Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − terza parte − Bertrand Russell: spazio e tempo sono infinitamente divisibili?

Segue da Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − seconda parte − I contributi di Aristotele al paradosso della dicotomia

Come già menzionato, il libro I paradossi di Zenone di Vincenzo Fano è stato fondamentale nel percorso di ricerca per il mio terzo libro, Il mistero della discesa infinita. Oltre ai già citati Giovanni Cerri e Gustavo E. Romero, l'opera di Fano è stata una risorsa inestimabile svolgendo un ruolo chiave nell'approfondimento del pensiero di Zenone in relazione al moderno pensiero scientifico, matematico e filosofico. 

Qui presenterò una sintesi delle premesse di Fano per affrontare le interpretazioni di Bertrand Russell del paradosso della dicotomia (che si basano sui risultati dei matematici Cantor, Dedekind, Weierstrass e Peano).

Premesse alla soluzione di Russell

Prima di tutto bisogna distinguere tra infinita divisione e infinita divisibilità. Abbiamo visto che Aristotele distingue i due concetti attraverso la differenza tra in potenza e in atto. Mentre noi dobbiamo ragionare in modo diverso, date le difficoltà nel tentare di definire il concetto di "in potenza" in modo rigoroso secondo il nostro moderno pensiero razionale.

Infinita divisibilità¹

Da Cantor in poi si interpreta l’infinita divisibilità di un segmento di spazio come l’affermazione che esso è costituito da un insieme infinito e non numerabile di punti. Ma questa interpretazione comporta una rivoluzione completa rispetto alla concezione aristotelica e non solo, secondo la quale l’infinito può esistere solo in potenza, poiché qui si parla di infinito in atto.

Invece, se volessimo restare nello spirito dell'antico dibattito, dovremmo provare a definire con rigore la nozione aristotelica di infinita divisibilità senza avvalerci del moderno concetto di punto matematico. Compito assai arduo che non perseguiremo.

Proseguendo, invece, sulla strada del metodo moderno, va precisato che la locuzione “infinitamente divisibile” che dobbiamo studiare riguarda la fisica e non la matematica, perché nell’argomento della dicotomia è un tratto di spazio fisico a dover essere infinitamente divisibile.
Inoltre, non ci stiamo chiedendo solo se lo spazio sia o meno infinitamente divisibile, ma anche quale sia il senso di questa espressione. Come si può procedere all’infinito nella divisione? Sebbene i fisici di oggi prescindano dalla percezione, sarebbe ragionevole supporre che quando introduciamo dei concetti della fisica ci attenessimo almeno a un principio di percepibilità naturalisticamente inteso. Ovvero nelle nostre teorie fisiche possiamo ammettere solo quelle entità teoriche (non osservabili) per le quali siamo in grado di spiegare perché non le percepiamo o perché le percepiamo con una struttura diversa da come la teoria le delinea.

Possiamo allora procedere nel modo seguente: diciamo che un tratto di spazio è infinitamente divisibile se, presa una parte di esso piccola quanto si vuole, essa è ancora divisibile.

L’espressione “piccolo quanto si vuole” ci porta nell’ambito dell’inosservabile. D’altra parte si potrebbe concepire una tecnologia sempre più avanzata che, in linea di principio, ci porti a scendere sempre di più nel più piccolo.

Dobbiamo adesso definire il concetto di “divisibile “.
Se consideriamo una striscia bianca senza divisioni percettive,

potremmo usare un metodo simile a quello di Dedekind, ma si ha la sensazione che i metodi del taglio presuppongano la divisibilità della striscia, piuttosto che definirla.

Dei diversi tentativi di rendere rigoroso il concetto aristotelico di infinita divisibilità, Fano discute solo quello del matematico Luitzen Brouwer, fondatore della "scuola intuizionistica". 

Brouwer sarebbe stato il primo a mostrare come incorporare nella matematica la questione già sottolineata da Aristotele che un insieme di elementi discreti non può rappresentare il continuo geometrico o intuitivo. Fano dedica alcune pagine per sintetizzare la complessa tecnica sviluppata da Brouwer (1930), e ripresa da Kreisel (1968) e Troelstra (1983).

L'autore analizza quindi uno dei dilemmi che sono alla base di almeno due dei paradossi di Zenone. Se lo spazio fisico sia o no un insieme denso di punti. Ne parleremo nella prossima puntata.

¹ Desidero condividere una breve osservazione che va al di là del contenuto del libro di Fano.

Ho notato una chiara connessione tra la seconda antinomia kantiana e il concetto di infinita divisibilità. Sorprendentemente, non ho ancora trovato alcun articolo che esplori questa correlazione. Se qualcuno ne fosse a conoscenza, gli sarei grato se me lo segnalasse.

Carnevale della Matematica #172: tema libero

L'edizione di ottobre del Carnevale della Matematica, la numero 172, è ospitata da Notiziole di .mau.

e il tema è libero.

Per quanto riguarda i miei contributi, ...

♦ Dioniso, in Maieutica teorema di Pitagora e duplicazione del quadrato nel Menone di Platone, racconta come molti testi riportano che la prima dimostrazione a noi pervenuta del teorema di Pitagora si trovi negli Elementi di Euclide. Tuttavia, nessuno dei testi che aveva letto citava il Menone di Platone: leggendo The Mathematics of Plato’s Academy – A New Reconstruction di David Fowler, ha scoperto che quel dialogo contiene una dimostrazione semplicissima di un caso particolare del teorema di Pitagora, che emerge dalla tecnica per la duplicazione di un quadrato.

Inoltre Maurizio Codogno ha inserito... Il teorema di Pitagora prima di Euclide prende spunto dal post di Flavio quassù e mostra quale sarebbe potuta essere una prima dimostrazione del teorema di Pitagora, ipotizzando il perché si sia persa.

E, per la cellula melodica:

Il 172 si fattorizza 2×2×43: la cellula melodica ha un intervallo di seconda aumentata, che come tutti sanno è diverso dalla terza minore ma si canta praticamente allo stesso modo.

 Per quanto riguarda l'edizione numero 173... 
[173] 14 novembre 2023: (“ssssh!”) MaddMaths! –
 Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.

Maieutica teorema di Pitagora e duplicazione del quadrato nel Menone di Platone

Molti testi riportano che la prima dimostrazione a noi pervenuta del teorema di Pitagora si trova negli Elementi di Euclide. Vedi, ad esempio, Teorema di Pitagora#Dimostrazioni. Tuttavia, nessuno dei testi che ho letto finora cita il Menone di Platone.

Di recente, leggendo The Mathematics of Plato's Academy – A New Reconstruction di David Fowler, ho scoperto che quel dialogo contiene una dimostrazione semplicissima di un caso particolare del teorema di Pitagora, che emerge dalla tecnica per la duplicazione di un quadrato¹. E probabilmente il Menone è stato scritto prima della nascita di Euclide. Secondo David Fowler sarebbe infatti stato scritto intorno al 385 a.C.
Certo, sussiste sempre l’ipotesi che gli Elementi siano ispirati a qualche versione più antica. Ma rimane solo un’ipotesi.

Qui riporto il brano di Platone a cui ho aggiunto alcune immagini.

SOCRATE Dimmi dunque, ragazzo, sai che un’area quadrata è fatta così? È un’area quadrangolare che ha uguali tutte queste linee, che sono quattro.

Socrate traccia un quadrato avente un lato di due piedi.

SCHIAVO Certo.









SOCRATE E non ha uguali anche queste linee che passano per il centro?

Socrate disegna le linee che, partendo dal punto centrale di ciascun lato, dividono il quadrato in quattro quadrati uguali.
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Se dunque questo lato fosse di due piedi e di due piedi questo, di quanti piedi sarebbe il tutto? Rifletti in questo modo: se qui fosse stato di due piedi e qui di un piede soltanto, la superficie non sarebbe forse stata di un piede per due?
SOCRATE Ma dal momento che anche qui è di due piedi, non è forse di due volte due piedi?
SCHIAVO Lo è.
SOCRATE E dunque è di due piedi per due?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Quanto sono dunque questi due piedi per due? Fa’ il calcolo e dimmi.
SCHIAVO Quattro, Socrate.
SOCRATE E non potrebbe esservi un’area che sia il doppio di questa ma simile, avente tutti i lati uguali, come questa?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE E dunque di quanti piedi sarà?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE Suvvia, prova a dirmi quanto sarà la lunghezza di ogni lato di quell’area. Il lato di questa è infatti di due piedi: quanto sarà il lato di quell’area doppia?
SCHIAVO È evidente, o Socrate, che sarà il doppio.
SOCRATE Vedi, Menone, che a costui non sto insegnando nulla, ma che mi limito a chiedergli tutto? E ora egli pensa di sapere quale sia la lunghezza da cui risulterà un’area di otto piedi: non credi?
MENONE Sì.
SOCRATE E dunque lo sa?
MENONE No davvero.
SOCRATE Lo suppone dal lato che è il doppio dell’altro?
MENONE Sì.
SOCRATE Sta’ a vedere come egli ricorda di seguito, come deve ricordare. Dimmi, ragazzo: tu affermi che dal lato doppio si genera l’area doppia; tale area non dico che sia lunga da questo lato e corta da quest’altro, ma che sia invece uguale da tutti i lati, come questa appunto, ma il doppio di questa, di otto piedi: ebbene guarda se a tuo parere risulterà ancora dal lato doppio.
SCHIAVO A me almeno sembra.
SOCRATE E questa linea non diventa forse il doppio di questa se aggiungiamo un’altra linea della stessa lunghezza a partire da qui?
SCHIAVO Certo.
SOCRATE Da questa linea, dunque, tu dici, risulterà l’area di otto piedi, se i quattro lati sono della stessa lunghezza?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Tracciamo dunque, a partire da questo, quattro lati uguali. Sarebbe questa o qualcos’altro l’area che, a tuo parere, è di otto piedi?

Socrate prolunga di altri due piedi i lati del quadrato iniziale e disegna un quadrato maggiore, avente i lati di quattro piedi.

SCHIAVO Certo.
SOCRATE E in quest’area non ci sono forse questi quattro quadrati, ognuno dei quali è uguale a questo di quattro piedi?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Dunque di quanto è? Non è il quadruplo?
SCHIAVO Come no?
SOCRATE Dunque ciò che è il quadruplo è anche doppio?
SCHIAVO No, per Zeus.
SOCRATE Ma allora di quante volte è maggiore?
SCHIAVO Di quattro volte.
SOCRATE Dunque, ragazzo, dal lato doppio risulta non un’area doppia, ma quadrupla.
SCHIAVO È vero.
SOCRATE Quattro volte quattro infatti fa sedici, no?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Da quale lato risulta, invece, un’area di otto piedi? Non risulterà da un lato maggiore di questo e da un lato minore di quest’altro? o no?
SCHIAVO A me almeno sembra così.
SOCRATE Bene: perché rispondi quello che pensi. E dimmi: questo lato non era di due piedi e di quattro quest’altro?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Bisogna dunque che il lato dell’area di otto piedi sia maggiore di questo di due piedi, ma minore di quello di quattro.
SCHIAVO Necessariamente.
SOCRATE Prova dunque a dire quanto pensi che sia lungo.
SCHIAVO Tre piedi.
SOCRATE Se dunque è di tre piedi, dobbiamo aggiungere a questo la metà della sua lunghezza e sarà di tre piedi? Infatti questi sono due piedi, questo un piede; e a partire da qui allo stesso modo questi sono di due piedi e questo uno: e ne risulta quest’area che tu dici.
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Se dunque è qui di tre piedi e qui di tre piedi, l’area totale non è di tre volte tre piedi? SCHIAVO È evidente.
SOCRATE Ma tre volte tre piedi quanti piedi sono?
SCHIAVO Nove.
SOCRATE E l’area doppia di quanti piedi dovrebbe essere?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE Quindi neppure da un lato di tre piedi deriva l’area di otto piedi.
SCHIAVO No, certo.
SOCRATE Ma da quale lato risulta? Cerca di dircelo esattamente; e se non vuoi fare il calcolo, mostra tuttavia da quale lato.
SCHIAVO Per Zeus, o Socrate, io non lo so.
SOCRATE Ti rendi conto, ancora una volta, di quanto costui sia già andato avanti sulla strada della reminiscenza? considera che prima non sapeva quale fosse il lato dell’area di otto piedi, come del resto non lo sa adesso, ma almeno allora pensava di saperlo, e rispondeva con audacia come se sapesse, e non pensava di trovarsi in difficoltà; ora invece ritiene di essere ormai in difficoltà, e poiché non sa, neppure pensa di sapere.
MENONE Quel che dici è vero.
SOCRATE E non non si trova in una condizione migliore adesso riguardo alla cosa che non sapeva?
MENONE Anche su questo sono d’accordo.
SOCRATE Noi avevamo tuttavia bisogno di un’area doppia: o non ti ricordi?
SCHIAVO Certamente.
SOCRATE Questa linea da angolo ad angolo non taglia in due ognuna di queste aree?

SCHIAVO Sì.
SOCRATE Non ne risultano questi quattro lati uguali che contengono quest’area?
SCHIAVO Sì, risulta così.
SOCRATE Osserva dunque: quanto è grande quest’area?
SCHIAVO Non capisco.
SOCRATE Non è forse vero che, ogni linea le ha divise a metà all’interno queste quattro aree? o no?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE Quante sono all’interno di questa superficie queste metà?
SCHIAVO Quattro.
SOCRATE E quante in quest’altra?
SCHIAVO Due.
SOCRATE Quattro che cos’è di due?
SCHIAVO Il doppio.
SOCRATE Dunque quest’area di quanti piedi è?
SCHIAVO Di otto piedi.
SOCRATE A partire da quale linea?
SCHIAVO Da questa.
SOCRATE Cioè da quella tesa da angolo ad angolo dell’area di quattro piedi?
SCHIAVO Sì.
SOCRATE I sofisti chiamano questa linea diagonale: cosicché, se questa linea ha il nome di diagonale, a partire dalla diagonale, come tu dici, o schiavo di Menone, risulterebbe l’area doppia.
SCHIAVO Certo, o Socrate.
SOCRATE Che ne pensi, Menone? C’è qualche opinione che costui non espresse, nelle sue risposte, come sua?
MENONE No, sono opinioni sue.
SOCRATE E tuttavia non sapeva, come dicevamo poco fa.
MENONE Quel che dici è vero.
SOCRATE Dunque queste opinioni si trovavano in lui: o no?
MENONE Sì.
SOCRATE Ma in chi non sa possono essere presenti, sulle cose che non sa, opinioni vere?
MENONE È evidente.
SOCRATE E adesso in lui queste opinioni sono emerse, come in un sogno; ma se uno gli chiederà più volte queste stesse cose e in molti modi, puoi star certo che alla fine avrà di questi argomenti una conoscenza puntuale non meno di chiunque altro.
MENONE È probabile.
SOCRATE Dunque avrà una conoscenza senza che nessuno gli abbia insegnato, ma grazie a delle semplici domande, avendo recuperato lui da se stesso la conoscenza?
MENONE Sì.
SOCRATE Il recuperare da se stessi all’interno di sé una conoscenza non significa ricordarsi?
MENONE Certamente.

¹ The Mathematics of Plato's Academy – A New Reconstruction di David Fowler p. 7 – "The passage is well known and frequently discussed (Plato’s, quotation of Pythagoras theorem), but I quote it here in full for special reasons that it is our first direct, explicit, extended piece of evidence about Greek mathematics, it probably dates from about 385 bc."

La paura dello straniero di Ilvo Diamanti

Rilancio un'analisi di Ilvo Diamanti. Estrema sintesi dell'analisi del sociologo/politologo.

Il 64% vorrebbe "confini più controllati".

Il 45% degli intervistati ritiene che "gli immigrati sono un pericolo per la sicurezza delle persone". 

Ilvo Diamanti evidenzia anche "la forte crescita che ha registrato, nell’ultimo anno, l’inquietudine dei cittadini rispetto all’aumento degli immigrati. Oggi, infatti, la quota di quanti li ritengono “un pericolo per l’ordine pubblico e la sicurezza delle persone” ha raggiunto il 45%. Il livello più alto dal 2007, 16 anni fa, quando aveva toccato il 51%. Una misura che, in seguito, si è ridimensionata sensibilmente. Fino a scivolare al 26% nel 2012-13. Per risalire in seguito intorno al 2017-18. Un passaggio significativo e non casuale. Perché coincide con la campagna elettorale delle elezioni politiche in Italia".

E la fascia dei giovani è quella più convinta che "L'Italia dovrebbe aprirsi maggiormente al mondo.

Dopo il Covid torna la paura dello straniero. Due terzi degli italiani per le frontiere chiuse - la Repubblica

Il male detto di Roberta Fulci - Un libro che svela i segreti del dolore e cattura il lettore come un romanzo giallo

È possibile scrivere un libro incentrato sul dolore che catturi il lettore come un bel romanzo giallo? Roberta Fulci ci è riuscita.

Ho cominciato a leggere la prima pagina per curiosità, con l’idea che avrei messo il libro in coda alla mia lista e invece non sono riuscito a smettere. Roberta Fulci, proponendo domande a scienziati esperti delle varie aree che gravitano intorno al dolore (medica, biologica, psicologica, filosofica) guida il lettore in una graduale scoperta dei segreti intorno al dolore.

Inoltre il libro espone termini ed espressioni per descrivere i vari aspetti del dolore. E si sa, a volte le emozioni, le sensazioni e le esperienze prendono forma concreta solo se si ha la capacità di esprimerle verbalmente. La cosa esiste se ha un nome. Il lettore ne esce quindi sicuramente arricchito anche nella capacità di esprimere le proprie esperienze di dolore fisico ed emotivo.

Aggiornamento

E dopo mezzoggiorno ci siamo anche visti la diretta dell'assegnazione del Premio Science Book of the Year a TriesteNext. Il Male detto di Roberta Fulci è arrivato secondo!!!

Carnevale della Matematica #171: matematica fantasiosa

L'edizione di settembre del Carnevale della Matematica, la numero 171, è ospitata da Amolamatematica e il tema è matematica fantasiosa.

Per quanto riguarda i miei contributi, ...

Il 171 si fattorizza 3x3x19: Dioniso, come da tradizione, ha inviato la sua cellula melodica, caratterizzata da un salto di sesta minore, come se il merlo volesse farci riflettere sull’ossimorica qualità di una luce oscura.

Dioniso continua ad esplorare il libro I paradossi di Zenone di Vincenzo Fano, che è stato uno dei punti di riferimento per il lavoro di ricerca per il suo libro, Il mistero della discesa infinita. In questa seconda parte, I contributi di Aristotele al paradosso della dicotomia, riporta una sintesi delle considerazioni di Fano relative alle interpretazioni aristoteliche del paradosso della dicotomia. In Guida veloce in città: vantaggi e svantaggi, Dioniso segnala una puntata di Radio3 Scienza, “Andavo a 30 all’ora…”, riassumendo i vantaggi e gli svantaggi in una tabellina, che potrebbe essere estremamente utile a scuola quando si parla di sicurezza stradale, applicazione della cinematica all’educazione civica.

 Per quanto riguarda l'edizione numero 172... 
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 Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.

Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − seconda parte − I contributi di Aristotele al paradosso della dicotomia

Segue da Vincenzo Fano − I paradossi di Zenone − prima parte − una formalizzazione del paradosso della dicotomia e il contributo di Diogene il Cinico

Un altro punto di riferimento nel mio lavoro di ricerca per il mio terzo libro, Il mistero della discesa infinita, oltre ai già citati Giovanni Cerri e Gustavo E. Romero, è stato il libro I paradossi di Zenone di Vincenzo Fano. Il lavoro dello studioso di logica ed epistemologia mi ha aiutato molto a comprendere il pensiero di Zenone in rapporto al moderno pensiero scientifico, matematico e filosofico.

Qui riporterò una sintesi delle considerazioni di Fano relative alle interpretazioni di Aristotele del paradosso della dicotomia.

La soluzione di Aristotele

Fano propone un'interpretazione di tre passi significativi significativi della Fisica per comprendere la discussione aristotelica sulla Dicotomia.

Prima di tutto Aristotele dimostrerebbe che se lo spazio è infinitamente divisibile lo è anche il tempo. Dopo di che egli osserva che “nella metà di un dato tempo si percorre la metà di una data lunghezza”. Quindi afferma che: "le divisioni del tempo possono essere messe in corrispondenza con quelle dello spazio. La divisione dello spazio che compare nel paradosso non è secondo le estremità (cioè non stiamo parlando di uno spazio infinito), ma secondo la divisione, ovvero è uno spazio finito infinitamente divisibile. Anche il tempo lo è. Quindi non abbiamo una corrispondenza fra uno spazio infinito e un tempo finito ma fra spazio e tempo infiniti nel senso della divisione.

Aristotele discute poi se un punto del moto di un corpo sia in atto o in potenza; e conclude che "se è un punto in cui il corpo arriva e riparte, come ad esempio l’estremo di un moto pendolare, allora quel punto del moto è in atto, altrimenti un punto in mezzo a un moto è solo in potenza. 

Aristotele nota dunque un ulteriore aspetto dell’argomentazione di Zenone, che non è riconducibile al fatto che per percorrere un insieme infinito di spazi finiti occorre un tempo infinito, ma che in generale non sia possibile compiere un insieme infinito di atti, per il semplice fatto che l’infinito non ha ultimo termine. In altre parole non sarebbe possibile per il corpo C andare da a a b, perché C dovrebbe compiere un’infinita di attraversamenti, e un’infinità non ha un termine finale, per cui C non può arrivare in b. Questo vorrebbe indipendentemente dalla lunghezza degli intervalli. 

"In altre parole, qui Aristotele si sta ponendo con ogni probabilità il problema che i moderni teorici dei supercompiti (ossia realizzare un numero infinito di atti in un tempo finito) sollevano rispetto alle soluzioni standard del paradosso della Dicotomia, cioè a quelle basate sul fatto che la successione Sn = 1- 1/2ⁿ per n che tende all'infinito tende a 1.

In termini moderni il problema dei supercompiti è duplice: in primo luogo non si comprende come si possa realizzare un numero infinito di moti in un tempo finito, indipendentemente dal fatto che la loro somma abbia lunghezza finita; in secondo luogo, il fatto che la successione S_n tenda a 1 per N che tende all’infinito riguarda i termini della successione e non il punto d’arrivo; infatti, 1 non è membro di tale successione. Quindi, avendo dimostrato che Sn tende a 1 non abbiamo ancora provato che il corpo C arrivi a destinazione.

Ma anche così si potrebbe obiettare: resta il fatto che qualsiasi affermazione riguardante la successione degli S_n non è detto che valga per il punto B che non appartiene a essa. 
Quindi, per risolvere definitivamente questo problema, occorre invocare una sorta di principio di continuità. Ovvero se lo spazio è continuo allora non sussiste nulla fra la serie infinita degli intervalli compresi in ab e il punto B. Per cui il corpo non può che arrivare in B. Questo non solo vale per la fisica contemporanea ma era vero anche per Aristotele.

Nella prossima puntata vedremo l'approfondimento di Fano sul suddetto principio di continuità e le sue premesse per affrontare le  interpretazioni di  Russell (che usò i risultati dei matematici Cantor, Dedekind, Weierstrass e Peano) del paradosso della dicotomia.

Cultura profetica: scienza e metafisica

"‒ Veniamo da anni in cui c'è la sensazione di avere una sola descrizione del mondo, C’è un solo modo di raccontare la realtà? Solo attraverso il metodo scientifico? Tutti gli altri modi non sono più praticabili? È possibile rimettere in campo un altro modo di fare esperienza del mondo che non sia quello scientifico e che allo stesso tempo non sia in contrasto con la scienza? Senza essere accusati di essere superstiziosi e antiscientifici?
‒ Sicuramente il discorso scientifico è molto importante. Io suggerivo di guardare i discorsi sulla realtà non per quello che dicono di vero ma per gli effetti che hanno. La scienza non si arroga una verità assoluta.attuale non si arroga una verità assoluta. Ma si occupa della possibilità di modificare la realtà attorno a noi, di identificare alcuni elementi e di consentirci di avere una serie di effetti.
Noi dobbiamo ricordarci di non essere superstiziosi con i discorsi sulla realtà. Di nessun tipo. Né nei discorsi religiosi né in quelli scientifici. Nessuno di essi ci dà una visione della realtà così com'è di per se stessa. Ci consente di entrare in un rapporto con una realtà che è di per sé inconoscibile. La scienza ci dà alcune preziose possibilità. Ma ci sono altre modalità da affiancare ala scienza.

Ad esempio, per la biologia, la scienza è un ottimo linguaggio. Ma per aspetti relativi alla nostra mortalità la scienza non basta. Dobbiamo affiancare i linguaggi. Anche se può sembrare una contraddizione affiancare linguaggi così diversi."

Da Uomini e Profeti | Cultura profetica. | Rai Radio 3 | RaiPlay Sound

"Federico Campagna, filosofo, autore di un libro che pone al centro una questione cruciale: come lasciare un'eredità culturale fertile a coloro che verranno dopo la fine del nostro futuro. Il libro è "Cultura Profetica. Messaggi per il mondo a venire" edito da Tlon, ed esplora le storie cosmologiche che hanno costruito la nostra nozione di civiltà moderna."

Il libero arbitrio è solo un'illusione?

Ci sono due scuole di pensiero con conclusioni diametralmente opposte sul libero arbitrio.

Secondo una il libero arbitrio sarebbe totale, secondo l'altra il libero arbitrio sarebbe del tutto assente e illusorio.

David Chalmers sostiene che il libero arbitrio è probabilistico e la probabilità è guidata dalle emozioni.

Piú forti sono le emozioni più il libero aribitrio diminuirebbe. 

Ad esempio, una forte paura o una forte attrazione spingerebbero il nostro libero arbitrio verso una fuga in un caso e verso un avvicinamento nell'altro.

Radio3 Scienza | S2023 | La fonte della coscienza | Rai Radio 3 | RaiPlay Sound

Guida veloce in città: vantaggi e svantaggi

Da Radio3 Scienza | S2023 | Andavo a 30 all'ora… | Rai Radio 3 | RaiPlay Sound

"Il grande inganno della velocità in città e che crediamo di andare a 60, 70, 80 km l’ora perché vediamo quella velocità nel tachimetro. In realtà la nostra velocità media è molto più bassa perché dobbiamo frenare e ripartire in continuazione. Crea condizioni circostanti di pericolo ma non ci fa arrivare prima."

Riassunto in una tabellina...

Ci sono più vantaggi o svantaggi? Ma allora perché continuiamo a farlo?

Il mistero del suono senza numero - "in superficie è una storia semplice e ricca di mistero, in profondità nasconde l’essenza della matematica"

Daniela Molinari, insegnante di matematica e fisica presso un Liceo Scientifico ha scritto una recensione del Il mistero del suono senza numero. 

Qui riporto solo un piccolo estratto. Per la recensione completa: amolamatematica/il-mistero-del-suono-senza-numero

Il percorso è davvero interessante: in superficie è una storia semplice e ricca di mistero, ma in profondità nasconde l’essenza della matematica: mette in luce le caratteristiche della scuola pitagorica, il percorso della ricerca matematica dalla nascita di un’idea fino alla sua formalizzazione, ed evidenzia come le domande fondamentali si mostrino a volte come banali, ma possano mettere in crisi anche i saperi più antichi.

Le idee più profonde della matematica e della filosofia pitagorica sono trasmesse al lettore nel corso della storia e, permeando la vicenda, consentono un’assimilazione più efficace dei concetti difficili.

Carnevale della Matematica #170: Matematica razionale

L'edizione di aprile del Carnevale della Matematica, la numero 170 è ospitata da Notiziole di .mau. e il tema è Matematica razionale.

Per quanto riguarda i miei contributi, ...

l 170 si fattorizza 2×5×17: la cellula melodica non ha pertanto altezze o intervalli complicati da prendere, ma non è banalissima da cantare.

   

Veniamo ai contributi!
Dioniso, in Gabriele Lolli: la matematica è consolidata, stabile e cumulativa, racconta come nel terzo capitolo “Matematica on the move” del suo libro, Matematica in movimento, Gabriele Lolli cerca di definire che cosa si intenda per “matematica” e riflette sulla visione che la vuole consolidata, stabile e cumulativa.

 Per quanto riguarda l'edizione numero 171... 
 Troverete l'informazione su 
 Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.

Gabriele Lolli: la matematica è consolidata, stabile e cumulativa?

In Gabriele Lolli e il platonismo matematico abbiamo visto che le cosiderazioni di Lolli sulla visione che postula “l’esistenza di un mondo di oggetti ideali che contiene tutti gli oggetti e le funzioni della matematica”.
Nel terzo capitolo "Matematica on the move" del suo libro, Matematica in movimento. Come cambiano le dimostrazioni, Gabriele Lolli cerca di definire che cosa si intenda per “matematica” e riflette sulla visione che la vuole consolidata, stabile e cumulativa.

"Di solito si parla di “matematica” come corpo di conoscenze consolidate, stabili, cumulative mentre è un corpo di conoscenze che sono sempre in corso di definizione, che sono periodicamente riviste e per le quali si dà anche il fenomeno dell’obsolescenza. …

Con “la matematica” ci riferiamo al movimento complessivo generato dai loro cultori alla direzione delle loro ricerche e alle novità che queste hanno portato e portano, alle dichiarazioni programmatiche. Conveniamo che l’insieme di tali elementi definisca un'immagine, ma un'immagine che può essere in ogni epoca eventualmente diversa e tuttavia riconducibile sotto lo stesso nome, distinguendosi per i rapporti, che ci sono ed evolvono, con le immagini costituite in epoche precedenti e con quelli con altre discipline. …

Non è una media dei protagonisti, c’è sempre qualcuno o qualche gruppo che riesce a interpretare e esprimere meglio una direzione; anzi, che di fatto indica la direzione, di cui essi saranno le avanguardie. … Parafrasando un famosa frase di Ernst Gombrich (1909-2001) possiamo dire:
“Non esiste una cosa chiamata matematica, esistono i matematici”. E non pensano tutti nello stesso modo, ma di nuovo qui con “i matematici” ci si riferisce non a una media ma a coloro che sviluppano le tracce dei leader. ...

La matematica di Newton è diversa da quella di Euclide e Archimede, se non altro perché Newton aveva le derivate; quella di oggi è diversa da quella dei tempi di Newton, se non altro perché oggi ci sono la topologia e l’algebra astratta, ma è sempre riconoscibile come “matematica”.

Alla fine del Settecento Joseph-Louis Lagrange temeva addirittura che non ci fosse più nulla da fare in matematica. ...
Le pessimistiche previsioni di Lagrange sono smentite da due svolte: da una parte nuovi
fenomeni fisici attirano l’attenzione della filosofia naturale pur essendo impalpabili e sfuggenti,
come la trasmissione del calore per esempio, poi l’elettricità; la natura si rivela molto più varia e
ricca di manifestazioni prive della solidità della meccanica; coraggiosi matematici come Jean
Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) sono stimolati ad assoggettarle alla conoscenza scientifica.
D’altra parte nella nuova matematica non si indaga più il mondo della natura, o non solo quello
ovviamente, ma il mondo della matematica; esso inizia a popolarsi di nuovi concetti, e sono questi
a essere l’oggetto di studio. Entra nel vocabolario la distinzione tra matematica pura e matematica applicata.

… per Francis Bacon (1561-1626), e fino ancora episodicamente a fine Ottocento, la matematica è o pura o mista; la matematica pura contiene le scienze che trattano la quantità completamente separata dalla materia e dagli assiomi della filosofia naturale, e sono la geometria per la quantità continua, e l’aritmetica per la quantità separata (discreta); “[ l] a matematica mista ha come suo argomento alcuni assiomi e parti della filosofia naturale, e considera la quantità in quanto essa serve a spiegare, dimostrare e attivare quelle”.

Nell’Ottocento, a parte per i nostalgici della vecchia terminologia in estinzione, la matematica applicata è solo matematica, non include assiomi della filosofia naturale; nella matematica pura non si studia “la quantità completamente separata dalla materia”, ma si prendono come oggetti separati i concetti stessi matematici.

Georg Cantor, nel 1883, dichiara: "In ragione di questa straordinaria posizione che distingue la matematica da tutte le altre scienze, e che fornisce una spiegazione per il modo relativamente leggero e privo di vincoli di svilupparla, essa merita in modo speciale il nome di matematica libera, una descrizione che, se ne avessi il potere, io preferirei a quella ora usuale di “matematica pura”.

La “posizione straordinaria” consiste nel fatto che secondo Cantor la matematica è una conoscenza intrasoggettiva, o conoscenza di una realtà intrasoggettiva o immanente a differenza di quella transsoggetiva o transiente; la prima è composta di idee che prendono un posto coerente attraverso definizioni nel nostro pensiero, la seconda è rappresentazione di cose che occorrono effettivamente nella realtà corporea e spirituale; il primo tipo corrisponde secondo Cantor alle idee che Spinoza chiamava “adeguate”.

In termini più semplici, e senza scomodare i grandi filosofi, il senso dell’appellativo “libera” sembra essere che basta che i matematici si capiscano e siano d’accordo intra loro su quello che studiano, senza bisogno di fare appello al mondo reale per confermare la plausibilità di quello che dicono – una dichiarazione molto coraggiosa e dirompente, che tuttavia al tempo di Cantor sintetizzava una serie di tendenze che percorrevano l’Ottocento."

Carnevale della Matematica #169: Matematica irrazionale

Benvenuti alla centosessantanovesima edizione del Carnevale della Matematica!

Carnevale il cui tema libero è matematica irrazionale (in tutti i sensi) e il cui necessario verso gaussiano, “Allegro, allegro!”, viene cantato dal merlo, con tutta la sua monotona gaiezza, nella seguente cellula melodica gaussiana armonizzata.

Come da tradizione, partiamo con le proprietà del numero del carnevale. 

Come quadrato di 13, 169 è un numero composto, ed è quindi anche difettivo, come tutte le potenze dei numeri primi. Inoltre possiede una strana proprietà palindromica. Infatti

13 × 13 = 169
e
31 × 31 = 961
È uno dei pochi quadrati a essere un numero esagonale centrato, ed è anche un numero ottagonale centrato. È un numero di Markov, ed è la somma di sette numeri primi consecutivi: 

13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 = 169

È un numero potente, è parte delle terne pitagoriche (65, 156, 169), (119, 120, 169), (169, 1092, 1105), (169, 14280, 14281), è un numero palindromo nel sistema posizionale a base 12 (121) e un numero fortunato.

E ora la parte più importante: i  contributi.

Annalisa Santi da Matetango ci invia l'articolo "L'eresia di Ippaso a teatro", su uno spettacolo teatrale che aveva appassionato Annalisa. "Un giallo dedicato a colui che non si può certo dimenticare parlando di "irrazionalità", vale a dire Ippaso.

Una pièce che nasce dal progetto TεatroinMatεmatica, un progetto divulgativo, un fitto dialogo tra scienza e arte attraverso spettacoli teatrali."
"Ci tengo anche a ricordare", ci dice Annalisa, "che, come ogni anno, gli appuntamenti del TεatroinMatεmatica, di Maria Eugenia D’Aquino, verranno programmati, all'interno della Stagione Teatrale di PACTA dei Teatri SALONEviaDini di Milano, nel mese di novembre 2023.
(Per conoscere la date precise contattare ufficioscuole@pacta.org e promozione@pacta.org)"

Leonardo Petrillo ha mandato Scienza e Musica: 666: IL NUMERO DI "DIABLO"!. Articolo in cui Leonardo si prenota per poter ospitare il Carnevale della matematica 666! E propone anche un numero irrazionale come espressione della radice di tutti i mali.

"Come una sorta di celebrazione per l'uscita a breve del videogame Diablo IV in una data molto particolare (6.6.23), ho pensato di raccontare matematicamente (ma non solo) il famoso "Numero della Bestia": il 666.
Mi sono, in particolare, messo nella prospettiva di un ipotetico viaggio nel futuro verso il Carnevale della Matematica n.666 e presentato quella che sarebbe l'introduzione al numero dell'edizione, se da me ospitata. Per quanto concerne poi l'affinità con il tema dell'irrazionale, oltre al fatto che nel post si parla pure di demoni, c'è anche un riferimento ad un numero irrazionale strettamente legato al 666."

E per una singolare coincidenza (ma sarà davvero una coincidenza?) Roberto Zanasi ci manda un altro articolo diabolico: Gli studenti di oggi: Inferno, canto XVII!
Sul canto 17esimo dell'Inferno, dove si parla di usurai, del paradosso del sorite e della logica fuzzy.

Da Maddmaths! Roberto Natalini contribuisce con:

La nuova Madd-Letter!

Il numero #90 della nostra newsletter copre tutti i principali eventi dei mesi di marzo e aprile, partendo dai Due giorni alla Sapienza con e per Ingrid Daubechies, all'Einstein della tassellazione agli approfondimenti sull'intelligenza artificiale e chatGPT. Passando per i nostri consueti contenuti: podcast, rubriche e recensioni di libri e fumetti.
MADD-LETTER n. 90 (marzo - aprile 2023)

Le Maschere del Carnevale Matematico, un podcast di Fabio Quartieri
Episodio 9 – 13, 5 – Gli ospiti di questa puntata hanno tantissimi aspetti in comune: amano la matematica, vivono a Genova, e hanno iniziato a fare divulgazione nello stesso modo.
Oggi ci faranno compagnia Veronica Grieco e Luca Balletti.

Due liceali americane hanno trovato una nuova dimostrazione del teorema di Pitagora

Spetta a due liceali americane della St. Mary’s Academy di New Orleans il merito di aver individuato una nuova dimostrazione del celebre teorema di Pitagora, dimostrazione che si serve della trigonometria senza, però, ricorrere all’identità fondamentale, che deriva dal teorema di Pitagora stesso. Ce ne parla Stefano Pisani.

Il matematico con cui non conviene giocare a carte
Se il nonno ti batte sempre a briscola e inizi ad avere qualche sospetto allora dovrai leggere "The Mathematics of Shuffling Cards", il nuovo libro del matematico Jason Fulman, dedicato allo studio del mescolamento delle carte.
Fulman cerca di rispondere a questioni ataviche come "quante volte deve essere mescolato un mazzo di carte" e "qual è il miglior metodo per distribuirle".
Nel libro, il matematico spiega anche come l'analisi del tempo di mescolamento delle carte abbia ricadute al di fuori del blackjack e possa aiutare gli informatici a determinare la distribuzione ottimale di file e cartelle nei database e i biologi a comprendere informazioni sullo sviluppo evolutivo degli organismi.

Nuova Lettera Matematica, ripartire per rimanere

Nuova Lettera Matematica cambia veste ed editore. Scopriamo insieme questo nuovo n. 1 pubblicato da Scienza Express.

Letture matematiche
“L’universo letterario del probabile” di Francesca Romana Capone

Qual è la probabilità che Edgar Allan Poe conoscesse le principali nozioni della stessa teoria della probabilità?
Come il concetto del caos deterministico potrebbe avere condizionato il pensiero di Paul Valéry o di Carlo Emilio Gadda?
Quale effetto potrebbe avere avuto il passaggio dalla meccanica classica a quella quantistica sulla scrittura di Robert Musil o Daniele Del Giudice?
L'ultima lettura matematica è il saggio “L’universo letterario del probabile” di Francesca Romana Capone, consigliato da Alice Raffaele.
Sofia Kovalevskaja, Alice Milani (un fumetto di poesia e scienza)

Esce per Coconino Press una bella e ampia storia a fumetti di Alice Milani, dedicata alla matematica Sofia Kovalevskaja. Tra letteratura, matematica, rivoluzione e drammi personali, un’opera brillante e piena di immaginazione. Impressioni di Roberto Natalini.

Rivoluzioni matematiche: il Teorema del limite centrale

Rivoluzioni matematiche in edicola!
Con il numero di Maggio de Le Scienze troverete in allegato l'ottavo dei venti volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!.
Questo nuovo volume è dedicato al Teorema del limite centrale ed è a cura di Francesca Carfora dell'IAC-CNR di Napoli.

Letture matematiche: Senza uguali, Guido Caldarelli
Brevi consigli per letture matematiche. “Senza uguali – Comprendere con le reti un mondo che non ha precedenti” di Guido Caldarelli, consigliato da Marco Menale.

Il tortuoso, ma inarrestabile cammino delle donne scienziate

Esce per Nemapress edizioni un libro sulla storia donne che hanno vinto i nobel scientifici.
Si intitola "Le madri di idee, le donne scienziate e il Premio Nobel", ed è stato scritto da Elisabetta Strickland. Il libro, che è già acquistabile, sarà presentato a Roma il 17 maggio. Ce ne parla Roberto Natalini.

La Lente Matematica di Marco Menale

Il bias dell’evidenza incompleta

Più siamo convinti di un’idea, più vediamo sue conferme in giro. Non c’è proprio nulla che possa contraddirla, o metterla alla prova. È il bias dell’evidenza incompleta.

Sei gradi di separazione: questione di legami deboli

Sei gradi di separazione: questione di legami deboli
Quante persone ci sono tra noi e il Presidente della Repubblica, così da contattarlo direttamente? Per "i sei gradi di separazione" non più di cinque.
Con al più sei mail, possiamo fargli arrivare il nostro messaggio. Il processo sarà tanto più veloce quanto più scegliamo persone lontane dalla nostra cerchia. È questione di legami deboli.

E passiamo a Piotr, che così introduce gli articoli di Rudi Matematici:

Arcieri senza frecce è il titolo del cosiddetto “post istituzionale”, ovvero quello che dovrebbe contenere la soluzione e i commenti al problema che viene pubblicato su “Le Scienze” ogni mese. Il quiz in sé è roba per gli aficionados della geometria euclidea.

Triomini: si tratta di un Quick&Dirty, ovvero di un problema che dovrebbe essere veloce nell’enunciato e sporco dal punto di vista morale, perché la soluzione potrebbe essere assai più complicata di quanto appare a prima vista (un po’ come la Congettura di Golbach, la mamma di tutti i Q&D). Nel caso specifico, però, anche l’esposizione può essere ingannatrice, tant’è che il primo commento ci chiedeva, non del tutto a torto: “Ma che diavolo sono i triomini?”. Beh, siamo certi che i lettori del Carnevale lo sappiano già, vero? Ma se così non è, che chiedano pure usando i commenti!

Buon compleanno Francesco è invece un “compleanno” ovvero uno di quei nostri articoli che – soprattutto all’inizio – sembrano molto fuori luogo in un blog di matematica, anche se verso la fine cercano di rimediare alla mancanza. Il titolo originale (tutti i nostri post sono di fatto repliche di articoli già usciti nella nostra e-zine) era “Il Burbero”, il protagonista è Francesco Tricomi, e nell’articolo ci sono un sacco di foto di aerei supersonici che, imperlappunto, spappolano il muro del suono.

E infine l’avviso dell’uscita della e-zine, che nominalmente dovrebbe uscire “il primo giorno lavorativo del mese”, ma il numero 292 di Maggio è ancora fortemente in ritardo. Speriamo riesca almeno a ridurre il ritardo con cui era uscito il numero precedente, ovvero il Rudi Mathematici 291 di Aprile, che è uscito neanche due settimane fa…

Maurizio Codogno, avvisandoci di essere restato molto razionale, contribuisce con la seguente lista.
I quizzini della domenica sono Resta primo, e Continua a restare primo, entrambi su un gioco tra due persone che devono continuare a generare numeri primi; Uguale o raddoppiato, un problemino dove non viene chiesto qual è il numero di caramelle che hanno i due bambini ma il massimo comune multiplo di tutte le possibili soluzioni, e Autoseparazione, dove bisogna costruire una successione infinita di numeri separati opportunamente tra di loro.

Le recensioni matematiche sono di Math Games with Bad Drawings, di Ben Orlin, con una pletora di giochi e soprattutto spiega perché quei giochi sono importanti matematicamente; Essentials of Game Theory di Kevin Leyton-Brown and Yoav Shoham, un riassunto fin troppo stringato dei principali risultati di teoria dei giochi; La scala musicale di Fabio Bellissima, una spiegazione non solo matematica ma anche filosofica di come i teorici musicali cercarono di far quadrare i conti nel costruire una scala musicale; A Brief History of Infinity di Brian Clegg, più che altro una breve storia non molto lineare sui matematici che hanno cercato di venire a capo dell'infinito.

Infine per la Povera matematica c'è Aumenti assoluti e costi medi, che mostra come anche il Corriere riesce a mischiare mele con pere, e per Matematica light Lewis Carroll e le funzioni trigonometriche, o più precisamente di quando Charles Dodgson propose degli strani simboli per indicare le funzioni trigonometriche.

Nella quasi-conclusione del Carnevale abbiamo Gianluigi Filippelli che, per la serie dei Rompicapi di Alice contribuisce con La partita a scacchi di Alice, in cui va a esaminare (ma non solo) la partita a scacchi su cui si basa Attraverso lo specchio, seguito del Paese delle Meraviglie.

A questo è anche abbinato un video, che è uscito qualche giorno dopo e che può essere trovato nell'apposito post che, con una qual certa "originalità" si chiama Una partita a scacchi Attraverso lo specchio. 

Per la serie dei Ritratti ecco Maurice e Louis de Broglie, i due fratelli fisici, uno sperimentale e l'altro teorico, con quest'ultimo, Louis, che deve proprio al fratello maggiore la sua passione per la fisica.

Tra le recensioni ecco quella dedicata al #3519 di Topolino, dove a sommario è presente una storia matematica con Pico de Paperis e Newton Pitagorico sui numeri triangolari e i quadrati magici. All'interno della recensione c'è anche il video della serie Disney Comics&Science che, in quell'occasione, non ha avuto il suo post autonomo.

Sempre tra le recensioni ecco La dittatura del calcolo, interessante saggio sul calcolo e l'algoritmica di Paolo Zellini.

Torniamo ai numeri triangolari con Una dimostrazione triangolare, all'interno della serie dei Paralipomeni di Alice in cui propongo la dimostrazione formale di una formula con i numeri triangolari. All'interno del post è linkata anche la dimostrazione senza parole uscita il mese prima.

E infine il post relativo alla terza puntata del podcast scientifico dedicata a Galileo Galilei. 

Dal Caffè del Cappellaio Matto, invece, ecco Dialogo quantistico, il post relativo all'omonimo video della precedentemente citata serie Disney Comics&Science dedicato a due equazioni fondamentali della meccanica quantistica.

E infine, come conclusione definitiva, il mio contributo.
Gabriele Lolli e il platonismo matematico. Nel secondo capitolo del suo libro, Matematica in movimento. Come cambiano le dimostrazioni, Gabriele Lolli esplora il concetto di platonismo matematico. Cioè, di quella visione, “abbracciata dalla maggioranza dei matematici” che postula “l’esistenza di un mondo di oggetti ideali che contiene tutti gli oggetti e le funzioni della matematica”. Mi trovo molto d'accordo con le conclusioni di Lolli sul platonismo assoluto. Ho sempre avuto l'impressione che proponesse una prospettiva mistica dell'ontologia della matematica.

Concludo ricordando che la prossima edizione sarà la numero 170 del 14 giugno 2023, e come verso gaussiano avrà “canta tra i cespugli zampettando”. 

Ma quale sarà la sua cellula melodica gaussiana? Lo scopriremo tra un mese. A presto!

Calendario con le date delle prossime edizioni passate, presenti e future del Carnevale