La trovata di avere la dea Namagiri e Fermat in scena è molto azzeccata. E il rapporto tra due persone e due culture che, materialmente e spiritualmente, si trovano spesso ai poli opposti è inscenato molto bene. Lo consiglio.
martedì 25 novembre 2014
Partition di Ira Hauptman tradotto da Martha Fabbri
martedì 18 novembre 2014
La musica dai ritmi irrazionali 2
- Me lo spieghi finalmente che cosa sono questi ritmi irrazionali?
- Certo che te lo spiego. Sono venuto per questo. Allora, la volta scorsa abbiamo detto che la frazione iniziale stabilisce il ritmo della battuta e che, generalmente, al denominatore si trovano potenze di due.
- Sì, però mi dicevi pure che un po' di anni fa qualcuno si è divertito a creare qualcosa di nuovo e che così sono venuti fuori i cosiddetti metri irrazionali. Quindi che diavolo sarebbero questi metri irrazionali?!
- Bene, mi piace avere allievi così assetati di sapere. Cominciamo da un caso semplice. Che cosa significa avere 4/4 come frazione iniziale di un brano?
- Beh, lo dicevamo la volta scorsa. Significa che la misura è composta da quattro movimenti della mano ognuno dei quali dura un quarto dell'intero.
- Quindi, se lì ci mettessi 4/3 che cosa significherebbe?
- Quattro terzi!? Uhm... Forse che la misura è composta da quattro movimenti della mano ognuno dei quali dura un terzo dell'intero?
- Bravissima!
- Grazie. Però... mi viene subito un dubbio. Alla fine il 4/3 non è la stessa cosa del 4/4? Voglio dire, la mano non batte sempre quattro movimenti? Che m'interessa se poi questi durano 1/4 o 1/3 dell'intero?
- Ottimo! Hai colto un punto cardine dell'argomento. Effettivamente, se un pezzo fosse scritto interamente in 4/3 questo sarebbe equivalente allo stesso pezzo scritto tutto in 4/4. Si aggiungerebbe solo una complicazione nella lettura.
- E allora perché si sono inventati il 4/3?
- Beh, ad esempio se un pezzo comincia con il 4/4 e poi passa al 4/3 si ha un rallentamento del ritmo.
- Sì, ma un rallentamento del ritmo lo si può pure ottenere con un'indicazione tipo: "Più lento"!
- È vero! O, ancora più precisamente, con una modulazione metrica tipo questa che ho scritto. In questo caso un passaggio da 120 a 90 equivale esattamente a un passaggio da un 4/4 a un 4/3.
- E allora mi ripeto: perché si sono inventati il 4/3?
- Beh, pure secondo me è un po' un esercizio di stile. Niente che non si potesse esprimere con il sistema già esistente. Però magari nella poliritmia la cosa potrebbe pure avere un suo senso. Considera, ad esempio, questi ritmi eseguiti contemporaneamente. Mentre la sinistra batte quattro colpi la destra ne batte tre. Che poi sarebbero tre terzine di minima in 4/4.
- Certo che te lo spiego. Sono venuto per questo. Allora, la volta scorsa abbiamo detto che la frazione iniziale stabilisce il ritmo della battuta e che, generalmente, al denominatore si trovano potenze di due.- Sì, però mi dicevi pure che un po' di anni fa qualcuno si è divertito a creare qualcosa di nuovo e che così sono venuti fuori i cosiddetti metri irrazionali. Quindi che diavolo sarebbero questi metri irrazionali?!
- Bene, mi piace avere allievi così assetati di sapere. Cominciamo da un caso semplice. Che cosa significa avere 4/4 come frazione iniziale di un brano?
- Beh, lo dicevamo la volta scorsa. Significa che la misura è composta da quattro movimenti della mano ognuno dei quali dura un quarto dell'intero.
- Quattro terzi!? Uhm... Forse che la misura è composta da quattro movimenti della mano ognuno dei quali dura un terzo dell'intero?
- Bravissima!
- Grazie. Però... mi viene subito un dubbio. Alla fine il 4/3 non è la stessa cosa del 4/4? Voglio dire, la mano non batte sempre quattro movimenti? Che m'interessa se poi questi durano 1/4 o 1/3 dell'intero?
- Ottimo! Hai colto un punto cardine dell'argomento. Effettivamente, se un pezzo fosse scritto interamente in 4/3 questo sarebbe equivalente allo stesso pezzo scritto tutto in 4/4. Si aggiungerebbe solo una complicazione nella lettura.
- E allora perché si sono inventati il 4/3?
- Beh, ad esempio se un pezzo comincia con il 4/4 e poi passa al 4/3 si ha un rallentamento del ritmo.
- E allora mi ripeto: perché si sono inventati il 4/3?
- Beh, pure secondo me è un po' un esercizio di stile. Niente che non si potesse esprimere con il sistema già esistente. Però magari nella poliritmia la cosa potrebbe pure avere un suo senso. Considera, ad esempio, questi ritmi eseguiti contemporaneamente. Mentre la sinistra batte quattro colpi la destra ne batte tre. Che poi sarebbero tre terzine di minima in 4/4.
Forse in questo caso scrivere la destra in 4/3 e la sinistra in 4/4 potrebbe semplificare le cose.
- Dici? Mah...
- Un altro caso simile è quello di tre terzine di semiminima in 2/4 che si potrebbero scrivere come tre note nella battuta di 3/6... Non ti vedo convinta. Vabbè, comunque ci sono stati diversi compositori che hanno usato i ritmi irrazionali.
- Non avevo dubbi!
- Sembra che il primo a teorizzarli sia stato Henry Cowell 1. nel libro "New Musical Resources" pubblicato nel 1930. Ma già nel 1920, in Fabric, Cowell aveva usato denominatori che variano tra 1 e 9. Nel suo libro Cowell ha anche teorizzato una nuova notazione con note triangolari, quadrate, romboidali, ecc. Più di recente c'èstato invece Thomas Adès che, in Traced Overhead (1996) ha usato metri come 2/6, 9/14 e 5/24. Ecco il pezzo con tanto di spartito.
- Ahah. Senti ho un'altra domanda. Ma perché si chiamano irrazionali? Quelle di cui parli sono sempre frazioni. Sono numeri razionali, mica irrazionali!
- Dici? Mah...
- Un altro caso simile è quello di tre terzine di semiminima in 2/4 che si potrebbero scrivere come tre note nella battuta di 3/6... Non ti vedo convinta. Vabbè, comunque ci sono stati diversi compositori che hanno usato i ritmi irrazionali.
- Non avevo dubbi!
- Ahah. Senti ho un'altra domanda. Ma perché si chiamano irrazionali? Quelle di cui parli sono sempre frazioni. Sono numeri razionali, mica irrazionali!
- Come ti dicevo anche per i ritmi dispari, in questo ambito le definizioni non sono rigorosamente matematiche. In ogni caso, c'è pure chi ha provato a mettere dei veri numeri irrazionali.
- Ma veramente?! Tipo √2/4?
- Sì, qualcosa del genere. Ad esempio, in uno degli "Studies for Player Piano" di Conlon Nancarrow compare un canone che fa uso della tecnica dell'aumentazione per un fattore di √42. Quindi qui i ritmi sono irrazionali nel vero e proprio senso matematico del termine.
- Canone? Aumentazione? Ma che cosa sono?
- Hai presente Fra Martino? Ecco, quello è un canone. E l'aumentazione è quando la seconda voce è più lenta rispetto alla prima secondo un certo rapporto. Ecco, nel canone di questo pezzo quel rapporto è √42/1.
- Scusa, ma come fa un essere umano a suonare una melodia con una mano e la stessa melodia con l'altra mano ma √42 volte più lenta?
- Ma quello è un Player Piano.
- E che cos'è il Player Piano?
- Sarebbe la pianola.
- Ah! Uno strumento meccanico. Questo spiega un po' di cose.
- Beh, sì, l'esecuzione sarebbe un po' complicata per un pianista. Ma Nancarrow si è spinto anche oltre. Nello Studio per Player Piano 41a il rapporto dell'aumentazione del canone a due voci è di (1/√π)/√⅔ e nel 41b di (1/(π^1/3)) / ((13/16)^1/3). Immagina poi che cosa possa essere nel 41c in cui a e b si suonano insieme.
- No, guarda, non lo voglio sapere. Ma... Comunque... anche se meccanico, uno si chiede come abbia fatto a metterci dentro π.
- Eh, boh! Forse tracciando dei cerchi di raggio uno. Ma di certo non riesco a spiegarmi come nello studio 40 "for two non-synchronized pianos" sia riuscito a inserire e/π. Alla fine penso che si tratti di approssimazioni. e/π ≈ 0,86525...
- Ma allora non poteva usare direttamente le approssimazioni razionali dei numeri irrazionali?
- Beh, sì. Ma considera anche che se scegliamo un numero a caso siamo quasi certi che quel numero sarà irrazionale. Ora, se consideriamo il fatto che uno strumentista umano non eseguirà mai con precisione assoluta anche un ritmo semplicissimo come il 4/4, e se consideriamo la casualità di tale approssimazione come un processo simile alla scelta di un numero a caso, il risultato sarà la presenza di una grande varietà di ritmi irrazionali in quasi ogni interpretazione musicale che ascoltiamo o suoniamo.
- Ooooohhhhh....
Sitografia
Irrational meters
(1/√π)/√⅔ as a time signature?
List of musical works in unusual time signatures
- Ma veramente?! Tipo √2/4?
- Sì, qualcosa del genere. Ad esempio, in uno degli "Studies for Player Piano" di Conlon Nancarrow compare un canone che fa uso della tecnica dell'aumentazione per un fattore di √42. Quindi qui i ritmi sono irrazionali nel vero e proprio senso matematico del termine.
- Canone? Aumentazione? Ma che cosa sono?
- Hai presente Fra Martino? Ecco, quello è un canone. E l'aumentazione è quando la seconda voce è più lenta rispetto alla prima secondo un certo rapporto. Ecco, nel canone di questo pezzo quel rapporto è √42/1.
- Scusa, ma come fa un essere umano a suonare una melodia con una mano e la stessa melodia con l'altra mano ma √42 volte più lenta?
- Ma quello è un Player Piano.
- E che cos'è il Player Piano?
- Sarebbe la pianola.
- Ah! Uno strumento meccanico. Questo spiega un po' di cose.
- Beh, sì, l'esecuzione sarebbe un po' complicata per un pianista. Ma Nancarrow si è spinto anche oltre. Nello Studio per Player Piano 41a il rapporto dell'aumentazione del canone a due voci è di (1/√π)/√⅔ e nel 41b di (1/(π^1/3)) / ((13/16)^1/3). Immagina poi che cosa possa essere nel 41c in cui a e b si suonano insieme.
- Eh, boh! Forse tracciando dei cerchi di raggio uno. Ma di certo non riesco a spiegarmi come nello studio 40 "for two non-synchronized pianos" sia riuscito a inserire e/π. Alla fine penso che si tratti di approssimazioni. e/π ≈ 0,86525...
- Ma allora non poteva usare direttamente le approssimazioni razionali dei numeri irrazionali?
- Beh, sì. Ma considera anche che se scegliamo un numero a caso siamo quasi certi che quel numero sarà irrazionale. Ora, se consideriamo il fatto che uno strumentista umano non eseguirà mai con precisione assoluta anche un ritmo semplicissimo come il 4/4, e se consideriamo la casualità di tale approssimazione come un processo simile alla scelta di un numero a caso, il risultato sarà la presenza di una grande varietà di ritmi irrazionali in quasi ogni interpretazione musicale che ascoltiamo o suoniamo.
- Ooooohhhhh....
Sitografia
Thinking Irrational - Thomas Adès and New Rhythms - Huw Belling
Approfondimento sulle tecniche di costruzione di Nancarrow per le pianole
(1/√π)/√⅔ as a time signature?
List of musical works in unusual time signatures
lunedì 17 novembre 2014
Carnevale della Matematica #79 - matematica e libertà
Il Carnevale della Matematica di novembre, il numero 79 (nome in codice "senza posa"), ha come tema: matematica e libertà.
Ad ospitarlo è Spartaco Mencaroni.
Io ho contribuito con Altramatematica a metà prezzo e La musica dai ritmi irrazionali 1, introdotto così da Spartaco:
Sempre a suon di musica ecco arrivare il nostro Flavio Ubaldini, che ci ha abituato alle sue affascinanti escursioni nel mondo dove la musica e i numeri si intrecciano. Nel suo Pitagora e dintorni si affrontano, nientemeno, che i ritmi musicali irrazionali!
Io ho contribuito con Altramatematica a metà prezzo e La musica dai ritmi irrazionali 1, introdotto così da Spartaco:
Sempre a suon di musica ecco arrivare il nostro Flavio Ubaldini, che ci ha abituato alle sue affascinanti escursioni nel mondo dove la musica e i numeri si intrecciano. Nel suo Pitagora e dintorni si affrontano, nientemeno, che i ritmi musicali irrazionali!
Il carnevale si conclude segnalando il prossimo ospite. Cioè me.
E ricordate che il prossimo carnevale avrà anche una sua melodia.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale
Il prossimo appuntamento con il merlo è il 14 dicembre, dalle parti di Pitagora e dintorni.
Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale
lunedì 10 novembre 2014
Altramatematica a metà prezzo
Lo sapevate che a Milano, da giovedì 13 a domenica 16 novembre, si terrà Bookcity? Una manifestazione libraria con quasi mille eventi sparsi per la città.
Ma la cosa più interessante è che per la durata di questo evento tutti gli ebook di Altramatematica (tranne l'ultimo che uscirà a breve) saranno venduti a metà prezzo. Anzi che dico a metà prezzo. Lo sconto sarà addirittura del 50,25%. O detto in altri termini, un euro in meno a ebook.
Ma la cosa più interessante è che per la durata di questo evento tutti gli ebook di Altramatematica (tranne l'ultimo che uscirà a breve) saranno venduti a metà prezzo. Anzi che dico a metà prezzo. Lo sconto sarà addirittura del 50,25%. O detto in altri termini, un euro in meno a ebook.
E tra questi ovviamente c'è anche il mio.
Ma comprandovi tutta l'offerta dei 12 ebook risparmierete ben 12€: 11,88 invece di 23,88. E allora che aspettate?
Ma comprandovi tutta l'offerta dei 12 ebook risparmierete ben 12€: 11,88 invece di 23,88. E allora che aspettate?
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