Presentazione de "Il mistero del suono senza numero" a Scandriglia

Dopo le presentazioni di Crotone, Arce e Heidelberg, ecco una raccolta di foto e di impressioni dalla presentazione di Scandriglia del 23 dicembre.

La presentazione mi ha lasciato molto soddisfatto. Il pubblico era numeroso - tra le sessanta e le settanta persone - e attento.
Il fatto che fosse un pubblico attento l'ho percepito sia dalle reazioni durante la presentazione, sia dalle domande finali ma anche da alcuni commenti che hanno accompagnato i complimenti finali individuali.
Mi ha fatto piacere anche che, a detta di più persone, l'esperimento con la misurazione delle corde della chitarra nel caso di consonanze e dissonanze sia stato chiaro ed efficace.




Un ringraziamento particolare va ai Vacuna Sabina per la perfetta organizzazione e a Cristina Moscatelli, Domenico Scacchi, Nicolò Boccacci e Roberto Boccacci per le domande, l'introduzione, le letture e la parte musicale.

Carnevale della Matematica #114

L'edizione di dicembre del Carnevale della Matematica, la numero 114, è ospitata da Notiziole di .mau.
Un carnevale ricchissimo di contributi. Io ho contribuito con la cellula melodica "che – come dice Dioniso che l’ha preparata – «è caratterizzata da un salto di sesta minore, come a voler far riflettere il merlo sulle possibili peripezie del suo ardito salto nella luce.»" e con...

Cominciamo con Dioniso, che oltre alla cellula musicale ci manda un contributo a detta sua più musicale che matematico (ma non è vero!): Ansermet, il musicista matematico contrapposto ad Adorno e alla dodecafonia: Stravinsky o Schönberg?. Ansermet, contro Schönberg e i dodecafonici, ha teorizzato matematicamente che il nostro orecchio è tarato sulla musica tonale.

Per quanto riguarda l'edizione numero 115... 

14 gennaio 2018: (“delizioso tra i cespugli”) Math is in the Air
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.

Ansermet, il musicista matematico contrapposto ad Adorno e alla dodecafonia: Stravinsky o Schönberg?

Qualche giorno fa ho ascoltato la puntata di WikiMusic del 12/11/2017 che era dedicata al musicista matematico Ernest Ansermet. Di seguito riporto alcuni brani che mi sono sembrati particolarmente interessanti.

...Ansermet è anche autore di un significativo libro sulla musica del secolo scorso, I fondamenti della musica nella coscienza dell'uomo del 1961. Un grosso e complesso volume che mantiene un rigore filosofico molto raro da riscontrare nei libri di filosofia della musica. Non ci sono virtuosismi intellettuali e lessicali e neanche l’ideologia politica di Adorno. Sebbene è proprio con questo autore che il libro di Ansermet può essere messo in rapporto dialettico. Proprio perché in entrambi i casi sono due i compositori che vengono presi a modello per illustrare le due diverse filosofie della musica: Stravinsky e Schönberg. Stravinsky la restaurazione, Schönberg il progresso per Adorno. Per Ansermet si tratta di smontare la dodecafonia come metodo di composizione assolutamente falso.
La frase cardine del libro di Ansermet è la seguente: non si può sfuggire alla legge tonale poiché essa è la legge dell’orecchio. Secondo Ansermet c’è un substrato culturale che accomuna tutti gli uomini e che ci permette di percepire la musica tutti alla stessa maniera. Ansermet non parla né di gusto né di piacere ma puramente di percezione. E arriva a questa concezione tramite la matematica. Ansermet dice che il nostro apparato uditivo percepisce secondo leggi logaritmiche. Cioè il prodotto di due intervalli coincide nel nostro orecchio alla somma degli stessi e questa è proprio una proprietà dei logaritmi. Questo modo di pensare non può concepire una tecnica come quella dodecafonica in cui i riferimenti vengono a mancare perché i suoni sono svincolati tra loro. In sostanza nella dodecafonica si creerebbe un cortocircuito. Cioè l’oggetto percepito non incontra l’atto percettivo del senso che la coscienza riesce a dare a ciò che percepisce. Questo fa sì che la nostra coscienza non comprenda la musica dodecafonica. Quei suoni potrebbero essere anche stati messi lì casualmente e la nostra coscienza non li comprenderà. Non comprenderà che essi costituiscono una serie dodecafonica.

Secondo Ansermet, per rinnovare il linguaggio tonale non è necessario sopprimerlo ma basterebbe rielaborarlo in maniera originale. Così fa il genio. La nuova musica non ha bisogno di distruggere quanto fino allora si era fatto o si era detto. Il vero genio riesce a creare musica nuova a partire dai presupposti classici. La vera differenza la fa lo stile non tanto le forme.

Le posizioni di Ansermet sono state viste come reazionarie. Però, a pensarci bene, alla fine le cose sono andate come lui aveva previsto. In effetti oggi la dodecafonia rimane poco più che un esercizio.

Per altre considerazioni sulla dodecafonia...

Carnevale della Matematica #113 - Matematica sorprendente

L'edizione di novembre del Carnevale della Matematica, la numero 113, è ospitata da Mr. Palomar.
Io ho contribuito con la cellula melodica e con...

Ad aprire le danze è Dioniso Dionisi, alias Flavio Ubaldini, che dal suo blog Pitagora e dintorni segnala un post in due parti: Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema Ippaso: prima parte e Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema Ippaso: seconda parte
Il post, ricorda Flavio, nasce dal fatto che un paio di lettori non matematici del suo libro "Il mistero del suono senza numero" gli hanno chiesto delucidazioni sul Taglio di Dedekind, ragion per cui il buon Dioniso ha deciso di scrivere una spiegazione, cercando di renderla il più discorsiva e il meno tecnica possibile.
Ubaldini segnala anche un altro suo articoletto, intitolato Un regalo pitagorico-coltraniano.

Per quanto riguarda l'edizione numero 114... 

14 dicembre 2017: (“il merlo canta nella luce”) Notiziole di .mau.

Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.

Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema di Ippaso: seconda parte

– L’ultima volta non mi hai detto quali sarebbero gli altri modi per definire i numeri reali oltre alla definizione di Dedekind.
– Ah, sì, è vero. Beh, c'è la costruzione di Cantor attraverso le successione di Cauchy. Cantor sfrutta l'assioma di Dedekind e, partendo dal fatto che ogni numero reale è ottenibile come limite di una successione di Cauchy...
– No, fermati, fermati. Limiti, successioni. È troppo complicato. E poi, comunque, si torna sempre a Dedekind.

– Eh, sì, c'è bisogno di quell'assioma. Senza di quello o di qualcosa di equivalente non penso che riusciremmo a costruire una matematica interessante e sufficientemente potente per le esigenze dei fisici, ad esempio. Sostanzialmente dovremmo limitarci ai numeri razionali.
– Quindi mi stai dicendo che i numeri reali esistono grazie a un assioma?
– Beh... Un assioma... Una definizione... Considera, comunque, che questa costruzione è anche più precisa.

– Perché più precisa?

– Forse "più precisa" non è l'espressione giusta. Diciamo che è più economica. E lo è perché invece di usare tutti le frazioni minori del numero che si cerca di definire, usa solo quelle successioni di frazioni che si avvicinano sempre più al numero irrazionale che si sta cercando di definire.

– Potresti mostrarmi un esempio?
– Certo. Consideriamo di nuovo il caso di . Prendiamo la sua rappresentazione decimale

1, 41421356237309... e definiamo così la successione:
a0 = 1
a1 = 14/10
a2 = 141/100
a3 = 1414/1000
a4 = 14142/10000
e così via...

– Ah! Ho capito. Prendi la successione di frazioni in cui a ogni passo si aggiunge la cifra successiva della rappresentazione decimale di √2:
a0 = 1
a1 = 1,4
a2 = 1,41
a3 = 1,414
a4 = 1,4142
ecc.
E quindi più vai avanti più ti avvicini al valore giusto. Però... Ma non stiamo un po’ barando? Non è di nuovo una petizione di principio? Non stiamo di nuovo usando  per definire ?
– No, no! Non è petizione di principio. Perché questa successione puoi sempre esprimerla, e scusami ma qui devo essere un po’ più tecnico, così...

an=[10n]10−n

Dove [ ] è la parte intera del numero.
– Ma non hai eliminato la radice di due. E poi le parte intera...
– Guarda, mi costringi a scendere ancora di più nei dettagli tecnici. Ecco la definizione senza radice di due e senza usare la parte intera in modo esplicito:

an=10−nmax{k∈Z:k2≤2⋅102n}

Va bene adesso?

– Ho capito, hai di nuovo ragione. È interessante, comunque.
– Se ti interessa puoi approfondire un pochino leggendoti questa pagina: Costruzione tramite successioni di Cauchy... Anche qui puoi trovare una discussione sul tema. Ma perché ora sorridi?
– No, è che mi sta venendo da pensare... Con il fatto che in queste definizioni compaiono numeri razionali che si avvicinano sempre di più all'irrazionale cercato... Ma allora aveva ragione Ippaso quando a pagina 95 comincia la ricerca della radice quadrata di 2...

– Beh, sì. Solo che lui si è fermato mentre Dedekind e Cantor sono andati avanti e sono riusciti a inquadrare quel procedimento in modo teorico e rigoroso.
– Mah...
– Non sembri convinta.
– No, è che... c'è di mezzo il concetto di infinito...
– E quindi?
– Secondo me Dedekind e Cantor hanno barato. Noi esseri umani non potremo mai contare o elencare cifre all'infinito. Era quello che dicevano pure i greci, no? E quindi, definire gli irrazionali attraverso quantità infinite di frazioni è come non definirli.
– Ma considera che quello è un risultato teorico... In realtà è anche costruttivo, ma solo in linea di principio, visto che prima o poi ci dovremo fermare. Però dal punto di vista teorico la validità di quel risultato è indiscutibile. E poi se volessimo eliminare il concetto di infinito dalla matematica dovremmo buttare alle ortiche quasi tutta la matematica moderna... Non sei ancora convinta?
– Così così. E comunque mi è rimasto il dubbio di cui ti avevo parlato la volta scorsa. Avevamo detto che per aggirare la petizione di principio si usano proprietà che definiscano i numeri irrazionali usando solo i numeri razionali. Tipo definire  con tutte le frazioni n/m tali che (n/m)²  < 2. Ma è possibile trovare un'espressione del genere per qualsiasi numero reale?
– Beh... no. Lo è se rimaniamo nell'ambito dei numeri che possono essere espressi attraverso un numero finito di operazioni (+, -, ⋅, :, √) applicate ai numeri interi. Perché puoi definire formule che ti permettano di aggirare la petizione di principio, come abbiamo fatto con la formula che hai appena scritto. Però esiste un'infinità molto più grande di numeri che non possono essere espressi come combinazione di un numero finito di operazioni semplici applicate ai numeri interi. Se si considerano, ad esempio, le equazioni dal 5° grado in poi, di tali numeri, come si accorse Galoise, se ne trovano molti. Ad esempio, uno di questi è l'unica soluzione reale dell'equazione di 5° grado x⁵ − x − 1 = 0. Ma, se non altro, quel numero, come abbiamo appena fatto, possiamo ancora definirlo in qualche modo. Ma esiste ancora un'altra categoria di numeri. Quelli che non possono essere neppure espressi come soluzioni di equazioni di grado qualsiasi.
– E quindi? Questo che significa?
– Mah, guarda. Io mi sono fatto quest’idea. Ipotizzando di poter assegnare ai numeri uno status di realtà più o meno indiscutibile e di poter stilare una classifica, ai naturali dovremmo assegnare uno status di realtà più indiscutibile degli irrazionali. Specialmente degli irrazionali dell’ultimo tipo che abbiamo visto, che poi si chiamano numeri trascendenti e sono la quasi totalità dei numeri. Quasi nessuno di questi può essere infatti rappresentato con precisione né usando cifre, né usando formule, né usando algoritmi. Mentre una certa quantità di numeri interi e razionali sì.
– No! Quindi mi stai dicendo che per la maggior parte dei numeri non riusciremo mai neppure a trovare un nome?!
– Eh, sì. Questa è una delle conseguenze di quello che ti dicevo. Pensa che se, per semplificare le cose, ci limitiamo all'intervallo dei numeri reali tra 0 e 4 sappiamo che lì troverò numeri irrazionali e trascendenti, come radice di 2 e pi greco, ad esempio. Ma pi greco è una rarissima eccezione tra i numeri trascendenti. Infatti per lui abbiamo sia un nome sia una formula. Pi greco è un numero fortunato perché gli è capitato di essere esattamente il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro. E quindi rimane definito da quella sua essenza ontologica. Ma se esistesse un algoritmo che potesse scegliere un numero reale in modo totalmente casuale saremmo quasi certi di non poter trovare neppure un nome per quel numero scelto casualmente e di non essere nemmeno in grado di rappresentarlo in nessun modo: né elencando tutte le sue cifre né trovando una proprietà per definirlo come viene fatto per la radice di 2 e per il pi greco.
– Sono senza parole...

Un regalo pitagorico-coltraniano

Una maglietta raffigurante il circolo delle quinte modificato e integrato da John Coltrane. Circolo che, oltre agli impliciti riferimenti al temperamento pitagorico, raffigura esplicitamente il pentagramma pitagorico.

Quale regalo più bello avrebbe potuto ricevere un pitagorico come me?
Grazie Dario Germani!

Per chi volesse saperne di più del circolo delle quinte modificato e integrato da John Coltrane:
La geometria musicale di John Coltrane
John Coltrane's Tone CircleJohn Coltrane's Music & Geometry

Il 23 ottobre è morto Corrado Böhm, uno dei padri dell'informatica teorica

Ho avuto il privilegio di avere Corrado Böhm come professore quando studiavo alla Sapienza. Lui teneva il corso di Teoria e Applicazione delle Macchine Calcolatrici mentre Giuseppe Jacopini, coautore del teorema di Böhm-Jacopini, teneva il corso di Teoria degli Algoritmi e della Calcolabilità.

Credo che fossero tra i pochi a poter insegnare un teorema con il proprio nome nei loro corsi.
Ricordo i divertenti esercizi con il lambda calcolo e i moduli che dovevamo implementare per la sua Cuch-machine.

Ho un buon ricordo di lui anche dal punto di vista umano.

Sul suo sito si trovano altri ricordi.

Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema di Ippaso: prima parte

– «La risposta arrivò circa un millennio dopo, quando, intorno al 1860, Richard Dedekind, professore non ancora trentenne al Politecnico di Zurigo, definì quello che divenne poi noto come il taglio di Dedekind. Attraverso quella definizione, i numeri irrazionali, come la radice quadrata di 2, poterono finalmente essere costruiti a partire dagli interi ed entrare così a pieno titolo nell’insieme dei numeri.»
– Ma che leggi? È uno dei brani finali de "Il mistero del suono senza numero"?
– Sì, l'ho appena finito.
– E ti è piaciuto?
– Sì, però mi sono rimaste delle curiosità. E una di queste riguarda proprio il taglio di Dedekind. Vorrei proprio capire come fece il professore crucco a definire i numeri irrazionali a partire dai numeri interi!
– Te lo dico subito. Allora, sia K un corpo commutativo linearmente ordinato. Allora una coppia (A, B) di sottoinsiemi di K tali che...
– No, no, no, no, no! Partiamo male. Me lo dovresti spiegare in modo discorsivo e con parole semplici. Considera che lo stai spiegando a una persona normale e non a un altro matematico.
– Uhm. Compito arduo. Non so se ci riuscirò.
– Provaci, dai.
– Vediamo... Penso che Dedekind abbia proceduto più o meno così. Come ha dimostrato Ippaso, sappiamo che esistono i numeri irrazionali e che questi non posso essere espressi come rapporti di numeri interi. Prendiamone uno qualsiasi. Per semplificare considererò che questo sia proprio la radice di due. Ora, se quel numero lo immagini disposto su una retta sappiamo che si troverà tra l'1 e il 2, poco sotto all'1,5.

Inoltre, Ippaso aveva pure capito che, pur non essendo una frazione, per quel numero si possono trovare, sia alla sua destra sia alla sua sinistra, frazioni che gli si avvicinano molto. Allora che fa Dedekind?
– Non lo so. Che fa?
– Prende come definizione di radice di due tutte le frazioni che si trovano alla sua sinistra più tutte quelle che si trovano alla sua destra.
– Cioè? Definisce un numero irrazionale usando la quantità infinita di tutte le frazioni immaginabili?!
– Sì, ma lo fa dividendo in due quell'insieme infinito. E a dividerlo in due è proprio il numero irrazionale che si vuole definire.
– Ho capito. Ma allora "taglio" viene proprio dal fatto che quel numero "taglia" la retta in due!
– Credo di sì. Comunque poi Dedekind quella definizione la semplifica e dice che basta considerare solo tutte le frazioni che si trovano alla sinistra del numero.
– Scusa, però mi pare che ci sia un problema. Per definire un numero irrazionale come , usiamo  stessa dicendo che è definita da tutte le frazioni n/m tali che n/m < ? Non è una petizione di principio?
– Beh, non necessariamente... Puoi sempre dire che  è definita da tutte le frazioni negative più quelle n/m tali che (n/m)²  < 2. Quindi, nella definizione di  uso solo 2 che è un numero razionale.
– Ho capito. Si aggira la petizione di principio trovando una proprietà che definisca il numero irrazionale usando solo i numeri razionali. È così quindi che si sarebbero colmati i buchi della la retta dei numeri reali? Riempiendoli con questi irrazionali ognuno dei quali è definito attraverso un'infinità di frazioni?
– Si. Wikipedia, ad esempio, descrive la cosa in questo modo.
"La sezione di Dedekind risolve la contraddizione tra la natura continua del continuum dell'asse numerico e la natura discreta dei numeri stessi. Ovunque ci sia una sezione che non sia su un numero razionale reale, viene creato un numero irrazionale dal matematico. Attraverso l'uso di questo strumento, si considera esserci un numero reale, che sia razionale o irrazionale, in ogni punto nel continuum della linea numerica, senza discontinuità.
« Quando abbiamo a che fare con una sezione prodotta da un numero non razionale, quindi, ne creiamo uno nuovo, un numero irrazionale, che consideriamo come completamente definito da questa sezione... . D'ora in poi, di conseguenza, per ogni sezione definita corrisponde un numero razionale o irrazionale definito... » - (Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Section IV).
– Mi rimane un dubbio, però. Ma te ne parlerò dopo. Adesso mi interesserebbe sapere come si definiscono le operazioni su questi nuovi numeri.
– Quello è abbastanza facile. Se r1 ed r2 sono due numeri reali e A1 e A2 i relativi insiemi di Dedekind che li definiscono, r1 + r2 si definirà semplicemente con l'insieme A3 che ha come membri tutte le somme dei membri di A1 e A2. Allo stesso modo si procederà per le altre operazioni.
– Ed esistono altri modi per definire i numeri irrazionali oltre a quello di Dedekind?
– Sì, ma ora devo andare. Te lo dirò la prossima volta.

Carnevali della Matematica: speciale estivo e #112

Prima di parlare dell'edizione di ottobre del Carnevale della Matematica vorrei colmare una lacuna. Essendo stato molto impegnato tra metà agosto e fine settembre non sono riuscito a condividere il bellissimo lavoro fatto dai Rudi Mathematici nel loro numero di agosto numero in cui, vista l'inedita pausa estiva dei carnevali, i Rudi hanno dedicato un articolo al Carnevale della Matematica e ai suoi protagonisti, tra i quali, al quinto posto a pari merito con Spartaco e Paolo, ci sono anch'io.

Ecco la foto che ci ritrae: "Tre per il cinque: Medici narratori, archeomatemusicologi, e poeti osservatori di stelle".

E queste sono le parole che ci descrivono.

"...E scorrendo le classifiche dall’alto in basso, uno prima o poi deve decidere di smettere, di fermarsi, ma è dannatamente difficile scegliere il momento giusto. Che facciamo, approfittiamo dello iato che esiste tra le sette edizioni di Zar e MaddMaths! e le cinque del Coniglio Mannaro, di Mr.Palomar e di Pitagora e Dintorni per piantarla con la ricerca di foto e con i pettegolezzi? Così uno rischia di farsi nemici per sempre Spartaco Mencaroni, Paolo Alessandrini e Flavio Ubaldini, e possiamo giurare su ciò che abbiamo di più caro che quei tre, uniti dal “cinque” che ha reso famosi i postulati di Euclide, non se lo meritano davvero.
... forse possiamo passare colpevolmente sotto silenzio che una tradizione del tutto italiana è la “cellula melodica” di Dionisoo, che abbiamo citato appena (Dioniso è Flavio Ubaldini, quello di Pitagora e Dintorni e puranco del Blogghetto), con la scusa della stanchezza; ma non possiamo far finta di niente, non possiamo proprio, nonostante la calura, evitare di parlare della Poesia Gaussiana."

Passiamo infine all'edizione di ottobre del Carnevale della Matematica, che sarebbe poi la numero 112. Questa è ospitata da MaddMaths! e ha come tema "Matematica e …"

Oltre a costruire la cellula melodica #112


ho contribuito anche con...

"È poi il turno di Dioniso, dal suo blog Pitagora e dintorni. Il primo post è molto autoreferenziale. Si tratta di un post su “matematica e … Carnevale della matematica”. Infatti la volta scorsa era arrivato in ritardo, e lo Zar gli ha dedicato il primo carnevale frazionario della storia, Carnevali della Matematica #111 e #111 e mezzo. Per “matematica e … cellule melodiche” Dioniso ci parla di un’idea sempre dello Zar per ovviare ai buchi lasciati nella melodia dai primi sufficientemente grandi Cellula melodica #109 Infine per “matematica e… musica”, abbiamo la Presentazione de "Il mistero del suono senza numero" a Heidelberg, libro scritto da Dioniso sotto le mentite spoglie di Flavio Ubaldini, con una raccolta di foto e di impressioni dalla presentazione di Heidelberg del 23 settembre. Per chiudere, una recensione dello stesso libro, di Maria Rosa Menzio: È un libro eccezionale, anche perché… - recensione. Ovviamente per “matematica e … recensioni”.

L'edizione numero 113 (“mamma mia!”), quella 14 novembre verrà ospitata da Mr Palomar.

Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale.