A leggere più libri contemporaneamente ci sono vantaggi e svantaggi. Un vantaggio è che può capitare di leggere contemporaneamente paralleli inattesi.
E un affascinante parallelo è sicuramente quello tra sottoinsiemi indefinibili e materia oscura che Gabriele Lolli propone in Matematica come narrazione
“...la potenza di x, ℘( x), è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di x, ed è un insieme infinito che è ancora più grande di x, anche se x è infinito. Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con Il significato di ℘( x) è chiaro, anche per analogia con il caso finito: se x è finito e ha n elementi, i suoi sottoinsiemi si possono contare, e sono 2^n; ma il senso della potenza non è evidente, perché il concetto è ambiguo, per x infinito. Parlare di tutti è una scorciatoia, è un tentativo di dire la totalità, o meglio forse l’aspirazione a dire la totalità; ma la maggior parte dei sottoinsiemi è come la materia oscura della fisica, molto più estesa della materia visibile. La totalità non si riesce a fissarla in modo unanime, ℘( x) deve essere approssimato, e il suo senso è reso solo da una pluralità di risultati parziali che lo riguardano. Non è scontato quale parte di ℘( x) riusciamo a dominare: i sottoinsiemi finiti di x, x stesso, x meno sottoinsiemi finiti, certo; ma per vedere per esempio un sottoinsieme infinito il cui complemento in x sia anch’esso infinito bisogna definirlo; è il caso del sottoinsieme di ℕ dei numeri pari, o quello dei numeri di Fibonacci, e solo quelli definibili siamo sicuri che tutti li riconoscano; eppure si sa per il teorema di Cantor che non esauriscono tutti i sottoinsiemi, perché i sottoinsiemi definibili sono tanti quante le formule del linguaggio, che sono un’infinità numerabile. Gli insiemi definibili li vediamo in modo indiretto attraverso le loro definizioni, con gli strumenti linguistici, e questa è la seconda azione.”
Ma poi se si trova anche un parallelo tra questo parallelo e un altro libro allora la sorpresa divent più piacevole.
Ma poi se si trova anche un parallelo tra questo parallelo e un altro libro allora la sorpresa divent più piacevole.
Ma, a differenza dell'ultima volta, il tema esula un po' dal tormentone del platonismo in matematica ... o no? Stavolta si parla di insiemi finiti che sono più complicati degli insiemi infiniti.
"Il lettore potrebbe aver notato che quasi tutti gli insiemi finiti sono enormi. Basta selezionare, ad esempio, un numero enorme M. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi minore di M? Moltissimi, ma in numero finito. Quanti sono gli insiemi che contengono un numero di elementi maggiore di M? Un’infinità. Quindi quasi tutti gli insiemi finiti sono più grandi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. Se si sceglie un insieme finito a caso, è quasi sicuro che contenga più elementi di M, indipendentemente da quanto M sia grande. E la finitezza potrebbe essere un suo aspetto ingannevolmente semplificativo. Infatti, gli insiemi infiniti vengono spesso introdotti perché più semplici degli insiemi finiti di partenza. Ad esempio, l'integrazione è di solito più semplice della somma di un numero finito di termini. Le equazioni differenziali sono solitamente più facili delle corrispondenti.
Per concludere, se si ammettono tutti gli insiemi finiti, non ci sono scuse per rifiutare l'infinito. L'infinito è controintuitivo e metafisico? Ma abbiamo appena visto che lo sono quasi tutti gli insiemi finiti. Se si vuole che tutta la matematica sia concreta e intuitiva allora bisogna affidarsi solo ai numeri e agli insiemi che siano finiti e piccoli.
Quanto piccoli? È molto difficile a dirsi, perché se n è piccolo, lo è anche n + 1. Non c'è un confine netto tra piccolo e grande. Non esistono né un minimo tri i numeri grandi né un massimo tra i numeri piccoli."
Si potrebbe provare un andamento degli assiomi di Peano ma la strada non sarebbe molto fruttuosa.
"Ma allora, forse è meglio che ci teniamo il nostro sistema numerico infinito.
Il grande mistero dell'infinito è un artefatto del platonismo. Esistono serie infinite in qualche dominio trascendentale? Questa è la domanda sbagliata. I sistemi numerici sono inventati perché utile agli esseri umani. Le domande appropriate sull'infinito sono: è utile a qualcosa? È interessante? I matematici hanno già risposto da tempo: sì!"
What Is Mathematics, Really? - Reuben Hersh
...continua...
