Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 4: Platone e le forme geometriche

Visto che ad almeno uno dei miei lettori piace questa serie e che io mi diverto a scriverla, proseguo imperterrito nonostante gli sbadigli della maggioranza; ma non si può accontentare sempre la maggioranza ;-)

Dicevamo quindi che il castello crollo, ma qualcosa, anzi direi moltissimo, rimase.
Si può tranquillamente sostenere che chi utilizzava la matematica in modo utilitaristico non si accorse neppure lontanamente del crollo. Però dal punto di vista teorico/filosofico/mistico l'inghippo provocava un ineludibile cortocircuito: si doveva necessariamente abbandonare almeno il relativo modello di cosmo.
Era inoltre addirittura il motto dei pitagorici a dover essere abbandonato. Nessuno avrebbe più potuto sostenere che Tutto è numero (razionale). Anzi, a voler essere rigorosi il motto sarebbe dovuto cambiare in: Quasi nulla è numero (razionale). Infatti la quantità di numeri irrazionali è innumerabilmente più grande rispetto a quella dei numeri razionali. (Per chi volesse approfondire...)

L'idea di fondo di Pitagora comunque, sfrondata dagli elementi mistici, che si potesse interpretare la natura utilizzando i numeri come strumento, non era del tutto da buttare. Bisognava solo correggere un po' il tiro: o spostarsi verso un'altra branca della Matematica, come si fece poco più di un secolo dopo; oppure estendere il concetto di numero includendo questi oggetti "irrazionali", come si fece più di 1500 anni dopo.

Nel frattempo però non si poteva basare il modello dell'universo su qualcosa che non riusciva a spiegare tutti gli enti esistenti.
Per questo motivo, circa centocinquat'anni dopo Pitagora (Samo 575 a.C. – Metaponto, c. 495 a.C.), Platone (Atene, 427 a.C. – Atene, 347 a.C.) operò in un qualche modo una sostituzione: fece assurgere la Geometria a qualcosa di simile a quello che rappresentavano i Numeri e l'Aritmetica per i pitagorici. In questo modello platonico erano le Forme Geometriche che, sostituendo il ruolo dei numeri, furono assunte come enti reali e prescelte alla spiegazione dei fenomeni dell'Universo.

Così come Pitagora può essere un po' considerato il padre di ciò che oggi viene chiamato Teoria dei Numeri, Platone può essere un po' considerato il padre della Geometria.

Ciò che rende la Geometria di Platone diversa da quella dei suoi predecessori è un fatto simile quello che rendeva l'Aritmetica di Pitagora diversa da quella dei suoi predecessori: Platone fu tra i primi a speculare sulla natura delle entità geometriche.
Acutissima fu l'osservazione (oggi a posteriori potrebbe risultare ovvia) che le forme geometriche, oggetto dei nostri studi e dei nostri teoremi, in natura semplicemente non esistono.
Un cerchio o un quadrato perfetto, che pur ogni individuo conosce calcolandone area e perimetro, sono assenti dalla nostra realtà fisica.
Nella realtà esistono solo delle approssimazioni delle suddette forme teoriche. L'intelletto vedrebbe quindi, al di là della realtà sensibile, un'idea di cerchio, quadrato e altre forme geometriche.

Nel modello cosmico di Pitagora i cinque solidi platonici (gli unici solidi regolari esistenti) da lui stesso scoperti occupavano un ruolo fondante.
In particolare Pitagora in una sorta di prototavola di Mendeleev associò ad ognuno di essi un elemento:

al tetraedro il fuoco,

al cubo la terra,

all'ottaedro l'aria,

all'icosaedro l'acqua,

mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell'universo.

I solidi platonici furono poi studiati con maggiore razionalità da Euclide e da altri geometri greco-alessandrini che saranno uno dei soggeti della prossima puntata....

Indice della serie

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 3: il grande contributo dei pitagorici

Dicevamo quindi, come ne uscì la Matematca da questa scoperta che a partire dai numeri si può definire qualcosa di non classificabile come numero secondo la definizione esistente allora?

Semplice! Trovando una definizione che potesse includere il nuovo ente tra i numeri. A questo passo però (almeno da un punto di vista formale perché informalmente lo si cominciò a fare molto prima) si arrivò solo più di 1500 anni dopo con Dedekind (forse lo vedremo tra qualche puntata...).

Tornando invece ai tempi della scuola calabrese (la sede era a Crotone) dei pitagorici e alla storia del delatore, secondo alcuni questi sarebbe stato Ippaso di Metaponto; a cui sarebbe anche attribuita la scoperta stessa dell'irrazionale;


e che una dubbia leggenda vuole addirittura condannato a morte per cotanta disvelazione e diffusione.

Ma non è finita qui!
Non solo il diabulus in matematica si celava dietro il teorema del Maestro, ma addirittura la bestia fu scoperta albergare anche anche alll'interno del simbolo dei pitagorici: il pentagramma pitagorico. Dove nuovamente il mostro dimorava nel rapporto tra diagonale e lato del pentagono descritto. Una vera iattura!

(Stavolta il rapporto coincide con l'interessantissima Sezione aurea, che si trova celata nei posti più impensati: dalla Pittura all'Architettura, fino alla Musica e alla Letteratura.)
Nonostante le inattese scoperte, anzi forse in parte proprio grazie ad esse, il contributo dei pitagorici al sapere umano e alla scienza è enorme. Furono i primi ad accorgersi che alcune leggi della natura erano governate da regole esprimibili matematicamente con dei numeri.
Ora è un fatto ovvio, ma la sorpresa dovette essere molto grande per i primi uomini che si accorsero dell'inattesa coincidenza; ed è anche comprensibile che tale scoperta li potesse condurre a dedurne un'interpretazione che dava un valore mistico ai numeri.
In particolare si racconta che tale scoperta avvenne investigando le leggi che regolavano l'emissione di suoni da parte di corde o corpi posti in vibrazione.

Quindi nei pitagorici si possono in qualche modo scorgere i progenitori sia della Matematica che della Fisica.

Il contributo più importante alla Matematica da parte dei pitagorici non è comunque né il famoso teorema (che pare fosse già noto ed utilizzato da Cinesi, Babilonesi ed Egizi qualche millennio prima) e né la scoperta dell'irrazionalità di √2.

Il contributo più importante alla Matematica da parte dei pitagorici è stato il fatto che essi non si accontentarono di utilizzare o enunciare i suddetti risultati, come era stato fatto fino ad allora, ma vollero invece "dimostrarli". Introdussero quindi per la prima volta il concetto di dimostrazione matematica; e cioè una sequenza di passaggi logici, a partire da pochi fatti noti, che portino ad una conclusione che valga in generale.
In particolare poi nel caso dell'irrazionalità di √2 introdussero la dimostrazione per assurdo, usata moltissimo nei secoli e millenni a venire fino a tutt'oggi.

Nella prossima puntata parleremo di Platone e le forme geometriche.

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Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 2: il crollo del castello pitagorico

Che tipo di problemi creò quindi la scoperta che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di lato del quadrato?

Nella puntata precedente, Crazy time faceva riferimento al teorema di Pitagora rinominandolo "il mistero di Pitagora".
Effettivamente, nella ridefinizione di Crazy time c'è del vero. Per ironia della sorte infatti i pitagorici trovarono la loro bestia nera celata proprio nel famoso teorema del Maestro.
Dovettero essere infatti molto sorpresi dal fatto che un caso particolare del teorema conduceva proprio alla grandezza incommensurabile che faceva crollare la loro mistica/teoria secondo la quale tutto è numero (razionale) e tutto è quindi misurabile attraverso il numero.

Il caso particolare più semplice del teorema (ce ne sono un'infinità) che porta alla grandezza incommensurabile è il seguente.
Se consideriamo il triangolo rettangolo di cateto 1 e chiamiamo x la lunghezza incognita dell'ipotenusa, la nota filastrocca del teorema ci dice che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Quindi nel nostro caso 1² + 1² = x².

Da cui, sommando 1² + 1² = 2 = x².

Estraendo quindi la radice da ambo le parti:

√2 = x

La lunghezza dell'ipotenusa (che coincide poi con la diagonale del quadrato di lato 1) coincide quindi con il diabulus in matematica, con la bestia nera incommensurabile.

(La scoperta si può anche esprimere in termini un po' più matematici dicendo che √2 non si può esprimere come un rapporto di numeri interi; o ancora che √2 non è un numero razionale. Per chi fosse interessato ad una semplice dimostrazione dell'irrazionalità di √2 la può trovare qui.)

La scoperta creò sicuramente scandalo all'interno della setta. Faceva crollare tutta il loro modello del cosmo. Non avrebbero più potuto asserire la loro teoria/filosofia/religione che sosteneva che il mondo è completamente misurabile e rappresentabile attraverso i numeri e neppure quindi che attraverso la scoperta delle proprietà dei numeri si potessero specularmente scoprire i misteri dell'Universo. All'interno della scuola si decise quindi di mantenere segreta la scoperta.
Purtroppo pare che un delatore (onore al merito) divulgò la dimostrazione e il castello crollò.

È il prezzo che si paga a fondare una mistica su qualcosa di razionale.

Quindi il modello pitagorico crollava, in quanto parve che nell'universo si potevano trovare grandezze non esprimibili attraverso numeri.

Come ne uscì invece la Matematica da questa scoperta che a partire dai numeri si può definire qualcosa di non classificabile come numero secondo la definizione esistente allora?
Lo vedremo nella prossima puntata....

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Astrologia, omeopatia e scienza: la falsificabilità come criterio di demarcazione

Mi ricollego al discorso sull'omeopatia cominciato qui e proseguito qui.

Lo faccio citando alcuni osservazioni del pensiero di Karl Popper.

Secondo Popper le teorie scientifiche sono asserzioni universali e dunque possono essere solo falsificate dall’esperienza.
L'affermazione “Tutti i corvi sono neri” non può essere verificata dall’osservazione di qualunque numero, per quanto grande, di corvi neri, ma può essere falsificata dalla sola osservazione di un singolo corvo non-nero.

Dall'altro lato invece le asserzioni esistenziali (esiste qualcosa
così e così) possono solo essere verificate dall’esperienza, ma mai falsificate.
L'affermazione “Esiste un corvo rosso”, può essere verificata dalla sola osservazione di un singolo corvo rosso, ma non potrà mai essere falsificata dall’osservazione di qualunque numero, per quanto grande, di corvi non rossi. Si potrà sempre affermare che il corvo rosso esiste, ma non è ancora stato osservato.

La caratteristica distintiva della scienza non è quindi la sua infallibilità, ma la sua fallibilità.
L’onestà scientifica non impone quindi di confermare le proprie teorie ma di cercare invece di confutarle.
Le teorie scientifiche si distinguono dalle quelle pseudoscientifiche per il fatto di essere falsificabili: possono essere contraddette dall’esperienza.

Le teorie pseudoscientifiche o metafisiche sono invece infalsificabili o per la loro forma logica (asserzioni esistenziali, alla cui categoria appartengono molti dei dogmi religiosi) o per l’atteggiamento metodologico dei loro sostenitori che le rendono immuni dalla confutazione con stratagemmi ed “ipotesi ad hoc” (a questa categoria appartengono invece ad esempio astrologia ed omeopatia).

Popper, come tipici esempi di pseudoscienze che non soddisfano il requisito della falsificabilità citava l’astrologia, il marxismo e la psicoanalisi.
"Queste teorie sono in grado di “spiegare” praticamente tutto (“un marxista non può aprire il giornale senza trovare innumerevoli conferme della propria teoria”), ma i loro sostenitori non sono in grado, anzi si rifiutano, di specificare di fronte a quale tipo di evidenza contraria sarebbero disposti a considerarle confutate."

In seguito Kuhn e Lakatos mostrarono che la teoria di Popper era un'esemplificazione. Probabilmente in futuro qualcun altro mostrerà che anche le loro teorie epistemologiche sono delle esemplificazioni.

L'esemplificazione di Popper però approssima molto bene la realtà.

Leggendo queste teorie mi è tornata alla mente un'assurda trasmissione televisiva condotta da Vespa (penso si trattasse di Porta a porta) in cui si metteva a confronto un unico membro del CICAP con una pletora di astrologi e difensori dell'astrologia. Ovviamente il cicappino, che seguiva l'approccio scientifico, veniva subissato e messo a tacere da maghi, astrologi e relativi clienti che lo tacciavano ripetutamente di emettere sentenze da una cattedra, di avere delle certezza e di non voler mettere in discussione le proprie convinzioni.

Popper ci insegna che la realtà è esattamente opposta: chi mette continuamente in discussione le proprie convinzioni sono proprio quelli che seguono l'approccio scientifico.

Inserisco il collegamento alle dispense che hanno ispirato questo post.

Se non sono gigli son pur sempre figli, vittime di questo mondo

Sono passati ormai più di dodici anni e nel ripostiglio della mia memoria rimangono solo fotografie con i contorni logori che sbiadiscono e ingialliscono, ritratti dai colori sempre più tenui, sfumati ed opachi.
Marinelli era sicuramente quello che mi affascinava di più. Magro, lunga barba bianca e capelli legati, era forse quello che più si avvicinava alla figura mitica del barbone romantico: quello un po' filosofo che diventa barbone per scelta. Stereotipo che secondo la mia esperienza esiste solo nell'immaginario di chi non ha mai avuto dei contatti veri con gli abitanti dei ghetti metropolitani.
Marinelli era nato a Trieste nei primi decenni del secolo scorso. Aveva viaggiato molto e vissuto in luoghi diversi. Era stato, tra tante altre cose, frequentatore adolescente di case chiuse a Trieste, autore di gialli e alcolizzato in Argentina, padre in Francia, giocatore di terzilio in Sabina e barbone a Roma. Il suo vero cognome era Marinovic che fu italianizzato durante il ventennio. Era un acuto osservatore della realtà che lo circondava e a volte si divertiva a stupire con degli strani comportamenti i volontari in preda ad un ispirata vena caritatevole.
Memorabili le partite serali di terzilio davanti a una bottiglia di Black Bush o di Drambuie: io, lui e Alessandro.
Una volta gli domandai se avesse ancora dei contatti con i due figli. Mi rispose che non ne aveva. Era solo venuto a sapere che la figlia era diventata suora.

Marcello I era uno dei più divertenti. Trasteverino doc e omosessuale. Nel dopoguerra si era prostituito nei dintorni di Monte Caprino e del Colosseo. Mangiava sempre e solo "er brodo". Solo una volta mangiò la pasta. Quel giorno avevo cucinato io. Ci erano arrivati dei fagioli e li usai per preparare un inedito e improvvisato sugo. Quando Marcello vide qual'era la pasta del giorno esclamò: "an vedi a' pasta a'a militare!".
Le sue frasi più ricorrenti erano: "ma che c'avete messo er zucchero ner brodo!", "guarda che io c'ho 57 anni", e quando si alterava: "ma va a fa' le pippe ar colosseo".

Assuero recitava la parte del vecchietto tenero e indifeso per conquistarsi le simpatie di volontarie e operatori. In realtà era un furbastro. Aveva vissuto molti anni in Francia dove aveva imparato a bere il pastis e a cantare l'Internazionale. Un giorno organizzammo una festa alla presenza di volontari e operatori. Francesco suonava la chitarra, io il trombone e gli ospiti cantavano. Ad Assuero facemmo cantare la sua amata Internazionale. Gli operatori non apprezzarono molto.

Savino era pugliese e autistico con un passato di emigrante in Germania come muratore. Quando parlava non si capiva quasi nulla. Quando veniva a mangiare aveva un suo percorso e dei gesti che ripeteva religiosamente sempre uguali. Un giorno diede un pungo a un obiettore che scherzava con lui.

Marcello II scriveva poesie in dialetto romanesco. Ne scrisse anche una per me e per Silvio nel nostro ultimo giorno di servizio.

Remo era nato anche lui a Trastevere e aveva trascorso venti anni in carcere: aveva ammazzato due ricettatori. Una delle sue attività principali era stata svaligiare gli appartamenti. Era molto vecchio e si muoveva a stento. Nonostante ciò tutti lo rispettavano timorosamente. Durante le mie notti di servizio a volte passavo delle ore ad ascoltare le sue storie.

Romeo proveniva da una famiglia della media borghesia. Suo padre era stato sindaco di un paese della Ciociaria. Aveva studiato medicina, ma i problemi psichici l'avevano portato a vivere sotto i ponti. Leggeva in continuazione e aveva dichiarato guerra a molte cose: una di queste erano i glutammati.

Bushi veniva dall'Albania e faceva il ricettatore in zona Termini. Girava con la fiaschetta perennemente nel taschino interno della giacca e voleva sempre offrirci un sorso.

Alex era nato in Ungheria da padre calabrese. Fuggì dall'Ungheria con mezzi di fortuna per raggiungere il padre, il quale lo segregò per più di un decennio a fare il pastore sull'Aspromonte. Fuggì anche da lì, dopo aver ucciso qualcuno, secondo i suoi bizzarri racconti, e si spostò a Roma. Non aveva mai frequentato scuole e si era alfabetizzato da solo provando e riprovando a decifrare pagine di giornali. A Roma si era costruito una baracca a Cinecittà, dove cominciò a frequentare l'ambiente delle comparse cinematografiche. Fece la comparsa in molte pellicole, persino con Federico Fellini. Una sera mentre guardava la televisione insieme agli altri ci chiamò eccitato. Stavano trasmettendo "Anche gli angeli mangiano fagioli". Vedemmo la scena in cui Alex interpretava il suonatore di piatti dell'esercito della salvezza.
Negli anni in cui lo conobbi era un consumatore abituale di viagra.

Campanelli era piemontese ed era rimasto traumatizzato dalla vita di manicomio. Leggeva e citava in continuazione l'Apocalisse esibendosi anche in diverse sue creazioni improvvisate sul tema. Una di queste era la minaccia della punizione dell'Uccello Grifone.




Mammolino era omosessuale e aveva lavorato nel teatro. Anche lui si divertiva molto a prendere in giro le volontarie.

George era nato da una delle caldeggiate relazioni tra romani e "bell'abissine". Suppongo che nella Roma del dopoguerra la sua provenienza gli abbia provocato qualche problema. Era riuscito ad uscire dall'alcolismo e frequentava ancora i gruppi di Alcolisti Anonimi.

Altri personaggi che ricordo sono Gina, la cuoca volontaria nipote di Ignazio Silone, che sputacchiava sui piatti; la suora venticinquenne emiliana che votava Bertinotti e che un giorno ci comunicò che si sarebbe ritirata in clausura; e il cuoco volontario caposcout. A volte nel cuore della notte ci arrivavano delle prelibatezze preparate da quest'ultimo. Erano gli avanzi di qualche banchetto luculliano che aveva deliziato gli abitanti di qualche villa sulla Via Appia. Il giorno dopo si assisteva quindi all'improbabile scena del non particolarmente apprezzato pasto a base di soufflé, vol-au-vent e raffinatezze simili. Marcello chiosava sempre con frasi tipo: "quella t'aa magni te. Damme er bbrodo!".