I concetti indispensabili della matematica

- Dunque tu vorresti sapere quali siano i concetti indispensabili della matematica. Ma in che senso?
- Beh, quei concetti matematici di cui non si potrebbe fare a meno.
- Uhm, bella domanda!
- Potresti immaginare, ad esempio, di avere solo un paio d'ore a disposizione per insegnarmi qualcosa di matematica. Ecco, che cosa mi insegneresti?
- Beh, dipenderebbe dalle tue conoscenze di partenza.
- Supponiamo che io non sappia nulla di matematica.

- Supposizione un po' difficile da accettare, visto che anche i bambini, prima di saper leggere, solitamente sanno già contare. Dovremmo definirla un po' meglio. Intendi una totale assenza di concetti matematici? Oppure un'assenza di concetti matematici più avanzati? Mi spiego meglio. Dovrei supporre che tu non sia a conoscenza neppure del concetto di numero, come i parlanti di quelle lingue che come numeri hanno un soltanto "uno", "due", "molti" (o addirittura soltanto "pochi" e "molti")? Oppure che tu sia a conoscenza, almeno a livello pratico, dei concetti matematici di base? E cioè, che tu sia almeno in grado di eseguire le quattro operazioni con numeri interi e frazioni?
- ... Boh! ... facciamo ... assenza totale?
- Sai, sto pensando che forse la distinzione, alla fine, non è poi così importante. Supponendo che il totale analfabeta matematico, in questo caso tu (senza offesa eh; si tratta solo di supposizioni), sia capace di e interessato ad apprendere, forse gli insegnerei le stesse cose che insegnerei a chi sia già a conoscenza dei concetti di base a livello pratico. E cioè: il ragionamento deduttivo, che può essere insegnato abbastanza agevolmente attraverso la sua formalizzazione nel linguaggio della logica matematica; e il concetto di numero a partire dal concetto di insieme.
- Bene. Ti ascolto.

- Forse partirei da semplici concetti di logica introducendoli in modo abbastanza informale. Tipo: un enunciato è una frase di cui si possa dire, senza ambiguità, se sia vera o se sia falsa.
- Come, ad esempio, "oggi è bel tempo"?
- Beh, la definizione di "bel tempo" è qualcosa di piuttosto soggettivo. Ciò che viene chiamato "bel tempo" qui nella patria di Hilbert non credo coincida con la definizione che se ne dà dalle tue parti. Diciamo che un esempio un po' più preciso potrebbe essere "sta piovendo".
- Ho capito, e poi?
- Poi dovrei introdurre i connettivi logici.
- E cioè?
- Dei semplici connettivi logici sono, ad esempio, le congiunzioni "o" e "e" e l'avverbio "non".
- E quindi?
- Quindi combinando gli enunciati attraverso questi connettivi potremo costruire enunciati più complessi.
- Ho capito. Tipo: "piove" e "io mangio la pasta ".
- Esatto. E poi per stabilire i valori di verità degli enunciati composti possiamo definire le seguenti tabelle di verità.

A	B	A e B
Falso	Falso	Falso
Falso	Vero	Falso
Vero	Falso	Falso
Vero	Vero	Vero

- E ciò starebbe a significare che ("piove" e "io mangio la pasta") è vero se è contemporaneamente vero che "piove" e "io mangio la pasta"?
- Precisamente.
- Ma è ovvio.
- Cero che è ovvio! Parliamo di Logica! Però credo che già questa sia meno ovvia.

A	B	A o B
Falso	Falso	Falso
Falso	Vero	Vero
Vero	Falso	Vero
Vero	Vero	Vero

- Cioè, mi stai dicendo che ("piove" oppure "usciamo") è falso solo se è non "piove" e non "usciamo" e vera anche quando piove e noi usciamo lo stesso?
- Esatto.
- Quindi è come il "vel" latino.
- Sì, si chiama disgiunzione inclusiva. È più interessante della congiunzione, no? Ma possiamo costruire un connettivo ancora più interessante: l'implicazione logica: "se" X "allora " Y.
- Tipo: se "piove" allora "non usciamo"?
- Sì! Ti prometto che se piove non usciamo.
- Ma adesso non sta piovendo. Perché allora non usciamo?
- Perché il connettivo è definito come non(A e non B). Cioè, l'unica condizione non ammessa è che si verifichi A e allo stesso tempo non si verifichi B.
- Quindi, l'unica condizione non ammessa sarebbe che noi usciamo nonostante la pioggia ma non sussisterebbe alcun obbligo nel caso di assenza di pioggia? Vuoi dirmi che se conosco meglio la logica corro meno rischi di farmi fregare?
- Beh, direi proprio di sì. Ma che stai scrivendo?
- La tavola di verità dell'implicazione. Così non mi farò fregare di nuovo.

A	B	A → B
Falso	Falso	Vero
Falso	Vero	Vero
Vero	Falso	Falso
Vero	Vero	Vero

- Bravissima!
- Quindi? È tutta qui la logica?
- Beh, per quanto riguarda i connettivi della logica proposizionale potrebbe pure bastare. Ce ne sono altri ma anche solo questi sarebbero sufficienti. Gli altri te li puoi guardare con calma. Quello che manca sono gli assiomi:

A → (B → A)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B)

La regola di inferenza, che poi, nel caso della logica proposizionale, è una sola: il modus ponens. Questa regola ti dice che se è vero che A → B e se A è vera allora anche B è vera.
E, infine, la definizione di dimostrazione di una formula F. E cioè una sequenza di formule F1, F2, ..., Fn tale che:
F = F1  e ogni Fi (1 < i < n) o è un assioma, o è ottenuta da un assioma per sostituzione oppure è ottenuta per Modus ponens da due formule Fj e Fk con j < i e k < i.
Ma i dettagli tecnici dovrai guardarteli da sola, ad esempio qui.
Ecco, quello che ti ho spiegato finora è già un buon punto di partenza per il primo concetto indispensabile della matematica.
- Bene. E per quanto riguarda l'altro concetto indispensabile? Quello del numero a partire dal concetto di insieme?
- Beh, quello lo vedremo la prossima volta.