La matematica degli Hindu: Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra, Bhāskara, numeri negativi e irrazionali

Nella precedente puntata abbiamo abbiamo visto che la matematica hindu sarebbe diventata significativa solo dopo essere stata influenzata dai risultati greci producendo quello che viene indicato come il secondo periodo della matematica hindu, che va dal III al XIII sec. d.C. I matematici più importanti di questo secondo periodo della matematica hindu sono Aryabhata, Brahmagupta, Mahāvīra  e Bhāskara. E la maggior parte della loro opera era motivata dall'astronomia e dall'astrologia.
Abbiamo anche visto che intorno al III sec. a.C. cominciano a comparire i simboli numerici brahmanici e che, presumibilmente, intorno al IV sec. d.C. nasce l'uso dello zero posizionale. E tale uso determinò lo sviluppo del sistema numerico posizionale hindu in base 10,

da cui deriva il nostro moderno sistema di numerazione. Ma è solo intorno al 600 che la notazione posizionale in base 10, che era stata usata sporadicamente per circa un secolo, entrò nell'uso comune.¹
 E, in questo contesto, a differenza di quanto era stato fatto fino a quel momento, lo zero cominciò a essere trattato come un qualsiasi altro numero. E, nel sec. IX d.C., Mahāvīra arrivò a definire le quattro operazioni per lo zero. Seppure, nel caso della divisione, egli disse che un numero diviso per 0 rimane inalterato. Ma vedremo che, più tardi, un altro matematico hindu cambierà quella definizione.
Presto gli Hindu cominciarono anche a usare una notazione simile a quella attuale per rappresentare le frazioni. Usavano disporre numeratore e denominatore uno sopra all'altro ma senza la nostra linea. Ed essi furono anche i primi ad introdurre i numeri negativi. Li introdussero per rappresentare i debiti.
Il primo uso noto lo si trova in Brahmagupta (598 d.C. – 668 d.C.) e risale al 628 circa. Nello stesso contesto Brahmagupta enuncia anche le regole per le quattro operazioni con i numeri negativi. Ma non vengono mai date definizioni, assiomi o teoremi. Brahmagupta si pone anche il problema della radice quadrata di un numero negativo. E lo risolve dicendo semplicemente che la radice quadrata non esiste, visto che un numero negativo non può essere un quadrato.

La nuova definizione di un numero diviso per 0 arrivò invece solo nel XII sec d.C. con Bhāskara II (1114 – 1185). Egli affermò infatti che una frazione con denominatore 0 rimane inalterata quale che sia la quantità che le si aggiunga o sottragga. E chiamò tale frazione una quantità infinita.
Ma Bhāskara non fece solo questo. Come ci dice wikipedia, Bhāskara "rappresenta il culmine della conoscenza matematica e astronomica del XII secolo in ambito mondiale." E il lavoro di Bhāskara relativo al calcolo infinitesimale, anticipa Newton e Leibniz di oltre mezzo millennio. Infatti si può affermare, con una discreta certezza, che Bhāskara fu propabilmente il primo a concepire l'idea del calcolo infinitesimale. Inoltre Bhāskara, seppure dopo un paio di secoli ripetto agli Islamici, anche se indipendentememnte da loro, cominciò anche a usare le operazioni con i numeri irrazionali. Ma, così come avevano gia fatto gli Islamici, senza fornire delle basi teoriche. Si abituò semplicemente a trattare le grandezze irrazionali in modo simile a come trattava i numeri interi.
E Bhāskara fu anche bravo a disegnarla la matematica.

Infatti, come ci ricorda anche .mau. in "Quando una “dimostrazione” è una dimostrazione?" e in "Il teorema di Pitagora", Bhāskara produsse una sorta di dimostrazione grafica del celeberrimo teorema.

Ma, tornando al discorso dei matematici Islamici, possiamo aggiugere che, come riportato dallo storico al-Qifti (1172 – 1248), intorno all'VIII sec. d. C. gli Islamici vennero a conoscenza di buona parte della matematica hindu. E quindi anche del sistema numerico posizonale in base dieci e dello zero. In particolare, Al-Khwārizmī (محمد خوارزمی Corasmia o Baghdad, 780 circa – 850 circa) scrisse un libro sul calcolo con i numeri hindu intorno all'825, e Al-Kindi scrisse quattro volumi sull'uso dei numeri hindu (كتاب في استعمال العداد الهندي [kitāb fī isti'māl al-'adād al-hindī]) intorno all'830. Tuttavia, tali opere descrivevano ma non usavano il sistema numerico hindu. Il primo a usarlo fu Al-Uqlidisi nel libro Kitāb al-Fuṣūl fī 'l-ḥisāb al-hindī ("Il Libro delle Parti nel calcolo indiano") scritto intorno al 952.¹

La puntata successiva è sulla Matematica Islamica

Puntate precedenti...

Indice della serie

¹ Morris Kline, Storia del pensiero matematico - Einaudi

La rivista Rudi Mathematici recensisce La Musica dei Numeri

Ma è proprio le la prestigiosa rivista Rudi Mathematici quella che ha recensito la mia Musica dei Numeri?
Sembra proprio di sì :-) La troverete nel capitolo "Era Una Notte Buia e Tempestosa " del Numero 188 – Settembre 2014 della rivista. Ma, per soddisfare maggiormente il mio ego, l'ho anche copiata qui.

4.3 La musica dei numeri

« Qual è l’Arché? Qual è il principio primo? 

Quel principio da cui anche i nostri dèi 
sono stati generati?» 

Eravamo molto indecisi se dedicare una recensione a questo “La Musica dei Numeri” di Flavio Ubaldini, in arte Dioniso, e per un sacco di buone ragioni.
La prima, così buona e inoppugnabile che è quasi una perdita di tempo sottolinearla, è che è davvero evidente a tutti che questa lunga serie di recensioni sui libri di AltraMatematica serviva solo a darci occasione di parlare del nostro, numero otto della collana, senza fare la figura degli arroganti che si recensiscono solo i loro libri snobbando gli altri. Avendo fatto la sovrumana fatica di recensire i sette precedenti, l’alibi era ormai costruito, quindi a che servirebbe mai recensire la nona uscita?
Un’altra splendida ragione è stata accennata poco fa: volevamo essere noi a scrivere su Pitagora, e l’Ubaldini ci ha soffiato il tema. E con quale scusa, poi? Solo perché sui suoi blog (“Blogghetto” e “Pitagora e dintorni”) di Pitagora ne parla a profusione? Solo perché è la massima autorità pitagorica dell’italica rete? Solo perché è bravo? Tzè. Che ragioni sarebbero, queste?
Un’altra splendida ragione per non recensirlo, infine, è che vende più del nostro. A ben vedere, questa è una ragione maiuscola, stupenda. Noi siamo facili prede dell’Invidia (e, a occhio e croce, anche di tutti gli altri sei vizi capitali, con la possibile eccezione dell’Ira). E all’invidia, come al cor, non si comanda. Ha scelto un bel titolino, tutto qua. È stato fortunato che a lui è toccata la copertina viola, e a noi il grigio topo. Gli avranno fatto pubblicità tutti gli amici e i parenti. Avrà più amici del generale dei boy-scout. La sua sarà una famiglia allargata di cinquecento persone. Ecco.
Così, non aspettatevi che noi si perda del tempo a spiegarvi che quello dell’Ubaldini è un testo che racconta di Pitagora e dei pitagorici più o meno come farebbero i pitagorici stessi. Chissà, forse l’autore si è immedesimato e lasciato trasportare dalla prosa di Giamblico. Fatto sta che, se mai dovessimo metterci davvero a recensire “La musica dei Numeri”, dovremmo riconoscere che è una bella idea quella di utilizzare il vero e proprio metodo del racconto: nella storia si muovono tutti, parlano, agiscono, insomma si muovono come devono fare i personaggi di un romanzo. Così, si incontrano Ippaso e Cilone, mica solo Pitagora (pardon, il Maestro); così, se fa caldo a Crotone sentirete l’afa di Metagitnione, mica quella di Luglio. E quando Gerone il fabbro sbatte forte coi suoi
martelli sulle incudini, avrete poco da pensare “ecco, adesso arriva la storia delle consonanze, dell’armonia e delle ottave”, perché è vero, certo che sarà così: ma si resta legati alla storia, si aspetta
che Filolao ed Eratocle vadano davvero a rifornirsi di dischi di bronzo, si prova ad immaginare in che misura Ippaso continuerà a giocare il ruolo del bastian contrario, e al massimo ci si incomincia a chiedere seriamente che fine farà, quando verrà fuori il pasticciaccio della diagonale del quadrato. Lo faranno fuori davvero, quel povero diavolo?
No, non ci metteremo a recensire così, l’Ubaldini se lo può scordare.
Perché è evidente, no? Il perfido autore gioca su due fronti, anzi tre. Quello della storia, raccontata come in un romanzo storico. Quello della leggenda, perché Pitagora è più leggenda che storia, come
Ulisse, ed è giusto che sia così, in un mondo dove gli dei giocano con gli uomini e bevono ambrosia. E naturalmente quello della matematica, che non può che nascere davvero in un mondo del genere, dove la mente è libera di credere e di negare, di avere il coraggio di trovare gli impalpabili numeri dentro ogni cosa, dal tempio di Apollo al suono delle incudini.
Col cavolo che lo recensiremo così.
Poi finisce che vende ancora di più.

Nello stesso numero della rivista troverete anche la recensione di altri due librini della collana: "Partition" e "Di 28 ce n’è 1". Che aspettate ad andare a leggervi la rivista?

Carnevale della Matematica #77 - Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa

Il Carnevale della Matematica di settembre, il numero 77 (All’alba melodioso), ha come tema: Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa.

Ad ospitarlo è Paolo Alessandrini che così introduce il mio contributo:

Anche Flavio Ubaldini, trombonista e matematico anche noto come Dioniso, ha a che fare con i librini di Altramatematica, avendo scritto l'imperdibile La musica dei numeri. E anche il suo contributo al carnevale settembrino è di tipo narrativo: direttamente dall'ottimo blog Pitagora e dintorni, ecco a voi La scala del diavolo, una gustosissima storia ambientata in un'aula universitaria, con un imprevisto risvolto "mostruoso":

Quella notte Maria stentò ad addormentarsi. E, nel dormiveglia, cominciò a vedere il volto del suo salvatore delle ultime file. Lo vedeva bello e raggiante. Ma, improvvisamente, da quel volto spuntarono due folti baffi. E la luce che emanava si spense. Per essere rimpiazzata dall'oscurità del volto gignante del professore.
- Continua ma non derivabile, continua ma non derivabile - diceva il professore con voce beffarda e potente. Poi il tono si fece sempre più cavernoso e il volto s'infuocò.

Il carnevale si conclude segnalando il prossimo ospite.

La prossima edizione uscirà tra un mese sul blog Crescere creativamentedi Maestra Rosalba, con il tema "Disegnate la matematica". Il nome in codice sarà il merlo canta allegro.

Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale

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