello che stai per fare - declamò Eratocle. - Con questo passo trasformerai quella che è una semplice figura geometrica ottenuta con dei ciottoli in una rappresentazione della sacra Tetraktys: il triangolo magico che compendia in se tutta la verità del numero e conseguentemente tutta la sostanza delle cose. Eurito raccolse il ciottolo che gli era caduto e con molta cautela si accinse a completare la figura.

Non appena Eurito ebbe disposto l'ultimo sassolino Eratocle chinò il capo: - To Pan einai Arithmos - salmodiò. - Ripeti con me Eurito: To Pan einai Arithmos.
Dopo un attimo di riluttanza l'allievo si unì alla litania del maestro.
- To Pan einai Arithmos - ripeté un'ultima volta il maestro scandendo bene le sillabe. - Tutto è numero. È questo il nostro motto. Il motto dei pitagorici. Quello che il sommo maestro ha coniato dopo le recenti scoperte.
Il ragazzo lo guardava smarrito.
- Ed è con questo canto che dovremo sempre magnificare ogni manifestazione della sacra Tetraktys - continuò Eratocle. - Osservala Eurito. Osservala! E dimmi che cosa ti dice la sacra Tetraktys.
Eurito sgranò gli occhi.
- Da che cosa è composta? - lo incalzò il maestro.
- Da dieci ciottoli - rispose Eurito timoroso.
- E poi? Che figura geometrica rappresenta?
- Un triangolo… equilatero - azzardò l’allievo.
- Giusto! - confermò il maestro. - I tre lati, formati da quattro ciottoli identici, vanno a costituire un triangolo equilatero: il simbolo della perfetta eguaglianza. - Lo sguardo di Eurito cominciò a rasserenarsi. - E ora dimmi Eurito. Quanti ciottoli hai aggiunto ad ogni passo?
- Due, tre e quattro - rispose prontamente il ragazzo.
- Un numero pari, un numero dispari e di nuovo un numero pari: il simbolo dell’illimitato che si alterna al simbolo del limitato: i due princìpi basilari dell'universo. E il tutto generato dall’uno: l’unicità che può rendere dispari un pari e pari un dispari. - Eurito annuì. - Ma la proprietà più interessante della divina Tetraktys la scoprirai se riuscirai a vedere la connessione con l'armonia dei suoni. Lo sguardo del giovane vagava confuso. - Pensa al racconto di poco fa - lo esortò Eratocle. - Quali erano i numeri della consonanza? Quelli che abbiamo scoperto possedere un ruolo privilegiato rispetto a tutti gli altri numeri?
- Uno, due, tre e quattro! - esclamò Eurito. - Gli stessi numeri della divina Tetraktys!
- Precisamente. Combinando le loro somme potrai inoltre trovare i primi dieci numeri, così come aveva mostrato Pitagora alla fine dell'esperimento con corde e dischi. E con questi dieci numeri potrai generare tutti gli altri numeri che formano l'universo. Ma c'è dell'altro. - Il corpo del giovane allievo si protese verso il maestro. - Prova a scrivere i rapporti tra numeri di ciottoli contenuti nelle righe della Tetraktys partendo da quello tra la seconda e la prima riga.
Eurito scrisse.

2/1
3/2
4/3

- Ma sono proprio i rapporti tra i suoni consonanti dell'esperimento - concluse il giovane ammirato.
- Sì, proprio quelli. E per finire, la somma di tutti i punti della sacra Tetraktys dà come risultato dieci: il numero perfetto! - concluse Eratocle con ispirato fervore. - Pensaci Eurito! Rifletti sulla prodigiosità di questa figura. Non vedi in essa una formidabile sintesi dell’ordine numerico-musicale del cosmo? Non vi scorgi un meraviglioso compendio dei princìpi matematici che regolano l’ordine dell'universo? Di quei princìpi che dell’universo sono causa, precetto e cagione di armonia?
Eurito annuì di nuovo.
- Non ti sarà quindi difficile capire il motivo per cui tutti i giuramenti di noi pitagorici vengono formulati sulla sacra Tetraktys.
Il ragazzo scosse la testa in un riflesso ormai quasi condizionato.
- Bene - continuò il maestro - con le nozioni che hai appreso oggi sui numeri quadrati possiamo tornare ad affrontare il discorso delle lunghezze dei lati dei triangoli e cercare finalmente quel criterio per la determinazione delle terne di numeri che danno luogo ai triangoli rettangoli.
Il volto di Eurito s'illuminò con un sorriso.
- Riprendi la tavoletta - lo esortò il maestro - e leggimi l'altro criterio che hai scritto.
- Se indico le lunghezza dei bastoncini corti con a e b - cominciò a leggere Eurito - e quella del bastoncino lungo con c, allora, affinché si possa costruire un triangolo, è necessario che:

a più b sia maggiore di c

- Giusto - disse Eratocle. - E qual era quell'altra categoria di terne di numeri?
- Quella dei numeri che, come 3, 4 e 5, generano un triangolo rettangolo? - rispose titubante Eurito.
- Sì, quella - confermò Eratocle. - Ciò che vorrei tu trovassi adesso è la relazione che deve sussistere tra le lunghezze dei lati a, b e c affinché il triangolo sia rettangolo. Gli strumenti ce l'hai. Se troverai quella relazione vedrai come in essa sussiste una triplice gioco di rimandi: figure geometriche che esprimono numeri che a loro volta tornano ad esprimere nuove figure geometriche. Ma penso sia meglio continuare domani. Così avrai il tempo per rielaborare quanto appreso oggi e per cercare quella relazione. Prenditi le tavolette a forma di triangolo e i bastoncini, ti saranno utili.
Eurito uscì dall'aula riuscendo a malapena a biascicare un saluto.