Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale temporale? - prima parte

Will the world end in 2012? A matter of temporal modal Logic?

Durante il nostro recente viaggio in Grecia ci è capitato di passare per un mercatino dell'usato.
Girovagando tra le bancarelle la mia attenzione è stata catturata da un papiro che sembrava essere scritto in greco antico.
Dopo un'estenuante trattativa con il mercante riesco ad acquistarlo per un prezzo accettabile. Al nostro ritorno a casa lo traduco con l'aiuto di Zucchero, appassionata di greco antico, e mi accorgo che si tratta della trascrizione di un dialogo avvenuto nel IV secolo a.C. tra Aristotele e Diodoro Crono. Sorprendentemente questo dialogo potrebbe aiutarci a districare la questione Maya.

Secondo il calendario Maya il 21 dicembre 2012 è la data in cui dovrebbe finire il mondo. Ovviamente quest'ipotesi non ha trovato supporto da parte della comunità scientifica.
Nonostante ciò sfiderei chiunque a sostenere che l'affermazione sottostante (che ho scoperto chiamarsi proposizione Maya) è impossibile. O, detto in altre parole, necessariamente falsa.

Proposizione Maya: Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo

Vediamo perché aiutandoci con la traduzione del prezioso dialogo tra Aristotele e Diodoro Crono che riporto di seguito in anteprima mondiale.
D: Illustre Aristotele, come ben saprete (ndD pare che a quei tempi i filosofi si dessero del voi) ogni proposizione vera concernente il passato è necessaria e quindi ciò che non è occorso nel passato era già a priori intrinsecamente impossibile!

A: (con sufficienza) E no caro Diodoro, lo sapete bene che non sono d'accordo. Le proposizioni vere concernenti il passato sono necessarie solo a posteriori e quindi ciò che non è occorso nel passato era a priori possibile!

D: (spazientito) Allora... consideriamo la proposizione non Maya:

"Il 21 dicembre 2012 non finirà il mondo"

Se al 22 dicembre 2012 l'affermazione si rivelerà vera, allora essa doveva essere necessariamente vera anche prima. E di conseguenza la sua negazione:

"Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"

risulterebbe impossibile a priori.
(con un crescendo di enfasi) Generalizzando, ciò che non è stato nel passato (che al 22 dicembre 2012 risulterà impossibile) non poteva essere possibile prima. Quindi ciò che non è stato è sempre stato impossibile. Dunque tutto ciò che è possibile si realizza e tutto ciò che non si realizza è impossibile. Perciò la nostra stessa libertà è solo un'illusione: tutti gli eventi sono pre-de-ter-mi-na-ti!!.

A: (flemmatico quasi con scherno) E no caro Diodoro, no! Qui v'ingannate di nuovo! Le due affermazioni

"Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
"Il 21 dicembre 2012 non finirà il mondo"

hanno ad oggi un un valore di verità indeterminato e quindi non si può affermare che esse posseggano oggi un effettivo valore di verità. Ognuna di esse non è né necessariamente vera né necessariamente falsa. Volendo coniare un neologismo, esse sono contingenti.
Devo aggiungere inoltre che nella proposizione Maya mi par di scorgere una sorta di paradosso logico-filosofico. Se tale proposizione dovesse rivelarsi vera chi ci sarà il 22 dicembre a poter appurare ed asserire la sua verità? Dovremmo forse supporre che con "finirà il mondo" si intenda solo la Terra e che delle intelligenze extraterresti saranno lì il 22 dicembre a poter appurare ed asserire la verità della proposizione Maya?
(riflessivo quasi profetico) Mah, ho come l'impressione che il nostro dialogo ci stia trasportando verso sponde logico-filosofiche ancora inesplorate.

Oggi sappiamo che l'impressione di Aristotele non era sbagliata. Infatti, anche se la Logica aristotelica può in qualche modo essere messa in relazione con la moderna Logica proposizionale, in alcuni passi del lavoro di Aristotele si riescono a scorgere delle anticipazioni di un altro tipo di Logica la Logica modale. E precisamente nel De Interpretatione dove Aristotele polemizzava contro Diodoro e il suo famoso problema della battaglia navale (o dei contingenti futuri).
L'argomento discusso da Aristotele e Diodoro Crono avvenne quindi probabilmente solo per iscritto e riguardava in realtà il problema della battaglia navale, ma sostituendo le due proposizioni sulla battaglia navale con le due proposizioni Maya la sostanza rimarrà inalterata.

Ma ci saranno in seguito successivi sviluppi della Logica modale? E soprattutto: riusciranno tali sviluppi, magari con l'aiuto di altri documenti, ad aiutarci ulteriormente a districare la questione Maya? Lo vedremo in una prossima puntata.

Carnevale della Matematica #25

L'edizione n. 25 del Carnevale della Matematica è stata ospitata il 14 maggio dal blog Matem@ticaMente.
Io ho contribuito con:
Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 18: il basso medioevo in Europa: Fibonacci


Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 20: Oresme, serie numeriche e fine del medioevo

Nell’ultima puntata abbiamo parlato della rinascita culturale nell'Europa occidentale del XIII secolo, dovuta in parte anche alle molteplici traduzioni dall’arabo al latino sia di opere islamiche che di opere del mondo greco antico, come gli Elementi di Euclide.
Spostandoci poi nel XIV secolo abbiamo visto che per la prima volta si cominciarono a prendere in considerazione le somme di un numero infinito di addendi, attualmente denominate serie numeriche.
Questo fu il primo passo verso la liberazione da quell'horror infiniti che aveva caratterizato tutta la cultura greca antica. Liberazione che aprirà innumerevoli nuovi percorsi di sviluppo matematico.
Seguendo l'intuito qualcuno potrebbe obiettare: che interesse ha considerare le somme di un numero infinito di addendi? Il risultato non è sempre infinito? No, non lo è. E Richard Swineshead ("The Calculator") se ne accorse intorno al 1350.
Swineshead si accorse che oltre alle cosiddette serie divergenti, quelle cioè che crescono illimitatamente, esistono anche le somme di infiniti addendi che anti-intuitivamente danno come risultato un numero finito, oggi denominate serie convergenti. Per completezza bisogna aggiungere che oltre a quelle convergenti e divergenti esiste anche un terzo tipo di serie che non sono né convergenti né divergenti e che sono dette indeterminate.
Un'altra domanda a questo punto potrebbe essere: se le somme di infiniti addendi possono avere come risultato un numero finito, non potremmo riconsiderare l'antico e celeberrimo paradosso di Achille e la tartaruga alla luce di questa nuova scoperta? Effettivamente sì! Esiste infatti una sorta di confutazione in cui si dimostra che i piccoli avanzamenti accumulati dalla tartaruga sulla veloce corsa di Achille, anche se in numero infinito, danno come risultato una somma finita. Ne consegue quindi che Achille raggiungerà la tartaruga in un tempo finito.

Come abbiamo visto Richard Swineshead fu quindi il pioniere delle serie numeriche, ma colui che più contribuì ad elaborare gli sviluppi iniziali di questa nuova idea fu principalmente Nicole Oresme.
Che tra le altre cose fu anche il primo a dimostrare che la famosa serie armonica è divergente, e cioè che non ha come risultato un numero finito, ma cresce illimitatamente.

Oresme (1323 – 1382), come altri illustri matematici, si interessò anche di questioni musicali. Compì ad esempio degli studi sulle scale e, superando i limiti della scala pitagorica, basata su rapporti razionali come 8/9, 1/2, 3/4 e 2/3, fornì gli strumenti per generare il temperamento equabile più di due secoli prima di Vincenzo Galilei e di Simon Stevin.
Parrebbe che proprio da questi studi musicali Oresme sviluppò l'idea di elaborare un metodo di calcolo delle potenze con esponenti non interi. Nel temperamento equabile infatti le distanze tra i semitoni (tasto bianco e successivo tasto nero del pianoforte) sono rappresentate dalla radice dodicesima di due:
E ad esempio la quarta giusta è correlata al numero
che può anche essere rappresentato con 2^5/12.

Con questa puntata siamo giunti in prossimità della fine di un'epoca storica: il medioevo. Abbiamo visto come nell'Europa cristiana si passò gradualmente dall'infimo livello del VII secolo, in cui si poteva sentire soltanto il graffiare della penna del Venerabile Beda, fino ai notevoli progressi cominciati nel periodo della Scolastica e proseguiti nei secoli XIII e XIV soprattutto ad opera di Fibonacci e Oresme. Progressi che comunque non erano nemmeno lontanamente paragonabili alle conquiste matematiche realizzate dagli antichi greci.

Subito dopo Oresme la matematica nell'Europa occidentale entrò di nuovo in una fase di declino. Una delle cause fu sicuramente la catastrofica epidemia di peste (la famosa peste nera) che imperversò per tutta l'Europa tra il 1347 e il 1352 uccidendo almeno un terzo della popolazione del continente e che comportò ovviamente gravi perdite anche sul piano intellettuale. Inoltre l'Inghilterra e la Francia, che avevano conquistato una posizione egemone nella matematica del XIV secolo, furono ulteriormente devastate nel XV secolo dalla Guerra dei Cent'Anni e dalla Guerra delle Due Rose. Conseguentemente le università italiane, tedesche e polacche del XV secolo ereditarono dalla Scolastica di Oxford e Parigi la guida nel campo della matematica.

Nella prossima puntata parleremo della fine del medioevo e dell'inizio del rinascimento.

Indice della serie