Il rinascimento: Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese - Terza parte

Nella puntata precedente abbiamo lasciato Tartaglia di fronte al dilemma se resistere nonostante il giuramento di Cardano, oppure cedere rivelando la formula.
Cardano nel suo giuramento aveva abilmente tirato in ballo la fede cristiana. Tartaglia non se la sentì di infliggere un tale affronto a Cardano e cedette così a malincuore la formula.

Dopo aver decifrato l'enigma in versi, dietro il quale Tartaglia in un ultimo disperato tentativo aveva celato la formula, Cardano cominciò ad impegnarsi in ulteriori ricerche personali.
Il frutto di tali ricerche non tardò ad arrivare. Cardano scopre il celebre casus irriducibilis. Quel caso cioè in cui l'equazione di terzo grado ha tutte e tre le radici reali, ma nonostante ciò, per calcolare tali radici reali è necessario passare attraverso radici quadrate di numeri negativi. Sappiamo tutti però che un numero reale elevato al quadrato dà sempre come risultato un numero positivo (meno per meno fa più, no?). Ma allora che cosa erano questi numeri che elevati al quadrato davano come risultato un numero negativo? Che senso potevano avere a quei tempi in cui c'era molta riluttanza persino ad accettare i numeri negativi stessi? Figuriamoci le radici quadrate dei numeri negativi!
Ma Cardano fu molto pragmatico. Funzionano? Sì! E allora li usiamo. Sono ... un artificio algebrico utile per il calcolo.

Numeri "sofistici" li denominò. Con il tempo però tali numeri si rivelarono molto utili. Anche se inizialmente sembravano veramente degli artifici algebrici "che non dovrebbero esistere". Così vennero dapprima denominati "numeri immaginari" e poi numeri complessi. Cardano quindi, oltre che delle soluzioni dell'equazione di terzo grado, è anche considerato uno dei padri dei numeri complessi. Vedremo in seguito che molti altri matematici contribuirono allo sviluppo di tali numeri. Uno di questi fu Raffaele Bombelli. Ma ce ne occuperemo nelle prossime puntate.

Oltre alla scoperta del casus irriducibilis, Cardano fu anche il primo a produrre una dimostrazione rigorosa della formula risolutiva. Quindi, nonostante i raggiri, il contributo di Cardano allo sviluppo complessivo della formula non è affatto trascurabile.

Nei cinque anni successivi Cardano continua il suo lavoro di medico portando contemporaneamente avanti la stesura della sua Ars Magna, che vedrà la luce nel 1545. Con quest'opera la reputazione di Cardano assurgerà in breve tempo a quella di algebrista più celebre ed esperto d'Europa.
Tartaglia se ne procura prontamente una copia, e si accorge subito che l'Ars Magna contiene sia la soluzione dell'equazione di terzo grado, per cui viene esplicitamente citato il suo nome, che quella dell'equazione di quarto grado, la cui paternità viene attribuita a Lodovico Ferrari: "creato" e creatura di Cardano. 

La rottura del giuramento fa ovviamente infuriare Tartaglia. Il quale, da come lo riporta Lodovico Ferrari, taccia Cardano di essere "ignorante nelle matematiche, poverello, uomo che tien poco sugo e poco discorso, e altre parole ingiuriose le quali per tedio lascio da parte".

Tuttavia Cardano, nella citazione dei contributi per la scoperta delle formule, non si era limitato a citare Tartaglia e Ferrari. Egli aveva citato anche Scipione del Ferro. Ed è proprio questa citazione a fornirci degli indizi sul motivo che poteva aver indotto Cardano a rompere il giuramento. Il fatto cioè di aver scoperto che Tartaglia non poteva vantare il primato sulla paternità delle formule. Primato che Tartaglia doveva condividere con Scipione del Ferro. Ma forse a spingere Cardano alla rottura del giuramento aveva contribuito anche il fatto che la soluzione dell'equazione di quarto grado era stata ottenuta a partire dalla soluzione dell'equazione di terzo grado. E quindi la pubblicazione della prima non poteva prescindere dalla pubblicazione della seconda.

Volendo trarre delle conclusioni, citando Dario Bressanini, si può affermare che quelle che ancora oggi vengono denominate formule di Cardano forse dovrebbero più correttamente essere chiamate formule di Del Ferro-Tartaglia-Cardano: "tre autori per un'equazione di grado tre".
Comunque la si voglia interpretare non si può sicuramente negare che queste soluzioni siano un puro prodotto di quel grande movimento intellettuale, artistico, scientifico e culturale che è stato il Rinascimento italiano.
Il problema della soluzione dell'equazione cubica, che tanto aveva infruttuosamente impegnato le menti di molti grandi matematici greci, cinesi, indiani ed islamici, era stato finalmente risolto. Quello di Del Ferro-Tartaglia-Cardano è probabilmente il maggiore contributo dato all'algebra da quando i babilonesi avevano capito come risolvere le equazioni di secondo grado quattromila anni prima.

Arrivati a questo punto ci si potrebbe chiedere: ma una volta arrivati al quarto grado, non ci si potrebbe spingere a cercare le soluzioni per il quinto e poi per il sesto, fino magari ad arrivare ad una formula generalizzata per il grado n? Effettivamente ci provarono in molti. Ma vedremo che dal quinto grado in poi la situazione si fa un po' più ingarbugliata. E la risposta definitiva arriverà solo più di due secoli dopo con Ruffini e Abel.

Dopo l'Ars Magna Cardano riuscì a produrre un altro importante contributo alla matematica contenuto in un libro scritto intorno al 1560: il Liber de ludo aleae. Libro che tratta di probabilità nel gioco e di metodi per barare. Nonostante gli scopi non propriamente edificanti, il Liber de ludo aleae contiene la prima trattazione sistematica della probabilità. La pubblicazione avverrà però postuma solo nel 1663.

Per chi volesse approfondire la storia delle formule risolutive dell'equazione di terzo grado segnalo il bellissimo articolo: Requiem per una formula. Dramma in sei atti con sei personaggi di Dario Bressanini. Da cui ho anche rubato le citazioni dei testi originali.

Per un ulteriore approfondimento c'è anche questo libro: La formula segreta. Tartaglia, Cardano e il duello matematico che infiammò l'Italia del Rinascimento.

Concludo con la citazione completa delle conclusioni dell'articolo di Bressanini:

Cosa rimane dopo centinaia d'anni di queste vicende? Nulla. Nei libri di testo trovate le “formule di Cardano”. Quasi nessuno cita Tartaglia, e Scipione dal Ferro è un perfetto sconosciuto. Forse sarebbe bene iniziare a chiamare le formule dal Ferro-Tartaglia-Cardano: tre autori per un'equazione di grado tre.

Nella prossima puntata parleremo dell'introduzione di altri simboli matematici e di Raffaele Bombelli, che come abbiamo già detto, contribuì allo sviluppo dei numeri complessi.

Puntate precedenti...

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Il rinascimento: Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese - Seconda parte

Nella puntata precedente abbiamo lasciato i duellanti Fior e Tartaglia pronti per la grande sfida nella piazza gremita da una grade folla; di fronte a testimoni, giudici e un notaio. Nonostante l'apparente sicurezza di se, quando il giudice gli dà la parola, Tartaglia parla a stento e la sua lingua inciampa più volte sulle parole.

Come mai? L'espressione del volto era solo una maschera indossata per nascondere il nervosismo? 

No. Il motivo è un altro. E le cause risalgono a 23 anni prima. Quando, nel febbraio del 1512, il giovane Niccolò dodicenne è testimone dell'invasione e del saccheggio di Brescia da parte delle truppe francesi di Luigi XII. Ma lasciamo raccontare l'evento a Tartaglia stesso.

Quando che li Francesi sacchegiorno Bressa … essendo io fuggito nel domo con mia madre e mia sorella ... in tal chiesa mi furono date cinque ferite mortali, fra le quali una ne aveva attraverso la bocca… e stetti un tempo che io non poteva ben proferire parola, ma sempre balbettava nel parlare per il che li putti della mia età me imposero pe sopranome Tartaglia. Et perché tal cognome me durò molto tempo, m'è apparso de volermi chiamare Niccolò Tartaglia.

Ma tornando alla sfida con Fior, il motivo per cui il volto di Tartaglia appariva sereno era il matematico bresciano aveva risolto tutti e trenta i problemi di Fior in poche ore. Mentre Fior non era riuscito a risolvere alcuno dei problemi proposti da Tartaglia.

Il duello si risolve quindi con un trionfo per Niccolò. La folla esulta. Oltre alla gloria e alla fama tuttavia Tartaglia non ne ricava nulla. Molto dignitosamente riesce infatti a declamare d'un fiato: “Rinuncio alla posta in denaro, e mi prendo l'onore”.

Questo episodio lascia trasparire abbastanza bene alcune delle caratteristiche del personaggio Tartaglia: di umili origini ed orgoglioso del fatto che tutte le sue conoscenze provenissero unicamente dai suoi sforzi di autodidatta. Forse non era un maestro nelle relazioni sociali, ma era fiero e sostanzialmente onesto.

Maestro Tartaglia lo era invece in qualcos'altro. Era stato infatti nominato maestro d'abaco presso la scuola di Verona. Nelle scuole d'abaco si insegnava la matematica. Ma una matematica un po' diversa rispetto a quella  più astratta e speculativa che s'insegnava nelle università. Era la matematica necessaria alla pratica mercantile. E l'obiettivo principale di chi frequentava queste scuole era quello di imparare a risolvere problemi pratici. I salari dei maestri d'abaco però non è che fossero poi così ricchi.

Nel caso del personaggio Gerolamo Cardano osserviamo invece delle caratteristiche che sono un po' all'opposto rispetto a quelle di Tartaglia. Il padre di Gerolamo era un famoso giurista e matematico pavese. E Gerolamo, frequentando le migliori scuole, era presto divenuto un medico molto richiesto. Cardano coltivava inoltre una grande passione per la matematica. E a 32 anni riuscirà a coronare anche questa sua passione ereditando da suo padre il ruolo di insegnante di matematica presso le scuole dell'ospedale maggiore di Milano.

Cardano diventerà quindi un medico milanese di successo nonché matematico, filosofo ed astrologo ma anche scaltro uomo di mondo con agganci potenti, doti da istrione ed abile nelle trame e nelle manipolazioni.

Tuttavia non siamo ancora arrivati a capire in che modo Cardano venne in possesso delle formule contese.

Dunque, poco prima del duello con Fior, Tartaglia si era trasferito a Venezia; dove aveva pubblicato la prima traduzione italiana degli Elementi di Euclide. Dopo la vittoria su Fior la fama di Tartaglia si era diffusa rapidamente. Cardano proprio in quel periodo era impegnato nello sviluppo del suo trattato di algebra: l'Ars Magna. Al medico milanese brillarono gli occhi quando venne a sapere che qualcuno aveva trovato la formula risolutiva per le equazioni di terzo grado. Inviò quindi prontamente un suo uomo a Venezia, un certo Zuanantonio, per indagare sulla scoperta di Tartaglia. Era l'anno 1539.

Z: Sua Eccellenza Hieronimo Cardano, Medico et delle Mathematice lettor pubblico in Milano, vi implora che voi possiate mandargli la regola che avete inventato; e se ciò vi confà la inserirà nel suo prossimo libro sotto il vostro nome.

T: Riferite a Vostra Eccellenza che quando la mia invenzione sarà pubblicata lo sarà in un mio lavoro.

Ma Cardano non si arrende ed invita Tartaglia ad andare a Milano promettendogli i favori e la protezione di un potente: il Marchese del Vasto. Tartaglia, che notoriamente non navigava nell'oro, non seppe resistere ad un'offerta così lusinghiera.
Il povero Niccolò si reca quindi a Milano ma del Marchese non vede neppure l'ombra. Si trova invece vittima delle raffinate tecniche persuasive di Cardano. Niccolò resiste diverse volte alle richieste dello scaltro Gerolamo. Così Tartaglia narra quella che sarà l'ultima richiesta di Cardano:

Io vi giuro ad sacra Dei evangelia, et da real gentil’huomo non solamente da non pubblicar giammai tali vostre inventioni, ma anchora vi prometto, et impegno la fede mia da real cristiano da notarmela in zifera, acciocché da poi la mia morte alcuno non la potrà intendere. Se ora mi credete bene, altrimenti pazienza.

Cardano tira in ballo la fede cristiana! Argomento molto delicato in quei tempi. A questo punto che fa Tartaglia? Resiste calpestando la fede di Cardano? Oppure cede rivelando la formula?

Lo scopriremo nella terza parte...

Puntate precedenti...

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Il rinascimento: Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese - Prima parte

Nella puntata precedente abbiamo visto che Stifel nella sua Arithmetica integra del 1544 unificò i vari casi di equazioni di secondo grado. L'opera di Stifel risultò tuttavia superata già dopo un anno di vita.

Nel 1545 usciva infatti l'Ars Magna di Gerolamo Cardano (1501 -1576) che conteneva le soluzioni delle equazioni sia di terzo che di quarto grado. Un progresso sbalorditivo e inatteso per l'algebra. Tanto da portare qualche storico a considerare il 1545 come l'anno di inizio del periodo moderno della matematica.
Cardano tuttavia non fu lo scopritore né della soluzione delle equazioni di terzo grado né di quella delle equazioni di quarto grado.

Perché fu lui allora il primo a pubblicarle? E a chi andrebbe invece la vera gloria per la scoperta?

La storia non è delle più edificanti.

È Cardano stesso ad ammettere nel suo libro che l'idea gliel'aveva data Niccolò Tartaglia (1499 – 1557). Nome che a molti di voi evocherà il celebre Triangolo di Tartaglia. Triangolo che in realtà era già noto qualche secolo prima, ma che in molti paesi tuttora viene denominato ancora più a sproposito Triangolo di Pascal.
Ma tornando alle equazioni, dicevamo che Cardano scrisse che l'idea gliel'aveva data Tartaglia. Quello che invece Cardano dimenticò di scrivere è che Tartaglia gli aveva fatto solennemente promettere di non divulgare il segreto. Quest'ultimo aveva infatti in mente di scrivere un trattato sull'algebra in cui la rivelazione della soluzione delle equazioni di terzo grado sarebbe stata la ciliegina che lo avrebbe coronato come il più grande matematico del tempo.

La vera gloria per la scoperta andrebbe quindi a Tartaglia?
Non proprio. Intanto per evitare che Tartaglia venga considerato la povera vittima innocente bisogna ricordare che anche lui nel 1543 aveva pubblicato una traduzione archimedea altrui spacciandola per propria.
Ma per sbrogliare la matassa bisogna tornare qualche anno indietro.

E precisamente al 1526 anno della morte di Scipione del Ferro (1465 – 1526). Fu allora che del Ferro, professore di matematica all'università di Bologna, rivelò sul letto di morte ad un suo studente, Antonio Maria Fior, la soluzione delle equazioni di terzo grado della forma x³ + px = q. Come nota a margine qui bisogna aggiungere che a quei tempi le notazioni algebriche erano un po' diverse e che la suddetta equazione veniva espressa più o meno in questo modo: "trovare cubo et cose equal a un numero".
Non si sa come e quando del Ferro fosse riuscito a scoprire la soluzione. Non aveva infatti mai voluto rivelare né tantomeno pubblicare la sua scoperta. Ma non aveva neppure rivelato di aver fatto una scoperta. Forse perché pensava di pubblicarla solo quando avrebbe trovato la soluzione per l’equazione più generale: x³ + mx² + px = q (trovare cubo, censi et cose equal a numero).
Ad ogni modo, la voce della rivelazione cominciò a circolare nell'ambiente dei matematici e raggiunse probabilmente anche l'orecchio di Tartaglia. A quel punto Tartaglia fu probabilmente stimolato a sviluppare delle sue ricerche in merito. Non si sa bene quanto queste ricerche avvennero in modo indipendente e quanto fossero basate su idee altrui. Fatto sta che nel 1530 Tartaglia era in possesso di una formula risolutiva per un altro tipo di equazioni di terzo grado. Questa volta le equazioni della forma x³ + mx² = q (trovare cubo et censi equal a numero).
Tartaglia ne parla con qualcuno, l'ambiente dei matematici è piccolo, e di nuovo la voce della scoperta si diffonde e giunge fino alle orecchie di Antonio Maria Fior. A quel punto Fior, pensando che Tartaglia sia un impostore, pensa bene di sfidarlo pubblicamente a singolar tenzone. Questa sorta di duelli pubblici tra uomini di scienza erano all'epoca molto diffusi.

In che cosa consistevano?

Ciascuno dei duellanti sottoponeva all'altro una lista di problemi da risolvere entro una certa data. Dopodiché, nella data e nel luogo stabilito, gli sfidanti presentavano pubblicamente le eventuali soluzioni. La posta in gioco erano fama, onore e danaro. Questo era uno dei motivi per cui le scoperte venivano spesso gelosamente custodite.

Nel nostro caso specifico gli accordi tra Fior e Tartaglia prevedono che ognuno fornisca all'avversario trenta problemi da risolvere entro quaranta giorni.
Il 22 febbraio 1535 è il giorno fissato. La piazza è gremita da una folla di studenti, professori, aspiranti matematici, sfaccendati, passanti curiosi, ma anche testimoni, giudici e un notaio. Tutti attendono la grande sfida. Il volto di Tartaglia, a differenza di quello di Fior, appare sereno. Nonostante ciò, quando il giudice gli dà la parola, Tartaglia parla a stento e la sua lingua inciampa più volte sulle parole. Come mai? L'espressione del volto era solo una maschera indossata per nascondere il nervosismo?

Lo scopriremo nella seconda parte...

Puntate precedenti...

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