La lettura è scorrevole, piacevole ma soprattutto interessante. Ho scoperto una serie di fatti così dettagliati e affascinanti sulla storia dei calendari che uno si chiede: ma come hanno fatto a scoprirli tutti?
martedì 16 dicembre 2014
Di 28 ce n'è 1
La lettura è scorrevole, piacevole ma soprattutto interessante. Ho scoperto una serie di fatti così dettagliati e affascinanti sulla storia dei calendari che uno si chiede: ma come hanno fatto a scoprirli tutti?
domenica 14 dicembre 2014
Carnevale della Matematica #80: Matematica e irrazionalità
- Guardi lasci perdere. Stavolta non l'aiuterò!
- Ma come? Illustre Pitagora! Questo è il Carnevale della Matematica numero 80 quello che ha nome in codice “canta, canta, canta… tra i cespugli canta”!
- Non m'interessa. Lei ha di nuovo infranto la regola della scuola pubblicando altre storie.
Prima che neghi di nuovo ho portato questa foto come prova. Sa che a suo tempo qualcuno non se la passò tanto bene per aver infranto la regola?
- Ma io credevo che ormai quella regola fosse superata... E poi, ispirandomi a Popinga, ho anche creato le melodie in codice per i carnevali della matematica.
- Melodie in codice? Musica e numeri? La cosa si fa interessante. Forse potrei anche perdonarla.
- Ah, bene! Ecco l'idea.
- Molto interessante!
- Sì. E per questo carnevale la melodia in codice sarebbe:
E, volendo, può anche ascoltare una giustapposizione di queste melodie. Eccola:
Melodia gaussiana
- Beh, non mi pare che tutti gli intervalli siano così consonanti...
- Ehm. Forse il canone potrebbe piacerle di più. Ascolti:
Canone gaussiano
- Ma che cos'è quest'obbrobrio!?
- Ecco, pensavo che...
- Guardi, l'aiuterò lo stesso. Ma solo per premiare la sua buona volontà. Non certo per le qualità della sua "composizione"! Per essere buono giudicherò il suo lavoro secondo i paradigmi della musica moderna. Quindi eccole le agognate proprietà del numero 80 e stavolta le darò solo quelle che vuole lei e non quelle ben più profonde che le avevo fornito in passato.
Allora, 80 è un numero semiperfetto perché è la somma di un sottoinsieme dei suoi divisori (ad esempio, 1, 4, 5, 10, 20 e 40); è un numero di Harshad in quanto divisibile per la somma delle proprie cifre; è un numero rifattorizzabile, perché divisibile per il numero dei suoi divisori; è un numero piramidale ennagonale, infatti è un numero figurato che rappresenta una piramide con base ennagonale. E poi è un numero ménage ...
- Ehm, penso possa bastare. Ah stavo quasi per dimenticare che il tema di questo carnevale è l'irrazionalità.
- L'irrazionalità!? Che intende? L'irrazionalità umana spero. Quella che spinge gli stolti verso azioni illogiche.
- No, no. Intendo l'irrazionalità in matematica.
- L'irrazionalità in matematica non esisteeeeee...
- Ehm... Un fuori programma... Ma the show must go on! E quindi dichiaro aperta l'edizione numero 80 del Carnevale della Matematica il cui tema è: "Matematica e irrazionalità".
Da Science4fun Andrea ci manda:
Come funziona Akinator?
Akinator è uno dei giochi che più ha spopolato sul Web negli ultimi anni. Si tratta di una sorta di “indovina chi” moderno, disponibile on line o come app per smartphone.
La dinamica è semplice: pensiamo ad un personaggio reale o immaginario,rispondiamo ad una manciata di domande (come ad esempio: “è un uomo?”, “porta gli occhiali?”, “è un attore?”) e Akinator indovina esattamente chi avevamo in mente. La cosa sconvolgente è che ci riesce praticamente sempre!
Come fa? Se non ti è bastato, continua a leggere questo articolo.
Da Matetango:
Il prezioso gioiello irrazionale
- Ma come? Illustre Pitagora! Questo è il Carnevale della Matematica numero 80 quello che ha nome in codice “canta, canta, canta… tra i cespugli canta”!
- Non m'interessa. Lei ha di nuovo infranto la regola della scuola pubblicando altre storie.
- Ma io credevo che ormai quella regola fosse superata... E poi, ispirandomi a Popinga, ho anche creato le melodie in codice per i carnevali della matematica.
- Melodie in codice? Musica e numeri? La cosa si fa interessante. Forse potrei anche perdonarla.
- Ah, bene! Ecco l'idea.
1 = 1 → –
2 = 2 →
canta do
3 = 3 →
il merlo re
4 = 22 →
canta, canta do do
5 = 5 →
tra
i cespugli mi
6 = 2 × 3 →
canta il merlo do re
7 = 7 →
melodioso fa
8 = 23 → canta, canta, canta do do do
... ........... ...
... ........... ...
- Molto interessante!
- Sì. E per questo carnevale la melodia in codice sarebbe:
80 = 24 x 5 → canta, canta, canta, canta tra i cespugli do
do do do mi
Cellula melodica #80
E, volendo, può anche ascoltare una giustapposizione di queste melodie. Eccola:
Melodia gaussiana
- Beh, non mi pare che tutti gli intervalli siano così consonanti...
- Ehm. Forse il canone potrebbe piacerle di più. Ascolti:
Canone gaussiano
- Ma che cos'è quest'obbrobrio!?
- Ecco, pensavo che...
- Guardi, l'aiuterò lo stesso. Ma solo per premiare la sua buona volontà. Non certo per le qualità della sua "composizione"! Per essere buono giudicherò il suo lavoro secondo i paradigmi della musica moderna. Quindi eccole le agognate proprietà del numero 80 e stavolta le darò solo quelle che vuole lei e non quelle ben più profonde che le avevo fornito in passato.
Allora, 80 è un numero semiperfetto perché è la somma di un sottoinsieme dei suoi divisori (ad esempio, 1, 4, 5, 10, 20 e 40); è un numero di Harshad in quanto divisibile per la somma delle proprie cifre; è un numero rifattorizzabile, perché divisibile per il numero dei suoi divisori; è un numero piramidale ennagonale, infatti è un numero figurato che rappresenta una piramide con base ennagonale. E poi è un numero ménage ...
- Ehm, penso possa bastare. Ah stavo quasi per dimenticare che il tema di questo carnevale è l'irrazionalità.
- L'irrazionalità!? Che intende? L'irrazionalità umana spero. Quella che spinge gli stolti verso azioni illogiche.
- No, no. Intendo l'irrazionalità in matematica.
- L'irrazionalità in matematica non esisteeeeee...
- Ehm... Un fuori programma... Ma the show must go on! E quindi dichiaro aperta l'edizione numero 80 del Carnevale della Matematica il cui tema è: "Matematica e irrazionalità".
Da Science4fun Andrea ci manda:
Akinator è uno dei giochi che più ha spopolato sul Web negli ultimi anni. Si tratta di una sorta di “indovina chi” moderno, disponibile on line o come app per smartphone.
La dinamica è semplice: pensiamo ad un personaggio reale o immaginario,rispondiamo ad una manciata di domande (come ad esempio: “è un uomo?”, “porta gli occhiali?”, “è un attore?”) e Akinator indovina esattamente chi avevamo in mente. La cosa sconvolgente è che ci riesce praticamente sempre!
Come fa? Se non ti è bastato, continua a leggere questo articolo.
Da Matetango:
Partendo dal tema del Carnevale, l'irrazionalità, e da una mia anticipazione: "la novità di questo Carnevale è che avrà una sua melodia. Sarà razionale o sarà irrazionale?". Annalisa si è chiesta: dove lo si può trovare un legame tra l'irrazionalità e una melodia? Un'irrazionale che sembra compendiare "l’armonia dell’universo macro e micro". Vi viene in mente qualcosa? Avete indovinato? Scopritelo leggendo il bel contributo di Annalisa.
L'eresia di Ippaso a teatro
Ho assistito a un intrigante spettacolo teatrale, ci dice Annalisa, "L'irrazionale leggerezza dei numeri", che prende spunto dal "giallo" (la fine misteriosa) di Ippaso da Metaponto, lo scopritore dei numeri irrazionali, che rivoluzionò la scuola pitagorica.
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Da Maddmaths! Roberto Natalini contribuisce con:
Michèle Audin, matematica e oulipiana, elenca centosettanta verbi all'infinito, che potrebbero descrivere il lavoro dei matematici... (traduzione a cura di Marco Fulvio Barozzi, alias Popinga)
No, non stiamo parlando della puntualità con cui ci si presenta a un appuntamento. La puntualità per i matematici ha un altro senso... di Corrado Mascia
Ci sono matematiche novità sul Principio di indeterminazione di Heisenberg, che risale al 1927? Articolo di Gerardo Morsella
La separazione tra matematica pura e applicata non ha senso, e finisce per danneggiare entrambe - un editoriale di Massimo Ferri
Frattali, Broccoli, Alberi, Strutture Ripetute, Frattaglie, Polmoni, Questioni di Spazio, Continua la Matematica umida dell’evoluzione di Davide Palmigiani
L’epidemia di Ebola attualmente in corso nell’Africa Occidentale, oltre ad avere già causato molte sofferenze, costituisce una grave minaccia per la salute e la struttura sociale nei paesi in cui è in corso. Dato lo sviluppo dei modelli matematici di epidemie e la loro applicazione a svariati casi negli ultimi 20 anni, è naturale che vari modelli matematici siano stati costruiti per questa epidemia… di Andrea Pugliese
Sono i big data, bellezza (seconda puntata)
Quella sensazione di sentirci "spiati" dal nostro supermercato, o da Facebook, che ci consigliano prodotti vicini ai nostri gusti. Continua il nostro viaggio nei big data... di Luca Magri e Giovanni Naldi
Troppi creativi "rovinano" la società
Un modello matematico che dimostra che per una società non sempre avere molti creativi è un bene (anzi). Per avere un risultato culturalmente ottimale per la società, dovrebbe essere scoraggiata la creatività quando un creativo 'fa fiasco' e incoraggiata quella dei creativi di successo... di Stefano PisaniDa Rudi Matematici:
- addirittura due classici a poca distanza uno dall'altro. Il primo, un problema di scambi ferroviari. Il secondo, un caro problema con tanti fratelli, tutti sposati, tra i quali dividere la mandria di vacche e cavalli (sì, sì... "Sette spose per sette fratelli" lo hanno citato tutti...
- un bel gioco semiscacchistico:
Compleanni:
- Laura Bassi, ispirato dall'attualità dei vincitori della medaglia Fields e dal fatto che i matematici possono essere un po' di tutti i tipi, anche donne
- D'alembert, ispirato ancora di più dai nomi e nomignoli e gli allonimi.
Soluzioni ai problemi del mese:
- Uomini di solidi principi, per fortuna nella vita reale non funziona come nei nostri problemi.
- Triatlon d'Euclide, con i vostri Rudi atletici, quasi tutti...
E infine il numero di novembre di RM.
Da .mau.
Cause, effetti e bias
Non sempre le cose sono come sembrano. Prendiamo l'esempio del liceo
classico...
Come vincere alle elezioni
Le elezioni dovrebbero far vincere il partito preferito dalla maggioranza, ma non è sempre così... e ci sono modi per peggiorare ancora le cose!
Una pillola: Axis
Una battaglia navale a furia di formule
La musica dell'irrazionale
Qual è la musica della radice quadrata di 2?
La scienza sotto l'ombrellone
Si può fare scienza anche al mare!
Comics&Science @ CERN
Il CNR stavolta parla di fisica
Imaginary Numbers
Matematica nella letteratura
Numeri
Matematica umanistica ma non troppo
Quizzini della domenica:
Collezione di francobolli
Partizioni
Il mio amico non esiste
Un racconto di matematica, irrazionalità... ma non solo.
Il problema del tesoro nascosto di Gamow risolto senza parole
Come trovare un tesoro anche se mancano dei dati...
La costante di Champernowne
Un contributo proveniente dal blog collettivo Tamburo Riparato relativo alla costante di Champernowne: un numero irrazionale con varie peculiarità.
E infine i miei due contributi
La musica dai ritmi irrazionali 2
- Me lo spieghi finalmente che diavolo sarebbero questi ritmi irrazionali?!
- Certo che te lo spiego. Sono venuto per questo....
Partition di Ira Hauptman tradotto da Martha Fabbri
Leggerezza e profondità, realtà e fantasia, divertimento e riflessione. Tutto questo lo si trova in Partition. Ho appena finito di leggere questo bel testo teatrale della collana Altramatematica di 40K e ...
- Me lo spieghi finalmente che diavolo sarebbero questi ritmi irrazionali?!
- Certo che te lo spiego. Sono venuto per questo....
Partition di Ira Hauptman tradotto da Martha Fabbri
Leggerezza e profondità, realtà e fantasia, divertimento e riflessione. Tutto questo lo si trova in Partition. Ho appena finito di leggere questo bel testo teatrale della collana Altramatematica di 40K e ...
Concludo ricordandovi che la prossima edizione, la prima del 2015, sarà ospitata da Leonardo Petrillo su Scienza e Musica e, come tema facoltativo, avrà "Storia, Personaggi e Applicazioni dell'Analisi Matematica!" Sarà l'edizione #81, come nome in codice avrà “il merlo, il merlo: il merlo? il merlo!” e come cellula melodica:
Cellula melodica #81
Pagina fan del Carnevale su Facebook
mercoledì 10 dicembre 2014
Frammento di melodia Gaussiana
Quale codice si celerà sotto queste note? Sarà Fibonacci? Sara la sezione aurea? Sarà il Codice Da Vinci? O altro e ben più occulto codice?
Se non lo trovate potrete sempre scoprirlo leggendo il Carnevale della Matematica #80 tra meno di quattro giorni su questo blog.
melodia gaussiana
Se non lo trovate potrete sempre scoprirlo leggendo il Carnevale della Matematica #80 tra meno di quattro giorni su questo blog.
melodia gaussiana
giovedì 4 dicembre 2014
Il mio secondo ebook: La Musica dell'irrazionale
Ippaso, un giovane atletico e brillante. Il più intelligente della scuola di Pitagora ma anche il più ribelle e arrogante. Quali saranno l’amore segreto e la scoperta che lo metteranno in pericolo? Quanti i secoli che sarebbero dovuti trascorrere per interpretare quella scoperta? E quale il segreto che i pitagorici vorranno preservare a tutti i costi? Un segreto che potrebbe fornire la chiavi per l'interpretazione e il controllo dell'Universo. Ma Ippaso si accorge che c'è qualcosa che non va. C'è un numero che manca. C'è un suono di troppo. E qualcuno trama nelle tenebre per impedire il crollo della dottrina pitagorica.
Quale idea migliore per un regalo di Natale per voi stessi e per i vostri amici e parenti?
E c'è già una prima recensione!
Dove lo si può trovare?E c'è già una prima recensione!
bookrepublic
Feltrinelli
Amazon (it, com, de, uk)
Il Fatto Quotidiano Ebook store
iBooks per iPad e iPhone
E su altri siti
Se vi servono informazioni su come leggere un ebook su Bookrepublic potete trovare una
Guida all'ebook dove viene anche spiegato come leggere un ebook sul tuo computer di casa.
martedì 25 novembre 2014
Partition di Ira Hauptman tradotto da Martha Fabbri
La trovata di avere la dea Namagiri e Fermat in scena è molto azzeccata. E il rapporto tra due persone e due culture che, materialmente e spiritualmente, si trovano spesso ai poli opposti è inscenato molto bene. Lo consiglio.
martedì 18 novembre 2014
La musica dai ritmi irrazionali 2
- Me lo spieghi finalmente che cosa sono questi ritmi irrazionali?
- Certo che te lo spiego. Sono venuto per questo. Allora, la volta scorsa abbiamo detto che la frazione iniziale stabilisce il ritmo della battuta e che, generalmente, al denominatore si trovano potenze di due.
- Sì, però mi dicevi pure che un po' di anni fa qualcuno si è divertito a creare qualcosa di nuovo e che così sono venuti fuori i cosiddetti metri irrazionali. Quindi che diavolo sarebbero questi metri irrazionali?!
- Bene, mi piace avere allievi così assetati di sapere. Cominciamo da un caso semplice. Che cosa significa avere 4/4 come frazione iniziale di un brano?
- Beh, lo dicevamo la volta scorsa. Significa che la misura è composta da quattro movimenti della mano ognuno dei quali dura un quarto dell'intero.
- Quindi, se lì ci mettessi 4/3 che cosa significherebbe?
- Quattro terzi!? Uhm... Forse che la misura è composta da quattro movimenti della mano ognuno dei quali dura un terzo dell'intero?
- Bravissima!
- Grazie. Però... mi viene subito un dubbio. Alla fine il 4/3 non è la stessa cosa del 4/4? Voglio dire, la mano non batte sempre quattro movimenti? Che m'interessa se poi questi durano 1/4 o 1/3 dell'intero?
- Ottimo! Hai colto un punto cardine dell'argomento. Effettivamente, se un pezzo fosse scritto interamente in 4/3 questo sarebbe equivalente allo stesso pezzo scritto tutto in 4/4. Si aggiungerebbe solo una complicazione nella lettura.
- E allora perché si sono inventati il 4/3?
- Beh, ad esempio se un pezzo comincia con il 4/4 e poi passa al 4/3 si ha un rallentamento del ritmo.
- Sì, ma un rallentamento del ritmo lo si può pure ottenere con un'indicazione tipo: "Più lento"!
- È vero! O, ancora più precisamente, con una modulazione metrica tipo questa che ho scritto. In questo caso un passaggio da 120 a 90 equivale esattamente a un passaggio da un 4/4 a un 4/3.
- E allora mi ripeto: perché si sono inventati il 4/3?
- Beh, pure secondo me è un po' un esercizio di stile. Niente che non si potesse esprimere con il sistema già esistente. Però magari nella poliritmia la cosa potrebbe pure avere un suo senso. Considera, ad esempio, questi ritmi eseguiti contemporaneamente. Mentre la sinistra batte quattro colpi la destra ne batte tre. Che poi sarebbero tre terzine di minima in 4/4.
- Certo che te lo spiego. Sono venuto per questo. Allora, la volta scorsa abbiamo detto che la frazione iniziale stabilisce il ritmo della battuta e che, generalmente, al denominatore si trovano potenze di due.- Sì, però mi dicevi pure che un po' di anni fa qualcuno si è divertito a creare qualcosa di nuovo e che così sono venuti fuori i cosiddetti metri irrazionali. Quindi che diavolo sarebbero questi metri irrazionali?!
- Bene, mi piace avere allievi così assetati di sapere. Cominciamo da un caso semplice. Che cosa significa avere 4/4 come frazione iniziale di un brano?
- Beh, lo dicevamo la volta scorsa. Significa che la misura è composta da quattro movimenti della mano ognuno dei quali dura un quarto dell'intero.
- Quattro terzi!? Uhm... Forse che la misura è composta da quattro movimenti della mano ognuno dei quali dura un terzo dell'intero?
- Bravissima!
- Grazie. Però... mi viene subito un dubbio. Alla fine il 4/3 non è la stessa cosa del 4/4? Voglio dire, la mano non batte sempre quattro movimenti? Che m'interessa se poi questi durano 1/4 o 1/3 dell'intero?
- Ottimo! Hai colto un punto cardine dell'argomento. Effettivamente, se un pezzo fosse scritto interamente in 4/3 questo sarebbe equivalente allo stesso pezzo scritto tutto in 4/4. Si aggiungerebbe solo una complicazione nella lettura.
- E allora perché si sono inventati il 4/3?
- Beh, ad esempio se un pezzo comincia con il 4/4 e poi passa al 4/3 si ha un rallentamento del ritmo.
- E allora mi ripeto: perché si sono inventati il 4/3?
- Beh, pure secondo me è un po' un esercizio di stile. Niente che non si potesse esprimere con il sistema già esistente. Però magari nella poliritmia la cosa potrebbe pure avere un suo senso. Considera, ad esempio, questi ritmi eseguiti contemporaneamente. Mentre la sinistra batte quattro colpi la destra ne batte tre. Che poi sarebbero tre terzine di minima in 4/4.
Forse in questo caso scrivere la destra in 4/3 e la sinistra in 4/4 potrebbe semplificare le cose.
- Dici? Mah...
- Un altro caso simile è quello di tre terzine di semiminima in 2/4 che si potrebbero scrivere come tre note nella battuta di 3/6... Non ti vedo convinta. Vabbè, comunque ci sono stati diversi compositori che hanno usato i ritmi irrazionali.
- Non avevo dubbi!
- Sembra che il primo a teorizzarli sia stato Henry Cowell 1. nel libro "New Musical Resources" pubblicato nel 1930. Ma già nel 1920, in Fabric, Cowell aveva usato denominatori che variano tra 1 e 9. Nel suo libro Cowell ha anche teorizzato una nuova notazione con note triangolari, quadrate, romboidali, ecc. Più di recente c'èstato invece Thomas Adès che, in Traced Overhead (1996) ha usato metri come 2/6, 9/14 e 5/24. Ecco il pezzo con tanto di spartito.
- Ahah. Senti ho un'altra domanda. Ma perché si chiamano irrazionali? Quelle di cui parli sono sempre frazioni. Sono numeri razionali, mica irrazionali!
- Dici? Mah...
- Un altro caso simile è quello di tre terzine di semiminima in 2/4 che si potrebbero scrivere come tre note nella battuta di 3/6... Non ti vedo convinta. Vabbè, comunque ci sono stati diversi compositori che hanno usato i ritmi irrazionali.
- Non avevo dubbi!
- Ahah. Senti ho un'altra domanda. Ma perché si chiamano irrazionali? Quelle di cui parli sono sempre frazioni. Sono numeri razionali, mica irrazionali!
- Come ti dicevo anche per i ritmi dispari, in questo ambito le definizioni non sono rigorosamente matematiche. In ogni caso, c'è pure chi ha provato a mettere dei veri numeri irrazionali.
- Ma veramente?! Tipo √2/4?
- Sì, qualcosa del genere. Ad esempio, in uno degli "Studies for Player Piano" di Conlon Nancarrow compare un canone che fa uso della tecnica dell'aumentazione per un fattore di √42. Quindi qui i ritmi sono irrazionali nel vero e proprio senso matematico del termine.
- Canone? Aumentazione? Ma che cosa sono?
- Hai presente Fra Martino? Ecco, quello è un canone. E l'aumentazione è quando la seconda voce è più lenta rispetto alla prima secondo un certo rapporto. Ecco, nel canone di questo pezzo quel rapporto è √42/1.
- Scusa, ma come fa un essere umano a suonare una melodia con una mano e la stessa melodia con l'altra mano ma √42 volte più lenta?
- Ma quello è un Player Piano.
- E che cos'è il Player Piano?
- Sarebbe la pianola.
- Ah! Uno strumento meccanico. Questo spiega un po' di cose.
- Beh, sì, l'esecuzione sarebbe un po' complicata per un pianista. Ma Nancarrow si è spinto anche oltre. Nello Studio per Player Piano 41a il rapporto dell'aumentazione del canone a due voci è di (1/√π)/√⅔ e nel 41b di (1/(π^1/3)) / ((13/16)^1/3). Immagina poi che cosa possa essere nel 41c in cui a e b si suonano insieme.
- No, guarda, non lo voglio sapere. Ma... Comunque... anche se meccanico, uno si chiede come abbia fatto a metterci dentro π.
- Eh, boh! Forse tracciando dei cerchi di raggio uno. Ma di certo non riesco a spiegarmi come nello studio 40 "for two non-synchronized pianos" sia riuscito a inserire e/π. Alla fine penso che si tratti di approssimazioni. e/π ≈ 0,86525...
- Ma allora non poteva usare direttamente le approssimazioni razionali dei numeri irrazionali?
- Beh, sì. Ma considera anche che se scegliamo un numero a caso siamo quasi certi che quel numero sarà irrazionale. Ora, se consideriamo il fatto che uno strumentista umano non eseguirà mai con precisione assoluta anche un ritmo semplicissimo come il 4/4, e se consideriamo la casualità di tale approssimazione come un processo simile alla scelta di un numero a caso, il risultato sarà la presenza di una grande varietà di ritmi irrazionali in quasi ogni interpretazione musicale che ascoltiamo o suoniamo.
- Ooooohhhhh....
Sitografia
Irrational meters
(1/√π)/√⅔ as a time signature?
List of musical works in unusual time signatures
- Ma veramente?! Tipo √2/4?
- Sì, qualcosa del genere. Ad esempio, in uno degli "Studies for Player Piano" di Conlon Nancarrow compare un canone che fa uso della tecnica dell'aumentazione per un fattore di √42. Quindi qui i ritmi sono irrazionali nel vero e proprio senso matematico del termine.
- Canone? Aumentazione? Ma che cosa sono?
- Hai presente Fra Martino? Ecco, quello è un canone. E l'aumentazione è quando la seconda voce è più lenta rispetto alla prima secondo un certo rapporto. Ecco, nel canone di questo pezzo quel rapporto è √42/1.
- Scusa, ma come fa un essere umano a suonare una melodia con una mano e la stessa melodia con l'altra mano ma √42 volte più lenta?
- Ma quello è un Player Piano.
- E che cos'è il Player Piano?
- Sarebbe la pianola.
- Ah! Uno strumento meccanico. Questo spiega un po' di cose.
- Beh, sì, l'esecuzione sarebbe un po' complicata per un pianista. Ma Nancarrow si è spinto anche oltre. Nello Studio per Player Piano 41a il rapporto dell'aumentazione del canone a due voci è di (1/√π)/√⅔ e nel 41b di (1/(π^1/3)) / ((13/16)^1/3). Immagina poi che cosa possa essere nel 41c in cui a e b si suonano insieme.
- Eh, boh! Forse tracciando dei cerchi di raggio uno. Ma di certo non riesco a spiegarmi come nello studio 40 "for two non-synchronized pianos" sia riuscito a inserire e/π. Alla fine penso che si tratti di approssimazioni. e/π ≈ 0,86525...
- Ma allora non poteva usare direttamente le approssimazioni razionali dei numeri irrazionali?
- Beh, sì. Ma considera anche che se scegliamo un numero a caso siamo quasi certi che quel numero sarà irrazionale. Ora, se consideriamo il fatto che uno strumentista umano non eseguirà mai con precisione assoluta anche un ritmo semplicissimo come il 4/4, e se consideriamo la casualità di tale approssimazione come un processo simile alla scelta di un numero a caso, il risultato sarà la presenza di una grande varietà di ritmi irrazionali in quasi ogni interpretazione musicale che ascoltiamo o suoniamo.
- Ooooohhhhh....
Sitografia
Thinking Irrational - Thomas Adès and New Rhythms - Huw Belling
Approfondimento sulle tecniche di costruzione di Nancarrow per le pianole
(1/√π)/√⅔ as a time signature?
List of musical works in unusual time signatures
lunedì 17 novembre 2014
Carnevale della Matematica #79 - matematica e libertà
Il Carnevale della Matematica di novembre, il numero 79 (nome in codice "senza posa"), ha come tema: matematica e libertà.
Ad ospitarlo è Spartaco Mencaroni.
Io ho contribuito con Altramatematica a metà prezzo e La musica dai ritmi irrazionali 1, introdotto così da Spartaco:
Sempre a suon di musica ecco arrivare il nostro Flavio Ubaldini, che ci ha abituato alle sue affascinanti escursioni nel mondo dove la musica e i numeri si intrecciano. Nel suo Pitagora e dintorni si affrontano, nientemeno, che i ritmi musicali irrazionali!
Io ho contribuito con Altramatematica a metà prezzo e La musica dai ritmi irrazionali 1, introdotto così da Spartaco:
Sempre a suon di musica ecco arrivare il nostro Flavio Ubaldini, che ci ha abituato alle sue affascinanti escursioni nel mondo dove la musica e i numeri si intrecciano. Nel suo Pitagora e dintorni si affrontano, nientemeno, che i ritmi musicali irrazionali!
Il carnevale si conclude segnalando il prossimo ospite. Cioè me.
E ricordate che il prossimo carnevale avrà anche una sua melodia.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale
Il prossimo appuntamento con il merlo è il 14 dicembre, dalle parti di Pitagora e dintorni.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale
lunedì 10 novembre 2014
Altramatematica a metà prezzo
Lo sapevate che a Milano, da giovedì 13 a domenica 16 novembre, si terrà Bookcity? Una manifestazione libraria con quasi mille eventi sparsi per la città.
Ma la cosa più interessante è che per la durata di questo evento tutti gli ebook di Altramatematica (tranne l'ultimo che uscirà a breve) saranno venduti a metà prezzo. Anzi che dico a metà prezzo. Lo sconto sarà addirittura del 50,25%. O detto in altri termini, un euro in meno a ebook.
Ma la cosa più interessante è che per la durata di questo evento tutti gli ebook di Altramatematica (tranne l'ultimo che uscirà a breve) saranno venduti a metà prezzo. Anzi che dico a metà prezzo. Lo sconto sarà addirittura del 50,25%. O detto in altri termini, un euro in meno a ebook.
E tra questi ovviamente c'è anche il mio.
Ma comprandovi tutta l'offerta dei 12 ebook risparmierete ben 12€: 11,88 invece di 23,88. E allora che aspettate?
Ma comprandovi tutta l'offerta dei 12 ebook risparmierete ben 12€: 11,88 invece di 23,88. E allora che aspettate?
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lunedì 27 ottobre 2014
La musica dai ritmi irrazionali 1
- Ritmi irrazionali!? Ma che significa? Come fanno a essere irrazionali i ritmi? Io ho sempre visto delle frazioni all'inizio delle partiture. Tipo 2/4, 3/4, 4/4. Non sono quelle che stabiliscono il ritmo del pezzo? Che significa che il ritmo è irrazionale? Che invece di un 4/4 potrò avere un √2/4 o un π/4? Un po' difficile da contare no? Questa cosa mi puzza. Non è che mi stai per raccontare cose simili alla musica spettrale o agli esperimenti con spettri artificiali?
- No, non proprio. Allora, partiamo dalle basi. Nella nostra notazione musicale un ruolo fondamentale nella definizione del ritmo viene giocato dalla battuta.
- Ah sì, l'insieme delle note comprese tra le stanghette.
- Esatto. E, come hai già osservato, la frazione iniziale stabilisce il ritmo della battuta. E, oltre a quello, anche la quantità di valori che la battuta può contenere e gli accenti. Più precisamente il numeratore stabilisce il numero di movimenti nella battuta e il denominatore stabilisce la durata di ciascun movimento. I movimenti li si può pensare semplicemente come movimenti della mano. Ad esempio con l'indicazione 3/4 si vuole specificare che la misura è composta da tre movimenti ognuno dei quali dura un quarto dell'intero (la semibreve). Con 3/8, invece, si hanno sempre tre movimenti ma ognuno di essi dura un ottavo dell'intero.
- Quindi la differenza è che il movimento del 3/8 è la metà di quello del 3/4?
- Beh, a parità di indicazione metronomica, sì. E, di solito, il 3/4 si batte con tre movimenti della mano ognuno dei quali contiene due ottavi. Mentre il 3/8 si batte con un solo movimento della mano che di ottavi ne contiene tre. 3/4 e 3/8 sono i ritmi tipici del Valzer. E, in questo caso la battuta si dice ternaria.
- Immagino quindi che la battuta di 2/4 si chiamerà binaria e quella di 4/4 quaternaria. Ma i numeratori possono anche essere numeri più grandi, vero?
- Certo! Ci sono, ad esempio, le misure composte. Che si ottengono da quelle semplici (2/4, 3/4, 4/4, ...) moltiplicando la frazione per 3/2. Si ottengono quindi 6/8, 9/8 e 12/8. Queste si battono con lo stesso numero di movimenti della misura semplice corrispondente. Ma ogni movimento della mano comprenderà tre ottavi invece di due.
- Ho capito. Quindi nel 2/4 la mano si muove due volte, in basso, in alto; in basso, in alto, a descrivere i quattro ottavi: ta ta ta ta.
E nel 6/8 la mano si muoverà sempre due volte. Ma stavolta con tre "sotto-movimenti", basso, alto, alto; basso, alto, alto, a descrivere i sei ottavi: ta ta ta ta ta ta.
- Esatto!
- Ma quindi i numeratori possono essere solo multipli di due e multipli di tre?
- No. Esistono anche le cosiddette misure miste.
- E cioè?
- Le misure miste sono un unione di misure semplici e composte. La più semplice è il 5/4.
- Ah, cinque movimenti di un quarto. Quindi in questo caso la battuta si dirà... cinquaria? Ehm, no...
- Si chiama quinaria.
- Quindi esisterà anche il 5/8.
- Certo.
- E gli accenti dove cadono?
- Dipende dalla scelta del compositore. Le scelte più frequenti lo fanno cadere o solo sul primo, oppure primo e quarto, oppure primo e terzo. Questi ultimi due casi possono anche essere visti come 3/8 + 2/8 e 2/8 + 3/8.
- Discorso simile per il 7/4 immagino.
- Sì. E a volte i tempi 5/4, 7/4, 11/4 vengono chiamati tempi dispari.
- Tempi dispari? Ma pure 3 è dispari. E allora perché il 3/4 non rientra tra i tempi dispari?
- No, non proprio. Allora, partiamo dalle basi. Nella nostra notazione musicale un ruolo fondamentale nella definizione del ritmo viene giocato dalla battuta.
- Esatto. E, come hai già osservato, la frazione iniziale stabilisce il ritmo della battuta. E, oltre a quello, anche la quantità di valori che la battuta può contenere e gli accenti. Più precisamente il numeratore stabilisce il numero di movimenti nella battuta e il denominatore stabilisce la durata di ciascun movimento. I movimenti li si può pensare semplicemente come movimenti della mano. Ad esempio con l'indicazione 3/4 si vuole specificare che la misura è composta da tre movimenti ognuno dei quali dura un quarto dell'intero (la semibreve). Con 3/8, invece, si hanno sempre tre movimenti ma ognuno di essi dura un ottavo dell'intero.
- Quindi la differenza è che il movimento del 3/8 è la metà di quello del 3/4?
- Immagino quindi che la battuta di 2/4 si chiamerà binaria e quella di 4/4 quaternaria. Ma i numeratori possono anche essere numeri più grandi, vero?
- Certo! Ci sono, ad esempio, le misure composte. Che si ottengono da quelle semplici (2/4, 3/4, 4/4, ...) moltiplicando la frazione per 3/2. Si ottengono quindi 6/8, 9/8 e 12/8. Queste si battono con lo stesso numero di movimenti della misura semplice corrispondente. Ma ogni movimento della mano comprenderà tre ottavi invece di due.
- Ho capito. Quindi nel 2/4 la mano si muove due volte, in basso, in alto; in basso, in alto, a descrivere i quattro ottavi: ta ta ta ta.
E nel 6/8 la mano si muoverà sempre due volte. Ma stavolta con tre "sotto-movimenti", basso, alto, alto; basso, alto, alto, a descrivere i sei ottavi: ta ta ta ta ta ta.
- Esatto!
- Ma quindi i numeratori possono essere solo multipli di due e multipli di tre?
- No. Esistono anche le cosiddette misure miste.- E cioè?
- Le misure miste sono un unione di misure semplici e composte. La più semplice è il 5/4.
- Ah, cinque movimenti di un quarto. Quindi in questo caso la battuta si dirà... cinquaria? Ehm, no...
- Si chiama quinaria.
- Quindi esisterà anche il 5/8.
- Certo.
- E gli accenti dove cadono?
- Dipende dalla scelta del compositore. Le scelte più frequenti lo fanno cadere o solo sul primo, oppure primo e quarto, oppure primo e terzo. Questi ultimi due casi possono anche essere visti come 3/8 + 2/8 e 2/8 + 3/8.
- Discorso simile per il 7/4 immagino.
- Sì. E a volte i tempi 5/4, 7/4, 11/4 vengono chiamati tempi dispari.
- Tempi dispari? Ma pure 3 è dispari. E allora perché il 3/4 non rientra tra i tempi dispari?
- Beh, la definizione non è rigorosamente matematica.
- Ho capito. E vale sempre il discorso della moltiplicazione per 3/2?
- Certo che vale. Dal 5/4, ad esempio, si ottiene il tempo composto 15/8.
- Immaginavo. Senti, ma finora abbiamo parlato solo del numeratore. E al denominatore? Io ho visto sempre e solo 2, 4, 8, 16... Potenze di due insomma. Possono esserci solo quelle?
- Eccoti arrivata al punto dove ti volevo portare! Poi ditemi che non è maieutica questa.
- Maieutica?
- No, niente, lasciamo perdere. Generalmente sì: al denominatore si trovano solo potenze di due. Ma un po' di anni fa qualcuno si è divertito a creare qualcosa di nuovo e così sono venuti fuori i cosiddetti metri irrazionali. Ma ora si è fatto tardi e devo andare. Quelli te li spiegherò la prossima volta.
- Uffa! Mi lasci sempre le spiegazioni a metà!
- Ho capito. E vale sempre il discorso della moltiplicazione per 3/2?
- Certo che vale. Dal 5/4, ad esempio, si ottiene il tempo composto 15/8.
- Immaginavo. Senti, ma finora abbiamo parlato solo del numeratore. E al denominatore? Io ho visto sempre e solo 2, 4, 8, 16... Potenze di due insomma. Possono esserci solo quelle?
- Eccoti arrivata al punto dove ti volevo portare! Poi ditemi che non è maieutica questa.
- Maieutica?
- No, niente, lasciamo perdere. Generalmente sì: al denominatore si trovano solo potenze di due. Ma un po' di anni fa qualcuno si è divertito a creare qualcosa di nuovo e così sono venuti fuori i cosiddetti metri irrazionali. Ma ora si è fatto tardi e devo andare. Quelli te li spiegherò la prossima volta.
- Uffa! Mi lasci sempre le spiegazioni a metà!
giovedì 16 ottobre 2014
Carnevale della Matematica #78 - Disegnate la matematica
Il Carnevale della Matematica di ottombre, il numero 78 (“il merlo canta allegro”), ha come tema: Disegnate la matematica.
Ad ospitarlo è Rosalba.
Il tema è molto interessante e molto ben sviluppato. Io ho contribuito con La matematica degli Hindu: Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra, Bhāskara, numeri negativi e irrazionali. Il contributo è parzialmente in tema visto che Bhāskara fu anche bravo a disegnarla la matematica.
Infatti, come ci ricorda anche .mau. in "Quando una “dimostrazione” è una dimostrazione?" e in "Il teorema di Pitagora", Bhāskara produsse una sorta di dimostrazione grafica del celeberrimo teorema.
Il tema è molto interessante e molto ben sviluppato. Io ho contribuito con La matematica degli Hindu: Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra, Bhāskara, numeri negativi e irrazionali. Il contributo è parzialmente in tema visto che Bhāskara fu anche bravo a disegnarla la matematica.
Il carnevale si conclude segnalando il prossimo ospite.
non resta che ricordare ai Carnevalisti che la prossima edizione del Carnevale, la 79esima per la precisione, si terrà da Il Coniglio Mannaro.
sabato 4 ottobre 2014
Lo sapevate che quasi tutti i numeri non hanno un nome?
Sapevatelo! Da Maurizio Codogno.
"Cosa significa dare un nome a un numero? Vuol dire poterlo chiamare, cioè associargli una frase, che a sua volta è un insieme finito di lettere in una certa lingua. ... Resta il fatto che quelle frasi contengono un numero finito, anche se grande a piacere, di caratteri di un certo alfabeto, caratteri che sono anch’essi in numero finito. Come ci insegna Cantor, i nomi utilizzabili sono un infinito numerabile: per contarli basta prendere e ordinare tutte le possibili “frasi” con un solo carattere, poi tutte quelle con due, quelle con tre e così via. La quasi totalità dei numeri reali non potrà pertanto avere mai un nome. E no, non vale indicare un punto a caso nella retta dei numeri e dire “questo numero si chiama Pippo”. Per specficare esattamente un punto non basta puntargli sopra una matita ma bisogna definirlo per mezzo di un algoritmo, e l’algoritmo è anch’esso una frase…
La situazione è insomma davvero imbarazzante. Sappiamo che i numeri reali esistono, e anzi se scegliamo un numero a caso siamo quasi certi che quel numero sarà trascendente, cioè reale ma non algebrico; eppure non sappiamo dare loro un nome. ... Abbiamo insomma troppi numeri e troppo pochi nomi: siamo proprio sicuri che limitarsi ai numeri razionali non sia in fin dei conti una buona idea, checché ci abbia fatto vedere Ippaso?"
"Cosa significa dare un nome a un numero? Vuol dire poterlo chiamare, cioè associargli una frase, che a sua volta è un insieme finito di lettere in una certa lingua. ... Resta il fatto che quelle frasi contengono un numero finito, anche se grande a piacere, di caratteri di un certo alfabeto, caratteri che sono anch’essi in numero finito. Come ci insegna Cantor, i nomi utilizzabili sono un infinito numerabile: per contarli basta prendere e ordinare tutte le possibili “frasi” con un solo carattere, poi tutte quelle con due, quelle con tre e così via. La quasi totalità dei numeri reali non potrà pertanto avere mai un nome. E no, non vale indicare un punto a caso nella retta dei numeri e dire “questo numero si chiama Pippo”. Per specficare esattamente un punto non basta puntargli sopra una matita ma bisogna definirlo per mezzo di un algoritmo, e l’algoritmo è anch’esso una frase…
La situazione è insomma davvero imbarazzante. Sappiamo che i numeri reali esistono, e anzi se scegliamo un numero a caso siamo quasi certi che quel numero sarà trascendente, cioè reale ma non algebrico; eppure non sappiamo dare loro un nome. ... Abbiamo insomma troppi numeri e troppo pochi nomi: siamo proprio sicuri che limitarsi ai numeri razionali non sia in fin dei conti una buona idea, checché ci abbia fatto vedere Ippaso?"
martedì 30 settembre 2014
La matematica degli Hindu: Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra, Bhāskara, numeri negativi e irrazionali
Nella precedente puntata abbiamo abbiamo visto che la matematica hindu sarebbe diventata significativa solo dopo essere stata influenzata dai risultati greci producendo quello che viene indicato come il secondo periodo della matematica hindu, che va dal III al XIII sec. d.C. I matematici più importanti di questo secondo periodo della matematica hindu sono Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra e Bhāskara. E la maggior parte della loro opera era motivata dall'astronomia e dall'astrologia.
Abbiamo anche visto che intorno al III sec. a.C. cominciano a comparire i simboli numerici brahmanici e che, presumibilmente, intorno al IV sec. d.C. nasce l'uso dello zero posizionale. E tale uso determinò lo sviluppo del sistema numerico posizionale hindu in base 10,
da cui deriva il nostro moderno sistema di numerazione. Ma è solo intorno al 600 che la notazione posizionale in base 10, che era stata usata sporadicamente per circa un secolo, entrò nell'uso comune.1
E, in questo contesto, a differenza di quanto era stato fatto fino a quel momento, lo zero cominciò a essere trattato come un qualsiasi altro numero. E, nel sec. IX d.C., Mahāvīra arrivò a definire le quattro operazioni per lo zero. Seppure, nel caso della divisione, egli disse che un numero diviso per 0 rimane inalterato. Ma vedremo che, più tardi, un altro matematico hindu cambierà quella definizione.
Presto gli Hindu cominciarono anche a usare una notazione simile a quella attuale per rappresentare le frazioni. Usavano disporre numeratore e denominatore uno sopra all'altro ma senza la nostra linea. Ed essi furono anche i primi ad introdurre i numeri negativi. Li introdussero per rappresentare i debiti.
Il primo uso noto lo si trova in Brahmagupta (598 d.C. – 668 d.C.) e risale al 628 circa. Nello stesso contesto Brahmagupta enuncia anche le regole per le quattro operazioni con i numeri negativi. Ma non vengono mai date definizioni, assiomi o teoremi. Brahmagupta si pone anche il problema della radice quadrata di un numero negativo. E lo risolve dicendo semplicemente che la radice quadrata non esiste, visto che un numero negativo non può essere un quadrato.
La nuova definizione di un numero diviso per 0 arrivò invece solo nel XII sec d.C. con Bhāskara II (1114 – 1185). Egli affermò infatti che una frazione con denominatore 0 rimane inalterata quale che sia la quantità che le si aggiunga o sottragga. E chiamò tale frazione una quantità infinita.
Ma Bhāskara non fece solo questo. Come ci dice wikipedia, Bhāskara "rappresenta il culmine della conoscenza matematica e astronomica del XII secolo in ambito mondiale." E il lavoro di Bhāskara relativo al calcolo infinitesimale, anticipa Newton e Leibniz di oltre mezzo millennio. Infatti si può affermare, con una discreta certezza, che Bhāskara fu propabilmente il primo a concepire l'idea del calcolo infinitesimale. Inoltre Bhāskara, seppure dopo un paio di secoli ripetto agli Islamici, anche se indipendentememnte da loro, cominciò anche a usare le operazioni con i numeri irrazionali. Ma, così come avevano gia fatto gli Islamici, senza fornire delle basi teoriche. Si abituò semplicemente a trattare le grandezze irrazionali in modo simile a come trattava i numeri interi.
E Bhāskara fu anche bravo a disegnarla la matematica.
Infatti, come ci ricorda anche .mau. in "Quando una “dimostrazione” è una dimostrazione?" e in "Il teorema di Pitagora", Bhāskara produsse una sorta di dimostrazione grafica del celeberrimo teorema.
La puntata successiva è sulla Matematica Islamica
Puntate precedenti...
Indice della serie
1 Morris Kline, Storia del pensiero matematico - Einaudi
Abbiamo anche visto che intorno al III sec. a.C. cominciano a comparire i simboli numerici brahmanici e che, presumibilmente, intorno al IV sec. d.C. nasce l'uso dello zero posizionale. E tale uso determinò lo sviluppo del sistema numerico posizionale hindu in base 10,
E, in questo contesto, a differenza di quanto era stato fatto fino a quel momento, lo zero cominciò a essere trattato come un qualsiasi altro numero. E, nel sec. IX d.C., Mahāvīra arrivò a definire le quattro operazioni per lo zero. Seppure, nel caso della divisione, egli disse che un numero diviso per 0 rimane inalterato. Ma vedremo che, più tardi, un altro matematico hindu cambierà quella definizione.
Presto gli Hindu cominciarono anche a usare una notazione simile a quella attuale per rappresentare le frazioni. Usavano disporre numeratore e denominatore uno sopra all'altro ma senza la nostra linea. Ed essi furono anche i primi ad introdurre i numeri negativi. Li introdussero per rappresentare i debiti.
Il primo uso noto lo si trova in Brahmagupta (598 d.C. – 668 d.C.) e risale al 628 circa. Nello stesso contesto Brahmagupta enuncia anche le regole per le quattro operazioni con i numeri negativi. Ma non vengono mai date definizioni, assiomi o teoremi. Brahmagupta si pone anche il problema della radice quadrata di un numero negativo. E lo risolve dicendo semplicemente che la radice quadrata non esiste, visto che un numero negativo non può essere un quadrato.La nuova definizione di un numero diviso per 0 arrivò invece solo nel XII sec d.C. con Bhāskara II (1114 – 1185). Egli affermò infatti che una frazione con denominatore 0 rimane inalterata quale che sia la quantità che le si aggiunga o sottragga. E chiamò tale frazione una quantità infinita.
Ma Bhāskara non fece solo questo. Come ci dice wikipedia, Bhāskara "rappresenta il culmine della conoscenza matematica e astronomica del XII secolo in ambito mondiale." E il lavoro di Bhāskara relativo al calcolo infinitesimale, anticipa Newton e Leibniz di oltre mezzo millennio. Infatti si può affermare, con una discreta certezza, che Bhāskara fu propabilmente il primo a concepire l'idea del calcolo infinitesimale. Inoltre Bhāskara, seppure dopo un paio di secoli ripetto agli Islamici, anche se indipendentememnte da loro, cominciò anche a usare le operazioni con i numeri irrazionali. Ma, così come avevano gia fatto gli Islamici, senza fornire delle basi teoriche. Si abituò semplicemente a trattare le grandezze irrazionali in modo simile a come trattava i numeri interi.
E Bhāskara fu anche bravo a disegnarla la matematica.
Ma, tornando al discorso dei matematici Islamici, possiamo aggiugere che, come riportato dallo storico al-Qifti (1172 – 1248), intorno all'VIII sec. d. C. gli Islamici vennero a conoscenza di buona parte della matematica hindu. E quindi anche del sistema numerico posizonale in base dieci e dello zero. In particolare, Al-Khwārizmī (محمد خوارزمی Corasmia o Baghdad, 780 circa – 850 circa) scrisse un libro sul calcolo con i numeri hindu intorno all'825, e Al-Kindi scrisse quattro volumi sull'uso dei numeri hindu (كتاب في استعمال العداد الهندي [kitāb fī isti'māl al-'adād al-hindī]) intorno all'830. Tuttavia, tali opere descrivevano ma non usavano il sistema numerico hindu. Il primo a usarlo fu Al-Uqlidisi nel libro Kitāb al-Fuṣūl fī 'l-ḥisāb al-hindī ("Il Libro delle Parti nel calcolo indiano") scritto intorno al 952.1
La puntata successiva è sulla Matematica Islamica
Puntate precedenti...
Indice della serie
1 Morris Kline, Storia del pensiero matematico - Einaudi
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