Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 7: la Biblioteca di Alessandria: Archimede

Abbiamo già visto che nel V sec. a.C. il fulcro del sapere matematico era in Calabria, a Crotone: la sede della scuola pitagorica; e che i pitagorici avevano basato il loro modello del cosmo sull'Aritmetica; e che in seguito ad un crollo logico-mistico-filosofico - ma in anche seguito fisico, visto che la scuola venne bruciata - tale modello venne abbandonato e rimpiazzato con il modello di cosmo di Platone, basato sulla geometria.

Per la precisione la scuola venne bruciata nel 450 a.C. e i pitagorici furono costretti a cercare rifugio in altre città come Fleio, Taranto, Siracusa e Locri. Fu così che il sapere matematico si diffuse per tutta l'area ellenica.

Un nuovo polo del sapere matematico si ricostituì però solo circa un secolo e mezzo più tardi, nella città di Alessandro ed in particolare nella Biblioteca di Alessandria. Luogo in cui Euclide consolidò e sviluppò l'idea di Platone rendendola quasi immortale (o almeno ancora viva e vegeta dopo più di duemila anni).

Nella puntata precedente abbiamo anche detto che dopo Euclide altri grandi matematici continuarono a popolare la Biblioteca: i cosiddetti matematici alessandrini.
I matematici (o geometri) alessandrini produssero importanti contributi al sapere matematico. Relativamente ai Fondamenti della Matematica non andarono però molto avanti rispetto all'evoluzione pitagorico-platonica-euclidea. I Fondamenti rimasero più o meno inalterati fino al XVII sec. quando Fermat e Cartesio introdussero la geometria cartesiana (o analitica) tornando un po' all'approccio pitagorico-numerico.... ma questo lo vedremo forse tra diverse puntate.

Tra i vari nomi di spicco che figurano tra i matematici alessandrini vorrei ricordare Archimede, Eratostene, Diofanto e Pappo.

Archimede (287 a.C. – 212 a.C.) era siciliano (a quei tempi meglio noti come greci della Magna Grecia). Oltre a molte altre cose interessanti che produsse e scoprì, egli va sicuramente ricordato perché fu il primo che cercò di calcolare il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio - attualmente noto come Pi greco (π) - in modo un po' più preciso. In precedenza si utilizzavano delle approssimazioni piuttosto grossolane.
Nel breve trattato La misura del cerchio Archimede espone un metodo con il quale si può approssimare arbitrariamente il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio dato, π per l'appunto.
Il metodo prevedeva l'approssimazione del cerchio, dall'interno e dall'esterno, con poligoni regolari inscritti e circoscritti.
Archimede ottenne le sue stime disegnando tali poligoni sulla sabbia: Parrebbe che arrivò fino a poligoni di 96 lati. In tal modo ottenne un valore compreso tra 223/71 e 22/7.

Fu solo nel 1761, grazie a Johann Heinrich Lambert, che si scoprì che π non può essere scritto come quoziente di due interi e che quindi, così come √2, è un numero irrazionale.

Nel 1882 si andò anche oltre. Allora infatti Ferdinand von Lindemann dimostrò che non solo π è un numero irrazionale, ma che è anche un numero trascendente; è cioè impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.
La conseguenza immediata di questa scoperta fu che la quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio, risulta impossibile.

La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, costituiva uno dei tre problemi classici della geometria greca.

La quadratura del cerchio fu l'ultimo dei tre problemi ad essere risolto; dove per risoluzione si intende appunto la dimostrazione dell'impossibilità della costruzione usando solo riga e compasso.

Nella prossima puntata parleremo degli altri tre matematici alessandrini citati: Eratostene, Diofanto e Pappo.

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 6: gli Elementi di Euclide

Dicevamo quindi che la rifondazione della Matematica ad opera di Euclide era basata sulla Geometria, e quindi l'Aritmetica e conseguentemente gli enti numerici erano definiti a partire da essa.

Il libro con cui Euclide rifondò la Matematica, gli Elementi, era un'opera talmente solida (anche se tra la fine del XIX e l'inizio del XX sec. vennero individuate diverse piccole lacune facilmente colmabili) che, caso probabilmente unico, venne utilizzato in Europa come libro di testo scolastico per più di duemila anni, fino al XIX sec.
Pensate che gli Elementi è secondo (di poco) solo alla Bibbia come numero di edizioni. Questo fatto può indurre a pensarlo come una sorta di Bibbia del pensiero razionale accanto a quella della fede che per definizione è irrazionale.

È a partire da Platone, ma ancor di più con Euclide, che comincia a delinearsi quella iniziale dicotomia (che in seguito diventerà tricotomia, quadricotomia, fino all'attuale eptacotomia) della Matematica nei due grossi rami: della Geometria, basata su quello che poi sarà l'apriori kantiano dello Spazio, e dell'Aritmetica, che era basata sull'apriori kantiano del Tempo.

Nella puntata precedente dicevamo che viene da chiedersi come riuscì Euclide, usando questo nuovo approccio, ad aggirare il problema dell'irrazionalità e quindi indefinibilità come rapporto di numeri interi della radice quadrata di 2 (√2)?

In modo abbastanza facile; e cioè, visto che l'interpretazione di Euclide era basata sulla Geometria, il problema della presenza di numeri irrazionali veniva aggirato definendo questi ultimi semplicemente come enti geometrici.
Che cosa sarebbe quindi la radice quadrata di 2 in questa nuova interpretazione? Nient'altro che la diagonale del quadrato di lato 1.

Euclide definì un sistema di poche semplici regole (dette anche assiomi) che non dovevano essere dimostrate (vere a priori) e su di esse costruì il suo sistema geometrico, usato ancora adesso con il nome di Geometria Euclidea.

Inoltre per molti anni, e addirittura anche secondo Kant, la Geometria euclidea venne considerata come l'unico modo possibile per le menti umane di immaginare lo spazio. Nel XIX sec., pochi anni dopo la morte di Kant, si mostrò che non era proprio così. Si potevano infatti concepire delle strutture geometriche coerenti e non euclidee. Rimane comunque vero il fatto che la Geometria euclidea è l'unico modo di poter percepire lo spazio per le menti umane. Ciò implica ovviamente che l'immaginazione è sconfinatamente più potente della percezione. Forse è una delle caratteristiche che ci distingue dagli altri animali?

Dopo Euclide altri grandi matematici continuarono a popolare la Biblioteca alessandrina: i cosiddetti matematici alessandrini; come Archimede, Eratostene, Ipparco, Nicomede, Erone, Menelao, Tolomeo, Diofanto e Pappo.

Di alcuni di questi faremo qualche cenno nelle prossime puntate.

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 5: Euclide

Dicevamo quindi che il modello di cosmo di Pitagora, basato sull'aritmetica, fu abbandonato e rimpiazzato con il modello di cosmo di Platone, basato sulla geometria.

Tra i giovani discepoli di Platone ce n'era uno particolarmente promettente che si chiamava Euclide (IV sec. – III sec. a.C.).
Effettivamente l'operato dell'allievo negli anni successivi non dovette sicuramente deludere le aspettative del Maestro.

Dopo aver lasciato la scuola platonica, la fama di Euclide si era infatti già talmente diffusa per il mondo ellenico che Tolomeo I, fondatore della dinastia tolemaica, diadoco di Alessandro Magno e primo re dell'Egitto ellenistico, lo chiamò ad operare nella Biblioteca di Alessandria da lui fondata e nell'annesso Museo.

Il lavoro che Euclide portò a compimento ad Alessandria fu mastodontico. Nei suoi Elementi rifondò tutta la Matematica dei tempi (Aritmetica e Geometria) costruendo un edificio imperituro che sopravvisse inalterato per duemila anni, e che ancora oggi, anche se non è più l'unico edificio geometrico possibile, resiste.
È sopravvissuto addirittura alle molteplici demolizioni dei secoli XIX e XX. Anzi ne uscì addirittura restaurato e rafforzato. Risultò infatti essere completo a differenza dell'Aritmetica.... Ma forse stiamo anticipando troppo. Questa parte forse la discuteremo tra diverse puntate.

Euclide ebbe la fortuna di nascere dopo Aristotele (384 a.C. – 322 a.C.) e poteva quindi partire dal lavoro sulla Logica del suo predecessore.
(L'adagio di Bernardo di Chartres, "siamo dei nani sulle spalle di giganti" ricorre continuamente in tutte le branche del sapere umano, ma soprattutto nella Matematica, soprattutto dopo l'introduzione del metodo logico aristotelico).
Volle quindi costruire il suo edificio usando quello che ancora oggi è il metodo usato per costruire le strutture matematiche: il metodo assiomatico: a partire da pochi assiomi (verità aprioristiche), da una serie di ferree deduzioni logiche verificabili da ogni mente umana razionale e dall'insieme dei risultati precedenti, si costruisce l'edificio.

Il suo edificio era basato sulla Geometria, e quindi l'Aritmetica e conseguentemente gli enti numerici erano definiti a partire da essa.

A questo punto viene da chiedersi: come fece quindi Euclide usando questo nuovo approccio ad aggirare il problema dell'irrazionalità e quindi indefinibilità in termini numerici della radice quadrata di 2 (√2)?
Questo lo vedremo nella prossima puntata.

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