Carnevale della Matematica #93 - come cominciare

La prima edizione del 2016 del Carnevale della Matematica, la numero 93, è ospitata da Maurizio Codogno su Il Post. Il tema è "come cominciare".
Io ho contribuito con la cellula melodica


E con due articoletti così introdotti:
Dionisoo in Pitagora e dintorni ha scritto Il capitale nel XXI secolo di Thomas Piketty e la funzione di Cobb-Douglas, recensione del libro dell’economista in questione che pone le seguenti domande: “Il capitalismo si sta scavando la fossa come diceva Marx? Quali sono i motivi per i quali ci avviamo a un’economia globale a bassa crescita e quali saranno le conseguenze sociali? In che modo Piketty riscrive matematicamente le leggi del capitalismo?” Inoltre inValutazioni del sistema sanitario italiano: una tabella riassuntiva non si parla direttamente di matematica, ma in un certo senso di metodo matematico, per provare a capire come mai ci siano differenze così grandi nella valutazione del sistema sanitario italiano.

Il mese prossimo l'edizione numero 94 del 14 febbraio 2016 (“canta tenebroso”) verrà ospitata da Rudi Matematici e il tema è ancora ignoto.

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Il capitale nel XXI secolo di Thomas Piketty e la funzione di Cobb-Douglas

Oggi propongo una recensione del libro più noto di Piketty scritta dall'amico Gianni Amati.

Che bel libro quello di Thomas Piketty. "Il capitale nel XXI secolo (Saggi Bompiani).” Piketty riscrive le leggi del capitalismo dimostrando dati alla mano che la profezia marxista, secondo la quale il capitalismo si stesse scavando la propria fossa, potrebbe avverarsi.
Piketty va oltre la legge economica classica (la funzione di Cobb-Douglas), secondo la quale la generazione della ricchezza seguirebbe una funzione lineare, sebbene su scala logaritmica, di capitale e lavoro.

Y = produzione; L = lavoro; K = capitale immesso; A = fattore di produttività;
α e β output elasticities del capitale e del lavoro rispettivamente

In altre parole, secondo questa legge, basterebbe immettere capitale, avere dei lavoratori con le abilità necessarie a produrre beni e servizi, e la crescita sarebbe assicurata. Infine è possibile innalzare ancora la crescita con l'innovazione ottenendo maggiore produttività.

Eppure oggi, nonostante il costo bassissimo del denaro, la disponibilità di manodopera anche qualificata, assistiamo, al contrario, a un rallentamento generale del tasso di crescita nei paesi più industrializzati, la cui media risulta essere oramai la stessa in Europa e in America. Per i paesi meno industrializzati, come quelli asiatici, la crescita a fine secolo convergerà più lentamente allo stesso valore, che sarà molto basso, tra lo 0.5% (nell'ipotesi più pessimista) all'1.5% (più ottimisticamente). Ovvero il destino del capitalismo maturo è segnato da un'economia globale a bassa crescita. Sarà lo stesso tasso che si riscontrava nel diciannovesimo secolo! Ma quali sono i motivi per i quali ci avviamo a un'economia globale a bassa crescita e quali saranno le conseguenze sociali?

Secondo Piketty, per trovare le vere cause della bassa crescita occorre rivisitare la legge fondamentale del capitalismo, visto che questa non è più sufficiente a spiegare il ciclo economico recente. O meglio, la legge di Cobb-Douglas può essere applicata solo a particolari periodi, ad esempio quelli che sono succeduti a shock demografici, come il periodo che va dalla fine della seconda guerra mondiale agli anni 70. La crescita demografica, caratteristica di quel periodo, è infatti un fattore di crescita economica e nello stesso tempo di livellamento economico, in quanto in questi periodi i nuovi soggetti economici tendono a risparmiare, e quindi ad accumulare ricchezza. La legge di Cobb-Douglas applicata a questo periodo è perfetta.
Ma una volta che l'effetto demografico termina, interviene il fenomeno di iper-accumulazione delle ricchezze (Marx parlava di accumulazione infinita del capitale). I soggetti economici esistenti trovano sempre meno vantaggioso creare un tasso di profitto adeguato al proprio capitale investito e, le ricchezze, ma anche le stesse professioni vengono solo ereditate e trasmesse in modo elitario. Le ricchezze accumulate da una generazione possono essere significative. Infatti Piketty osserva che anche in presenza di una crescita media bassa, per esempio il 2.5%, su un lungo periodo di tempo, cioè generazionale che è di circa 30 anni, la ricchezza accumulata si raddoppia. Ecco che qui si affaccia di nuovo Marx con la sua teoria di accumulazione infinita del capitale, grande intuizione che Piketty ridefinisce in modo scientifico e convincente. Con un livello di accumulazione eccessivo delle ricchezze, si ferma l'ascensore sociale, risulta sempre meno conveniente investire nei paesi a bassa crescita perché si ridurrebbe troppo il tasso di profitto. Insomma il capitalismo per funzionare deve avere una generazione che sia in grado di costruirsi da sola il proprio futuro! Il conflitto esistente nel capitalismo moderno tra ricchezza ereditata e lavoro non è però di classe, come Marx avrebbe voluto, cioè non è ancora declinato a essere vissuto come conflitto politico dovuto all'esistenza di una vertiginosa diseguaglianza tra ricchi e poveri, ma è di natura sistemica e strutturale, che dunque mina le fondamenta stesse del capitalismo!

In che modo Piketty riscrive matematicamente le leggi del capitalismo? Tipicamente un europeo possiede un capitale medio di 180.000 Euro e un'entrata media di 30.000 Euro. Occorrono cioè per noi europei sei anni (180.000/30.000) per produrre nuova ricchezza equivalente alla ricchezza da noi già posseduta. Ora questo rapporto si dimostra essere uguale, ma solo nel lungo periodo ad esempio generazionale, al rapporto (s/g) tra capacità di risparmiare (s) è il tasso di crescita media (g). Il tasso di risparmio italiano, ad esempio, è stato del 12%, che rapportato a una crescita media del 2%, fa esattamente sei, come prima.

Dunque, da questa semplice uguaglianza si deduce che se la crescita è bassa, il tasso di risparmio è lo stesso, i redditi medi rimangono bassi, allora questo vuol dire che abbiamo accumulato troppa ricchezza. In Italia poi Salvini, Grillo, Meloni & Co. non ci permettono di accogliere nuovi soggetti economici per abbassare questa ricchezza media quindi siamo destinati a una bassa crescita. Comunque la spinta demografica deve comunque arrestarsi, e quindi questa sarebbe comunque un palliativo generazionale. Cosa fare allora?

Piketty prevede una società nella quale il dilemma ottocentesco di costruirsi il proprio destino di vita scegliendo tra eredità o lavoro, descritto nel romanzo di Balzac, Papà Goriot, si riproporrà domani (o forse già oggi?) come allora. I livelli di vita che oggi è possibile raggiungere accedendo all'élite dei patrimoni ereditati sono già effettivamente molto più alti dei redditi che sarebbe possibile acquisire accedendo all'élite dei redditi da lavoro.
Piketty però afferma “L’idea secondo cui la libera concorrenza promuoverebbe la fine della società fondata sull'eredità e l’avvento di un mondo più meritocratico è una pericolosa illusione.” La proprietà del capitale e dei redditi che ne derivano è molto più concentrata della ricchezza generata dai redditi da lavoro. Quindi possiamo modificare come priorità la distribuzione della proprietà del capitale intervenendo su tre direzioni: i processi relativi al risparmio e all'investimento, le norme sull'eredità e sulle successioni, il funzionamento dei mercati immobiliari e finanziari.

Per quanto riguarda il risparmio occorrerebbe che ognuno di noi arrivi al momento della propria morte con un capitale nullo e quindi non ereditabile (implementando il modello bi-periodale di Modigliani che prevede che da vecchi si consumi tutto quello che si è risparmiato da giovani), e ciò sarebbe virtualmente attuabile con dei fondi pensionistici più consistenti e obbligatori. Piketty osserva che la distribuzione del capitale sarebbe stato ancora più concentrata se non ci fossero stati tali fondi.

Per quanto riguarda il reddito successorio, questo si aggira intorno al 20% annuo del reddito nazionale. A breve diventerà del 25% e tenderà sempre di più a salire. Occorre semplicemente tassarlo. Non è solo per un principio di equità ma di pragmatica utilità.

Sulla tassazione dei capitali finanziari come la Tobin Tax sappiamo già, ma poco si è fatto e forse non si farà mai.

Un parere estetico-matematico sulla dodecafonia

Dopo aver letto 1, 2 e 3 e dopo aver ascoltato 4 e 5 ne ebbe anche la "conferma matematica": la dodecafonia è una ...

1. La musica più brutta del mondo

2. Costas Array

3. The eerie symmetry of a perfect ping

4. Mathematician attempts the world's ugliest piece of music

5. 88x88 Costas Array

Il paradosso del mentitore: è davvero un paradosso?

Il paradosso del mentitore nella sua forma classica è davvero un paradosso? O meglio, un'antinomia?

Prima di tutto partiamo da qualche definizione.

Che cosa afferma il paradosso del mentitore nella sua forma classica?
il paradosso del mentitore nella formulazione classica di Epimenide di Creta afferma che «tutti i Cretesi sono bugiardi».

Che cos'è un paradosso?
Il termine può assumere diversi significati a seconda dei contesti. "Secondo la definizione che ne dà Mark Sainsbury, sarebbe «una conclusione evidentemente inaccettabile, che deriva da premesse evidentemente accettabili per mezzo di un ragionamento evidentemente accettabile»."

Ma, nel caso del paradosso del mentitore dovremmo trovarci più precisamente di fronte a un'antinomia.
Che cos'è un'antinomia?
"L'antinomia è un particolare tipo di paradosso che indica la compresenza di due affermazioni contraddittorie, ma che possono essere entrambe dimostrate o giustificate."

Ora vediamo perché il paradosso del mentitore nella formulazione classica non genera necessariamente la compresenza di due affermazioni contraddittorie.
Per mostrare che una proposizione è un'antinomia si parte solitamente dall'assunzione che la proposizione sia vera (o falsa) e si vede che cosa se ne può dedurre. Poi la si assume falsa (o vera se prima la si era considerata falsa) e si vede che cosa se ne può dedurre. Se le deduzioni sono in contraddizione tra di loro allora si può dire che ci troviamo di fronte a un'antinomia.
Dunque, se assumiamo che la proposizione del mentitore nella formulazione classica sia falsa allora sarebbe vera la sua negazione. E cioè che "esiste almeno un Cretese bugiardo". Ma quel bugiardo potrebbe essere proprio Epimenide. E in questo caso non c'è contraddizione. Perché Epimenide starebbe mentendo dicendo che «tutti i Cretesi sono bugiardi». E la cosa finirebbe lì. Non ci sarebbe alcuna contraddizione perché l'enunciato può essere semplicemente valutato come falso.
La contraddizione si produce invece se si assume che l'affermazione sia vera. Ma ciò non basta a produrre l'antinomia.
Quindi, se non ci sono errori nel ragionamento che ho descritto si può affermare che il paradosso del mentitore nella sua forma classica non è un'antinomia.
Per produrre l'antinomia la proposizione dovrebbe essere riformulata così: "io sono un bugiardo". Solo con tale versione della proposizione si entra nel circolo vizioso in cui la falsità implica la verità che implica la falsità che implica la verità e così via. In altre parole per produrre il paradosso si deve inserire un'autoreferenza di tipo più assoluto. Si deve passare cioè dall'autoreferenza su di un insieme a un'autoreferenza su di una singola entità. In termini più tecnici dobbiamo togliere il quantificatore universale e passare da una logica predicativa a una logica
proposizionale.

I concetti indispensabili della matematica

- Dunque tu vorresti sapere quali siano i concetti indispensabili della matematica. Ma in che senso?
- Beh, quei concetti matematici di cui non si potrebbe fare a meno.
- Uhm, bella domanda!
- Potresti immaginare, ad esempio, di avere solo un paio d'ore a disposizione per insegnarmi qualcosa di matematica. Ecco, che cosa mi insegneresti?
- Beh, dipenderebbe dalle tue conoscenze di partenza.
- Supponiamo che io non sappia nulla di matematica.

- Supposizione un po' difficile da accettare, visto che anche i bambini, prima di saper leggere, solitamente sanno già contare. Dovremmo definirla un po' meglio. Intendi una totale assenza di concetti matematici? Oppure un'assenza di concetti matematici più avanzati? Mi spiego meglio. Dovrei supporre che tu non sia a conoscenza neppure del concetto di numero, come i parlanti di quelle lingue che come numeri hanno un soltanto "uno", "due", "molti" (o addirittura soltanto "pochi" e "molti")? Oppure che tu sia a conoscenza, almeno a livello pratico, dei concetti matematici di base? E cioè, che tu sia almeno in grado di eseguire le quattro operazioni con numeri interi e frazioni?
- ... Boh! ... facciamo ... assenza totale?
- Sai, sto pensando che forse la distinzione, alla fine, non è poi così importante. Supponendo che il totale analfabeta matematico, in questo caso tu (senza offesa eh; si tratta solo di supposizioni), sia capace di e interessato ad apprendere, forse gli insegnerei le stesse cose che insegnerei a chi sia già a conoscenza dei concetti di base a livello pratico. E cioè: il ragionamento deduttivo, che può essere insegnato abbastanza agevolmente attraverso la sua formalizzazione nel linguaggio della logica matematica; e il concetto di numero a partire dal concetto di insieme.
- Bene. Ti ascolto.

- Forse partirei da semplici concetti di logica introducendoli in modo abbastanza informale. Tipo: un enunciato è una frase di cui si possa dire, senza ambiguità, se sia vera o se sia falsa.
- Come, ad esempio, "oggi è bel tempo"?
- Beh, la definizione di "bel tempo" è qualcosa di piuttosto soggettivo. Ciò che viene chiamato "bel tempo" qui nella patria di Hilbert non credo coincida con la definizione che se ne dà dalle tue parti. Diciamo che un esempio un po' più preciso potrebbe essere "sta piovendo".
- Ho capito, e poi?
- Poi dovrei introdurre i connettivi logici.
- E cioè?
- Dei semplici connettivi logici sono, ad esempio, le congiunzioni "o" e "e" e l'avverbio "non".
- E quindi?
- Quindi combinando gli enunciati attraverso questi connettivi potremo costruire enunciati più complessi.
- Ho capito. Tipo: "piove" e "io mangio la pasta ".
- Esatto. E poi per stabilire i valori di verità degli enunciati composti possiamo definire le seguenti tabelle di verità.

A	B	A e B
Falso	Falso	Falso
Falso	Vero	Falso
Vero	Falso	Falso
Vero	Vero	Vero

- E ciò starebbe a significare che ("piove" e "io mangio la pasta") è vero se è contemporaneamente vero che "piove" e "io mangio la pasta"?
- Precisamente.
- Ma è ovvio.
- Cero che è ovvio! Parliamo di Logica! Però credo che già questa sia meno ovvia.

A	B	A o B
Falso	Falso	Falso
Falso	Vero	Vero
Vero	Falso	Vero
Vero	Vero	Vero

- Cioè, mi stai dicendo che ("piove" oppure "usciamo") è falso solo se è non "piove" e non "usciamo" e vera anche quando piove e noi usciamo lo stesso?
- Esatto.
- Quindi è come il "vel" latino.
- Sì, si chiama disgiunzione inclusiva. È più interessante della congiunzione, no? Ma possiamo costruire un connettivo ancora più interessante: l'implicazione logica: "se" X "allora " Y.
- Tipo: se "piove" allora "non usciamo"?
- Sì! Ti prometto che se piove non usciamo.
- Ma adesso non sta piovendo. Perché allora non usciamo?
- Perché il connettivo è definito come non(A e non B). Cioè, l'unica condizione non ammessa è che si verifichi A e allo stesso tempo non si verifichi B.
- Quindi, l'unica condizione non ammessa sarebbe che noi usciamo nonostante la pioggia ma non sussisterebbe alcun obbligo nel caso di assenza di pioggia? Vuoi dirmi che se conosco meglio la logica corro meno rischi di farmi fregare?
- Beh, direi proprio di sì. Ma che stai scrivendo?
- La tavola di verità dell'implicazione. Così non mi farò fregare di nuovo.

A	B	A → B
Falso	Falso	Vero
Falso	Vero	Vero
Vero	Falso	Falso
Vero	Vero	Vero

- Bravissima!
- Quindi? È tutta qui la logica?
- Beh, per quanto riguarda i connettivi della logica proposizionale potrebbe pure bastare. Ce ne sono altri ma anche solo questi sarebbero sufficienti. Gli altri te li puoi guardare con calma. Quello che manca sono gli assiomi:

A → (B → A)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B)

La regola di inferenza, che poi, nel caso della logica proposizionale, è una sola: il modus ponens. Questa regola ti dice che se è vero che A → B e se A è vera allora anche B è vera.
E, infine, la definizione di dimostrazione di una formula F. E cioè una sequenza di formule F1, F2, ..., Fn tale che:
F = F1  e ogni Fi (1 < i < n) o è un assioma, o è ottenuta da un assioma per sostituzione oppure è ottenuta per Modus ponens da due formule Fj e Fk con j < i e k < i.
Ma i dettagli tecnici dovrai guardarteli da sola, ad esempio qui.
Ecco, quello che ti ho spiegato finora è già un buon punto di partenza per il primo concetto indispensabile della matematica.
- Bene. E per quanto riguarda l'altro concetto indispensabile? Quello del numero a partire dal concetto di insieme?
- Beh, quello lo vedremo la prossima volta.