– «Ma ciò che più fece gioire Pitagora fu vedere alcune scoperte della scuola di Crotone raggiungere l’Olimpo della matematica. Il teorema, le terne, il metodo deduttivo, la tecnica della dimostrazione per assurdo. E tra tutte questa fu proprio la sua teoria più importante, quella del Numero, a segnare maggiormente il destino dell’umanità: l’idea che tutti i fenomeni del mondo fisico potessero essere interpretati attraverso i numeri. L’idea che aveva prodotto così tanti problemi e contrasti, così tanti entusiasmi e delusioni, così tanti complotti e divisioni. Seppur privata degli aspetti mistici, fu quella teoria a dare linfa a tutte le scienze naturali che Pitagora vide nascere durante le sue reincarnazioni e che ancora oggi osserva dalla quiete dei Campi Elisi.»
– Ma leggi di nuovo uno dei brani finali de "Il mistero del suono senza numero"? Pensavo lo avessi finito.
– Sì, ma stavo approfondendo questo discorso dei fenomeni del mondo fisico che possono essere interpretati attraverso i numeri.
– Eh già. È un tema molto affascinante.
– Ma tu ce l'hai una risposta? Perché la matematica è così efficace per la descrizione del mondo fisico?
– E come faccio ad avere una risposta? Io mi occupo soprattutto di matematica ma quella è una domanda che non può avere una risposta univoca. Si possono ipotizzare alcune possibili risposte che non potranno mai essere verificate. Almeno non a breve termine. Quindi quella domanda non è neppure nel dominio della scienza. Per affrontare quella domanda dovremo andare a scomodare la...
– ...
– Qual è la materia che si occupa di domande che non hanno risposte univoche o che non hanno proprio risposte?
– Uhm... La filosofia?
– Eh già! Comunque la risposta che trovo personalmente più convincente è quella secondo cui l'efficacia della matematica nella descrizione del mondo fisico sia un risultato dell'evoluzione.
– In che senso?
– Considera questo parallelo. Noi viviamo sulla Terra e la miscela di gas che compone l'atmosfera terrestre è perfetta per essere respirata dai nostri polmoni. Che cosa pensa la scienza relativamente a questa coincidenza? Che la miscela sia stata calibrata da qualche entità e resa perfetta per poter essere respirata dai nostri polmoni?
– Beh... No... Forse... dice che i nostri polmoni, essendo il risultato dell'evoluzione all'interno di questa atmosfera, si sono adattati a respirare proprio quella miscela di gas?
– Giusto! Allo stesso modo, il nostro cervello, essendo il risultato di un processo di evoluzione all'interno di questo universo, avrebbe sviluppato un linguaggio che gli permette di interpretare l'universo in cui è immerso. E questo linguaggio è la matematica.
– Uhm... E come facciamo a dimostrarlo?
– Non si può dimostrare. Come ti dicevo, qui siamo nell'ambito della filosofia. Possiamo ipotizzare delle risposte plausibili ma non possiamo dimostrarle. Comunque la tua domanda è anche correlata all'altra grande domanda: i numeri esistono indipendentemente dagli esseri umani o sono solo una nostra invenzione? Ne parla anche Reuben Hersh in What is Mathematics, Really?
– Sì, lo so già. Ho già letto quello che hai scritto. platonismo, intuizionismo, logicismo, formalismo. E poi sono venuti Lakoff e Núñez con il loro Where Mathematics Comes From a dirci che i numeri e tutta la matematica sono un prodotto dell'apparato cognitivo umano. Il numero sarebbe una creazione della nostra mente generata dall'esperienza del contare oggetti, dalla cosiddetta subitizzazione. E di conseguenza il numero non esisterebbe al di fuori del cervello umano.
– Ah, brava! Non immaginavo che...
– Ma dimmi, piuttosto. Almeno questa intepretazione di Lakoff e Núñez, ci riusciamo a confermarla?
– Ma no! ... Per il momento, almeno. Forse un giorno potremmo entrare in contatto con intelligenze extraterrestri che non sono dotate di appendici per poter contare.
– Appendici? Che vuoi dire?
– Beh, di dita, sostanzialmente. Qualcuno sostiene che tutta la matematica sia conseguenza del fatto che siamo dotati di dita con cui mettere in corrispondenza gli oggetti del mondo fisico.
– Uhm, trovo un po' difficile immaginare forme di vita intelligenti totalmente prive di appendici corporee.
– Non vedo perché. Ci sono scrittori di fantascienza che hanno immaginato forme di vita in forma gassosa.
– In ogni caso, come spiegheremmo il fatto che anche gli animali possiedono capacità aritmetiche Pare che persino i pulcini contino. Anche loro usano le sei dita delle zampe?
– Non lo so. Bisognerebbe confermare se contano in base 6.
– Ha, ha, ha.
– Vabbè, lo ammetto. Era una battutaccia. Parlando seriamente, su questa domanda non avevo ancora riflettuto. Lo farò. Comunque nel frattempo ti lascio con alcune citazioni in tema.
Come può la matematica, che in fin fine è un prodotto del pensiero umano indipendente dall'esperienza, essere così meravigliosamente appropriata a descrivere gli oggetti della realtà? [...] Secondo me la risposta, in breve, è questa: fino a quando le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, esse non sono certe; e nel momento in cui sono certe, allora non si riferiscono alla realtà.
La fisica è matematica non perché sappiamo molto del mondo fisico, ma perché ne sappiamo troppo poco; sono solo le sue proprietà matematiche quelle che riusciamo a scoprire.
— Bertrand Russell
C'è solo una cosa che è più irragionevole dell' irragionevole efficacia della matematica nella fisica, e questa è l'irragionevole inefficacia della matematica nella biologia.
— Israel Gelfand
Le scienze raggiungono un punto in cui diventano matematiche ... dai primi anni '90 la biologia non è più la scienza delle cose che con strani odori nei frigoriferi. Il campo stava subendo una rivoluzione e stava rapidamente acquisendo la profondità e la potenza precedentemente associate esclusivamente alle scienze fisiche. La biologia stava diventando lo studio delle informazioni memorizzate nel DNA - stringhe di quattro lettere: A, T, G e C - e delle trasformazioni che l'informazione subisce nella cellula. E qui c'è sicuramente della matematica!
— Leonard Adleman, informatico teorico pioniere nel campo del computer a DNA
Si ritiene che l'universo delle teoria degli insiemi, costruito da Cantor e generalmente adottato dai matematici platonici, includa tutte le matematiche, passate, presenti e future. In esso, l'insieme innumerabile dei numeri reali è solo l'inizio di innumerabili catene di innumerabili. La cardinalità di questo universo di insiemi è indicibilmente più grande di quella del mondo materiale. Declassa l'universo materiale a un minuscolo puntino. E tutto era già lì prima che ci fosse la Terra, la Luna e il Sole, persino prima del Big Bang. Eppure questa tremenda realtà passa inosservata! L'umanità, tranne noi matematici, ne è totalmente inconsapevole. Noi soli lo notiamo. Ma solo da quando Cantor lo rivelò nel 1890. È plausibile? È credibile? Roger Penrose si dichiara platonico, ma pone un limite nell'accettazione dell'intera gerarchia insiemistica.
È possibile che solo noi matematici notiamo una realtà che declasserebbe l'universo materiale a un minuscolo puntino?"
— Reuben Hersh
– Ma leggi di nuovo uno dei brani finali de "Il mistero del suono senza numero"? Pensavo lo avessi finito.
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| Fonte: https://www.tes.com/lessons |
– Eh già. È un tema molto affascinante.
– Ma tu ce l'hai una risposta? Perché la matematica è così efficace per la descrizione del mondo fisico?
– E come faccio ad avere una risposta? Io mi occupo soprattutto di matematica ma quella è una domanda che non può avere una risposta univoca. Si possono ipotizzare alcune possibili risposte che non potranno mai essere verificate. Almeno non a breve termine. Quindi quella domanda non è neppure nel dominio della scienza. Per affrontare quella domanda dovremo andare a scomodare la...
– ...
– Qual è la materia che si occupa di domande che non hanno risposte univoche o che non hanno proprio risposte?
– Uhm... La filosofia?
– Eh già! Comunque la risposta che trovo personalmente più convincente è quella secondo cui l'efficacia della matematica nella descrizione del mondo fisico sia un risultato dell'evoluzione.
– In che senso?
– Considera questo parallelo. Noi viviamo sulla Terra e la miscela di gas che compone l'atmosfera terrestre è perfetta per essere respirata dai nostri polmoni. Che cosa pensa la scienza relativamente a questa coincidenza? Che la miscela sia stata calibrata da qualche entità e resa perfetta per poter essere respirata dai nostri polmoni?
– Beh... No... Forse... dice che i nostri polmoni, essendo il risultato dell'evoluzione all'interno di questa atmosfera, si sono adattati a respirare proprio quella miscela di gas?
– Giusto! Allo stesso modo, il nostro cervello, essendo il risultato di un processo di evoluzione all'interno di questo universo, avrebbe sviluppato un linguaggio che gli permette di interpretare l'universo in cui è immerso. E questo linguaggio è la matematica.
– Uhm... E come facciamo a dimostrarlo?
– Non si può dimostrare. Come ti dicevo, qui siamo nell'ambito della filosofia. Possiamo ipotizzare delle risposte plausibili ma non possiamo dimostrarle. Comunque la tua domanda è anche correlata all'altra grande domanda: i numeri esistono indipendentemente dagli esseri umani o sono solo una nostra invenzione? Ne parla anche Reuben Hersh in What is Mathematics, Really?
– Sì, lo so già. Ho già letto quello che hai scritto. platonismo, intuizionismo, logicismo, formalismo. E poi sono venuti Lakoff e Núñez con il loro Where Mathematics Comes From a dirci che i numeri e tutta la matematica sono un prodotto dell'apparato cognitivo umano. Il numero sarebbe una creazione della nostra mente generata dall'esperienza del contare oggetti, dalla cosiddetta subitizzazione. E di conseguenza il numero non esisterebbe al di fuori del cervello umano.
– Ah, brava! Non immaginavo che...
– Ma dimmi, piuttosto. Almeno questa intepretazione di Lakoff e Núñez, ci riusciamo a confermarla?
– Ma no! ... Per il momento, almeno. Forse un giorno potremmo entrare in contatto con intelligenze extraterrestri che non sono dotate di appendici per poter contare.
– Appendici? Che vuoi dire?
– Beh, di dita, sostanzialmente. Qualcuno sostiene che tutta la matematica sia conseguenza del fatto che siamo dotati di dita con cui mettere in corrispondenza gli oggetti del mondo fisico.
– Uhm, trovo un po' difficile immaginare forme di vita intelligenti totalmente prive di appendici corporee.
– Non vedo perché. Ci sono scrittori di fantascienza che hanno immaginato forme di vita in forma gassosa.
– In ogni caso, come spiegheremmo il fatto che anche gli animali possiedono capacità aritmetiche Pare che persino i pulcini contino. Anche loro usano le sei dita delle zampe?
– Non lo so. Bisognerebbe confermare se contano in base 6.
– Ha, ha, ha.
– Vabbè, lo ammetto. Era una battutaccia. Parlando seriamente, su questa domanda non avevo ancora riflettuto. Lo farò. Comunque nel frattempo ti lascio con alcune citazioni in tema.
Come può la matematica, che in fin fine è un prodotto del pensiero umano indipendente dall'esperienza, essere così meravigliosamente appropriata a descrivere gli oggetti della realtà? [...] Secondo me la risposta, in breve, è questa: fino a quando le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, esse non sono certe; e nel momento in cui sono certe, allora non si riferiscono alla realtà.
— A. Einstein, citato in J. R. Newman, The World of Mathematics, New York 1956
— Bertrand Russell
C'è solo una cosa che è più irragionevole dell' irragionevole efficacia della matematica nella fisica, e questa è l'irragionevole inefficacia della matematica nella biologia.
— Israel Gelfand
Le scienze raggiungono un punto in cui diventano matematiche ... dai primi anni '90 la biologia non è più la scienza delle cose che con strani odori nei frigoriferi. Il campo stava subendo una rivoluzione e stava rapidamente acquisendo la profondità e la potenza precedentemente associate esclusivamente alle scienze fisiche. La biologia stava diventando lo studio delle informazioni memorizzate nel DNA - stringhe di quattro lettere: A, T, G e C - e delle trasformazioni che l'informazione subisce nella cellula. E qui c'è sicuramente della matematica!
— Leonard Adleman, informatico teorico pioniere nel campo del computer a DNA
Si ritiene che l'universo delle teoria degli insiemi, costruito da Cantor e generalmente adottato dai matematici platonici, includa tutte le matematiche, passate, presenti e future. In esso, l'insieme innumerabile dei numeri reali è solo l'inizio di innumerabili catene di innumerabili. La cardinalità di questo universo di insiemi è indicibilmente più grande di quella del mondo materiale. Declassa l'universo materiale a un minuscolo puntino. E tutto era già lì prima che ci fosse la Terra, la Luna e il Sole, persino prima del Big Bang. Eppure questa tremenda realtà passa inosservata! L'umanità, tranne noi matematici, ne è totalmente inconsapevole. Noi soli lo notiamo. Ma solo da quando Cantor lo rivelò nel 1890. È plausibile? È credibile? Roger Penrose si dichiara platonico, ma pone un limite nell'accettazione dell'intera gerarchia insiemistica.
È possibile che solo noi matematici notiamo una realtà che declasserebbe l'universo materiale a un minuscolo puntino?"
— Reuben Hersh
2 commenti:
Dalla risposta a una domanda su FB.
Domanda:
Dimostrare un teorema (se non è roba ufo) è cosa abbastanza facile.
Ma come cavolo nasce un teorema?
Uno ha una strana idea, tipo una congettura, e poi prova a dimostrarla?
O si fuma qualcosa, enuncia il teorema e poi lo dimostra?
Oppure, gira che ti rigira, trova o fa delle micro dimostrazioncine di roba più piccola e poi unisce i puntini trovando un enunciato che poi prova a dimostrare?
Nessuno me l'ha mai detto. E io non ho mai avuto il coraggio di chiederlo per non sentirmi troppo scema.
https://www.facebook.com/riuccina/posts/10218477019265839
Dioniso Dionisi Trovo questa discussione molto interessante. Sono stati tirati in ballo molti temi di fondamenti e filosofia della matematica discussi e ridiscussi da più di un secolo.
Dioniso Dionisi Provo ad aggiungere qualche commento basandomi sulle mie conoscenze di matematico di formazione e sulle mie successive interpretazioni di letture in ambito di fondamenti e filosofia della matematica.
Da quello che so Fisica e matematica usano generalmente approcci diversi. Una usa prevalentemente l’approccio induttivo l’altra quello deduttivo.
L’idea che la matematica esista indipendentemente degli esseri umani è chiamato approccio platonico. Più o meno consapevolmente quasi tutti i matematici ne sono convinti. Ma quest’idea è un po’ come l’esistenza di dio. Non si può né confermare né smentire. Personalmente propendo più per l’approccio cognitivista. Secondo me la matematica è un costrutto umano. Una delle opere più grandi, collaborative, razionali, belle e importanti del genere umano.
Dioniso Dionisi Per rispondere alla domanda “come nasce un teorema”, risponderei: dipende.
Il “teorema di Pitagora”, ad esempio, era già noto sperimentalmente almeno un millennio prima di Pitagora. Tra i babilonesi e tra gli egizi. Ma, badate bene, non era un teorema. Proprio perché era stato ottenuto grazie al metodo induttivo, quello usato solitamente dalla fisica: facendo le prove si è osservato che andava sempre così e lo si è usato.
Qual è stato l’enorme passo in avanti teorico della matematica greca che l’ha portata a contraddistinguersi dalla matematica di tutte le altre culture?
Proprio quello di fare quel salto dall’approccio induttivo, per cui una scoperta può rimanere vera fino a prova contraria, all’approccio deduttivo: lo dimostro in maniera generale con passaggi deduttivi che includono tutti i casi possibili.
Ecco, è questo passo che ha fatto sì che il teorema di Pitagora rimanesse ancora vero dopo diversi millenni mentre le teorie della fisica devono essere riscritte nel momento in cui nuove osservazioni sperimentali mettono in discussione la teoria precedente.
Dioniso Dionisi Ma poi credo che diversi teoremi abbiano avuto diverse genesi.
Il famosissimo teorema di Fermat, ad esempio, è nato quasi per gioco. Il giurista Fermat si divertiva a produrre congetture e a dimostrarle senza particolari scopi applicativi. Quella del famoso teorema era rimasta sconosciuta (o più probabilmente era sbagliata) e ha impegnato le menti dei più grandi matematici per circa tre secoli.
Altri sono nati dal frutto dell’intuito di grandissimi matematici. Come quelli scaturiti dal programma di Hilbert.
Dioniso Dionisi Chiudo qui. Spero di aver apportato un contributo utile.
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